1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1

Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn và không gian modular

4

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn .

8

1.3. Không gian modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Không gian dãy modular nhận giá trị trong không gian
định chuẩn


giá trị trong không gian định chuẩn, vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài: Về
không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn.
Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gian
định chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn, xây dựng
không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn và
đưa ra một số tính chất của chúng.
Chương 1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn và không gian modular
Chương này nhằm mục đích trình bày về không gian các dãy nhận giá
trị trong không gian định chuẩn; hàm Orlicz và không gian các dãy số
modular


3

Chương 2. Không gian dãy modular nhận giá trị trong không gian định
chuẩn
Chương này nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của không
gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn. Nội dung
trình bày trong chương này được chúng tôi đề xuất dựa trên phương pháp
của J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã thực hiện cho trường vô hướng.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của Thầy giáo T.S. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ
nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học, quí
Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học -Trường Đại học Vinh
đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối
cùng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học tài nguyên và
Môi trường Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc
biệt là các học viên cao học khóa 21 Toán Giải tích tại Trường Đại học

0, với mọi x ∈ E và x = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E ;
3) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E .

Khi đó (E, . ) được gọi là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E . Không gian định chuẩn E được gọi là không

gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên
tục.


5

Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Ta đã biết L(E, F ) là không
gian định chuẩn với chuẩn
f = sup

f (x) , ∀f ∈ L(E, F ).

x =1

Nếu F là không gian Banach thì L(E, F ) là không gian Banach. Đặc biệt,
L(E, K) := E ∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gian



n 1

Đặc biệt C0 , C là các không gian con đóng của l∞ , vì thế chúng cũng là
các không gian Banach với chuẩn trên. Tuy nhiên lp không đóng trong l∞ .


6

Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định bởi công thức
∞

x

p

|xn |p

=

1/p

, ∀x ∈ lp .

(1.2)

n=1

Khi đó, lp cũng là một không gian Banach.
1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh


2

trên không gian tuyến tính E được gọi là tương

đương nếu tồn tại a, b > 0 sao cho
a x

1

x

2

b x

1

với mọi x ∈ E . Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng ra hai
mêtric tương đương đều.


7

1.1.5 Định lý. Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F
là một song ánh. Khi đó, nếu
m x

f (x)


1.1.7 Nhận xét. Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau:
f (t) − f (s)
f (u) − f (t)
(1.4)
t−s
u−t
với mọi a < s < t < u < b.
1.1.8 Mệnh đề. Cho f : (a, b) → R là hàm lồi và c ∈ (a, b). Khi đó,
f (x) − f (c)
hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định bởi p(x) =
là không
x−c
giảm.
Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàm
lồi.
1.1.9 Hệ quả. Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b). Khi đó, f là lồi khi
và chỉ khi f là hàm đơn điệu tăng trên (a, b).
1.1.10 Hệ quả. Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và
f (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi.

1.1.11 Ví dụ. Từ hệ quả trên ta thấy hàm f (x) = ex lồi trên R và
y = xp là các hàm lồi trên (0, ∞) với p

1.


8

1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn


Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2.
1.2.1 Định lý. ([5]) l∞ (E) là không gian định chuẩn với chuẩn được
xác định bởi
x = sup xn ,

(1.5)

n 1

với mọi x ∈ l∞ (E). Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l∞ (E)
là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.5) là một chuẩn trên l∞ (E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và


9

(xk ) ⊂ l∞ (E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho
xk − xl = sup xkn − xln < ε, ∀k, l

k0 .

(1.6)

n 1

Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ... ta có
xkn − xln < ε


với mọi n, tức là x ∈ l∞ (E). Như vậy l∞ (E) là không gian Banach.
1.2.2 Định lý. ([5]) C(E) và C0 (E) là các không gian con đóng của
l∞ (E). Đặc biệt, nếu E là không gian Banach thì C(E) và C0 (E) cũng

vậy.
Chứng minh. Ta chứng minh C0 (E) đóng trong l∞ (E). Giả sử (xk ) ⊂
C(E) và xk → x trong l∞ (E). Khi đó, với mỗi ε > 0 tồn tại k0 sao cho
xk − x = sup xkn − xn < ε, ∀k

k0 .

