BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

CƠ KỸ THUẬT 1


Chƣơng 1

GIỚI THIỆU VỀ TĨNH HỌC

Mục đích của chƣơng
1. Kiến thức
 Giới thiệu các khái niệm cơ học kỹ thuật, tĩnh học, động lực học
 Giới thiệu các đại lượng cơ bản: chiều dài, thời gian, khối lượng, lực
 Đưa ra các định luật Newton cho chuyển động của chất điểm và định luật
hấp dẫn
 Nhắc lại các đặc điểm của véc tơ và các phép toán véc tơ
 Đưa ra hướng dẫn chung cho các bước giải bài toán tĩnh học
2. Kỹ năng
Giúp sinh viên
 Biết cách chuyển đổi đơn vị trong cùng một hệ đơn vị và giữa các hệ đơn vị
khác nhau
 Biết áp dụng phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành và quy tắc tam
giác vào bài toán cụ thể
 Biết phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và thực hiện các phép
toán véc tơ sử dụng các thành phần vuông góc.

Các dạng bài tập và các bài tập mẫu. Bài tập luyện tập
Chú ý về cách ký hiệu véc tơ
(1) Các vectơ được viết bằng chữ in đậm, ví dụ: F chỉ véctơ lực
(2) Độ lớn của vectơ A được ký hiệu là | A| hoặc đơn giản là A (nghiêng)
(3) Khi viết bằng tay, ký hiệu thông thường là A


quy tắc hình bình hành

quy tắc tam giác

Lưu ý:
Khi hai véc tơ cộng tuyến (nằm trên cùng một đường thẳng) thì véc tơ tổng
được tính theo phép cộng đại số.
Phép trừ véc tơ A-B được định nghĩa là A – B = A+ (-B)
 Xác định độ lớn và phương chiều của véc tơ tổng, ta dùng định lý hàm số sin,
định lý hàm số cos.
Định lý hàm số sin
Định lý hàm số cos

a
b
c


sin  sin  sin 
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  c 2  a 2  2ac cos 
c 2  a 2  b 2  2ab cos 

 Giải tìm các ẩn số đề bài yêu cầu
CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU
Bài tập mẫu 1.1
Trên hình.M1.1(a) biểu diễn hai véc tơ định vị có độ lớn là
A = 60m và B = 100m. (véc tơ định vị là véc tơ được vẽ
giữa hai điểm trong không gian).

Vòng treo như hình vẽ chịu tác dụng của hai lực F1, F2.
Hãy xác định véc tơ tổng R = F1 + F2. Cho F1 = 200N, F2 = 400N.
F1 600

Lời giải
 Sử dụng quy tắc hình bình hành để vẽ véc tơ tổng R = F1 +
F2.


F2

Hình.M.1.2

Xác định độ lớn R bằng định lý hàm số cos
R2  2002  4002  2.200.400cos1200

Suy ra R = 529.15 N.
 Để tính góc φ – góc tạo bởi R với phương ngang như
hình vẽ, ta tìm góc α theo định lý hàm số sin
400
R

 sin   0.65
sin  sin1200

Suy ra α = 40.890. Từ đó, φ = 900 – 40.890 = 49.110.

F

α

vẽ. Nếu   600 , xác định độ lớn của hợp lực của hai lực này và hướng của nó được
đo theo chiều kim đồng hồ từ trục nằm ngang.
1.4. Nếu hợp lực tác dụng dọc chiều dương của trục u và có độ lớn bằng 5kN, xác định
độ lớn của FB và hướng của nó  .

