HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN THPT
DÙNG CHO THI TỐT NGHIỆP - ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Chú ý:

1.Nội dung có chút nâng cao và mở rộng với mục đích dùng cho ơn luyện thi ĐH-CĐ
2.Các nội dung “chữ đậm và in nghiêng”ở phần hệ thống là những nội dung trọng tâm
của thi TNTHPT

VấN Đề 1:ỨNG DụNG ĐạO HÀM
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 Các vấn đề liên quan đến hàm số

Phương trình tiếp tuyến: tại M0; đi qua một điểm M1 hoặc biết hệ số góc k
Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
Cực trị hàm số
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Sự tương giao của hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
Cách xác đònh tiệm cận :
Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi
1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
o Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
o C¸c d¹ng ®å thÞ cã chøa gi¸ trÞ tut ®èi th-êng gỈp:
o
o
o
o
o
o
o




b

f ( x).dx  F ( x)

Dạng 1: Tính I =
Dạng 2: Tính I =

b
/
 f [u(x)]u dx
a

 f (x)dx đặt


bằng cách đặt t = u(x)
x = asint ;x = atant ;………

o Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần:



b

a

b








Tìm số phức z; z; biểu diễn số phức;số phức bằng nhau;…
Thực hiện được các phép tốn về cộng trừ,nhân,chia các số phức.
Tìm được căn bậc 2 của 1 số (thực dương;0;thực âm và số phức)
Giải phương trình trong tập phức (Chú ý PP giải pt bậc 2 và định lý Vi-et)
Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. (Khơng có ở ban cơ bản)

VấN Đề 5:DIệN TÍCH VÀ THể TÍCH CÁC KHốI.






Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
Tính thể tích các khối chóp,khối hộp,lăng trụ,…
Mặt cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,hình hộp,…
o Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Mặt trụ: Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình trụ và thể tích khối trụ
Mặt nón:
o Tính diện tích xung quanh,diện tích tồn phần hình nón và thể tích khối khối nón

VấN Đề 6:PHƯƠNG PHÁP TOạ Độ TRONG KHƠNG GIAN
 Hệ toạ độ trong khơng gian

PHẦN A.GIẢI TÍCH
GV : Phạm Đỗ Hải


PHN 1: HM S
Nhc li 1 s cụng hc v o hm c bn:

u v / u / v /
u.v / u / .v u.v /
C.v / C.v /

8.x

4.

u / .v v / .u
u

v2
v

1
1
9. 2
x
x

5.

C.v /


10. x

ta coự y /

ad bc
(cx d ) 2

11.a

/

1



2. x

a
12.e e
x /

x /

x

. ln a

x


2

2

ta coự

c1
b
x 1
c2
b2

b2 x c 2

c1
c2

2

u

/

1

/

/

19.

a a . ln a.u
e e .u
u /

u

u /

u

loga u /



/

/

u/
u. ln a

u/
u
/
sin u u / . cosu

ln u /




4.Tỡm phng trỡnh tim cn (nu cú)
5.Lp bng bin thiờn
6.Ch ra khong ng bin,nghch bin
7.Ch rừ im CC I,CC TIU
8.Xột tớnh li lừm v im un (i vi hm s bc 3 v hm trựng phng)
Tớnh y cho y=0 tỡm nghim v lp bng xột du y
9.Nhn xột v th:
Ch rừ tõm i xng(trc i xng ca th)
Ch rừ giao im ca (C) vi trc Oy v Ox
Cho thờm im t bit v
10. V th.