(1.8)

n 1

Vì xk0 ∈ C0 (E) nên tồn tại n0 sao cho
xkn0 < ε, ∀n

n0 .

Từ (1.8) và (1.9) ta nhận được
xn

xkn0 − xn + xkn0 < 2ε

(1.9)


10



Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì lp (E) là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.10) là một chuẩn trên l∞ (E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và
(xk ) ⊂ l∞ (E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho
∞
k

l

x −x

p

xkn − xln

=

1/p

p

< ε, ∀k, l

k0 .

(1.11)

n=1



< ε, ∀k

k0 ,

(1.12)

n=1

tức là xk − x

p

< ε với mọi k

k0 , hay xk → x khi k → ∞. Từ (1.12)

suy ra xkn0 − x ∈ lp (E). Vì vậy x = xk0 − (xk0 − x) ∈ lp (E). Như vậy lp (E)
là không gian Banach.


11

1.3. Không gian modular

Mục này trình bày khái niệm, ví dụ về hàm Orlicz và không gian các dãy
số modular.
1.3.1 Định nghĩa. ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz
nếu
1) M là hàm không giảm, liên tục;


|xn |
ρ

1 ,

với mọi x ∈ l(Mn ) .
Không gian định chuẩn l(Mn ) được gọi là không gian modular hay
không gian các dãy modular. Đặc biệt, nếu dãy (Mn ) là dãy hằng, tức là
Mn = M với mọi n thì không gian modular là không gian Orlicz.

Với mỗi dãy các hàm Orlicz (Mn ), ta đặt
∞

h(Mn ) = x = (xn ) ⊂ K :

Mn
n=1

|xn |
< ∞ với mọi ρ > 0 .
ρ

Khi đó, người ta thu được các kết quả sau.


12

1.3.4 Định lý. ([6]) h(Mn ) là không gian con đóng của l(Mn ) .
1.3.5 Định lý. ([6]) Nếu Mn (t) = tp với p

< ∞, với ρ > 0 nào đó .

2.1.1 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì l(Mn ) (E) ⊂ l∞ (E).
Chứng minh. Giả sử l(Mn ) (E)

l∞ (E). Khi đó tồn tại x = (xn ) ∈

l(Mn ) (E) không bị chặn. Ta có thể giả thiết xn
x ∈ l(Mn ) (E) nên tồn tại ρ > 0 sao cho

> n với mọi n. Vì
xn
∞
M
< ∞. Suy
n
n=1
ρ

xn
< k với mọi n. Lấy t0 ∈ (0, ∞) sao
ρ
cho Mn (t0 ) > k với mọi n. Vì lim xn = ∞ nên tồn tại n0 sao cho

ra tồn tại k sao cho Mn

n→∞


14

ρ1

∞

< ∞,

Mn
n=1

yn
ρ2

< ∞.

Lấy ρ = ρ1 + ρ2 ta có
Mn

xn + y n
ρ

xn + yn
ρ1 + ρ2
xn + yn
≤ Mn
ρ1 + ρ 2
ρ1
xn
ρ2
yn
.


Tức là x + y ∈ l(Mn ) .

ρ1


ρ1

< ∞.

Suy ra λx ∈ l(Mn ) . Vì vậy l(Mn ) là không gian tuyến tính.
2.1.3 Định lý. l(Mn ) (E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác định
bởi công thức
∞

x = inf ρ > 0 :

xn
ρ

Mn
n=1

1 ,

với mọi x ∈ l(Mn ) (E).
Chứng minh. Với mỗi x ∈ l(Mn ) (E), thì rõ ràng x = inf ρ > 0 :
∞
xn
Mn
1
0. Ta cần chỉ ra x = 0 khi và chỉ khi x =
ρ
n=1
xn
) =


n=1

suy ra tồn tại

∞

ρ0 ∈ {ρ > 0 :
n=1


16

sao cho

x n0
> t0 . Do đó
ρ0

Ta thu được

Mn0 (

x n0
)
ρ0

Mn0 (t0 ) > 1.