DẠNG 2: Phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và cộng các
véctơ sử dụng các thành phần vuông góc
Để biểu diễn một véc tơ theo các thành phần vuông góc A = Ax i + Ay j + Az k
ta có 3 cách sau
Cách 1
 Phân tích A thành hai thành phần vuông góc: một
thành phần hướng theo trục z (hoặc hướng theo trục x, y) và
một thành phần nằm trong mặt phẳng xy (hoặc nằm trong
mặt phẳng yz, xz, tương ứng)
A = Axy + Az
Axy = A.sinϕ
Az = A.cosϕ
 Bước tiếp theo là tách thành phần nằm trong mặt
phẳng xy thành hai thành phần hướng theo hai trục x, y

Ax
y

Axy = Ax + Ay
Ax = Axy.cosθ = A.sinϕ.cosθ
Ay = Axy.sinθ = A.sinϕ.sinθ
 Vậy ta có A = Ax i + Ay j + Az k
với Ax = A.sinϕ.cosθ
Ay = A.sinϕ.sinθ
Az = A.cosϕ

k
AB
AB
AB
AB

Viết F = Fλ



 x  x i  y  y j z  z k
 B A  B A  B A
 x x 2 y y 2 z z 2
 B A  B A
A
  B

F = Fλ = F 






Cộng các véc tơ sử dụng các thành phần hình chiếu vuông góc
Xét hai véctơ

A = Ax i + Ay j + Az k
và B = Bxi + Byj + Bzk. Kí hiệu C là tổng của A và B
C = Cxi + Cyj + Czk

Az = Acos300 = 12 cos300 = 10.392m
Axy = Asin300 = 12 sin300 = 6m
 Tiếp theo, ta tách Axy thành hai thành phần
Ax, Ay nằm dọc theo hai trục x, y
Ax = Axycos400 = 6cos400 = 4.596m
Ay = Axysin400 = 6sin400 = 3.857m
 Do đó, biểu diễn của véc tơ A theo các thành
phần vuông góc là
A = Ax i + Ay j + Az k = 4.60i + 3.86j +
10.39k m
b) Xác định các góc giữa véc tơ A và chiều dương của các trục tọa độ.
Các góc giữa A và các trục tọa độ được tìm từ các phương trình sau

cos  x 


cos y 


cos z 


Ax 4.596

A
12
Ay 3.857

A
12

vuông góc của F

Bài tập mẫu 1.5
Puli chỉ ra trên hình (a) chịu tác dụng của các lực dây đai P và Q. Sử dụng các thành
phần hình chiếu vuông góc, hãy xác định độ lớn và hướng của lực tổng P + Q.

Lời giải
Dựa vào hình (b), biểu diễn các véctơ P và Q theo các
thành phần hình chiếu vuông góc là

8


Lực tổng của P và Q được tìm bằng cách cộng các thành phần của chúng:

Chúng ta tính được độ lớn và hướng của R

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1.1.

Cho véc tơ F như hình vẽ có độ lớn 240N.

a) Hãy phân tích véc tơ F thành ba thành phần vuông góc theo các phương x, y, z (biểu
diễn các véc tơ thành phần trên hình vẽ).
b) Hãy biểu diễn véc tơ F thành các thành phần vuông góc bằng cách dùng véc tơ đơn
vị chỉ phương của véc tơ OA .

Hình. B.1.1

1.2. Biết độ lớn của lực Q là 100N.


1.6. Độ lớn của ba lực là F1 = 1.6kN, F2 = 1.2, F3 = 1.0kN. Hãy tìm tổng của ba véc
tơ đã cho.
1.7
Nếu R là hợp lực của lực P
và Q, tìm P và Q (hình. B1. 7).
1.8

Cho R là hợp lực của P và

Q. Hãy xác định Q và góc θ (hình.
B1. 8).
Hình. B1. 7

Hình. B1. 8
10


Chƣơng 2

CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỚI HỆ LỰC

Mục đích của chƣơng
1. Kiến thức
 Đưa ra khái niệm về sự tương đương
 Đưa ra khái niệm và phương pháp tìm hợp lực của hệ lực đồng quy
 Trình bày các khái niệm momen của lực đối với một điểm, momen của lực
đối với một trục và các phương pháp tính các đại lượng này.
 Trình bày khái niệm ngẫu lực, tính chất của ngẫu lực
 Thay đổi đường tác dụng của lực

CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU
Bài tập mẫu 2.1
Một dầm được kéo lên bằng cách sử dụng hai dây xích. Xác định độ lớn của lực FA, FB
tác dụng lên mỗi dây xích, biết rằng hợp lực nằm dọc theo trục y và có độ lớn 600N,
xét với θ =450.

