1
MỤC LỤC
Mục lục 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn 4
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn . 8
2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn xác định bởi hàm Orlicz 11
2.1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn
xác định bởi hàm Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l
M
(E). . . 19
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
MỞ ĐẦU
Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai trò
quan trọng là lớp không gian các dãy. Không gian các dãy cổ điển được xét
với dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không gian
các dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển. Trong [6]
sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J. Lindenstrauss và L. Tzafriri đã
xây dựng không gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng
từ lớp các hàm thực đặc biệt, mà chúng được gọi là các hàm Orlicz. Các
tính chất của các không gian dãy Orlicz cũng được nghiên cứu khá sâu sắc
thông qua cấu trúc của hàm Orlicz bởi J . Lindenstrauss và L. Tzafriri.
Mục đích của luận văn là xây dựng không gian các dãy nhận giá trị trong
không gian định chuẩn xác định bởi các hàm Orlicz, vì vậy chúng tôi lựa
chọn đề tài: Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định

Nghệ An, tháng 10 năm 2014
Trương Thị Thu Hiền
4
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở cần dùng về sau, đặc biệt
là lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian định chuẩn, không gian
Banach cần dùng về sau. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [3].
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường K. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x  0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0;
2) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ E;
3) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E.
Khi đó (E, .) được gọi là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x−y, ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên
tục.
Cho E, F là các không gian định chuẩn. Ký hiệu L(E, F ) là tập hợp
các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Ta đã biết L(E, F ) là không
5
gian định chuẩn với chuẩn
f = sup
x=1
f(x), ∀f ∈ L(E, F ).

=

x = (x
n
) ⊂ K : lim
n→∞
x
n
= 0

;
và
l
p
=

x = (x
n
) ⊂ K :
∞

n=1
|x
n
|
p
< ∞

, p  1.
Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường

∞
, vì thế chúng cũng là
các không gian Banach với chuẩn trên. Tuy nhiên l
p
không đóng trong l
∞
.
Đối với l
p
, người ta xét chuẩn xác định bởi công thức
x
p
=

∞

n=1
|x
n
|
p

1/p
, ∀x ∈ l
p
. (1.2)
6
Khi đó, l
p
cũng là một không gian Banach.

và .
2
trên không gian tuyến tính E được gọi là tương
đương nếu tồn tại a, b > 0 sao cho
ax
1
 x
2
 bx
1
với mọi x ∈ E. Rõ ràng hai chuẩn tương đương sinh tương ứng ra hai
mêtric tương đương đều.
7
1.1.5 Định lý. Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F
là một song ánh. Khi đó, nếu
mx  f(x)  Mx
với mọi x ∈ E thì f là một đẳng cấu.
Như vậy, nếu hai chuẩn .
1
và .
2
trên không gian tuyến tính E là
tương đương thì (E, .
1
) và (E, .
2
) là đẳng cấu.
Sau đây, ta nhắc lại khái niệm về hàm lồi. Các kết quả sau có thể tìm
thấy ở trong [1].
1.1.6 Định nghĩa. Cho hàm thực f : (a, b) → R. Hàm f được gọi là lồi

(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi.
1.1.11 Ví dụ. Từ hệ quả trên ta thấy hàm f(x) = e
x
lồi trên R và
y = x
p
là các hàm lồi trên (0, ∞) với p  1.
8
1.2. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn
Các kết quả trong mục này cơ bản đã được trình bày ở dạng tổng quát
trong [4]. Để tiện cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2
chúng tôi trình bày lại theo mục đích của mình. Giả sử E là không gian
định chuẩn trên trường K. Ký hiệu
l
∞
(E) =

x = (x
n
) ⊂ E : (x
n
) : là dãy số bị chặn

;
C(E) =

x = (x
n
) ⊂ E : (x


p
< ∞

, p  1.
Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường
ta có l
∞
(E) là không gian tuyến tính và C(E), C
0
(E) và l
p
(E) là các
không gian con của l
∞
(E). Hơn nữa
l
p
(E) ⊂ C
0
(E) ⊂ C(E) ⊂ l
∞
(E).
Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2.
1.2.1 Định lý. ([4]) l
∞
(E) là không gian định chuẩn với chuẩn được
xác định bởi
x = sup
n1

− x
l
n
 < ε, ∀k, l  k
0
. (1.6)
Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có
x
k
n
− x
l
n
 < ε
với mọi k, l  k
0
, tức là dãy (x
k
n
)
∞
k=1
là dãy Cauchy trong E. Vì E là
không gian Banach nên lim
k→∞
x
k
n
= x
n