Mn

∞

Mn
n=1

xn
x

(2.1)

1.

Thật vậy, với mọi ε > 0 tồn tại ρ > 0 sao cho ρ
∞

Mn
n=1

xn
ρ

x + ε và

1.

Do tính không giảm của hàm M ta suy ra
∞

Mn
n=1


thì

∞

λx = inf

ρ >0:

Mn

λxn
ρ

Mn

|λ| xn
ρ

n=1
∞

= inf

ρ >0:
n=1

Đặt ρ =

1


1

Mn

yn
ρ

ρ|λ| :
n=1
∞

= |λ| inf

ρ:
n=1

= |λ| x .

Cuối cùng, với x, y ∈ l(Mn ) (E) ta đặt
∞

u = x = inf

ρ:
n=1

và

∞


1 và

xn
s
yn
t

.

yn
y

Mn
n=1

u và t

1

1.

v . Khi đó, ta có
∞

Mn

xn
x


s+t
s
xn
t
Mn
Mn
+
s+t
s
s+t
t
s
+
= 1.
s+t s+t

x n + yn
s+t

Mn

Mn

Do đó

∞

s+t∈

ρ:


(2.2)

Vì (2.2) đúng với mọi s > x và t > y nên ta thu được
x+y

x + y .

Do đó l(Mn ) (E) là không gian định chuẩn.
Để chứng minh tính Banach của l(Mn ) (E) ta cần bổ đề sau.
2.1.4 Bổ đề. Nếu dãy (xk ) ⊂ l(Mn ) (E), trong đó xk = (xk1 , ..., xkn , ...), k =
1, 2, ... hội tụ tới 0 trong l(Mn ) (E) thì lim xkn = 0 trong E với mọi
k→∞

n = 1, 2, ...

Chứng minh. Giả sử khẳng định không đúng. Khi đó, tồn tại n0 sao cho
dãy (xkn0 ) không hội tụ tới 0 trong E . Vì vậy, tồn tại dãy (kj ) và r > 0
k

sao cho xnj0

r. Ta có


19

∞
kj


Mn
n=1

Mn0

xnjo
xkj

r
xkj

Mn0

(2.3)

với mọi kj . Cho kj → ∞ với để ý rằng xkj → 0 ta nhận được Mn0

r
xkj

∞. Mâu thuẫn với (2.3). Ta nhận được điều cần chứng minh.

2.1.5 Định lý. Nếu E là không gian Banach thì l(Mn ) (E) là không
gian Banach.
Chứng minh. Giả sử (xk ) là dãy Cauchy trong l(Mn ) (E). Ta cần chỉ ra
(xk ) hội tụ tới x ∈ l(Mn ) (E). Thật vậy, vì (xk ) là dãy Cauchy nên
∞
k

x −x

l

x −x

= inf

ρ:

Mn
n=1

với mọi k, l

xkn − xln
ρ

1

k0 . Trong bất đẳng thức trên cố định k


Mn
n=1

xk − x

ε, ∀k

k0 .

1 < ∞,

tức là xk0 − x ∈ l(Mn ) (E). Do l(Mn ) (E) là không gian tuyến tính nên
x = xk0 − (xk0 − x) ∈ l(Mn ) (E).

Ta nhận được xk − x < ε với mọi k > k0 . Tức là xk hội tụ tới x.Ta
nhận được l(Mn ) (E) là không gian Banach.
Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6].
2.1.6 Hệ quả. l(Mn ) (K) là không gian Banach.
Mệnh đề sau như là ví dụ về không gian modular.
2.1.7 Định lý. Nếu Mn (t) = tp (p

1) thì l(Mn ) (E) = lp (E).

Chứng minh. Ta chia chứng minh thành 2 bước. Bước 1 ta chỉ ra hai tập
hợp l(Mn ) (E) và lp (E) bằng nhau. Bước 2 ta chỉ ra chuẩn xác định trên
chúng trùng nhau.