Lời giải

Biểu diễn các lực trong hệ tọa độ Decartes

Khi đó hợp lực được biểu diễn như sau
R  FA  FB   FAcos600  FB cos450  i   FAcos300  FB sin 450  j

Theo giả thiết
R  600 j

Suy ra:

Giải hệ trên ta tìm được:
FA = 439,23 (N)
FB = 310,5829 (N)
Bài tập mẫu 2.2
Ba dây được buộc vào cột trụ tại A như hình (a). Các lực trong dây là F1 = 260N, F2 =
75N, và F3 = 60N. Hãy xác định
a) độ lớn của lực R tương đương với ba lực trên
b) các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của
R và mặt phẳng yz

12



  60i  240 j  80k    45i  60k    60 j
  105i  300 j  140k

Độ lớn của R là
R

 105   300   140 
2

2

2

 347.3N

b) Xác định các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz
Gọi giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz là D

Véc tơ đơn vị chỉ phương của R là

Tọa độ điểm D có thể được xác định từ các tỷ số

Từ

ta nhận được

13



14


2.5. Độ lớn của ba lực tác dụng lên tấm chữ nhật là T1= 100kN, T2 = 80kN, và T3 =
50kN. Hãy thay thế các lực này bằng một lực R tương
đương. Và tìm tọa độ của giao điểm của đường thẳng
chứa R và tấm chữ nhật.
ĐS: R = -24,2i – 24,5j + 205,1k (kN),
x = 0,708(m),
y = 0,716(m)

2.6. Hãy xác định độ lớn của ba lực T1 ,T2 ,T3 tác dụng
lên

tấm

để

chúng

tương

đương

với

một

Hình. B2.5 và B2.6






Xác định các thành phần hình chiếu của F trên các trục tọa độ (biểu diễn F theo

các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk )


Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên

Cách 2. Phương pháp hình học

MO



- có điểm đặt tại O;
- có phương vuông góc với mặt phẳng chứa O và F;
- có chiều sao cho nhìn ngọn của MO xuống gốc O thì thấy F
q.x.q O theo chiều ngược chiều KĐH; (quy tắc bàn tay phải)
- có độ lớn MO = F.d

Trong đó d là khoảng cách hạ vuông góc từ O đến đường tác dụng của F

Cách 3. Tính qua momen của lực đối với một trục

Trong đó Mx, My, Mz tương ứng là momen của lực đối với các trục Ox, Oy, Oz.
CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU
Bài tập mẫu 2.3.

Hình. B2.9

17


2.10 Cho lực F =80N tác động lên điểm C của một ống nước như trên hình. B2.10.
Hãy xác định momen của lực lấy đối với điểm A và điểm B. Biểu diễn kết quả theo
vecto Cartesian.
2.11. Hãy xác định momen của lực Q đối với điểm O và điểm C. Biết độ lớn của lực Q
là 100N.

Hình. B2.11
Hình. B2.10

2.12. Một cái chìa vặn đai ốc được dùng để vặn chặt một đai ốc trên bánh xe. Hãy xác
định momen của một lực 600N đối với điểm O.

Hình. B2.12

DẠNG 3: Momen của lực đối với một trục
Định nghĩa: Momen của lực F đối với trục AB bằng thành phần hình chiếu của MO
trên trục AB, với O là điểm bất kỳ trên trục AB.

Suy ra: Lực cắt trục hoặc song song với trục thì momen
của lực đối với trục bằng không.
Dưới đây là hai phương pháp xác định momen của lực
đối với một trục

18



 Xác định véc tơ r = xi + yj + zk (là véc tơ định vị được vẽ từ điểm O bất kỳ trên
trục AB đến điểm bất kỳ trên đường tác dụng của F)
 Biểu diễn F theo các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk



Xác định véc tơ đơn vị chỉ phương của trục AB: λ = λxi + λyj + λzk
Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên.

