BÀI GIẢNG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

1


Chương 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1. Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu:
1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu:
1.1.1a Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý
được biến đổi theo quy luật của tin tức.
Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng
âm, sóng điện từ, tín hiệu điện ... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín
hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử
dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện áp, dòng
điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các
loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất,
chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến
tần số X(f) hay X(ω).
1.1.1b Phân loại tín hiệu
Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta phân loại tín hiệu
như sau :
1. Tín hiệu liên tục x(t): là tín hiệu có biến thời gian t liên tục.
Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị hàm số có thể biến
thiên liên tục hoặc được lượng tử hóa, và có thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một
hoặc loại hai.
x1(t)


a. Giá trị liên tục.

nT

b. Giá trị được lượng tử hóa.
Hình 1.2 : Đồ thị các tín hiệu rời rạc.

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

2


3. Tín hiệu lượng tử: là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định bằng số nguyên lần
một giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử.
Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu lượng tử
được gọi là quá trình lượng tử hóa.
4. Tín hiệu tương tự: là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lượng tử.
Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu
Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu tương tự.
5. Tín hiệu xung: là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một.
Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên hình 1.1c là tín hiệu
xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2 là các tín hiệu xung rời rạc.
6. Tín hiệu số: là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị lượng tử của tín hiệu tại
các thời điểm rời rạc cách đều nhau.
Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bít của từ mã, nó chỉ có hai mức điện áp,
mức thấp là giá trị logic “0”, mức cao là giá trị logic “1”.
Số xung (số bít) của tín hiệu số là độ dài của từ mã. Tín hiệu số có 8 bít được gọi là
một byte, còn tín hiệu số có 16 bít bằng hai byte được gọi là một từ (hoặc gọi theo
tiếng Anh là word).
Giá trị mã của tín hiệu số được gọi là số liệu (Data), nó chính là thông tin chứa


1
1T

2T

3T

4T

5T

6T

Hình 1.3 : Đồ thị tín hiệu số bốn bit và mã nhị phân của nó.
Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và được mã hóa. Do đó
có thể biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu số, quá trình đó được gọi là số hóa tín
hiệu liên tục. Quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là :
- Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu.
- Lượng tử hóa giá trị các mẫu.
- Mã hóa giá trị lượng tử của các mẫu.

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

3


x(t)

x(t)

x(nT)

4

4
nT

0

Bít 3
Bít 2
Bít 1
Bít 0

0

nT

1

nT

0

nT

1

nT



nT

Bít 2
Bít 1
Bít 0

a. Số hóa tín hiệu tương tự.
b. Số hóa tín hiệu xung.
Hình 1.4 : Quá trình số hóa tín hiệu liên tục.
Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung thành
tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự sẽ gây ra sai số lượng tử (xem hình 1.4a),
nhưng khi số hóa tín hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem
hình 1.4b).
Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện trên bộ biến đổi
tương tự số, viết tắt là ADC (Analog Digital Converter).
Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ biến đổi số tương tự,
viết tắt là DAC (Digital Analog Converter). Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có
giá trị lượng tử như trên hình 1.1b .
1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu
1.1.2a Khái niệm về xử lý tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu
1. Xử lý tín hiệu là thực hiện các tác động lên tín hiệu như khuyếch đại, suy giảm,
chọn lọc, biến đổi, khôi phục .... giá trị và dạng của tín hiệu.
2. Hệ xử lý tín hiệu là các mạch điện, các thiết bị, các hệ thống dùng để xử lý tín hiệu.
Vậy xử lý tín hiệu đồng nghĩa với gia công tín hiệu, và hệ xử lý tín hiệu thực hiện
các tác động lên tín hiệu theo một quy luật nhất định.
Hệ xử lý tín hiệu có thể chỉ là một mạch điện đơn giản, cũng có thể là những thiết
bị hoặc hệ thống phức tạp.
Mỗi hệ xử lý tín hiệu cho dù là đơn giản hay phức tạp đều có những đặc thù riêng
phụ thuộc vào loại tín hiệu mà nó xử lý. Các loại tín hiệu khác nhau cần có các hệ xử

