Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 môn Toán Phần II


TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5
ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 (lần2)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : Toán ; Thời gian làm bài:180 phút.
(gồm 1 trang)
Câu1 (2,0 điểm). Cho hàm số y 

2( x  1)
x 1

(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua điểm A(0;-1).
Câu2 (1,0 điểm). Giải phương trình

sin2x – cos2x = 2 sinx – 1
1
4

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển ( x2  x  )(1  2 x)2n thành đa thức biết
n là số tự nhiên thoả mãn hệ thức 3Cn3  7Cn2

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình log3 ( x 1)2  log 3 (2 x 1)  2
b) Một hôp đựng chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ
hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1: x  2 y  3  0 và

a
b
c
2
2
2
của biểu thức P = a  b  c

----Hết----Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh………………………..Số báo danh…………Lớp ……


Hướng dẫn chấm môn Toán (lần 1)
Câu
Câu1
(2,0
điểm).

Nội dung
Cho hàm số y 

2( x  1)
x 1

Điểm
(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

1


1
M(1;0) ho ặc M( ; 4)
3
2

Câu2
(1,0
điểm).

Giải phương trình

2

0,25

0,25

0,25

0,25

sin2x – cos2x = 2 sinx – 1

0,25


 2s inx cosx+(1-cos2x) = 2sinx  2s inx(cosx+sinx-1)=0

Câu 3

(n  2)(n  1)n
(n  1)n
n!
n!
n  3, n  N  3
7

7
3! n  3!
2! n  2 !
2
2

0,25

giải ra n  9

0,25

1
1 20 k
(2 x  1) 20   C20
(2 x) 20 k
4
4 k 0
8
hệ số chứa x ứng với 20-k=8  k  12 . Do đó hệ số cần tìm là
1 12 8
C20 .2 =8062080
4

( x  1)(2 x  1)  3
1

 2 x 2  3x  2  0
x  (loai )


2
 2

 2 x  3x  4  0
x  2
2

0,25
0,25

0,25

2

0,25

Đáp số x=2
b) Một hôp đựng chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên bi. Tính xác suất để 4 viên bi được
chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất.
Gọi A là biến cố “4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều
nhất”
Số phần tử của không gian mẫu là n(  )= C154  1365 .

Toạ độ I l à nghiệm của 
d3:3x-4y=0
d(I; d3)=

0,25

1
5

đường tròn tâm I và tiếp xúc với d3 c ó pt:
(x-1)2+(y-1)2=

0,25

1
25

pt đt qua d’ qua O ,song song v ới d1là x+2y=0
2 1
)
5 5

Gọi M = d2  d ' =( ;

AI
IB
Gọi B(a; 2a-1) thuộc d2

OM BM
a  0

a3 2
a
2.a 2 
(đvtt)
2 VS . ABCD 
9
9
3
d ( I , ( SCD))
IC
IC CD 3
IC 3
và
và


 

d ( H , ( SCD)) HC
IH BH 2
CH 5
13
CH2=BH2+BC2= a 2
9
1
1
1
11
a 22



điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm M ( ;3) là
trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A
của  ADH là d: 4 x  y  4  0 . Viết phương trình cạnh BC.

Gọi K là trung điểm của HD. chứng minh
AN vuông góc với MN. Gọi P là trung điểm của AH.Ta có AB
vuông góc với KP, Do đó P là trực tâm của tam giác ABK.
Suy ra BP  AK  AK  KM
Phương trình KM: đi qua M(9/2;3) và vuông góc với AN có pt:

0,25
0,25


MK: x  4 y 

15
 0 Toạ độ K(1/2;2)
2

Do K là trung điểm của HD nên D(0;2),suy ra pt (BD): y-2=0
AH: x-1=0 và A(1;0); AD có pt: 2x+y-2=0
BC qua M và song song với AD nên BC: 2x+y-12=0
Câu8
(1,0
điểm).

 x x 2  y  y  x 4  x3  x
(1)

Pt trở thành t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 chỉ lấy t=2  x  1  x  2

Câu
9(1,0
điểm)

