1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1

4

Các kiến thức chuẩn bị

1.1. Khái niệm cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Môđun nội xạ và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . .

7

2

Môđun min nội xạ và một số ứng dụng

12

có thể mở rộng thành đồng cấu ϕ : R → MR . Rõ ràng Min nội xạ là
một khái niệm mở rộng của nội xạ, nội xạ suy ra min nội xạ, tuy nhiên
điều ngược lại không hoàn toàn đúng. Tương tự khái niệm nội xạ, từ
khái niệm min nội xạ chúng ta có các khái niệm kéo theo min CS và
một số kết quả đặc trưng vành. Như chúng ta đã biết, vành là QF khi
và chỉ khi nó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía. Khi thay thế
điều kiện tự nội xạ bởi khái niệm min nội xạ kết quả trên có còn đúng
hay không. Mục đích nghiên cứu chính của đề tài này là tìm hiểu về
khái niệm min nội xạ và các ứng dụng của nó trong đặc trưng một số
lớp vành, đặc biệt là lớp vành QF. Từ các lý do đã nêu trên, đề tài của
chúng tôi có tựa đề là: "Về lớp môđun min nội xạ và ứng dụng
đặc trưng một số lớp vành".
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được trình bày trong 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Chương này chủ yếu dành để
trình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến nội dung của chương 2,
đặc biệt là các kiến thức về môđun nội xạ và một số tính chất liên quan.


3

Chương 2. Môđun min nội xạ và một số ứng dụng. Nội dung của
chương 2 được trình bày trong hai phần:
2.1 Môđun min nội xạ và các tính chất. Phần này chủ yếu trình bày về
khái niệm min nội xạ và các tính chất cơ bản của môđun min nội xạ
đồng thời có sự so sánh giữa khái niệm nội xạ và min nội xạ.
2.2 Một kết quả về đặc trưng QF- vành. Như chúng ta đã biết, lớp vành
QF là một trong những lớp vành dành được sự quan tâm đặc biệt của
các nhà nghiên cứu. Số lượng các bài báo và đầu sách chuyên khảo về
lớp vành này như [4], [5], [8] và [9] phần nào đã nói lên tầm quan trọng

Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu, chúng tôi chủ yếu tham
khảo trong các tài liệu [1], [2], [6] và [8].

1.1

Khái niệm cơ sở

Chúng ta giới thiệu một số khái niệm liên quan.
1.1.1 Định nghĩa. Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđun
con cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) nếu và chỉ nếu với mọi
môđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M ).
Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu và môđun con bé ta có một
số tính chất sau:
1.1.2 Nhận xét.
1. A ⊂◦ M ⇔ ∀U ⊆ M ta có A + U ⊆ M .
2. A ⊂∗ M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = 0.
3. A ⊂◦ M = 0 ⇒ A = M .
4. A ⊂∗ M = 0 ⇒ A = 0.


5

5. 0 ⊂◦ M và M ⊂∗ M với mọi R môđun M .
1.1.3 Định nghĩa. Cho R- môđun M khác không. Một dãy hữu hạn
n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 được gọi là
dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1 /Mi
là đơn.
Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành khái
niệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:
1.1.4 Định lý. Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

Mn ⊇ ...., tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, ....
1.1.9 Định nghĩa.
• Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thoả mãn điều
kiện DCC (ACC).
• Vành R được gọi là vành Artin phải (trái) nếu RR (R R) là môđun
Artin. Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành Noether
phải(trái).
1.1.10 Định nghĩa.

• Trên vành R, một R- môđun phải M được

gọi là môđun đơn (simple) nếu M = 0 và không có môđun con
nào khác ngoại trừ 0 và chính nó. Môđun M được gọi là môđun
nửa đơn (semisimple) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương
đương sau:
1. Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn.
2. M là tổng của các môđun con đơn.
3. M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn.
4. Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M .
• Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là
đế phải của môđun MR . Ký hiệu Soc(MR ) hoặc Sr (M ).


