BỢ
GIÁO DỤC
DỤC VÀ
VÀ ĐÀO
ĐÀO TẠO
TẠO
Bộ GIÁO
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
PHẠM
TP.HỒ
CHÍ
MINH
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
sưSư
PHẠM
TP.HỒ
CHÍ
MINH

~
X
Nguyên~ Ngọc An X
Nguyên Ngọc An

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT
CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT

Văn Đông và TS. Lê Thị Phương Ngọc đã cung cấp tài liệu, tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Giảng Viên thuộc hai trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn trong suốt quá
trình học tập. Xin được chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu và các Chuyên
Viên thuộc Phòng Khoa Học Công Nghệ-Sau Đại Học trường Đại Học Sư
Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành
khoá học.
Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn các bạn học viên cùng lớp đã gắn bó,
giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ.

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009
Tác giả,
Nguyễn Ngọc Ân


MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ..................................................................................................1
Chương 1 : GIỚI THIỆU BÀI TOÁN.......................................................3
Chương 2 : sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI
TOÁN BA DIÊM BIÊN..................................................................5
2.1. Giới thiệu bài toán..................................................................................5
2.2. Kiến thức bổ trợ......................................................................................5
2.3.Sự tồn tại nghiệm.......................................................................................8
2.4.Sự duy nhất nghiệm.................................................................................14

ra điều kiện duy nhất nghiệm. Sau đó, áp dụng định lý điểm bất động của
Guo- Krasnoselskii và thuật toán lặp đon để chứng minh sự tồn tại nghiệm
dưong và nhiều nghiệm dương. Cuối cùng, luận văn chỉ ra trường hợp tồn tại
duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên.
Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết
luận. Cụ thể như sau :
Phần mở đầu
Chương 1 : Giới thiệu bài toán
Chương 2 : Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba
điểm biên


2

Chương 3 : Trình bày thêm sự tồn tại nghiệm dương và nêu lên trường
hợp có duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên
Phần kết luận


3

Chương 1
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Trong luận văn này, ở phần đầu chúng tôi xét sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :
u'" +j(ur).u" = g(x,u,u',u,r) + e(x)
u'(ơ) = uỤ) = u(rj) = 0, 0
K
í
K
ị
Suy ra • |«2
0
Hay :

n

0

(x)dx
a{x) V

I + d(x) I V

(ii) Tồn tại a e


Vì u'(0) = u\\) = 0, từ Bổ đề 2.2.3, thay u, u' bởi u\ u" ta có :
||u’||* < (\hỉ) IIK"IIỉ
Từ Bổ đề 2.2.5, áp dụng bất đẳng thức Holder ta suy ra :
II u’ II00 < — \\u"\\ 2
Do u(rj) = 0 và Bổ đề 2.2.4, chúng ta có :
IIMII ỉ < (4/ ĨI2) Mị II K' II2 < (4/ n2) Mị \u"ịl
Nhân (2.5) với u' và lấy tích phân từ 0 đến 1, ta có :
III
I
j u'.u"'dx+ Ảị j[u').u'.u" dx =ẢỊ g(x,u,u',u").u'dx + Ả j e(x) .u'dx
0000
1
«'(1)
Vì u'(0) = u'(\) = 0, [ ý{ur) u' u"dx= í f(u')u'd(u')= 0
0
w'(0)
Hon nữa, từ tích phân tùng phần ta có :
j u' u'" dx = - J [u"(x)]2dx
00
Do đó, từ điều kiện (i) ta có :
-j [u"{x)Ỹdx > Ả j a(x)u' u"dx +Ả j b(x)[u'(x)fdx +Ả j c(x) I u u'\dx +
0000
I
I
+Ầị d(x) I u'\dx + Ả j e(x) u'dx
0
0
Do tích phân tùng phần :
I
I
0, suy ra :
( 2 7T3 - 71 ( a0 + 2 bQ) - 4 CQ Mn ) II u" II2 < 7T3 ( II d II J + II
e II ,)
Do giả thiết 2 7T3 - n ( a0 + 2 bữ) - 4 Co Mv >0, nên :
2JT -Jĩ{ao + 2b0)-4c0M
Từ đó ta có :
II u' II < p và II u II < p
Bây giờ, ta đặt: Mp = max I f{y) I, ve [ - p ,p ], do (2.1) ta có :
\u"'\