Phần
tương tự 1

ADC

Phần
xử lý số

DAC

Phần
tương tự 2

Hình 1.5 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu.
Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó phần tương tự 1 để xử lý
tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự sau khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu
số, và sẽ được xử lý bởi phần xử lý số.
DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và nó được xử lý tiếp
bằng phần tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC là các phần tử nối ghép giữa phần
tương tự và phần số của các hệ xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu
tương tự sau khi đã được xử lý số không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ xử lý số
tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi DAC và phần tương tự 2.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý số,
cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu.
1.2. Dãy số
Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử
lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng.
1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc
dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n,

-3
0

-2
0

-1
0

0
1

1
1

-1 0

1

2

3

n

4

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)
2
1

∗ Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức :
x p ( n) = x p ( n + kN )
[1.2-1]
Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi
là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n) còn các tham số sau :
f =

- Tần số lặp lại :

1

[1.2-2]

N

ω = 2π . f =

- Tần số góc :

2π
N

[1.2-3]

∗ Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó
được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn
là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞.
1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
∗ Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký
hiệu là x(n)N.

k =0

- Dãy x 4 (n) =

∞

∑2

−k

là dãy hai phía vô hạn.

k = −∞

1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ
∗ Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục
tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.
∗ Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ
độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng.
1.2.2f Dãy thực và dãy phức
∗ Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ xử
lý số đều là dãy thực.
∗ Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)
Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên.
Ví dụ 1.3 : - Dãy x(n) = e ( −α + jω ) n là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn.
- Dãy x(n) = cos(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn.
- Dãy x(n) = sin(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn.
x (n )
1
0 ,6

5

6

7

n

8

Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4.

Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7
là dãy xác định, hai phía, chẵn và
đối xứng, vô hạn, tuần hoàn với
chu kỳ N = 5.
- Dãy y(n) trên hình 1.8 là
dãy xác định, một phía, không tuần
hoàn, có độ dài hữu hạn N = 5.

y (n )
1

-2 -1 0

0 ,8

1

0 ,6

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

7


vị δ(n) có hàm số như sau :

Hình 1.9 : Đồ thị dãy δ(n)

Khi n = 0
[1.2-4]
Khi n ≠ 0

1
δ (n) = 
 0

Đồ thị dãy δ(n) trên hình 1.9. Dãy δ(n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng
1, nên δ(n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1.
δ(n - 5)

δ(n + 5)

1

1

-1 0

1

1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n)
Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như
hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ
u (n )
tương tự. Dãy bậc thang đơn vị u(n)
có hàm số như sau :
1
Khi n < 0
Khi n ≥ 0

 0
u ( n) = 
 1

[1.2-6]

....
-1

0

1

2

3

n

....

2

3

4

5

....

∞

n

....
-3 -2 -1 0

1

....

∞

n

Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2)
Vì dãy δ(n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k, nên nếu lấy tổng của δ(n k) với k chạy từ 0 đến ∞, sẽ nhận được dãy u(n).
Hơn nữa, trong khoảng (0 ≤ n < ∞) tại mọi k luôn có :
u ( k ) = u (k ).δ (n − k ) = 1


1
rect N ( n) = 
 0

Dãy chữ nhật rectN(n) là
dãy một phía, có độ dài hữu hạn N
và xác định trong miền n ∈ [0,
(N-1)], tuần hoàn với chu kỳ bằng
1. Đồ thị của dãy chữ nhật
rectN(n) trên hình 1.13.
Mở rộng có dãy chữ nhật
rectN(n - k), với k là hằng số
dương hoặc âm :

[1.2-10]

rectN(n)
1
....
-1 0

1

2

....

n

Hình 1.13 : Đồ thị dãy rectN(n)


6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
n
n
Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2)

Có thể biểu diễn dãy rectN(n) qua dãy δ(n) theo biểu thức :
rect N ( n) =

N −1

N −1

k =0

k =0

∑ δ (n − k ) = ∑ rect N (k ).δ (n − k )

[1.2-12]

Dãy rect(n)N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
rect N ( n) = u ( n) − u (n − N )

[1.2-13]

1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin
Dãy hàm sin có dạng như sau :

-1 0

-5

1

2

3

4

5

10

n

- 0 ,5 9
- 0 ,9 5

Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(ω0.n) với N = 10
1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số
1.2.4a Phép dịch tuyến tính
Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu :
y ( n) = x ( n − k )
[1.2-16]
- Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n).
- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).
Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà


Ví dụ 1.6 : Cho dãy x1 (n) = rect 4 (n) và dãy x 2 (n) = rect 3 (n − 1) , hãy xác định dãy
y ( n) = x1 ( n) − x 2 ( n)

Giải : Có y (n) = rect4 (n) − rect3 (n − 1) = δ (n)
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

rect4(n)

10


Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác
định y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16.
1.2.4c Phép nhân các dãy
Định nghĩa : Tích của M dãy xi(n) là dãy
y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả
các mẫu tương ứng của các dãy thành
phần.

