l-as —
BộGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠO
Bộ
,
*
*
Isagasl TRƯỜNG
ĐẠI HỌC
PHẠM
TP. HỒTP.
CHÍ
MINH
TRƯỜNG
ĐẠIsưHỌC
sư PHẠM
HÒ
CHÍ MINH

^
ĩ
Nguyên Văn Y
Nguyên Văn Y

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:

Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và
nghiên cứu.
Và cuối cùng, lòi thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình
tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành
luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 - 2008.
Nguyễn Văn Ý


MỤC LỤC
Trang

phụ

bìa

Lời cảm ơn
Mục lục
MỎ ĐÀU............................................................................................................1
Chương 1: CÁC CỒNG cụ CHUẨN BỊ..........................................................5
1.1. Các không gian hàm thông dụng.......................................................5
1.2. Không gian hàm ư(0,T;X)9 1 < p < 00...........................................6
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.....................................7
1.4. Đạo hàm trong ư (0,T;X)................................................................8
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions......................................................8
1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong u (0......................................................9
1.7. Một số kết quả khác...........................................................................9
Chương 2: sụ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM...................................10
2.1. Giới thiệu........................................................................................10

ua - — ơ(u,u ) + Ẫul = F(x,t), 0 0 bé.
Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong

u (0, t) = hu(0, t) + g(t), u{ 1, t) = 0,


N
“u-ấ
*=0

+

N^
k=0
43

h > 0 là hằng số cho trước và trong [15] vói điều kiện tổng quát hon
ux(0,t) = g(t) + hu(0,t)- ịk(t - s)u(0,s)ds, u(ì,t) = 0.
Luận văn được trình bày theo các0chương mục sau:
Phần mở
đầu,
tổng
toán khảo
sát toán
trong(0.3),
luận văn,
qua
Trong
[16],
Long
vàquan
Diễmvềđãbài
nghiên

0 vàquả
cácvề
số các phép nhúng
nhắc
lại sốmột
số không
một+ số
hạng phi tuyến
vế phảigiữa
có dạng
compact
các không gian hàm.
f = f{x,t,u,ux,uí) +>sfị(x,t,u,ux,ul).
Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất
trường
hợp(0.1)/ E (0.4).
C2([0,l]x[0,co)xM3), f x e C'([0,l]x[0,oo)xR3)
nghiệmTrong
yếu của
bài toán
3, chúng
trung
nghiên
cứu nghiệm
về sự tồn
tạiuvàđến
hộicấp
tụ của
các tác>giảChương
đã thu được

của phương
bài toán của
(0.1)bài- (0.4)
sự -khai
triển
tiệm minh
cận theo
tham
Ả đến
cấp
địa
toán và
(0.1)
(0.4).
Chứng
được
nhờsốvào
phương
N +1.Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ
pháp
Chương
5, Tiếp
minhđến
họachúng
cho khai
triển sát
tiệmsựcận
Ă ởdãy
chương
4


Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau Q = (0,1), Qj = n X (0,T), T > 0 và bỏ
qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: Cm(Q), ư (ũ),
ỊVm,p(Q). Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: ư = Ư(Q), Hm=H'n(Q)
= wm-2(íì), W"’p = fVm’p(Ũ). ( có thể xem trong [1, 3]).
Ta định nghĩa IỈ = IỈ (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng
1
(1.1.1) (u,v)= ịu(x)v(x)dx, u,veL2.
0
Kí hiệu II. II để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là
1
_____ í 1
^2
(1.1.2) HI = y ] { u ’ u ) = J|w(x)|2í/x , ueL2.
vo
)
Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1
Hl={veL2:v'eL2}.
Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
(u>v)Hx =(u,v) + (u',v').
Kí hiệu I. II ! để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là
(1.1.5)

\\u\\HÌ = Ậ U , U ) H X Ì U e H\

Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian L2 và Hx sau
0-1-6)

Bổ đề 1.1. Phép nhúng Hx C°(Q) là compact và
llvll^^Vãllvll^.VvE//'.

Một cách đặc trưng khác để xác định H\ là
(1.1.9) H^ịveH1: v(0) = v(l) = o}.

