BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN NGỌC DIỄM XẤP XỈ TUYẾN TÍNH CHO MỘT VÀI

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 1.01.01
Người Nhận Xét 2 :

PTS Nguyễn Bích Huy
Khoa Toán
Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
Người Thực Hiện :

Trần Ngọc Diễm
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh LUẬN VĂN ĐƯC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long, lời cảm ơn
sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là

2. Vài bổ đề quan trọng. 6
3. Chương 2. Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với
điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. 8
1. Mở đầu. 8
2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên
hỗn hợp thuần nhất. 9
3. Khai triển tiệm cận của lời giải. 18
4. Chú ý về bài toán với điều kiện biên hỗn hợp
không thuần nhất. 23
5. Xét một trường hợp cụ thể. 25
4. Chương 3. Phương trình sóng phi tuyến với toán tử Kirchoff-Carrier. 30
1. Mở đầu. 30
2. Sự tồn tại và duy nhất lời giải. 30
5. Kết luận. 39
6. Tài liệu tham khảo. 40
1
PHẦN MỞ ĐẦU


,,
010
, (0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
()
(
)
(
)
() () ()
u
t
h
u
o
t
g
t
uthutgt
x
x
0
11
00
11
,,,
,,,
−=
+=
(0.2)

là các hằng số không âm cho trước với
h
0
+
h
1
> 0;
g
o
,
g
1
∈ C
3
([0,∞)) ;
[][
)
()
fC R
∈×∞×
13
01 0
,,
là các hàm cho trước.
Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của
f
và các điều kiện biên khác
nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả.Cụ thể là một số trường hợp sau:
Trong [8]. Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất lời giải toàn
cục và tính ổn đònh của lời giải này cho phương trình

trong đó
ε là tham số bé và f tuần hoàn theo thời gian.
Trong [2] Caughey và Ellison đã gộp lại các trường hợp trước đó để bàn về sự
tồn tại,duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các lời giải cổ điển cho một lớp các hệ động
lực liên tục phi tuyến.
Trong [4], Alain Phạm Ngọc Đònh đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất của
một lời giải yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần
nhất
() ()
u
t
u
t
010
,,
=
=
, (0.6) 2
với số hạng phi tuyến trong (0.1) có dạng
()
f
f
t
=ε
,
u
. (0.7)

)
u
t
h
u
t
g
t
u
t
x
00 10
,, ,
=
+
=
,, (0.10)
trong đó
h>
0 là hằng số cho trước ; trong [14] với điều kiện biên được xét tổng quát
hơn
() () () ( )() ()
u t g t hu t k t s u s ds u t
x
t
00 010
0
,, ,,
=+ − − =
∫

)
fC R
1
13
01 0∈×∞×
,,
thì một khai triển
tiệm cận đến cấp 2 theo ε của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu được với
vế phải của (0.1) có dạng
()
(
)
(
)
f
x
t
u
u
u
f
x
t
u
u
u
f
x
t
u

u
t
u
t
010
,,
=
=
, (0.15)
3
và điều kiện đầu
()
u
x
,
0 =
() ( )
(
)
~
,
~
u
x
u
x
u

B
()
∇
u
2
phụ thuộc vào tích phân
()
∇=
∫
u
u
y
yt d
y
2
2
∂
∂
,
Ω
. (0.17)
Phương trình (0.14) liên quan đến một phương trình dao động phi tuyến sau
đây của một sợi dây đàn hồi [3] :
()
ρ
∂
∂
hu P
Eh
L

0
là lực căng ban đầu của dây.
Khi f= 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho (0.14) đã được nghiên cứu bởi
nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [7], Pohozaev
[18],Yamada [21] và các tác giả xuất hiện trong tài liệu tham khảo ở đó.
Trong [17] Medeiros đã nghiên cứu bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với
()
fu bu
=
2
,trong đó b là hăøng số dương cho trước,
Ω
là một tập mở bò chận của
R
3
.
Trong [9] Hosoya và Yamada đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với
()
f
u
=δ
α
uu
, trong đó δ
α
>≥00
,
là các hằng số cho trước .
Trong [16] Nguyễn Thành Long và các đồng tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại
và duy nhất lời giải cho phương trình sau

