1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị

4

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị . . . .

9

2 Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của
các ánh xạ đơn trị và đa trị

26

2.1 Sự tồn tại điểm trùng nhau của một ánh xạ đơn trị và một ánh
xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và các

điểm bất động, điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ đơn
trị và ánh xạ đa trị trong các không gian mêtric, không gian mêtric nón. Từ
đó xem xét đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung của
các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtirc.
Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn
trị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất
động chung của hai, ba, ánh xạ đơn trị trong không gian mêtric, mêtric nón.


3

Chương 2. Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung
của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm
trùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị, đưa ra một số kết quả về
sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong
không gian o-mêtric.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình
đến thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ
nhiệm khoa Toán, Ban lãnh đạo Trường Đại Học Vinh.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trong Khoa
Toán Trường Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã giúp đỡ và động
viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời

kí hiệu là (X,d) hay đơn giản hơn là X.
1.1.2 Một số kí hiệu. Cho (X,d) là không gian mêtric.
Ta kí hiệu
- K(X) là tập hợp tất cả các tập compact khác rỗng của X;
- CL(X) là tập hợp tất cả các tập đóng khác rỗng của X;
- CB(X) là tập hợp tất cả các tập đóng bị chặn khác rỗng của X;


5

- I là ánh xạ đồng nhất trên X;
-

(h) = {h(x ) : x ∈ X }, trong đó ánh xạ h : X → X ;

- H là mêtric Hausdorff trên CL(X) được xác định bởi
H (A, B ) = max{d (a, B ), d (A, b)}

với A, B ∈ CL(X ), trong đó
d(a, B) = inf{d(a, b) : b ∈ B},
d(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B},
δ(A, B) = sup{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B};

- Ω : (R+ )5 → R+ là hàm đơn điệu tăng theo từng biến, với t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈
R+ = {r ∈ R : r

0}

+ + + +
Ω(t+

1.1.4 Định nghĩa. ([5]) Ta nói rằng Ω thỏa mãn điều kiện A nếu Ω(t, s, t, 0, t+
s) < s với mọi s, t ∈ R+ , t < s.

1.1.5 Định nghĩa. ([5]) Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện B nếu:
(i) Tồn tại một hàm đơn điệu tăng ϕ : R+ → R+ , ϕ(t) < t ∀t ∈ (0, ∞),
(ii) Với mỗi t ∈ R+ tồn tại một tập chỉ số It = φ và các số thực không âm
βi , γi (i ∈ It ) sao cho sup{γi : i ∈ It } < 1, Ω(t, t, 2t, t, t + s) ≤ sup{(1 + βi )t +
γi s : i ∈ It } với mọi s ∈ [t, 2t], Ω(t, t, t, 0, λt t) ≤ ϕ(t), trong đó
λt = sup

1 + βi
: i ∈ It .
1 − γi

1.1.6 Định nghĩa. ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) trên không gian mêtric
(X,d) được gọi là tương thích nếu dãy {d(f1 f2 xn , f2 f1 xn )} → 0 với {xn } là
dãy bất kì trên X sao cho các dãy {f1 xn }, {f2 xn } hội tụ trên X và có cùng giới
hạn.
1.1.7 Định nghĩa. ([5]) Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) từ X vào X được gọi là
tương thích yếu nếu f1 f2 x = f2 f1 x với x ∈ X sao cho f1 x = f2 x.
* Chú ý. Nếu (f, S) tương thích thì tương thích yếu.
1.1.8 Định nghĩa. ([5]). Một cặp ánh xạ (f1 , f2 ) trên không gian mêtric
(X, d) được gọi là liên tục phụ thuộc tại u ∈ X nếu dãy {f1 f2 xn } hội tụ tới
f1 u và {f2 f1 xn } hội tụ tới f2 u với {xn } là dãy trong X sao cho {f1 xn } và
{f2 xn } cùng hội tụ tới u, với u ∈ X.

1.1.9 Định nghĩa. Một tập P của một không gian Banach E được gọi là
một nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:



2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X ,
thì d được gọi là một mêtric nón trên X và (X, d) được gọi là không gian
mêtric nón.
Giả sử {xn } là một dãy trong không gian mêtric nón X, x ∈ X .
- Nếu với mỗi 0

c tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n > n0 , d(xn , x)

c,

thì dãy {xn } được gọi là hội tụ (hoặc dãy {xn } hội tụ) tới x và x được gọi là
giới hạn của dãy {xn }.Ta viết


8

lim xn = x hoặc xn → ∞ khi n → ∞.

n→∞

- Nếu với mỗi 0

c tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n, m > n0 , d(xn , xm )

c,

thì dãy {xn } được gọi là dãy Cauchy trong X .
- Nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian
mêtric nón đầy đủ.