7

1.2

Môđun nội xạ và một số tính chất

1.2.1 Định nghĩa. R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với mọi

(ii) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B chẻ ra (nghĩa là Im(ϕ) là một hạng tử
trực tiếp của B);
(iii) Với mỗi đơn cấu α : A → B, ánh xạ Hom(α, 1Q ) : HomR (B, Q) →
HomR (A, Q) là toàn cấu.
1.2.6 Định nghĩa. Môđun P được gọi là M -xạ ảnh nếu với mọi toàn
cấu g : M → N và đồng cấu f : P → N đều tồn tại một đồng cấu
h : P → M sao cho f = gh. Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là
M -xạ ảnh với mọi môđun M thuộc Mod-R.
Nhóm aben Q được gọi là chia được (divisible) nếu Q = nQ với mọi
n là một số nguyên khác không. Một số kết quả sau là mối liên hệ giữa
lớp nhóm này với môđun nội xạ.
1.2.7 Bổ đề. Nhóm aben Q là chia được nếu và chỉ nếu Q là Z- môđun
nội xạ.
1.2.8 Bổ đề. Nếu Q là nhóm aben chia được thì R- môđun trái HomZ (RR , Q)
là nội xạ.
1.2.9 Mệnh đề. Mọi R- môđun phải (trái) đều có thể nhúng được trong
một R- môđun nội xạ phải (trái).
Từ Định lý 1.2.5 ta có một đặc trưng của lớp vành nửa đơn.
1.2.10 Hệ quả. Vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R- môđun là
nội xạ.
Một khái niệm khá quan trọng của môđun nội xạ đó là bao nội xạ
(xem Định nghĩa 1.2.3). Ví dụ từ Q là chia được, Q là nhóm cộng các
số hữu tỷ như một Z- môđun do đó Q là Z- nội xạ. Mặt khác đồng cấu


9

bao hàm i : Z → Q là đồng cấu cốt yếu do đó (Q, i) là bao nội xạ của
Z. Định lý sau là một trong những kết qủa khẳng định sự tồn tại bao
nội xạ của các môđun.

tiếp của MR . Hay nói cách khác, mọi môđun con đóng trong MR
là hạng tử trực tiếp của MR .
• (C2 ) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và
A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của
MR .
• (C3 ) : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của MR và A ∩ B = 0
thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của MR .
• (1 − C1 ) : Nếu U là một môđun con đóng, đều của MR thì U là một
hạng tử trực tiếp của MR .
Điều kiện (1 − C1 ) là mở rộng của điều kiện C1 và từ điều kiện C2
suy ra điều kiện C3 .
1.2.14 Định nghĩa. Môđun MR được gọi là CS-môđun (extending
module) nếu MR thỏa mãn điều kiện (C1 ). Môđun MR được gọi là liên
tục (continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1 ) và (C2 ). Môđun
MR được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn các
điều kiện (C1 ) và (C3 ). Môđun MR được gọi là (1 − C1 )- môđun (uniform
extending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ).
Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:
Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) .
Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđun
trên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng.


11

1.2.15 Định nghĩa. Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục)
vành phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên
chính nó.
Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái
và vành tựa liên tục trái.

1. Vành nửa nguyên tố (giao của tất cả các iđêan nguyên

tố của vành R bằng 0) là vành min nội xạ hai phía vì mọi iđêan
phải hoặc trái của vành nửa nguyên tố đều là hạng tử trực tiếp của
chính nó.


13

2. Vành các số nguyên Z là vành giao hoán, noether, min nội xạ nhưng
không là vành tự nội xạ.
3. Mọi vành đa thức R[x] là vành min nội xạ hai phía.
Chúng ta có một số tính chất của lớp vành min nội xạ qua bổ đề sau:
2.1.4 Bổ đề. Cho vành R. Các điều kiện sau tương đương:
1. Vành R là min nội xạ phải.
2. Nếu kR là iđêan đơn, k ∈ R, thì lr(k) = Rk.
3. Nếu kR là iđêan đơn và r(k) ⊆ r(a), k, a ∈ R, thì Ra ⊆ Rk.
4. Nếu kR là iđêan đơn và f : kR → R là một đồng cấu tuyến tính,
k ∈ R, thì f (k) ∈ Rk.
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(1) ⇒ (2) : Ta luôn có Rk ⊆ lr(k) (1). Để chứng minh chiều ngược lại
ta giả sử a ∈ lr(k) thì r(k) ⊆ r(a). Đặt f : kR → R xác định như sau:
f (kr) = ar. Do R là vành min nội xạ phải và kR là một iđêan đơn nên
theo định nghĩa ta có f = c∗ , trong đó c∗ là phép nhân trái bởi phần tử
c nào đó thuộc R. Khi đó a = f (k) = ck ∈ Rk, suy ra lr(k) ⊆ Rk (2).
Từ (1) và (2) ta có lr(k) = Rk.
(2) ⇒ (3): Nếu r(k) ⊆ r(a) thì a ∈ lr(k). Theo kết quả chứng minh trên
lr(k) = Rk nên a ∈ Rk. Vậy Ra ⊆ Rk.
(3) ⇒ (4): Nếu f (k) = a thì r(k) ⊆ r(a). Theo (3) suy ra Ra ⊆ Rk, hay
a = f (k) ∈ Rk.