1
-1 0

3

n

4

1

Kí hiệu : y (n) = ∏ xi (n)

1

1

n
Hình- 11.16
0 :1 Đồ2 thị3 xác4 định
rect4(n) - rect3(n-1) = δ(n)

y ( n) = u ( n).rect 5 (n + 2) = rect 3 ( n)

Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể
giải ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây :
Bảng 1.2
n
x1(n) = u(n)
x2(n) = rect5(n + 2)
y(n) = x1(n).x2(n) = rect3(n)

-3
0
0
0

-2
0
1
0


Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một dãy
bằng chính nó trong miền n ≥ 0.
1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số
Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích
của a với các mẫu tương ứng của x(n).
y ( n) = a. x( n)
Kí hiệu :
[1.2-19]
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ.
Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect4(n), hãy biểu diễn dãy y(n) = 2.rect4(n) dưới dạng dãy
số liệu.

{ 1 ,1,1,1 }
Dãy y(n) = 2.rect (n) có dạng dãy số liệu là y (n) = { 2, 2 , 2 , 2 }
Giải : Dãy rect4(n) có dạng dãy số liệu là x(n) =
4

↑

↑

1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính
1.2.5a Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x 1(n) và
x2(n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu theo biểu thức :
y ( n) =

∞

∑

k = −∞

Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k) ⇒ k = (n - m).
Khi k → - ∞ thì m → ∞ và khi k → ∞ thì m → - ∞, nhận được :
∞

∑

x1 ( k ).x 2 ( n − k ) =

k = −∞

−∞

∑ x (n − m).x
1

2 ( m)

m =∞

Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được :
∞

∑

∞

∑x


∑ ∑

=

 ∞

x 2 (k ) . x1 (n − k )  .x3 ( n − k ) =

k = −∞  k = −∞

∞

∑ ∑

Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22]
3. Tính phân phối :

x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x3 ( n)] = x1 (n) * x 2 ( n) + x1 (n) * x3 ( n)

[1.2-23]
Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích chập [1.2-20] :
x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x3 ( n)] =

∞

∑ x (k ).[ x
1

2 (n



x ( n) =

Hoặc:

x ( n) =

∞

∑ x(k ).δ (n − k ) = x(n) *δ (n)

k = −∞

[1.2-24]

∞

∑ δ (k ).x(n − k ) = δ (n) * x(n)

[1.2-25]

k = −∞

Chứng minh: Luôn có x(k ) = x(k ).δ (n − k ) với mọi k ∈ (- ∞, ∞). Vì thế, khi lấy tổng các
mẫu x(k) với k∈ (- ∞, ∞), nhận được [1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập,
từ [1.2-24] nhận được [1.2-25].
1.3. Tín hiệu số
1.3.1 Biểu diễn và phân loại tín hiệu số
1.3.1a Biểu diễn tín hiệu số
Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n là số nguyên, còn

- Tín hiệu số công suất là tín hiệu số có công suất hữu hạn.
1.3.2 Các tham số cơ bản của tín hiệu số
1.3.2a Độ dài của tín hiệu số là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu tính bằng số
mẫu.
Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ xử lý số phải xử lý
tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài hữu hạn hoặc vô hạn được biểu diễn bằng dãy hữu hạn
hoặc dãy vô hạn tương ứng. Độ dài hữu hạn của tín hiệu số thường được ký hiệu là N
(hoặc một chữ cái khác).
Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định với đối số n ∈ [0,
(N - 1)], và thường được ký hiệu là x(n)N .
Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác định với đối số n
∈ [-N, N].
Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)N mà không làm thay đổi nó,
bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0 khi n ≥ N.
1.3.2b Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất cả các mẫu chia cho
độ dài của tín hiệu.
Giá trị trung bình x(n) của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
x ( n) =

1
N

N −1

∑ x (n)

[1.3-1]

n =0


[1.3-3]

n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
x( n) = Lim

N →∞

N

1

∑ x( n)

[1.3-4]

( 2 N + 1) n = − N

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị trung bình hữu
hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2c Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương giá trị tất cả các mẫu của
tín hiệu.
Năng lượng Ex của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
Ex =

N −1


∑

x( n)

2

[1.3-7]

n=0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∞

Ex =

∑

x( n)

2

[1.3-8]

n = −∞

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng lượng hữu hạn và
chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu
hạn hoặc vô hạn.
1.3.2d Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung bình của năng lượng
tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình phương của tín hiệu).