, trong trường hợp của chúng tôi cụ thể ra thì
điều kiện đó là:

() ()
(
)
fu fv Lu v u v uv H
L
HH H
−≤ + −∀∈
2
0
1
0
1
0
1
0
1
,
,
, (0.20)
trong đó
[
)
()
LC
∈+∞0
,
là một hàm không giảm. Ở trường hợp của chúng tôi thì

[]
[
)
()
[
)
()
fC R u H u H gg C
∈×∞× ∈∈ ∈∞
13
0
2
1
1
01
3
01 0 0
,,
~
~
,,
, , ,
,các
hằng số không âm
h
h
01
, thỏa
h
h

u
u
f
x
t
u
u
u
xt xt xt
,, , , ,, , , ,, , ,
=
+
01
ε
,
trong đó
[]
[
)
()
[][
)
()
fC R i
fC R
i
0
3
1
13

fCRBC B
∈∈∞≥
11
00 , ,
, 5
và một số điều kiện phụ sau đó.
Kết quả đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trước đó và sẽ được công bố
trong [6].
_ Chương cuối cùng là phần kết luận về các kết quả thu lượm được trong luận
văn.
Sau cùng là phần tài liệu tham khảo.


ΩΩ
ΩΩΩ
==×>
== =
01 0 0
00
,,
.
, , ,
, ,
Q
T
T
LL HH HH
T
pp mm mm

Các ký hiệu
.,.
và
.
dùng để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vô
hướng tương ứng trên
L
2
. Ký hiệu
.,.
cũng dùng để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa
phiếm hàm tuyến tính liên tục và một phần tử trong không gian hàm nào đó nằm
trong

∇
u
,
u
u
xx
=Δ thay cho
() () () () ()
uxt
u
t
xt
u
t
xt
u
x
xt
u
x
xt,, ,, ,, ,, ,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2

1
,;
=
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
<∞
, 1
≤
<
∞
p

và

()
(
)
f
es
s
f
t
LTX
tT
X

B
1
phản xạ, (1.1)
B
0 ⊂
B
với phép nhúng compact. (1.2)

Ta đònh nghóa :

() ()
WvL TBv
dv
dt
LTB
pp
=∈
′
=∈
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
01
00
01
,; ,;
:

1
1
00
,; ,;

Khi đó
W
là không gian Banach. Hiển nhiên
(
)
WL TB
p
⊂
0
0
,;
.
Ta có kết quả sau :

Bổ đề 1.1
(Bổ đề về tính compact của J.L Lions, xem [11], trang 57)
Dưới giả thiết (1.1), (1.2) và nếu
1
<
<
∞
p
i
,
i

q
thỏa
(i)
()
g
C
m
m
L
q
O
≤∀
,
,
(ii)
g
g
m
→ hầu hết trong O.
Khi đó
g
g
m
→ trong
()
L
q
O
yếu.



Chương 2

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HP

1. Mở đầu

Trong chương 2, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau đây

()
u
u
f
x
t
u
u
u
x
t
T
tt xx x t
−=
∈
<
<
,, , ,
,,
Ω

=
+
=
, , 0
<
<
t
T
, (2.2)

() ()
(
)
(
)
u
x
u
x
u
x
u
x
t
,
~
,
~
00
01

khi số hạng phi tuyến
f

trong (2.1) được thay bởi

()
(
)
f
x
t
u
u
u
g
x
t
u
u
u
xt xt
,, , , ,,, ,
+
ε
.
Ta thành lập các giả thiết sau

()
()
()

∈∈
∈×∞×
∈∞
~~
,,
,,.

Xét hàm số phụ

() ()
()
()
[]
ϕ
xt
hh
gte gte
hx
hx
,
=
+
−
−
−
1
01
1
1
0

, 0
<
<
t
T
. (2.5)
Khi đó, với phép đổi biến

() ()
(
)
w
x
t
u
x
t
x
t
x
t
T
,,,
=
−
∈
<
<
ϕ
,,

⎩
,
0
<
<
t
T
, (2.8)
và điều kiện đầu

() ()
(
)
(
)
() () () ()
w
x
u
x
x
w
x
wx ux x wx
x
tt
,
~
,
~

~
,, , , ,, , , , ,
~~
,
~~
,
f xtww w f xtw w w xt xt
wx ux x wx ux x
xt x xt t tt xx
t
=+++−+
=− =−
⎧
⎨
⎩
ϕϕ ϕϕ ϕ
ϕϕ
,
, ,
00 11
00
(2.10)
thỏa