{d(yn , yn+1 )}∞
n=0 hội tụ tới 0, σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và d(f x, f y) ≤
α(x, y) với mọi x, y ∈ X . Khi đó {yn } là dãy Cauchy.

1.2.2 Bổ đề. ([5]) Nếu Cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn điều
kiện A và B và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , thì dãy {d(yn , yn+1 )}∞
n=0
hội tụ tới 0.
1.2.3 Bổ đề. ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, dãy {yn } nói
trong Định nghĩa 1.1.3 hội tụ tới z ∈ X và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi
x, y ∈ X . Khi đó các khẳng định sau là đúng.

(i) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và f p = Sp với p ∈ X thì f p = z .
Hơn nữa f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau
nào khác z nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞).
(ii) Nếu σ2 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ (S), thì tồn tại w ∈ X sao
cho f w = Sw = z .
(iii) Nếu ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu
thì f z = Sz = z .
(iv) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), S liên tục tại z và (f, S) tương
thích thì Sz = z .
(v) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), f liên tục tại z và (f, S) tương
thích thì f z = z .
(vi) Nếu σ1 (t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), (f, S) tương thích và liên tục phụ
thuộc tại z thì f z = Sz = z .


10

Chứng minh. Vì (f, S) thỏa mãn có điều kiên A nên tồn tại {xn } ⊂ X sao

α(w, xn+1 ) = Ω(d(Sw, f w), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sw, Sxn+1 ),
d(f w, Sxn+1 ), d(Sw, f xn+1 ))
= Ω(d(z, f w), d(yn , yn+1 ), d(z, yn ), d(f w, yn ), d(z, yn+1 ))

với mọi n ∈ N.
Do yn → z khi n → ∞, nên


11

lim α(w, xn+1 ) ≤ Ω(d(z, f w), 0+ , 0+ , d(f w, z)+ , 0+ ) = σ2 (d(f w, z)).

n→∞

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f w, yn+1 ) ≤ α(w, xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(3)

Lấy giới hạn trên hai vế của (3) khi n → ∞ ta được d(f w, z) ≤ σ2 (d(f w, z))

và {Sxn } cùng hội tụ tới z, suy ra dãy {d(Sf xn , f Sxn )} hội tụ tới 0. Do dãy
{Sf xn } hội tụ tới Sz nên dãy {f Sxn } hội tụ tới Sz .

Ta có
α(Sxn , xn+1 ) = Ω(d(SSxn , f Sxn ), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(SSxn , Sxn+1 ),
d(f Sxn , Sxn+1 ), d(SSxn , f xn+1 ))
= Ω(d(SSxn , f Sxn ), d(yn , yn+1 ), d(SSxn , yn ),
d(f Sxn , yn ), d(SSxn , yn+1 )) với mọi n ∈ N.

Do đó
lim α(Sxn , xn+1 ) ≤ Ω(0+ , 0+ , d(Sz, z)+ , d(Sz, z)+ , d(Sz, z)+ )

n→∞

= σ1 (d(Sz, z)).

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f Sxn , yn+1 ) ≤ α(Sxn , xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(5)

Lấy giới hạn trên hai vế của (5) khi n → ∞ ta được d(Sz, z) ≤ σ1 (d(Sz, z))


Ta có
α(z, xn+1 ) = Ω(d(Sz, f z), d(Sxn+1 , f xn+1 ), d(Sz, Sxn+1 ),
d(f z, Sxn+1 ), d(Sz, f xn+1 ))
= Ω(d(Sz, f z), d(yn , yn+1 ), d(Sz, yn ), d(f z, yn ),
d(Sz, yn+1 ) với mọi n ∈ N.

Do đó
lim α(z, xn+1 ) ≤ Ω(0, 0+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ , d(f z, z)+ ).

n→∞

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X , suy ra
d(f z, yn+1 ) ≤ α(z, xn+1 ) với mọi n ∈ N.

(7)

Lấy giới hạn hai trên vế của (7) khi n → +∞ ta được d(f z, z) ≤ σ1 (d(f z, z))


với mọi x, y ∈ X , trong đó
1
θ(x, y) = max{d(Sx, Sy), d(Sx, f x), d(Sy, f y), [d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]}.
2
Khi đó,

(1) {yn } nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.
(2) Nếu dãy yn hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định sau đây đúng.
(i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác
z.