( 2 N + 1)

=

1

N

∑

( 2 N + 1) n = − N

x( n)

2

= x 2 (n)

[1.3-10]

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Px = Lim

N →∞

Ex
N

= Lim

Ex

(2 N + 1)

= Lim

N →∞

N

1

∑

x( n)

( 2 N + 1) n = − N

2

= x 2 (n)

[1.3-12]

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có công suất trung bình
hữu hạn và chúng là các tín hiệu công suất. Công suất trung bình của các tín hiệu số vô
hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng và công suất hữu
hạn, chúng là tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất.
Ví dụ 1.9: Hãy xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau:

N

1

=1

b. Các tham số cơ bản của tín hiệu bậc thang đơn vị u(n):
- Tín hiệu số u(n) có độ dài vô hạn
- Giá trị trung bình theo [1.3-3]: u (n) = Lim

N →∞

Eu =

- Năng lượng theo [1.3-7]:

∞

N −1

1

∑ u (n) = Lim
N

∑ u (n)

N →∞

n =0

N →∞

1

N −1

∑
N

2

u (n) = Lim

N →∞

n =0

1

N −1

∑
N

1

2

N


- Năng lượng theo [1.3-5]:

N

Ex

- Công suất trung bình theo [1.3-9]:

= ∑ rect N (n)

2

n =0

Px =

Ex
N

=

N
N

=

N

N −1


4

π 

∑ cos 2 n  =

n = −4

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

π
π
 π 
cos(− 4) + cos − 3  + cos(− 2) +

2
2
9 
 2 
1 

15


 π
π 
π 
π 
 π 
cos − + cos(0) + cos  + cos 2  + cos 3  + cos 4 


- Công suất trung bình theo [1.3-10]:

Px =

Ex
2N + 1

=

5
9

1.4. Hệ xử lý số
1.4.1 Mô tả hệ xử lý số
Giống như đối với hệ tương tự, để nghiên cứu, phân tích hoặc tổng hợp các hệ
xử lý số, người ta coi hệ xử lý số là một hộp đen và mô tả nó bằng quan hệ giữa tác
động trên đầu vào và phản ứng trên đầu ra của hệ, quan hệ đó được gọi là quan hệ vào
ra. Quan hệ vào ra của hệ xử lý số có thể được mô tả bằng biểu thức toán học, và
thông qua nó có thể xây dựng được sơ đồ khối hoặc sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số.
1.4.1a Mô tả hệ xử lý số bằng quan hệ vào ra
Xét một hệ xử lý số có tác động x(n) và phản ứng y(n), khi đó quan hệ giữa
chúng có thể được mô tả bằng hàm số toán học F[ ] :
y ( n) = F [... x(n) ... ]
[1.4-1]
F
x( n) →
y (n)
Hoặc :
[1.4-2]


Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

F3[ ]

y(n)

16


Hình 1.18 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số phức tạp
Nếu thay các biểu thức Fi[ ] của sơ đồ khối trên bằng chức năng của các khối
thì đó là sơ đồ khối chức năng.
Ví dụ 1.11 : Trên hình 1.19 là sơ đồ khối của hệ xử lý số có quan hệ vào ra cho ở ví
dụ 1.10 : y (n) = F [ ] = 2 x( n) + 3 x(n − 1) .
x(n)

y(n)

2x(n) + 3x(n - 1)

Hình 1.19 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1)
1.4.1c Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu trúc
Dựa trên quan hệ vào ra [1.4-1], cũng có thể mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu
trúc. ở đây, cần phân biệt sự khác nhau giữa sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc.
Sơ đồ cấu trúc gồm các phần tử cơ sở biểu diễn các phép toán trên các tín hiệu
số hoặc dãy số liệu.
Sơ đồ khối có mỗi khối đặc trưng cho một cấu trúc lớn, mà chính nó có thể
được mô tả bằng sơ đồ khối chi tiết hơn hoặc sơ đồ cấu trúc.
Về phương diện phần cứng thì sơ đồ khối cho biết cấu trúc tổng thể của hệ xử

a. y(n) = x1(n) + x2(n)

i =1

Hình 1.20 : Ký hiệu phần tử cộng.
Mạch phần cứng có bộ cộng hai tín hiệu số như ở hình 1.20a, chúng là vi mạch
cộng hai dãy số mã nhị phân 4 bit hoặc 8 bit.
2. Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần
tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.21.
x1(n)
x1(n)
x2(n)