[
)
()
~
,
~

H
1
2
2
0
1
1
2
0=+
′
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∫
. (2.13)
Trong chương này, ta đònh nghóa dạng song tuyến tính trên
H
1
như sau :

( ) () () ()() ()()
auv u xv xdx hu v hu v uv H,'' ,
=++∀∈
∫
0
1
01

1
, dạng song tuyến tính đối xứng đònh nghóa bởi (2.14)
liên tục, cưỡng bức trên
H
H
11
×
, nghóa là: 10

() ( )
() ( )
iauv Cu v uvH
ii a u u C u u H
HH
H
, ,
,
,,
,.
≤∀∈
≥∀∈
1
1
0
2
1
11

{
}
w
j
của
L
2
gồm các vector riêng
w
j

ứng với trò riêng
λ
j
sao cho

0
12
<≤≤ ≤
≤
=
∞
→∞
λλ
λ
λ
, ,LL
j
j
j

j
thỏa mãn bài toán giá trò biên sau:

−=Δ
ww
jjj
λ ,
trong
Ω
, (2.17)

()
(
)
(
)
(
)
(
)
′
−=
′
+=∈
∞
whwwhw wC
jjjj j
00110
01
, Ω

wvutx
′
+
′
+
′
+
′
+
′
==
(2.20)
sup
trong (2.19), (2.20) được lấy trên miền 010
≤
≤
≤
≤
x
t
T
,, ,,
uvw
M
≤ 2 .
()
()
(
)
(

Tiếp theo, ta xây dựng dãy
{
}
u
m
trong
(
)
W
M
T
,
bằng qui nạp. Dãy
{}
u
m
sẽ
được chứng minh hội tụ về lời giải của bài toán (2.1)-(2.3) trong
()
W
M
T
,
(với sự
chọn lựa
M
và
T
thích hợp).
Chọn số hạng ban đầu

∈
()
W
M
T
,
thỏa

()
<>+
=
<>
&&
,,,
u
v
a
u
v
F
v
mmm
, với mọi
v
∈
H
1
,

(2.23)

f
x
t
u
x
t
u
x
t
u
x
t
mmmm
,,,,,,,
&
,
=
∇
−−−111
. (2.25)
Sự tồn tại của
u
m
cho bởi đònh lý dưới đây.
Đònh lý 2.1
([15]) Giả sử
()()

:Chứng minh bao gồm ba bước.
Bước 1
: Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin để xây dựng lời giải xấp xỉ
(
)
(
)
ut
m
k

của(2.23)
-(2.25).
Gọi
{}
w
j
là cơ sở trực chuẩn của
H
1
như trong bổ đề 2.3
(
)
ww
jj j
=λ.
Đặt

()
()

(
)
(
)
(
)
&&
,,,utw autw Ftw jk
m
k
jm
k
jmj
+= ≤≤, 1 , (2.27)

(
)
()
(
)
(
)
uuuu
m
k
km
k
k
00
01

k
j
j
k
1
1
1
1
=→
=
∑
β trong . (2.30)
Từ giả thiết (2.22), tồn tại
(
)
T
m
k
> 0 sao cho bài toán (2.27), (2.28) có duy nhất
lời giải
()
()
ut
m
k
trên
(
)
[]
0

&
ut
m
k
ta có

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
2
1
2
2
d
dt
ut
d
dt
au t u t F t u t
m
k
m

0
τττ
,
&
, (2.31)
trong đó

()
()
()
()
()
()
()
()
(
)
pt ut autut
m
k
m
k
m
k
m
k
=+
2
,
.

jm j
ΔΔΔ+=,
hay

(
)
()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
au t w u t w aF t w
m
k
jm
k
jmj
&&
,, ,
+=ΔΔ .
Thay
w
j
bởi
()

k
m
k
m
k
mm
k
t
=+=+
∫
&
,
&
,
&
Δ
2
0
0 τττ
. (2.32)
* Đạo hàm (2.27) theo t, sau đó thay
w
j
bởi
(
)
(
)
&&
ut

k
mm
k
&& &
,
&
,
&&
+=
′
.
Tích phân hai vế theo t

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
rt ut autut r F u d
m
k
m

)
()
(
)
()
(
)
()
()
() ()
()
()
()
()
()
()
st ptqtrt s
Fu d aFu d Fu d
m
k
m
k
m
k
m
k
m
k
mm
k