. Xét đẳng cấu

giữa các iđêan phải đơn γ : kR → M . Theo cách chứng minh ở
trên, ta có thể viết γ(k) = m, với m là phần tử nào đó trong M .
Khi đó r(k) ⊆ r(m), suy ra m ∈ lr(k) ⊆ kR, theo tính chất (3).
Do vậy ta có M = Sr ⊆ kR

(2)

. Từ

(1)

và

(2)

ta thấy Sr = M = kR

là một iđêan đơn và do vậy Sr không chính phương.


15

Tương tự khái niệm vành chính quy mạnh (strongly regular), vành R
được gọi là vành C2 phải mạnh (strongly right C2 ) nếu Mn (R) là vành
C2 phải với mọi n ≥ 1. Nếu vành R là C2 phải mạnh thì R là vành C2
phải (xem Theorem 7.14, [8]). Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn
toàn chính xác (xem Theorem 7.15, [8]).
Đối với lớp vành min nội xạ mối liên hệ này như thế nào. Câu trả lời

được.
Định lý sau là một trong những kết quả chính của tài liệu tham khảo
[8] và chúng tôi chứng minh chi tiết định lý này.
2.1.10 Định lý. Vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu vành các
ma trận Mn (R) là vành min nội xạ phải với mọi n ≥ 1.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh điều kiện đủ. Giả sử S = Mn (R)
là vành min nội xạ phải, do Se11 S = S, với eij là các ma trận đơn vị.
Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có R ∼
= e11 Se11 và do đó R là vành min nội xạ
phải.
Ngược lại, giả sử R là vành min nội xạ phải. Ta nhận thấy rằng, nếu
chọn 2k ≥ n thì từ T = M2k (R) là vành min nội xạ phải và Mn (R) ∼
=
In 0
eT e, trong đó e =
0 0 . Sử dụng Bổ đề 2.1.7 ta có T eT = T .
Mặt khác, do tính chất khép kín của phép nhân nên e11 ∈ T eT và
eii = ei1 e11 e1i ∈ T eT với mỗi i. Như vậy chúng ta chỉ cần cho trường
hợp n = 2. Đặt kS là một iđêan phải đơn của S = M2 (R), chúng ta
phải chứng minh lr(k) = Sk.
Nếu hàng thứ i của k khác không thì e1i k = 0, do đó theo Bổ đề 2.1.9
chúng ta có thể giả sử rằng k ∈ e11 S. Trong trường hợp này nếu cột thứ
j của k khác không thì kej1 = 0, và do đó kS = ke1j S. Do vậy, chúng
k 0
ta có thể giả sử rằng k ∈ e11 Se11 và ta có thể biểu diễn k = 0 0 ,
k ∈ R. Vậy kR là iđêan phải đơn, theo Bổ đề 2.1.4, Rk = lr(k). Nhưng
lr(k) 0
Rk 0
r(k) r(k)
rS (k) =

Khái niệm QF- vành đã được Nakayama đưa ra từ năm 1939 và nó là
một lớp vành con rất quan trọng của lớp vành Artin. Lớp vành này đã
thu hút được khá nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu lý thuyết
vành và các kết quả đạt được khá phong phú. Chúng ta có thể dễ dàng
tìm thấy các kết qủa về lớp vành này trong các tài liệu tham khảo [3],
[4], [5], [9], ....
Có nhiều hướng tiếp cận nghiên cứu khác nhau đối với lớp QF- vành.
Chẳng hạn như: thay thế điều kiện Artin (hoặc tự nội xạ) hai phía bởi
điều kiện một phía trái hoặc phải; thay thế điều kiện Artin (hoặc tự
nội xạ) bởi các điều kiện yếu hơn; ..., và nhiều giả thuyết nổi tiếng liên
quan đến lớp vành này đã được đề xuất như giả thuyết Faith: "Vành
nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF". Trong phạm vi nghiên cứu
của đề tài, chúng tôi quan tâm đến hướng tiếp cận lớp vành này bằng
cách thay thế điều kiện nội xạ bởi điều kiện min nội xạ và kết quả thu
được chính là Định lý 2.2.4.
Kí hiệu M ∗ = Hom(MR , R). Khi đó M ∗ là một R- môđun trái với
phép nhân (rλ)(m) = r.λ(m), với mọi r ∈ R; λ ∈ M ∗ ; m ∈ M .