0
n
− x
n
 < ε với mọi n. Vì vậy
x
n
  x
k
0
n
− x
n
 + x
k
0
n
 < c < ∞
với mọi n, tức là x ∈ l
∞
(E). Như vậy l
∞
(E) là không gian Banach.
1.2.2 Định lý. ([4]) C(E) và C
0
(E) là các không gian con đóng của
l
∞
(E). Đặc biệt, nếu E là không gian Banach thì C(E) và C
0

0
∈ C
0
(E) nên tồn tại n
0
sao cho
x
k
0
n
 < ε, ∀n  n
0
. (1.9)
Từ (1.8) và (1.9) ta nhận được
x
n
  x
k
0
n
− x
n
 + x
k
0
n
 < 2ε
10
với mọi n  n
0

1/p
, ∀x ∈ l
p
(E). (1.10)
Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l
p
(E) là không gian Banach.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được (1.10) là một chuẩn trên l
∞
(E). Ta
chứng minh phần còn lại của định lý. Giả sử E là không gian Banach và
(x
k
) ⊂ l
∞
(E) là dãy Cauchy. Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k
0
sao cho
x
k
− x
l

p
=

∞

n=1
x

là dãy Cauchy trong E. Vì E là
không gian Banach nên lim
k→∞
x
k
n
= x
n
∈ E, với mỗi n = 1, 2, Đặt
x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ). Khi đó, từ (1.11) cố định k  k
0
cho l → ∞ ta
nhận được

∞

n=1
x
k
n
− x
n

p

(E)
là không gian Banach.
11
CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC ĐỊNH BỞI HÀM
ORLICZ
Chương này nghiên cứu cách xây dựng không gian các dãy nhận giá trị
trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz và một số tính chất
ban đầu của chúng. Các kết quả của chương này do chúng tôi đề xuất dựa
trên các kết quả đã biết đối với dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bày
trong tài liệu [6].
2.1. Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định
chuẩn xác định bởi hàm Orlicz
Mục này trình bày cách xây dựng lớp không gian các dãy nhận giá trị
trong không gian định chuẩn xác định bởi hàm Orlicz.
2.1.1 Định nghĩa. ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz
nếu
1) M là hàm không giảm, liên tục;
2) M(0) = 0 và lim
t→∞
M (t) = ∞;
3) M là hàm lồi.
Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M(t) = 0.
2.1.2 Ví dụ. Các hàm M(t) = t
p
; M(t) = te
t
là hàm Orlicz.
Giả sử M là hàm Orlicz và E là một không gian định chuẩn trên trường

) ∈ l
M
. Khi đó, tồn tại ρ
1
, ρ
2
> 0
sao cho
∞

n=1
M

x
n

ρ
1

< ∞,
∞

n=1
M

y
n

ρ
2

x
n
 + y
n

ρ
1
+ ρ
2

= M

ρ
1
ρ
1
+ ρ
2
x
n

ρ
1
+
ρ
2
ρ
1
+ ρ
2

y
n

ρ
2

.
Suy ra
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ

<
ρ
1
ρ
1
+ ρ
2
∞

n=1

Nếu λ = 0 thì λx = (0, 0, , 0, ) ∈ l
M
. Nếu λ = 0 thì với ρ = |λ|ρ
1
ta có
∞

n=1
M

λx
n

ρ

=
∞

n=1
M

|λ| .x
n

ρ

=
∞

n=1

ρ

 1

,
với mọi x ∈ l
M
(E).
Chứng minh. Với mỗi x ∈ l
M
(E), thì rõ ràng x = inf

ρ > 0 :

∞
n=1
M

x
n

ρ

 1

 0. Ta cần chỉ ra x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Thật vậy, nếu x = 0, tức là x = (0, , 0, ). Khi đó, M(
x
n


) > 1. Từ giả thiết
x = inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1

= 0
suy ra tồn tại
ρ
0
∈ {ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ


ρ
0

 M(
x
n
0

ρ
0
) > 1.
14
Điều này mâu thuẫn với
ρ
0
∈ {ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ

 1}.
Vì vậy x = 0 thì x = 0. Do đó, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Để kiểm tra điều kiện tiếp theo của chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu

x
n

x + ε


∞

n=1
M

x
n

ρ

 1.
Cho ε → 0 ta nhận được
∞

n=1
M

x
n

x

 1.
Tiếp theo ta chỉ ra λx = |λ|x với mọi x ∈ l


|λ| x
n

ρ


≤ 1

.
15
Đặt ρ =
ρ

|λ|
. Khi đó ta có
λx = inf

ρ|λ| :
∞

n=1
M

x
n

ρ

≤ 1


ρ

≤ 1

và
v = y = inf

ρ :
∞

n=1
M

y
n

ρ

≤ 1

.
Khi đó
∞

n=1
M

x
n

M

x
n

x

 1
và
∞

n=1
M

y
n

t

≤
∞

n=1
M

y
n

y


n

s + t

≤ M

x
n
 + y
n

s + t


s
s + t
M

x
n

s

+
t
s + t
M

y
n

x + y = inf

ρ :
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ

≤ 1

≤ s + t. (2.2)
Vì (2.2) đúng với mọi s > x và t > y nên ta thu được
x + y ≤ x + y .
Do đó l
M
(E) là không gian định chuẩn.
Để chứng minh tính Banach của l
M
(E) ta cần bổ đề sau.
2.1.5 Bổ đề. Nếu dãy (x
k
) ⊂ l
M