13

()
()
()
() ()
()
222
00
0
0
Fu d FudKpd
mm
k
t
mm
k
t
m
k
t
τττ τ ττ
,
&&
∫∫∫
≤≤
. (2.35)
+
Tích phân


. (2.36)
Từ (2.19), (2.20) và (2.22) ta tìm được

(
)
()
()
()()
()
()
,
,

0
1
FFFt
FtK
Fffufufudx
fff f u u udx
Ku u
KM
m
H
mm
m
m x um um um
xu uu m m m

22
0
0
1
41
412
=∇ +
≤
∇=
′
+
′
∇+
′
+
′
∇
≤
′
+
′
+
′
+
′
+∇ + +∇
≤+ +
≤+
−∇ − −
∇−−−

m
H
1
2
1
22
0
2
412≤++. (2.37)
Từ (2.32), (2.36), (2.37) ta có

()
()
(
)
()
()
2
2
212
0
1
0
1
2
0
0
aF u d
C
C

m
t
m
k
,
&& &&
ττ . (2.39)
Từ (2.20) và (2.22) ta thu được

()
()
()
′
=
′
+
′
+
′
∇+
′
≤+ +∇+
≤+
−∇ − −
−−−
∫
F f fu f u fu dx
Ku u u
KM
m t um u m um

()
2413
0
1
2
0
′
≤+
∫∫
Fu d K M r d
mm
k
t
m
k
t
,
&&
τττ
. (2.40)
Từ (2.34), (2.35), (2.38), (2.40) ta thu được

()
()
()
()
()
()
st s Ks d
m

. (2.42)
Tiếp theo ta đánh giá số hạng
(
)
(
)
s
m
k
0
. Ta có

()
()
()
() () ()
su auuuuauu
m
k
m
k
kk k k k k
002
2
11 1
2
0
2
00
=+ +++

()
&&
~
,
&&
,,
~
,
~
,
~
,
&&
uuufxuuuu
m
k
km
k
m
k
000 0
2
0001
−=∇Δ .

Từ đây suy ra (
)

sM
m
k
04
2
≤ , với mọi
k
và
m
. (2.45)
Ta lưu ý, với giả thiết
(
)
H
3
, suy ra từ (2.19), (2.20) rằng

()
li
m
,, ,
T
i
T
K
M
T
f
i
→

⎞
⎠
⎟
<21 2 1
1
1
0
1
,,
. (2.48)
Cuối cùng ta suy ra từ (2.41), (2.45) rằng

()
()
()
()
()
st
M
Ks d tT
m
k
m
k
t
m
k
≤+ ≤≤
∫
2

4
0ττ,
, (2.51)
và do đó từ (2.49)-(2.51) ta nhận được

(
)
() ()
(
)
[
]
st st M t T
m
k
m
k
≤≤ ∀∈
2
0,
,
. (2.52)
Từ đây ta có
(
)
TT
m
k
= , với mọi
m

m
k
và tồn tại
u
m
sao cho

()
(
)
uu LTH
m
k
m
j
→
∞
trong 0
2
,;
yếu
*
,

()
(
)
&&
,;uu LTH
m

()
u
W
M
T
m
∈
,
. (2.55)
Từ (2.55) qua giới hạn trong (2.27), (2.28) ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng
u
m

thỏa mãn (2.23), (2.24) trong
(
)
LT
∞
0
,
yếu
*
.
Đònh lý 2.1 chứng minh hoàn tất.
Đònh lý 2.2
([15])
Giả sử (
H
1
)-(

(
)
{}
WT uL TH uL TL
1
12
00=∈ ∈
∞∞
,;
&
,;
: . (2.56)
Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số

() ()
uu uu Ck
m
LTH
m
LTL
T
m
−+−≤
∞∞
00
12
,; ,;
&&
, với mọi
m

W
1
(
T
) là không gian Banach đối với chuẩn (xem [11])