5

25
x 
2 x( x  1)  5  2 x  
x
2
16
4 x 2  4 x  25  20 x  4 x 2

25 25
Vậy hệ có nghiệm duy nhất( ; )
16 16
1
1
1
Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn ( 1)( 1)( 1)  1 . Tìm
a
b
c
2
2
2
GTNN của biểu thức P = a  b  c

0,25


TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 (Ngày thi: 28/12/2014) lần I
Môn: Toán – Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 ( ID: 81791 )(2 điểm + 2 điểm). Cho hàm số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối
xứng của đồ thị
b) Có tồn tại hay không tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc
. Chứng minh rằng có
duy nhất một tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm uốn.
Câu 2 ( ID: 81793 )(1 điểm + 1 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải phương trình

.
.

Câu 3 ( ID: 81794 )(1 điểm + 1 điểm)
a) Tính nguyên hàm ∫

.

b) Tính tích phân ∫
Câu 4 ( ID: 81796 )(1 điểm + 1 điểm).
a) Cho tập
b) Tìm số phức z thỏa mãn


, các điểm
và
.
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các điểm A, B và C.
b) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S),
và viết phương trình mặt cầu (S’) đồng tâm với mặt cầu (S’) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P).


Câu 8 ( ID: 81805 )(2 điểm). Giải hệ phương trình {
Câu 9 ( ID: 81806 )(2 điểm). Với a, b, c là các số thực dương, nhỏ hơn và thỏa mãn
chứng minh rằng:
.
-------------Hết---------------Họ và tên thí sinh: ……………………………………..; Số báo danh: ……………………….


ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG, TP HCM
Câu 1.(2,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho
2. Tìm a để phương phương trình x3 – 3x2 + a = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt

3. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ để
tham gia đồng diễn. Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số
học sinh nữ ít hơn số học sinh nam.
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm 0, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 450.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f ( x)  x. (5  x)3 trên đoạn  0;5
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình sau : 2log2 3 (2 x  1)  2log3 (2 x 1)3  2  0
b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3
nhà hóa học nữ, .Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn
phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Câu 5 (2,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có
A  4;8  , B  8; 2  , C  2; 10  . Chứng tỏ ABC vuông và viết phương trình đường cao còn
lại.
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a .Góc
BAC  600 ,hình chiếu của S trên mặt  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác ABC .
Mặt phẳng  SAC  hợp với mặt phẳng  ABCD  góc 600 . Tính thể tích khối chóp
S. ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  theo a .
Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC.
Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có
phương trình là 3x  5 y  8  0, x  y  4  0 . Đường thẳng qua A vuông góc với đường
thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D  4; 2  . Viết
phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
3

2 y  y  2 x 1  x  3 1  x
Câu8 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
(x, y  )
2
2
2
9

4


Điểm

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
+Tập xác định D  \ 1

2đ
0.25

+Sự biến thiên
 Chiều biến thiên: y ' 

3

 x  1

2

 0 x  1 .

0.25

Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  1;  
 Cực trị : Hàm số không có cực trị.
 Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

2x 1
 2 ,đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang
x 
x  x  1

0.5

 ||

2



+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A  ;0 
1
2



Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B  0; 1
Đồ thị hàm số nhận giao điểm của 2 tiệm cận là I  1; 2  làm tâm đối xứng
( Đồ thị )

0.5


2, Viết phương trình tiếp tuyến

2đ

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ta có : k  f ' ( x0 ) 

3
( x0  1) 2


 cos  x   cos   5x 

 k

x 

 x    5 x  k 2
6 3
là nghiệm của phương trình.


 x  5 x    k 2
 x    k

4 2

Điểm
0.5
0.5
1.0

Câu 3. (2 điểm)
Nội dung

Điểm

f(x) = x (5  x)3 hàm số liên tục trên đoạn [0; 5] f(x)  x(5  x)3/ 2 x  (0;5)

0,5



4
2
3

0,25
0,25

0,25


 x2
4
 
3  1 là nghiệm của phương trình đã cho.
x 3

2 3

0,25

b) Tính xác suất
Ta có :   C164  1820
Gọi A= “ 2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ”
B= “ 1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ “
C= “ 1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “
Thì H= A  B  C = ” Có nữ và đủ ba bộ môn “
P( H ) 