j
n
0
  r. Ta có


x
k
j


= inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
k
j
n

ρ

≤ 1

.
17

x
k
j



≥ M

r


x
k
j



(2.3)
với mọi k
j
. Cho k
j
→ ∞ với để ý rằng x
k
j
 → 0 ta nhận được M

r





= inf

ρ :
∞

n=1
M

x
k
n
− x
l
n

ρ

≤ 1

→ 0 (2.4)
khi k, l → ∞. Theo Bổ đề 2.1.5 thì với mỗi n = 1, 2, ta có
x
k
n
− x
l
n
 → 0

∞

n=1
M

x
k
n
− x
l
n

ρ

≤ 1

< ε (2.5)
với mọi k, l  k
0
. Trong bất đẳng thức trên cố định k  k
0
cho l → ∞ ta
nhận được


x
k
− x



∞

n=1
M



x
k
0
n
− x
n


ρ

≤ 1 < ∞,
tức là x
k
0
− x ∈ l
M
(E). Do l
M
(E) là không gian tuyến tính nên x =
x
k
0
− (x

(E). Khi đó tồn tại
x = (x
n
) ∈ l
M
(E) không bị chặn. Ta có thể giả thiết x
n
 > n với mọi
n. Vì x ∈ l
M
(E) nên tồn tại ρ > 0 sao cho

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞. Suy
ra tồn tại k sao cho M

x
n

ρ

< k với mọi n. Lấy t

) = k.
Điều này mâu thuẫn với
M

x
n

ρ

< k
với mọi n. Vậy l
M
(E) ⊂ l
∞
(E).
Ta nhận được hệ quả sau đã trình bày trong [6].
2.1.9 Hệ quả. l
M
(K) là không gian con của l
∞
.
2.1.10 Định lý. Nếu M(t) = t
p
(p  1) thì l
M
(E) = l
p
(E).
19
Chứng minh. Ta chia chứng minh thành 2 bước. Bước 1 ta chỉ ra hai tập

ρ

p
< K < ∞ với ρ nào đó. Do đó

∞
n=1
x
n

p
< Kρ
p
< ∞. Vậy x ∈ l
p
(E). Tức là l
M
(E) ⊂ l
p
(E). Chiều
ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa.
Bây giờ, ta chỉ ra x = x
p
với mọi x ∈ l
M
(E). Thật vậy, với mọi
x ∈ l
M
(E) ta có
x = inf


∞

n=1
x
n

p

1/p
 ρ

= inf

ρ > 0 : x
p
 ρ} = x
p
.
Ta nhận được hệ quả sau đã trình bày trong [6].
2.1.11 Hệ quả. Nếu M(t) = t
p
(p  1) thì l
M
(K) = l
p
.
2.2. Một số tính chất của không gian con của không gian l
M
(E).

(E).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh h
M
(E) là không gian con của
l
M
(E). Giả sử x, y ∈ h
M
(E) và α ∈ K. Khi đó, nếu α = 0 thì αx =
0 ∈ h
M
(E).
Nếu α = 0 thì từ

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0 ta lấy ρ

=
ρ
|α|
ta có
∞

n=1
M

2x
n

ρ

<
∞ và

∞
n=1
M

2y
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0. Với mọi n = 1, 2, , từ tính
lồi của hàm M ta có
M

x
n
+ y
n

ρ


2x
n

ρ

+
1
2
M

2x
n

ρ

.
Do đó
∞

n=1
M

x
n
+ y
n

ρ


Tiếp theo ta chứng minh h
M
(E) đóng trong l
M
(E). Giả sử (x
k
) là dãy
trong h
M
(E) và x
k
hội tụ tới x trong l
M
(E). Khi đó, với mọi ε > 0 tồn
tại k
0
sao cho
x
k
− x = inf

ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
k
n

Mặt khác, vì x
k
0
∈ h
M
(E) nên
∞

n=1
M

x
k
0
n

ε
2

< ∞. (2.8)
Do tính không giảm và lồi của hàm M ta có
M

x
n

ε

 M



+
1
2
M

x
k
0
n

ε
2

(2.9)
với mọi n. Từ (2.7), (2.8) và (2.9) ta nhận được
∞

n=1
M

x
n

ε

< ∞.
Vì ε > 0 tùy ý nên ta có được x = (x
n
) ∈ h

t→∞
M(t) = ∞ suy ra tồn tại T
0
là giá trị lớn nhất sao cho M(T
0
) = 0.
Với mọi x = (x
n
) ∈ l
∞
(E) ta đặt
k = sup
n1
x
n
 < ∞.
Lấy ρ =
2k
T
0
ta thu được
x
n

ρ
=
T
0
x
n


ρ

= 0. Hay x = (x
n
) ∈ l
M
(E). Vì
vậy l
∞
(E) = l
M
(E).
Để chứng minh l
M
(E) đẳng cấu với l
∞
(E) ta còn phải chỉ ra các chuẩn
của chúng là tương đương. Để ý rằng l
∞
(E) xét với chuẩn
x
∞
= sup
n1
x
n
.
Từ chứng minh trên ta có, với ρ =
2k

=
2x
∞
T
0
.
Như vậy,
x
∞

T
0
2
x (2.10)
với mọi x ∈ l
M
(E).
23
Bây giờ, từ
x = inf{ρ > 0 :
∞

n=1
M

x
n

ρ



 1 với mọi n. Do tính không giảm của
M nên
x
n

x
 T
1
với mọi n. Ta thu được
x
∞
= sup
n1
x
n
  T
1
x (2.11)
với mọi x = 0. Bất đẳng thức rõ ràng vẫn đúng với x = 0. Từ (2.10) và
(2.11) suy ra các chuẩn trên l
∞
(E) và l
M
(E) là tương đương và vì thế
l
M
(E) đẳng cấu với l
∞
(E).

∞
n=1
M

x
n

ρ

< ∞ với mọi ρ > 0.
Nếu x /∈ C
0
(E) thì x
n
  0 khi n → ∞. Suy ra tồn tại dãy con (x
n
k
)
sao cho x
n
k
  r > 0 với mọi n
k
. Lấy ρ sao cho
x
n
k

ρ


x
n
k

ρ


r
ρ
 M(2T
0
) > 0
24
với mọi n
k
. Do đó lim
n→∞
M

x
n

ρ

= 0. Mâu thuẫn với sự hội tụ của chuỗi

∞
n=1
M


. Hay
x
n

ρ
< T
0
với mọi n  n
0
. Vì vậy
M(
x
n

ρ
) = 0 với mọi n  n
0
. Ta thu được
∞

n=1
M

x
n

ρ

=
n

t→0
M(qt)
M(t)
< ∞ với q > 0 nào đó.
2.2.5 Bổ đề. ([6]) Hàm Orlicz M thỏa mãn điều kiện ∆
q
tại 0 với
mọi q > 0 khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0.
Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0. Khi đó, với mọi
q > 0 tồn tại n
0
sao cho
q
2
n
0
< 2. Khi đó
M (qt)
M (t)
=
M

2.
qt
2


qt
2
n
0

.
M

2.
qt
2
n
0

M

qt
2
n
0

<


sup
t≥0

M (2t)
M (t)


< ∞.
Vậy M thỏa mãn điều kiện ∆
q
tại 0. Chiều ngược lại là hiển nhiên.
25
Định lý sau đưa ra một điều kiện để h
M
(E) = l
M
(E).
2.2.6 Định lý. Giả sử M là hàm Orlicz không suy biến và E là không
gian định chuẩn. Khi đó, nếu M thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0 thì
l
M
(E) = h
M
(E).
Chứng minh. Giả sử M thỏa mãn điều kiện ∆
2
tại 0. Khi đó, theo Bổ đề
2.2.5 ta có M thỏa mãn điều kiện ∆
q
với mỗi q > 0. Lấy x ∈ l
M
(E). Khi
đó, tồn tại ρ
0
> 0 sao cho

0

= 0. Do đó, tồn tại n
0
sao cho
x
n

ρ
0
< 1 với mọi n  n
0
.
Khi đó, với mọi ρ > 0 áp dụng điều kiện ∆
q
với q =
ρ
0
ρ
ta có tồn tại
K > 0 sao cho
M

ρ
0
t
ρ

< KM(t)
với mọi 0 < t  1. Như vậy

n

ρ

=
n
0

n=1
M

x
n

ρ

+
∞

n=n
0
+1
M

x
n

ρ

≤

M(
x
n

ρ
) < ∞ với mọi ρ > 0, tức là x ∈ h
M
(E). Do đó
l
M
(E) ⊂ h
M
(E). Vì vậy l
M
(E) = h
M
(E).