()
() ()
u
u
u
WT L TH L TL
1
12
00
=
+
∞∞
,; ,;
&
.
Ta sẽ chứng minh rằng
{
}
u
m
là dãy Cauchy trong
(
)
W

mm
, ,
.
1
1
000
(2.58)
Lấy
v
u
m
=
&
trong (2.58) và sử dụng giả thiết (
H
3
), ta suy từ đònh lý 2.1, sau khi
tích phân theo
t
ta có

()
()
()
&
,,
&
&&
vavv FFvd
Kv v vd

[]
&
,vCv KTv v tT
mm
H
m
WT
m
WT
2
0
2
11
1
11
21 2 0+≤+ ∀∈
−
, . (2.60)
Từ (2.60) dẫn đến

() ()
v
k
v
m
WT
Tm
WT
11
1

p
.

(2.62)
Kết hợp (2.48) và (2.62) ta có
{
}
u
m
là dãy Cauchy trong
W
1
(
T
), do đó tồn tại
()
u
W
T
∈
1
sao cho

(
)
u
u
W
T
m


(
)
&&
,;uu LTH
m
j
→
∞
trong 0
1
yếu
*
, (2.65)

(
)
&& &&
,;uu LTL
m
j
→
∞
trong 0
2
yếu
*
, (2.66)

(

u
x
t
Q
mT
j
−
→
∈
1
h.h
,
, (2.68)

(
)
∇→
∇
∈
−
u
u
x
t
Q
mT
j
1
h.h
,

trong
2
mạnh . (2.71)
Mặt khác vì

()
FK
m
LTL
j
∞
≤
0
0
2
,;
,
với mọi
j
, (2.72)
nên ta có thể trích được từ
{}
F
m
j
một dãy con vẫn gọi là
{
}
F
m

u
u
x
t
Q
xt T
,,,,, ,
=
∈
, h.h
. (2.74)
Vậy

()
(
)
Ffxtuuu LTL
mxt
j
→
∞
,, , , , ;
trong 0
2
yếu
*
. (2.75)
Qua giới hạn (2.23), (2.24), bằng sự kết hợp với (2.64), (2.66), (2.75), ta thu
được
u

u
u
u
u
00
01
=
=
~
&
~
, ,
trong
()
LT
∞
0
,
yếu
*
.
b/ Sự duy nhất lời giải

Giả sử
u
ù1
và
u
ø2
là hai lời giải yếu của bài toán (2.1)-(2.3),thỏa

uu
+=−∀∈
==
⎧
⎨
⎩
12
1
000
, ,
(2.76)
trong đó

() ( )
F
x
t
f
x
t
u
u
u
i
iiii
,,,,,
&
,
=
∇

12
0
1
0
2
2
+=−
≤+∇+
∫
∫
τ
τττττ
(2.77)
Đặt

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
zt ut aut ut
=+
&
,
2

=
=
0
12
, hay .
Đánh giá sai số (2.57) được suy từ (2.62), (2.63) bằng cách cho
p
→∞
.
Vậy ta đã chứng minh xong đònh lý 2.2.
3.
Khai triển tiệm cận của lời giải

Trong phần này, ta giả sử rằng
(
)
h
h
01
, và
(
)
~
~
u
u
01
, lần lượt thỏa mãn các giả
thiết
()

u
F
x
t
u
u
u
x
t
T
uthututhut
ux u x u x u x
Fxtuuu fxtuuu gxtuuu
tt xx x t
xx
t
xt xt xt
−=
∈
<
<
−=+=
==
=+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪

5
, khi đó các đánh giá tiên nghiệm
của dãy xấp xỉ Galerkin
(
)
{}
u
m
k
trong chứng minh đònh lý 2.1 tương ứng với
f
=
F
ε
, với
ε<1, thỏa mãn

(
)
(
)
uWMT
m
k
∈
,
, (2.80)
trong đó các hằng số
M
,

T
f
i
i
,, ,
,
=
01 sẽ được thay bởi

()
f
x
u
u
u
,,
~
,
~
,
~
0
001
∇ +
(
)
g
x
u
u

ε
trong các không gian hàm thích hợp của dãy
(
)
{}
u
m
k
khi
k
→+∞, sau đó
m
→+∞, là lời giải yếu của bài toán
(
)
P
ε
thỏa mãn