0.25


Câu 6. (2 điểm)
S
E

A
D

H

O

B

C

Nội dung
* Gọi O  AC  BD Ta có : OB  AC , SO  AC  SOB  600

Điểm
0.25


Xét tam giác SOH vuông tại H : tan 600 

SH
a 3
a
 SH  OH .tan 600 
. 3

3a
OC  ; OD 
; OE 
2
2
8

Áp dụng công thức :

1
1
1
1
3a



d 
2
2
2
d (O, SCD ) OC
OD OE
112
2

0.5
Mà d  B, SCD   2d  O, SCD  

6a


x

x  y  4  0

2  M  7 ; 1 




2 2
3x  5 y  8  0
y   1

2

AD vuông góc với BC nên nAD  uBC  1;1 , mà AD đi qua điểm D suy ra
phương trình của AD :1 x  4   1 y  2   0  x  y  2  0 . Do A là giao điểm
của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

0,5

3x  5 y  8  0
x  1

 A 1;1

x  y  2  0
y 1


AB  1; 3 , AC   4;0   nAB   3;1 , nAC   0;1

0,25

Suy ra AB : 3x  y  4  0; AC : y  1  0.
Câu 8. (2,0 điểm)
Nội dung

Điểm

Điều kiện: x  1; y    ;  . Ta có
 2 2
3 3

0.25

(1)  2 y 3  y  2 1  x  2 x 1  x  1  x

0.25

 2 y 3  y  2(1  x) 1  x  1  x

Xét hàm số f (t )  2t 3  t , ta có f '(t )  6t 2  1  0, t   f (t ) đồng biến trên
y  0

.
0.25

Vậy (1)  f ( y )  f ( 1  x )  y  1  x  



  x  1  2


Vậy hệ có hai nghiệm.

0.25
2

0.5

0.5


Nội dung

Điểm

(a  b)(b  c)(c  a)(ab  bc  ca)   4  (a  b)(b  c)(a  c)(ab  bc  ca)  4 (*).

0.25

Ta có
Đặt vế trái của (*) là P
Nếu ab + bc + ca < 0 thì P  0 suy ra BĐT được chứng minh
Nếu ab + bc + ca  0 , đặt ab + bc + ca = x  0
 a  b  b  c  (a  c)
(a-b)(b-c)  
 
2


x (5  x)3 (3)
Từ (1) , (2) suy ra P  x.  (5  x)  =
9
4
3


Theo câu a ta có: f(x) = x (5  x)3  6 3 với x thuộc đoạn [0; 5]
2 3
.6 3  P  4 . Vậy (*) được chứng minh.
nên suy ra P 
9

Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0

………. Hết……….

1.0


SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC

Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề

trục Oz.
Câu 7 (1,0điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác vuông
cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu 8 (1,0điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Điểm F(
của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình

là trung điểm

với điểm E là trung điểm của cạnh AB,

điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ
nhỏ hơn 3.
Câu 9 (1,0điểm). Giải hệ phương trình

.

Câu 10 (1,0điểm).
Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện

và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
------------------Hết-------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y =



2

Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ (2 x 3 + ln x) dx.
1

Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, ACB = 30o ,
Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH =

2a. Tính theo

a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thuộc
đường thẳng ∆ : 4 x + 3 y − 12 = 0 và điểm K (6; 6) là tâm đường tròn bàng tiếp góc O. Gọi C là điểm
nằm trên ∆ sao cho AC = AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so với điểm A. Biết điểm C có
hoành độ bằng

24
, tìm tọa độ của các đỉnh A, B.
5

Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0) và B (1; 1; − 1). Viết
phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc
với (P).
Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí
sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình
thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định
câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3
câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau.

ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN

CÂU
Câu 1
(2,0 điểm)

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

a) (1,0 điểm)
Tập xác định: D = » \ {−1} .
● Giới hạn và tiệm cận:
lim + y = − ∞ , lim − y = + ∞ ; lim y = lim y = 2.
●

x → ( −1)

x → −∞

x → ( −1)

0,25

x → +∞

Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = − 1 và một
tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
●


0,25

+
2
–∞

Đồ thị (C):
y

2

−1 O ½
−1

0,25

x


b) (1,0 điểm)
Tung độ y0 của tiếp điểm là: y0 = y (1) =

1
.
2

0,25
3
.