Bổ đề 1.3. Đồng nhất ứ với (L2 y (đối ngẫu của L2). Khỉ đó ta có
H'() L2 = (L2)'

(HQY = //“' với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.

Chú thích 1.2. Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng (v) trong
j} để chỉ cặp tích đối ngẫu (v)H-, H\ giữa H\ và H~l. Chuẩn trong L2 được
ký hiệu bởi II.||. Ta cũng ký hiệu II • II để chỉ chuẩn trong không gian Banach
X và gọi X' là không gian đối ngẫu của X.
1.2. Không gian hàm ư (0, T; X), 1 < p < 00.
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là II -| . Ta kí hiệu
ư(ti,T\X),

\
L\0,T;X), r°(0 ,T;X') không phản xạ.
Chú thích 1.3. Nếu x = ư(ũ) thì ư(0,T\X) = Lp(Clx(ồ,T)).
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến
tính liên tục từ D((0,T)) vào X đuợc gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có
giá trị trong X. Tập họp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là
D'((0,T;X)) = L(D((0,T));X) = ịu: D((0,T))^X: u tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.4. Ta kí hiệu D(0,T) thay cho ^((O,?7)) hoặc C”((0,r))
để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0,r).
Đinh nghĩa 1.2. Cho u ED'(0,T',X). Ta đinh nghĩa đao hàm — theo


8

Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.4.

Đạo hàm trong Ư(
Trong luận văn ta kí hiệu u(t), ut(t) = ú(t), utt(it) = ủ(t), ux(t) =

,x
J.Ẵ 1X 1 , ,
đê lân lượt chỉ u(x,t), —(x,t),

,

. du , x Õ2U . .du. . õ2u .
.
—(x,t), —j(x,t).


10

Chương 2: sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM.
2.1.

Giói thiệu.

Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau:
Uu ~(ux +
— eI"(0,oo;Z.2), thỏa F(0,í) = F(l,f) = 0, V/>0,
õx


11

/GC2(M) và/'(0) = 0.
Bài toán (2.1.1) được viết lại

u(x,0)

(2.2.1)

ủ-u +Ăủ = f(x,t,u,ux), 0
Tiếp theo, ta xây dựng dãy {um} trong WX(M,T) bằng qui nạp và
chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) - (2.2.3) với sự lựa
chọn M > 0, T > 0 thích hợp.
Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau:
Chọn số hạng đầu U Q eỊVx(M,T). Giả sử rằng
(2.2.8) um_lGWĩ(M,T).
Ta liên kết bài toán (2.2.1) - (2.2.3) với bài toán biến phân sau:
Tìm um eWx(M,T) sao cho
(2.2.9) (ũm{t),v) + a{um{t),v) + Ằ{ủmự),v) = {Fm(i),v) VveHị,
(2.2.10)

um(0) = ũ0, úm(0) = ũv


12

(2.2.11)

Fm(x,t)

=

Sự tồnf(x:,t,um_l(x,t)yum_Ị(x,
tại của um được cho bởi định lí sau
Định lí 2.1. Giả sử

là đủng. Khỉ đó, tồn tại các

hằng so


= ựFmự),wt),
Do đó ta suy ra rằng
/?(*)
c (?) = < +
^
+1
00

t r
(1 - ẽM) - /i; J rfr J
0 0

đrị

(eH‘~r)Fm

0),

(5)*
Wj)ds.

Bổ đề 2.1. Giả sử rằng um_J thỏa (2.2.8). Khỉ đó hệ (2.2.13) cớ nghiệm
duy nhất u%\t) trên một khoảng 0

Ta chỉ cần chứng minh: tồn tại một số tự nhiên P Q sao cho toán tử
ưPo : X = C°([0,r];R*) —» X là co, tức là tồn tại hằng số p e [0,1) sao cho
(2.2.21)
\ưPữc-UPữd\úp\\c-d\\Y Vc,deX,
II
lừ r 11 "x
ở đây, ta sử dụng chuẩn trong X như sau
k
(2.2.22)
||c|| = sup ỵicM, ceX.


14

(2.2.23) ị\ạj’’c)l(t)-ạjpd)l{tỊ