X

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

y(n)

x2(n)

X

y(n)

xi(n)
xM(n)

17



D

Hình 1.23 : Ký hiệu phần tử trễ đơn vị.
Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng
bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi
mạch số 4 bit hoặc 8 bit.
5. Phần tử vượt trước đơn vị : Phần tử vượt trước đơn vị dùng để đẩy sớm tín hiệu
số một mẫu (đẩy nhanh một nhịp), nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như trên hình
1.24.
x(n)

y(n) = x(n + 1)

AD

Hình 1.24 : Ký hiệu phần tử vượt trước đơn vị.
Phần tử vượt trước đơn vị là phần tử không thể thực hiện được trên thực tế, nên
không có mạch phần cứng, nó chỉ được dùng để mô tả các hệ xử lý số là thuật toán
phần mềm.
Để xây dựng sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số, cần liên kết các phần tử cấu trúc cơ
sở theo dạng hàm số mô tả quan hệ vào ra của hệ.
Ví dụ 1.12 : Trên hình 1.25 là sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có quan hệ vào ra đã
được nêu ở ví dụ 1.10 : y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1)
2.x(n)

x(n)
2

D

∗ Hệ xử lý số tuyến tính là hệ có quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động,
đồng thời thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.
∗ Hệ xử lý số phi tuyến là hệ không thỏa mãn một trong các điều kiện trên.
Quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động được phát biểu như sau : Hệ xử lý
số có quan hệ hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, nếu và chỉ nếu tác động x(n)
gây ra phản ứng y(n), thì tác động a.x(n) gây ra phản ứng a.y(n), với a là hằng số.
Theo quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, hệ xử lý số tuyến tính có
quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện :
F [ x( n)] = y ( n)
Nếu :
F [ a.x( n)] = a.F [ x( n)] = a. y ( n)
Thì :
[1.4-5]
Hệ xử lý số có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-5] là hệ phi tuyến.
Nguyên lý xếp chồng được phát biểu như sau : Hệ xử lý số tuyến tính dưới tác
động là xếp chồng của nhiều tác động x k(n) sẽ có phản ứng y(n) bằng xếp chồng của
các phản ứng yk(n) do mỗi tác động thành phần xk(n) gây ra.
Theo nguyên lý xếp chồng, hệ xử lý số tuyến tính có quan hệ vào ra thỏa mãn
điều kiện :
F [ x k ( n)] = y k ( n)
Nếu :
Thì :




a k .x k ( n)  =
 k =1



Hệ xử lý số là hệ tuyến tính nếu và chỉ nếu quan hệ vào ra của nó thỏa mãn
nguyên lý xếp chồng theo điều kiện [1.4-6].
Để thoả mãn điều kiện [1.4-6], thì hệ xử lý số tuyến tính phải có quan hệ vào ra
tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số a r và bk không phụ thuộc vào tác động x(n)
hoặc phản ứng y(n), nhưng có thể phụ thuộc vào biến thời gian rời rạc n.
Ví dụ 1.14 : Hãy xét tính tuyến tính của các hệ xử lý số sau :
a. y (n) = n.x(n)
b. y (n) = x 2 (n)
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

19


Giải : a. Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) :
y1 ( n) = n.x1 (n) = F [ x1 ( n)]
y 2 ( n) = n.x 2 ( n) = F [ x 2 ( n)]

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) = [a1 x1 (n) + a 2 x 2 (n)] :
y ( n) = F [ a1 x1 (n) + a 2 x 2 ( n)] = n.[a1 x1 ( n) + a 2 x 2 (n)]
y ( n) = n.a1 .x1 (n) + n. a 2 .x 2 ( n) = a1 .[ n.x1 ( n)] + a 2 .[ n.x 2 ( n)]
y ( n) = a1 y1 ( n) + a 2 y 2 ( n) = a1 .F [ x1 ( n)] + a 2 .F [ x 2 ( n)]
Vậy :
Hệ a có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ tuyến tính.
b. Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) :
y1 ( n) = x12 (n) = F [ x1 ( n)]
y 2 ( n) = x 22 ( n) = F [ x 2 ( n)]