Phƣơng pháp hình học (phƣơng pháp vô hƣớng)

M AB   F2 .d
 Phân tích F thành hai thành phần vuông góc:
một thành phần song song với trục AB (F1) và
một thành phần vuông góc với trục AB (F2)


Tính độ lớn của F2

 Xác định mặt phẳng chứa F2 và vuông góc
với trục AB, đồng thời xác định giao điểm O của
mặt phẳng này với trục AB
 Tìm khoảng cách d từ giao điểm O đến F2


M AB   F2 .d , lấy dấu “+” nếu nhìn từ chiều dương của trục (nhìn từ B) xuống O

thấy F2 quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (như hình vẽ trên) và lấy
dấu “ - “ trong trường hợp ngược lại.

thành phần đối với trục đó.
Momen với trục x ta biết rằng các thành phần 45kN và 60kN không gây ra momen đối
với trục x ( một dạng là song song, một là cắt trục). Khoảng cách từ thành phần 180kN
tới trục x là 4m. Do đó momen của thành phần lực này đối với trục x là (180)(4) =
720kN.m cùng chiều kim đồng hồ. Nhìn từ ngoài vào mặt giấy (từ chiều dương của
trục x vào mặt phẳng Oyz) thấy thành phần 180kN quay quanh O theo chiều cùng
chiều KĐH, điều này có nghĩa là Mx âm, do vậy Mx = -720kN.m
20


Momen với trục y Để tính toán momen với trục y, chúng ta có hình vẽ sau.

Chúng ta chú ý rằng chỉ lực 45kN có momen với trục y, bởi thành phần 180kN song
song với trục y và thành phần 60kN cắt trục y. Do cánh tay đòn của thành phần 45kN
là 4m, momen của lực F với trục y là (45)(4) = 180kN.m ngược chiều kim đồng hồ.
Do đó ta có M y  180kN.m
Dấu của momen là dấu dương do nhìn từ ngoài vào mặt giấy (từ chiều dương của trục
y vào mặt phẳng Oxz) thấy thành phần 45kN quay quanh O theo chiều ngược chiều
KĐH.
Momen với trục z
Momen của lực F với trục z bằng không vì lực F cắt trục z.
Mz = 0
b) Tính momen của lực F với điểm O.
Nhận thấy rằng véctơ r  OA  4k
i

j

k




2.17. Cho lực F tác dụng như hình bên. Hãy xác định momen của lưc F đối với trục y.
Giải bằng cách áp dụng vecto và phương pháp hình học.

2.18. Momen của lực F đối với trục BC bằng 150N.m. Hãy xác định độ lớn của lực F.

23


Chƣơng 3

CÁC KẾT QUẢ TỔNG HỢP CÁC HỆ LỰC

Mục đích của chƣơng
1. Kiến thức
 Trình bày cách đưa ra một lực và một ngẫu lực tương đương với một hệ lực
cho trước và đưa ra các kết quả tổng hợp của một số hệ lực.
 Chỉ ra cách xác định hợp lực của tải trọng phân bố vuông góc
2. Kỹ năng
Giúp sinh viên
 Biết cách thu gọn hệ lực thành một lực và một ngẫu lực và áp dụng cho các
hệ lực đặc biệt (hệ lực song song, hệ lực phẳng,…)
 Biết cách tìm kết quả tổng hợp hệ lực.

 Biết xác định hợp lực của tải trọng phân bố phẳng
Các dạng bài tập và các bài tập mẫu. Bài tập luyện tập
DẠNG 1: Thu gọn một hệ lực thành một lực và một ngẫu lực
hoặc tìm kết quả tổng hợp hệ lực
Một hệ lực bao gồm các lực F1 , F2 , F3 ,.... . Khi thu gọn về tâm O, chúng ta được một


R x   Fx

phẳng

Hệ

R y   Fy

lực

song song
phẳng

Hệ

Nếu

 F  0 thì kết quả tổng hợp là một lực, vị trí của nó xác định bởi

Nếu

 F  0 thì kết quả tổng hợp là một ngẫu lực.

lực
R x   Fx

đồng quy

R y   Fy

Nếu

 F  0 thì kết quả tổng hợp là một ngẫu lực
25