(ii) Nếu z ∈ (S) thì tồn tại w ∈ X sao cho f w = Sw = z .
(iii) Nếu z ∈ (S) và (f, S) tương thích yếu thì f z = Sz = z .
(iv) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = Sz = z .
(v) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z .
(vi) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại z thì f z = Sz = z .
Chứng minh. Ta xác định các ánh xạ
Λ : (R+ )5 → R+ bởi công thức
1
Λ(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = max{t1 , t2 , t3 , (t4 + t5 )};
2
+
+
3
I : R → (R ) bởi công thức
I(t) = {(a, b, c) ∈ (R+ )3 : a ≥ 0, b ≥ δ(t), c ≥ δ(t) và a + b + 2c ≤ 1};
Ω : (R+ )5 → R+ bởi công thức
Ω(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ) = sup{at3 + b max{t1 , t2 } + c(t4 + t5 ) :
(a, b, c) ∈ I(Λ(t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ))}


với mọi (a, b, c) ∈ I(2t) và Ω(t, t, t, 0, λt t) ≤ [1 − (2 − λt )δ(t)]t ≤ [1 −
δ(2t)δ(t)]t < t với mọi t ∈ (0, +∞), trong đó
λt = sup{

1+a
: (a, b, c) ∈ I(2t)} ≤ 2 − δ(2t).
1−c

Rõ ràng
1
1
sup{c : (a, b, c) ∈ I(2t)} ≤ [1 − δ(2t)] ≤ .
2
2

Ta định nghĩa hàm ϕ : R+ → R+ bởi công thức ϕ(t) = [1 − δ(2t)δ(t)]t với
mọi t ∈ R+ . Vì δ là hàm đơn điệu tăng trên R+ nên ϕ là hàm đơn điệu tăng
trên R+ . Rõ ràng ϕ(t+ ) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và do đó Ω thỏa mãn điều kiện
B với It = I(2t), βi = a, γi = c, trong đó i = (a, b, c) ∈ I(2t). Từ đó áp dụng


17

Định lí 1.2.4 ta có điều phải chứng minh.
1.2.6 Hệ quả. ([5]) Giả sử (f, S) thỏa mãn điều kiện A và N0 là số nguyên
dương, a1 , . . . , aN0 , b1 , . . . , bN0 , c1 , . . . , cN0 > 0 sao cho ai + bi + 2ci ≤ 1 với
mọi i = 1, 2, . . . , N0 và
d(f x, f y) ≤ max{ai d(Sx, Sy) + bi max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}
+ci [d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : i ∈ {1, 2, . . . , N0 }}

với mọi t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ∈ R+ . Khi đó, Ω là hàm đơn điệu tăng từng biến,
ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), Ω thỏa mãn điều kiện A và d(f x, f y) ≤ α(x, y)

với mọi x, y ∈ X . Rõ ràng rằng Ω(t, t, 2t, t, t + s) = ϕ(2t) ≤ 2t nếu t ∈ R+ và
t ≤ s ≤ 2t; Ω(t, t, t, 0, 2t) = ϕ(t) với mọi t ∈ R+ . Do đó Ω thỏa mãn điều kiện
B với It là tập một phần tử, βi = 1, γi = 0(i ∈ It ) và λt = 2 với mọi t ∈ R+ .

Áp dụng Định lí 1.2.4 ta có điều phải chứng minh.
1.2.8 Bổ đề. ([2]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ S, T, f :
X → X có duy nhất một điểm trùng nhau u ∈ X . Nếu (S, f ) và (T, f )

tương thích yếu, thì S, T và f có duy nhất một điểm bất động chung .
Chứng minh. Vì u là điểm trùng nhau của S, T và f nên f u = Su = T u =
v ∈ X . Từ giả thiết các cặp (S, f ) và (T, f ) tương thích yếu, ta có Sv = Sf u =
f Su = f v và T v = T f u = f T u = f v . Từ đó suy ra Sv = T v = f v . Vì thế,
v là một điểm trùng nhau của S, T và f . Vì u tồn tại duy nhất do đó v = u.

Vậy v là điểm bất động chung duy nhất của S, T và f .
1.2.9 Định lý. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X
thỏa mãn
d(T x, T y) ≤ α[d(f x, T y) + d(f y, T x)] + γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X , trong đó α, γ ∈ [0, 1) với 2α + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và
f (X) là một không gian con đầy đủ của X . Khi đó T và f có duy nhất

một điểm trùng nhau . Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có
duy nhất một điểm bất động chung .
1.2.10 Hệ quả. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k , các ánh xạ T, f : X → X thỏa

chung .
Chứng minh. Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với α =
0.

1.2.12 Hệ quả. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X
thỏa mãn
d(T x, T y) ≤ α[d(f x, T y) + d(f y, T x)]


20

1
với mọi x, y ∈ X , trong đó 0 ≤ α < , T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một không
2
gian con đầy đủ của X . Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau

. Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm
bất động chung .
Chứng minh. Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với γ =
0.