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) = [a1 x1 (n) + a 2 x 2 (n)] :
y ( n) = F [a1 x1 ( n) + a 2 x 2 ( n)] = [ a1 x1 ( n) + a 2 x 2 ( n)] 2
y ( n) = a12 .x12 ( n) + 2.a1 .a 2 .x1 ( n).x 2 (n) + a 22 x 22 ( n)

[1.4-7].
Ví dụ 1.15 : Hãy xét tính bất biến của các hệ xử lý số sau :
a. y (n) = n.x(n)
b. y (n) = x 2 (n)
Giải : a. Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n − k ) hệ a có phản ứng :
y ( n − k ) = ( n − k ).x(n − k )

Còn với tác động x(n − k ) thì phản ứng là n.x(n − k ) ≠ y (n − k ) . Hệ a có quan hệ
vào ra không thỏa mãn [1.4-7] nên là hệ không bất biến.
b. Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n − k ) hệ b có phản ứng :
y (n − k ) = x 2 (n − k )

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

20


Còn với tác động là x(n − k ) thì phản ứng là x 2 (n − k ) = y (n − k ) . Hệ b có quan hệ
vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-7] nên là hệ bất biến.
Có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào ra
y ( n) = n.x( n) , với hệ số b0 = n nên là hệ không bất biến. Hệ b có quan hệ vào ra
y ( n) = x 2 (n) = x(n).x( n) , với hệ số b0 = x(n) không phụ thuộc vào biến rời rạc n nên là
hệ bất biến.
Các hệ xử lý số tuyến tính và bất biến theo thời gian (được viết tắt là hệ xử lý
số TTBB) có quan hệ vào ra tổng quát dạng [1.4-3] :
y (n) = F [... , bk x(n − k ) , ..., a r y (n − r ), ... ]

với tất cả các hệ số a r và bk đều là hằng số.
Các hệ xử lý số TTBB là một lớp hệ xử lý số thường gặp trong thực tế, đồng
thời các công cụ toán học để phân tích, tổng hợp chúng đã được nghiên cứu khá đầy

b. y (n) = 3 x(n + 2)
Giải : a. Hệ xử lý số a có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở thời điểm hiện tại
nên là hệ nhân quả, quan hệ vào ra của nó thỏa mãn điều
kiện [1.4-8] : Khi tác động x(n) = 0 thì phản ứng y(n) = 0 .
b. Xét tại n = 0 thì phản ứng y(0) = 3x(2), hệ xử lý số b có phản ứng phụ thuộc
vào tác động ở thời điểm tương lai nên là hệ không nhân quả, quan hệ vào ra của nó
không thỏa mãn điều kiện [1.4-8].
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

21


Các hệ xử lý số tuyến tính, bất biến và nhân quả (được viết tắt là hệ xử lý số
TTBBNQ) có quan hệ vào ra tổng quát [1.4-3] là :
y (n) = F [ b0 x(n) , ... , bk x(n − k ) , ..., a r y (n − r ), ... ]

với k ≥ 0, r ≥ 1 và tất cả các hệ số a r và bk đều là hằng số.
Quyển sách này sẽ chỉ trình bầy về các hệ xử lý số TTBB, trong đó chủ yếu là
về các hệ xử lý số TTBBNQ
1.4.2e Hệ xử lý số đệ quy và không đệ quy
∗ Hệ xử lý số không đệ quy là hệ có phản ứng y(n) chỉ phụ thuộc vào tác động
x(n).
Hệ xử lý số nhân quả không đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] không có các
thành phần của phản ứng ở quá khứ a r y (n − r ) :
y (n) = F [ b0 x(n), b1 x( n − 1), ..., bk x(n − k ) , ... ]
[1.4-10]
Quan hệ vào ra [1.4-10] được gọi là quan hệ vào ra không đệ quy.
∗ Hệ xử lý số đệ quy là hệ có phản ứng y(n) phụ thuộc vào cả tác động bk x(n − k )
lẫn phản ứng ở quá khứ a r y (n − r ) .
Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] với r ≥ 1 :

Từ đó, có quan hệ vào ra :
 ∞

y ( n) = F [ x( n)] = F 
x(k )δ ( n − k )
 k = −∞


∑

[1.5-2]