vỉ

[
0;I (2.6) 1]
J^O,0,0,w)
liên
tục

điều

liên
h.k.n, hàm
theo

u,v

và w . Giả sử tồn tại các số thực a0, bữ, Co > 0 với aữ 7T2 + bo 7T + 2 Co Mn


14

e [0;1] h.k.n và mọi u,v,w e . Thêm vào đó, giả sử tồn tại một hàm
liên tục :
« : [0,1] X

và p(x) eL^O,!] sao cho :
\g(x,u,v,w)\ < Ia (x,u,v)\.\w\2
vói mọi +pự)
u,v,w e và X

a07T2 + b07T + 2 Co Mn < TỈ được thay bởi:
2 TỈ aữ+ 4 TI bQ+ 8 c0Mn
a{x) (Wỉ- w2).( V1-V2) +
+ồ(x) (VI-V2)2+ C(X) I U\- u2 I . I Viv2 I
Khi đó, với mọi e(x) eL'[0;l], bài toán (2.8), (2.9) có nghiệm duy nhất
nếu :

(aQ + 2b0) 71 + 4 Co Mn

=0

Đặt: y = Wi-W2, từ điều kiện (i), ta có :
f
2r
: -J [(ui~u2yf] dx = 1 [g{x,ux,u[,u'^)~ g(x,u2,u2,u2)]
(uỉ~u2y dx

2


16

-J \y"Ỷ dx > j a{x)y"y'dx +1 b(x) \y'Ỷdx + j c(x) \yị . I y’\ dx
0000
Mà : j a(x) y"y'dx = tf(x). [y']2| ò — J [a'(x)y+ a(x).y'] y
}[y"]2^+^y^|b"]2^
oo
0*0
an
;r+ b„ 1

Suy ra : [2 7T3 -(ứ0 +2 &o) 7T - 4 Co Mn ] J ly']2 dx 0)
Do Bổ đề 2.2.3 ta được : ||y||2 - 0
Từ đây, vì: II^IL < IML £ 0
nên :
Do đó :

y(x) = 0

Uị(x) = u2(x), X e [0; 1 ] h.k.n

Nhưng : /^(0;1) c cf[0;l] nên ul(x) = u2(x), Vxe[0;l]
Định lý được chứng minh . □


17

2.4.2. Định lý 2.4.2
Cho g: [0,1] X 3 — t h ỏ a điều kiện Carathéodory và A ỉà một hằng
số . Giả sử tồn tại các hàm a(x), b(x), c
C[0;1]

và

^\\y"
Ị

Suy ra :

[ 7T3 - Tt2 a0 -7T b0 - 2Co Mv ]. \\y"f2 - 0

2
2

Do đó : II y"\\2
(2.17)

Nhân (2.16) với (íU\- u2y và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :
Ị.
-U2Ỵ{UX-u2)'dx = (ttj-u2y.(ux-u2y\\-ị [(Uỉ-U2yfdx
00
= -} [{ux-u2)"Ỷdx
0
1
1
[(UỊ-U2y']2 dx= ị [g(x,ux,u[,uf) - g(x,u2,u2,u"2) ](Uị-u2ydx
0
0
Đặt: y = U\-U2, từ giả thiết, ta suy ra :
-j \y"Ỹ dx > -a0ị \y"\ .| y'\dx - z>0 j Ịỵ'fdx -C0Ị [y| . I /I dx
0000
hay : J \y”Ỹ dx