0,25

2

3
16
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 −   =
.
25
5
π
4
Vì α ∈  ; π  nên cos α < 0. Do đó, từ (2) suy ra cos α = − .
5
2 
12
Thế (3) vào (1), ta được A = − .
25
b) (0,5 điểm)

(2)
0,25

(3)

Đặt z = a + bi, ( a , b ∈ » ); khi đó z = a − bi . Do đó, kí hiệu (∗) là hệ thức cho
trong đề bài, ta có:
(∗) ⇔ (1 + i )( a + bi ) + (3 − i )( a − bi ) = 2 − 6i
⇔ (4a − 2b − 2) + (6 − 2b)i = 0

(2) ⇔ log 3 ( x + 2) + log 3 x = 1 ⇔ log 3 ( x ( x + 2)) = log 3 3
●

0,25

⇔ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 1 (do (1)).

0,25

● Điều kiện xác định: x ≥ 1 + 3.
Câu 4
đó, ký hiệu (2) là bất phương trình đã cho, ta có:
(1,0 điểm) ● Với điều kiện
2
(2) ⇔ x + 2 x − 2 + 2 x ( x + 1)( x − 2) ≥ 3( x 2 − 2 x − 2)
⇔
⇔

(1)
0,25

x ( x − 2)( x + 1) ≥ x ( x − 2) − 2( x + 1)

(

x ( x − 2) − 2 ( x + 1)

Do với mọi x thỏa mãn (1), ta có
(3) ⇔


2
Câu 5
3
I
=
2
x
d
x
+
Ta
có:
∫
∫ ln xdx.
(1,0 điểm)
1

0,25

(1)

1

2

2

Đặt I1 = ∫ 2 x dx và I 2 = ∫ ln xdx. Ta có:
3


+ 2 ln 2.
2

Câu 6
(1,0 điểm)

1
AC = a và SH ⊥ mp(ABC).
2
Xét ∆v. ABC, ta có: BC = AC .cos ACB = 2 a.cos 30o = 3a.

Theo giả thiết, HA = HC =

0,25

1
1
3 2
AC.BC.sin ACB = .2a. 3a.sin 30o =
a .
2
2
2
1
1
3 2
6a3
Vậy VS . ABC = SH .S ABC = . 2a.
a =
.

HN 2
1
3a
Vì HN là đường trung bình của ∆ABC nên HN = BC =
.
2
2
1
1
4
11
66a
Do đó
= 2 + 2 = 2 . Suy ra HK =
.
2
HK
2a
3a
6a
11
Thế (3) vào (2), ta được d ( C , ( SAB ) ) =

2 66a
.
11

0,25

0,25

5
5
6
 12
Từ đó, trung điểm E của OC có tọa độ là  ; −  và đường thẳng OC có
5
 5
phương trình: x + 2 y = 0.
Suy ra phương trình của d1 là: 2 x − y − 6 = 0.
Do đó, theo (1), tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
4 x + 3 y − 12 = 0
2 x − y − 6 = 0.

{

Giải hệ trên, ta được A = (3; 0).

0,50

0,25


Gọi d là đường thẳng đi qua K(6; 6) và vuông góc với ∆, ta có phương trình của
d là: 3 x − 4 y + 6 = 0. Từ đây, do H là giao điểm của ∆ và d nên tọa độ của H là
nghiệm của hệ phương trình:
4 x + 3 y − 12 = 0
3x − 4 y + 6 = 0.

{


3 
1
1


Suy ra, phương trình của (P) là: (−1)  x −  +  y −  + (−1)  z +  = 0
2 
2
2


hay: 2 x − 2 y + 2 z − 1 = 0.
Ta có d (O , ( P)) =

| −1|
22 + (−2)2 + 22

=

1
2 3

.

Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là: x 2 + y 2 + z 2 =

0,25

0,25


3
3
giống như A nên n ( Ω X ) = C10
.1 = C10
.
Vì vậy P ( X ) =

n (Ω X )
n( Ω)

=

3
C10
3 2
10

(C )

=

1
1
=
.
3
C10 120

0,25