18

2.2.2 Bổ đề. Nếu M = mR là một R- môđun phải và T = r(m) thì
M∗ ∼
= l(T ) = lr(m) như là các R- môđun trái.
Chứng minh. Thật vậy, nếu b ∈ l(T ) ta xét ánh xạ λb : M → R được
định nghĩa như sau: λb (mr) = br. Khi đó rõ ràng b → λb là một đơn
cấu từ l(T ) → M ∗ giữa các R- môđun trái. Hơn nữa, nó là toàn cấu vì
nếu λ ∈ M ∗ thì λ = λb , với b = λ(m) ∈ l(T ).
Vậy ta có M ∗ ∼
= l(T ) = lr(m).

• (3) ⇒ (4): Giả sử K = kR là một iđêan phải đơn và T = r(k), khi
đó T là một iđêan phải tối đại. Theo Bổ đề 2.2.2, K ∗ ∼
= l(T ). Sử
dụng điều kiện (3), K ∗ ∼
= l(T ) là đơn hoặc bằng không. Mặt khác,
do K ∗ có chứa đồng cấu bao hàm nên K ∗ = 0. Vậy K ∗ là đơn và
ta có điều kiện (4).
• (4) ⇒ (1): Xét f : K → R, trong đó K = kR là một iđêan phải
đơn. Đặt i : K → R là đồng cấu bao hàm. Theo giả thiết của điều
kiện (4), K ∗ = Ri, do đó f = ci với c nào đó trong R. Điều này
chứng tỏ rằng f = c, và do đó ta có R là vành min nội xạ.

Kết quả chính của phần này chính là một đặc trưng của lớp QF -vành
trong định lý sau.
2.2.4 Định lý. Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:
1. R là QF - vành;
2. R là vành min nội xạ hai phía và Artin hai phía.
Chứng minh. Theo định nghĩa của QF- vành ta có R là vành Artin hai
phía và tự nội xạ hai phía do đó chiều (1) ⇒ (2) là hiển nhiên. Ta chỉ
cần chứng minh cho chiều ngược lại.
Chúng ta sẽ chứng minh R là QF - vành thông qua điều kiện (4) của
Định nghĩa 2.2.1. Cụ thể, chúng ta sẽ chỉ ra rằng rl(T ) = T với mọi
iđêan phải T của R.
Để chứng minh định lý trước hết ta làm sáng tỏ phát biểu sau:
"Nếu K ⊆ T là các iđêan phải và T /K đơn thì l(K)/l(T ) bằng không
hoặc đơn".
Thật vậy, với a ∈ l(K), xét đồng cấu λa : T /K → RR xác định như
sau: λa (t + K) = at. Đặt (T /K)∗ = HomR (T /K, R). Khi đó đồng cấu
f : l(K) → (T /K)∗ : a → λa có Ker(f ) = l(T ). Mặt khác theo giả thiết



Trên cơ sở các tài liệu tham khảo, đặc biệt là cuốn sách chuyên khảo
[8]. Luận văn đã tập trung tìm hiểu và làm rõ hơn một số vấn đề sau:
1. Tìm hiểu một số tính chất của lớp vành min nội xạ và được giới
thiệu trong phần 2.1. Đặc biệt, Định lý 2.1.10 đã nêu lên được tính
chất min nội xạ giữa vành R và lớp vành các ma trận Mn (R).
2. Từ các tính chất của lớp vành min nội xạ, luận văn chứng minh
chi tiết Định lý 2.2.4 là một kết quả về lớp QF- vành khi chúng ta
thay thế điều kiện tựa nội xạ bởi một điều kiện yếu hơn (điều kiện
min nội xạ).


22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận ( 2001), Cơ sở lý thuyết
môđun và vành, NXB Giáo dục.
B Tiếng Anh
[2] F.W. Anderson and K.R Furler (1974), Rings and Categories of
Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin.
[3] C. Faith (1976), Algebra II, Ring Theory, Springer Verlag.
[4] C. Faith and Dinh Van Huynh (2002), When self-injective ring
are QF: A report on a problem, J. Algebra Appl. 1, 75-105.
[5] Dinh Van Huynh and Ngo Si Tung (1996), A note on quasiFrobenius rings, Proc. Amer. Math. Soc, 124, No.2, 371-375.
[6] T. Y. Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings,
Springer Verlag.
[7] S.H. Mohamed and B.J. Muller (1990), Continuous and Discrete
Modules, London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 147, Cambridge University Press.