∞

Lấy x bất kỳ thuộc l(Mn ) . Khi đó

Bây giờ, ta chỉ ra x = x

p

với mọi x ∈ l(Mn ) (E). Thật vậy, với mọi


21

x ∈ l(Mn ) (E) ta có
∞

x = inf ρ > 0 :

xn
ρ

Mn
n=1
∞

= inf ρ > 0 :

xn

p

1
ρp


Mn
n=1

xn
ρ

< ∞ với mọi ρ > 0 .

2.2.1 Định lý. h(Mn ) (E) là không gian con đóng của l(Mn ) (E).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh h(Mn ) (E) là không gian con của
l(Mn ) (E). Giả sử x, y ∈ h(Mn ) (E) và α ∈ K. Khi đó, nếu α = 0 thì
αx = 0 ∈ h(Mn ) (E).

∞

Nếu α = 0 thì từ

Mn
n=1

có

∞

Mn
n=1

Khi đó αx ∈ h(Mn ) (E).

xn

ρ
n=1
lồi của hàm M ta có

∞ và

Mn

Mn

M
n=1

2xn
ρ

< ∞ với mọi ρ > 0. Với mọi n = 1, 2, ..., từ tính

xn + yn
ρ
1 2xn
1 2yn
= Mn
+
2 ρ
2 ρ
2xn
1
1
+ Mn

ρ

Mn
n=1

1
+
2

∞

Mn
n=1

2yn
ρ

< ∞.

Vì vậy x + y ∈ h(Mn ) (E).
Tiếp theo ta chứng minh h(Mn ) (E) đóng trong l(Mn ) (E). Giả sử (xk )
là dãy trong h(Mn ) (E) và xk hội tụ tới x trong l(Mn ) (E). Khi đó, với mọi
ε > 0 tồn tại k0 sao cho
∞
k

x − x = inf ρ > 0 :

Mn
n=1


xkn0
ε
2

< ∞.

(2.8)



2.2.3 Định nghĩa. Dãy hàm Orlicz (Mn ) được gọi là suy biến đều
nếu Mn suy biến với mỗi n, inf{t > 0 : Mn (t) = 0 với mọi n} > 0 và
sup{t > 0 : Mn (t) < 1 với mọi n} < ∞.

Ví dụ sau cho một dãy hàm Orlicz suy biến đều.
2.2.4 Ví dụ. Xét dãy hàm (Mn ) xác định bởi
Mn (t) =

0
nếu 0 t
n+2
(t − 1)
nếu t > 1.

1

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được Mn (t) là Orlicz với mọi n và inf{t > 0 :
Mn (t) = 0} = 1 và sup{t > 0 : Mn (t) < 1 với mọi n}

2. Vì vậy, (Mn )

là dãy hàm Orlicz suy biến đều.
Ví dụ sau cho thấy dãy hàm Orlicz suy biến có thể không suy biến đều.


24

2.2.5 Ví dụ. Xét dãy hàm (Mn ) xác định bởi




2k
ta thu được
T0
xn
T0 xn
=
ρ
2k

T0
2

với mọi n. Từ tính chất không giảm của Mn (t) ta có
0

xn
ρ

Mn
∞

với mọi n. Ta nhận được

Mn
n=1

Mn
xn
ρ


Mn
n=1

=0 0 :

xn
ρ

Mn
n=1

1}

2k 2 x ∞
=
.
T0
T0

Như vậy,
x

T0
x


1 với mọi x ∈ l(Mn ) (E) và x = 0. Ta có Mn

xn
x

1 với mọi n. Do tính không giảm của (Mn ) nên
xn
x

T1

với mọi n. Ta thu được
x

∞

= sup xn

T1 x

(2.11)

n 1

với mọi x = 0. Bất đẳng thức rõ ràng vẫn đúng với x = 0. Từ (2.10) và
(2.11) suy ra các chuẩn trên l∞ (E) và l(Mn ) (E) là tương đương và vì thế
l(Mn ) (E) đẳng cấu với l∞ (E).

2) Vì C0 (E) là không gian con đóng của l∞ (E) và h(Mn ) (E) là không