Vì hệ xử lý số tuyến tính thỏa mãn điều kiện [1.4-6], nên từ [1.5-2] có :
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

22


∞

∞

k = −∞

k = −∞

y ( n) =

∑ x(k ) . F [δ (n − k )] = ∑ x(k ).h(n , k )


∞

∑ x(k ).h(n − k ) = x(n) * h(n)

[1.5-7]

k = −∞

Theo tính chất giao hoán của tích chập có :
y ( n) =

∞

∑ h(k ).x(n − k ) = h(n)* x(n)

[1.5-8]

k = −∞

Các biểu thức [1.5-6], [1.5-7] và [1.5-8] cho phép tìm phản ứng y(n) của hệ xử
lý số TTBB khi biết tác động x(n) và đặc tính xung h(n) của hệ. Đồng thời theo các
quan hệ vào ra đó có thể mô tả hệ xử lý số TTBB dưới dạng sơ đồ khối như trên hình
1.26.
x(n)

h(n)

y(n)

Hình 1.26 : Sơ đồ khối mô tả hệ xử lý số TTBB theo đặc tính xung h(n).


1

k = −∞

y 2 ( n) =

∞

∑ x (k ) h(n − k ) = ∑ x ( k ) h( n − k ) + ∑ x ( k )h( n − k )
∞

∑

1

k = −∞

x 2 ( k ) h( n − k ) =

k = −∞

n0 −1

∑

k = n0
∞

x 2 ( k )h( n − k ) +

1

2 (k )

].h(n − k )

k = n0

[1.5-10]

Do hệ xử lý số là nhân quả, nên theo điều kiện [1.4-8] nó phải có :
x1 (n) − x 2 (n) = 0
víi ∀ n < n0
Nếu :
y ( n) = y1 (n) − y 2 ( n) = 0
víi ∀ n < n0
Thì :
[1.5-11]
Vì x1 (k ) ≠ x 2 (k ) víi ∀ k ≥ n0 nên [1.5-10] chỉ đúng với [1.5-11] nếu :
h( n − k ) = 0
víi ∀ k ≥ n0 vµ ∀ n < n0
[1.5-12]
Đặt (n − k ) = m , khi đó với ∀ k ≥ n0 vµ ∀ n < n0 , thì (n − k ) = m < 0 , nên có thể viết lại
h( m) = 0
víi ∀ m < 0
[1.5-12] dưới dạng :
Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n :
h( n) = 0

víi ∀ n < 0

Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n :
x ( n) = 0

víi ∀ n < 0

Điều kiện đủ của định lý đã được chứng minh.
1.5.2b Dãy nhân quả, phản nhân quả, không nhân quả
Mở rộng khái niệm hệ xử lý số nhân quả, không nhân quả cho các dãy rời rạc
x(n), người ta đưa ra các định nghĩa dưới đây.
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

24


1. Định nghĩa dãy nhân quả : Dãy x(n) là dãy nhân quả nếu và chỉ nếu x(n) xác
định khác không khi n ∈ [0, ∞) và x(n) = 0 với ∀ n < 0.
Vậy dãy nhân quả là dãy một phía tồn tại trong khoảng [0, ∞), và dãy một phía
tồn tại trong khoảng [0, ∞) là dãy nhân quả.
Theo định nghĩa trên, biểu thức tích chập [1.2-24] của dãy nhân quả là :
x ( n) =

∞

∑ x(k ).δ (n − k )

[1.5-15]

k =0

2. Định nghĩa dãy phản nhân quả : Dãy x(n) là dãy phản nhân quả nếu và chỉ nếu

- Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) không nhân quả, là hệ xử lý số TTBB
không nhân quả.
Do đó phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ theo các biểu thức tích chập
[1.5-7] và [1.5-8] sẽ là :
y ( n) =

∞

∑ x ( k ) h ( n − k ) = x ( n ) * h( n )

[1.5-18]

k =0

Và :

y ( n) =

∞

∑ h( k ) x ( n − k ) = h( n) * x( n)

[1.5-19]

k =0

Như vậy, phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ cũng là dãy nhân quả.
Theo độ dài của đặc tính xung h(n), người ta phân biệt hai loại hệ xử lý số :
- Hệ xử lý số có đặc tính xung h(n) hữu hạn, được viết tắt theo tiếng Anh là hệ
FIR (Finite-Duration Impulse Response).