1.2.13 Định lý. ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P là
một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ S, T, f : X → X
thỏa mãn
d(Sx, T y) ≤ αd(f x, T y) + βd(f y, Sx) + γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X , với α, β, γ là các số thực không âm α + β + γ < 1. Nếu
S(X) ∪ T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một không gian con đầy đủ của X thì
S, T và f có duy nhất một điểm trùng nhau . Hơn nữa, nếu (S, f ) và (T, f )

Tương tự, ta có
d(f x2k+2 , f x2k+3 ) = d(Sx2k+2 , T x2k+1 )
≤ αd(f x2k+2 , T x2k+1 ) + βd(f x2k+1 , Sx2k+2 )+
γd(f x2k+2 , f x2k+1 )
≤ αd(f x2k+2 , f x2k+2 ) + βd(f x2k+1 , f x2k+3 )+
γd(f x2k+2 , f x2k+1 )
≤ [β + γ]d(f x2k+1 , f x2k+2 ) + βd(f x2k+2 , f x2k+3 ).

Do đó
d(f x2k+2 , f x2k+3 ) ≤

β+γ
d(f x2k+1 , f x2k+2 ).
1−β

Bằng phương pháp quy nạp, ta thu được
α+γ
d(f x2k+1 , f x2k+2 ) ≤
d(f x2k , f x2k+1 )
1−α
≤

α+γ
1−α

β+γ
d(f x2k−1 , f x2k )
1−β

≤

1−β

β+γ
≤ ... ≤
1−β

α+γ
1−α

k+1

d(f x0 , f x1 ),


22

với mỗi k ≥ 0. Đặt λ =

α+γ
β+γ
,µ=
1−α
1−β

thì λµ < 1. Bây giờ với p < q ,

ta có
d(f x2p+1 , f x2q+1 ) ≤ d(f x2p+1 , f x2p+2 ) + d(f x2p+2 , f x2p+3 )+
d(f x2p+3 , d(f x2p+4 )) + . . . + d(f x2q , f x2q+1 )
q−1

1 − λµ
(λµ)p
d(f x2p , f x2q+1 ) ≤ (1 + λ)
d(f x0 , f x1 ),
1 − λµ
d(f x2p , f x2q ≤ (1 + λ)

(λµ)p
d(f x0 , f x1 )
1 − λµ

và
λ(λµ)p
d(f x2p+1 , f x2q ) ≤ (1 + µ)
d(f x0 , f x1 ).
1 − λµ

Do đó, với 0 < n < m tồn tại p < n < m sao cho p → ∞ khi n → ∞ và
d(f xn , f xm ) ≤ max (1 + µ)

λ(λµ)p
(λµ)p
, (1 + λ)
)
1 − λµ
1 − λµ

d(f x0 , f x1 ).

Vì P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k, ta có

nên
1
[d(v, f x2n ) + αd(v, f x2n ) + βd(f x2n−1 , v) + γd(v, f x2n−1 )]
1−β
1
≤
[(1 + α)d(v, f x2n ) + βd(f x2n−1 , v) + γd(v, f x2n−1 )].
1−β

d(f u, Su) ≤

Do đó
d(f u, Su) ≤

k
(1 + α)d(v, f x2n ) + (β + γ)d(v, f x2n−1 ) .
1−β

Nếu n → ∞, thì ta có d(f u, Su) = 0. Do đó, f u = Su. Tương tự như
trên, sử dụng bất đẳng thức
d(f u, T u) ≤ d(f u, f x2n+1 ) + d(f x2n+1 , T u).

Ta có thể chỉ ra rằng f u = T u, suy ra u là điểm trùng nhau của S, T và f ,
nghĩa là v = f u = Su = T u.
Bây giờ, ta chỉ ra rằng f, S và T tồn tại duy nhất một điểm trùng nhau.
Giả sử tồn tại điểm khác u∗ trong X sao cho v ∗ = f u∗ = Su∗ = T u∗ .
Khi đó
d(v, v ∗ ) = d(Su, T u∗ )



Ánh xạ T, f : X → X xác định theo công thức
T (x) =

1 nếu x = 2
3 nếu x = 2.

và f x = x với mọi x ∈ X . Khi đó,
5
d(T (3), T (2)) = ( , 5).
7

Với 2α + γ < 1, ta có
α[d(f (3), T (2)) + d(f (2), T (3))] + γd(f (3), f (2))
= α[d(3, T (2)) + d(2, T (3))] + γd(3, 2)
4
= γ( , 4) + α[d(3, 3) + d(2, 1)]
7
4
7α + 4γ
= α[0 + (1, 7) + γ( , )] = (
, 7α + 4γ)
7
7
4(2α + γ)
8α + 4γ

thõa mãn với α = γ = 0, β = và ta có 1 là điểm bất động chung của ba ánh
7
xạ S, T và f .