(
)
u
W
M
T
ε
∈
,
. (2.81)
Khi đó, theo cách tương tự với chứng minh đònh lý 2.2, ta có thể chứng minh

[15]
Giả sử
()()
H
H
12
, và
(
)
H
5
đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
M
> 0 và
T
> 0
sao cho, với mọi
ε
,
ε<1
, bài toán (P
ε
) có duy nhất một lời giải yếu
u
ε
∈
W
(
M
,

g
0
,,

,
()
K
M
T
f
1
,,
, và
()
u
W
M
T
0
∈
,

là lời giải yếu duy nhất của bài toán
(
)
P
0
ứng với
ε
= 0.

&
.
uv auv fv v v H
uu
f xt f xtu u u f xtu u u
ggxtu uu
+= ∀∈
==
=∇−∇
=∇
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
+g, ε
εεε
εεε
1
000
000
(2.84)
Trong (2.84), lấy
v
u
=
&
, sau khi tích phân theo

+≤ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
++
∫
∫
τ
τε
(2.85)
Do đó

() () ()()() ()
()
()
&
,,,
&
,
,, .
ut aut ut K MT f
C
uauud
KMTgT
t
2

(2.86)
Bằng cách áp dụng bổ đề Gronwall, từ (2.86) ta thu được 20

() () ()()
() ()
[]
&
,
,, exp ,, ,
ut aut ut
KMTgT KMTf
C
tt T
2
2
0
2
1
0
22
2
10
+
≤+
⎛
⎝
⎜

=
≤
<
0
11
1,
.
. (2.88)
Vậy đònh lý 2.3 được chứng minh .
¦
Một kết quả mà chúng tôi tìm được tiếp theo sau là về khai triển tiệm cận của
lời giải yếu
u
ε
đến cấp 2 theo
ε
, với
ε
đủ nhỏ.
Chúng tôi đưa thêm giả thiết sau

()
[
)
()
[
)
(
)
HfC R C R


()
(
)
() ()
P
Lu F x t u u u x t T
Bu i
ux ux
i
1
11 111
1
11
0
001
000

, , ,
, ,
,
=∇∈<<
==
==
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
~

1 1 11 1 0 00 1 0 00
1000 000
~
,, , ,
&
,, , ,
&
,, , ,
&
&
,, , ,
&
,, , ,
&
&
,
(2.89)
và
B
i
đònh nghóa như (2.5).

Giả sử
()
u
W
M
T
ε
∈

]
[
]
(
)
(
)
() ()
L
v
f
v
h
f
h
g
v
h
g
h
x
t
x
t
T
Bv i
vx vx
i
=+−
+

]
[
][]
(
)
[][]
()
αε ε ε
εε
,,
&
&
xt fu u fu ufu uf u ufu
gu u gu
uuu
x
=+− − +∇ + +
++−
01 0 10 1010
01 0
(2.91) 21

ở đây, để làm gọn cách viết, ta sử dụng ký hiệu

[]
(
)

x
t
u
u
u
,, , ,
&
000
∇
. Sau đó do tính bò chận của các hàm
u
u
u
i
iii
,,
&
,
∇=, 01, trong không gian hàm
(
)
LTH
∞
0
1
,;
, ta thu được

()
(

(
[] []
)
KMTf fu f u fu f u
fu f u
uu u
x
u
x
uu uu
x
uu u
x
u
2
,, sup
,
&&
&&
=
′′
+
′′
+
′′
+
′′
′′
+
′′

0
0
001
0001
=
=+−+ +−+
∈<<
==
==≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
−−
,
,
, ,
, ,
, .
εαε
,,
,
,
&
,

⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
αε
,,
,
,
&
,
, , ,
, ,
,
Ω
(2.97)
Tích vô hướng hai vế (2.97) với
&
v
1
, sau đó lấy tích phân theo
t
, kết hợp (2.93)
ta có

()
()
&
,
~

⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
~
ε
. (2.98)
Ta sẽ chứng minh tồn tại một hằng số
C
T
độc lập
m
và
ε
sao cho

()
v
C
Cm
m
WT
T
1
0
2
1
1
1≤+