1.Haứm soỏ baọc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d
GV : Phm Hi

(a0)


+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac
/  0
/  0
y/ cùng dấu với hệ số a
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
KL: hàm số tăng trên?
KL: hàm số tăng? Giảm?
(giảm trên?)
 Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
Hàm số không có cực trò
 (a  0)

y/
y
-

x1
+
0
CĐ

x 
y/
y +

x1
0

x2
0



a>0

+
+
+

CT



2 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c

(a0)

+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
/
/
2
y =0  x=0
y = 0  2x (2ax + b) = 0  x= 0; x1,2=
KL: tăng? Giảm
KL: tăng? Giảm?
Giá trò cực trò : y(0) = c
 Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(  2ba ) = 
4a
có một cực trò
Có 3 cực trò
+ Giới hạn :

 (a  0)
lim (ax4  bx2  c) = 
x 
  (a  0)

+ Bảng biến thiên :
x 
0


+
+

CT

0

+

0
CĐ



0

+
+

CT

CT

a
+

CĐ


-

CĐ
CT

-

+ Vẽ đồ thò :  cực đại , cực tiểu ;  y = 0 > x= ? giải pt trùng phương
a> 0
b 0
b>0

a< 0
b>0

a< 0
b
c

ax  b
=
x  cx  d

là tiệm cận ngang vì lim

+Bảng biến thiên :
x 
d/c
+
/



y
y a/c
+ 

a/c

x 
y/
+
y
a/c

a
c


+ TXĐ: D = R\  f 

 e

+ Đạo hàm : y/ = ae.x

 2af .x  (bf  ce )

2

có / =(af)2 (bfc e).ae

(e.x  f ) 2

/ < 0
y/ cùng dấu với ae
Hàm số không có cực trò

/ > 0
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
 Giá trò cực trò tính theo CT : y =

+ Tiệm cận :  x =  f là tiệm cận đứng

vì

e

lim f ( x ) =

e

2ax  b
e



x + ( b  af2 ) là t/c xiên
e

e

a.e > 0





x 
y/
+
y


x1
0 
CĐ

x2
0

y +

x1
0
CT

f/e
+

+
+  


+ Vẽ đồ thò : ( như hàm phân thức )
Xiên

Xiên

Xiên

đứng

đứng

đứng

Xiên

(ban cơ bản khơng khảo sát hàm số này)


 k(x  x1 )  y1

(x)  k

(1)
(2)

có nghiệm

 Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = 

1
a

 Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
 Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?
 Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
 Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) đã vẽ và
y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
 Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thò (C): y =f(x)
 Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = g(x)

/

3) x0 là cực trị của hàm số  y / ( x 0 )  0
y ( x ) đổi dấu qua x0
 Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo:
 f / (x )  0
+ xo là điểm cực trị   / / 0
 f ( x0 )  0
 f / ( x0 )  0
+ xo là điểm cực đại <=>  / /
 f ( x0 )  0
 f / (x )  0
+ xo là điểm cực tiểu <=>  / / 0
 f ( x0 )  0

 Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0
 f / ( x0 )  0

Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0 khi  f ( x 0 )  y 0
 f // ( x )  0
0



v



u

. Do đó giá trò cực trò y(x0) =

v

u(x 0 )
v(x 0 )

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
-

a  0
Để hàm số y  f  x  có 2 cực trị  f '  x   0 có nghiêm  
  0

-

Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung  yCD . yCT  0

-

Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  xCD .xCT  0

GV : Phạm Đỗ Hải


2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
 Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
 Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
 Lập BBT:
 Từ BBT kết luận
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ

min y  y
ct
[a;b]
max y 
[a;b]

yCĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
 nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
 nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
 Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x)
Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
nào đó thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

x 

x

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

a

f (x)
lim
x  x

;

b



lim f (x)  ax
x 



 y = ax + b là tiệm cận xiên

Bài tốn 9: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể tròn xoay sinh
bởi 1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy

 (C1 ) và (C2 )
(H ) 


VOx    y

2
C1

y

a

2
C2

dx

VOy    xC21  xC22 dy
c

Bài tốn 10: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
 Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
 Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
 Giải hệ và kết luận
……………………

Bài tốn 11:Bài tốn tìm quỷ tích của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)






 Vẽ đồ thị (C): y = f(x)
 Đồ thị (C2) gồm 2 phần:
 Các phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung (hay phần đồ thị (C) ứng với x >0)
 Phần đối xứng của phần đồ thị trên trục Oy.
c) Dạng đồ thị (C3) của hàm số: y  f  x 

 f x   0
 y   f x

Ta có: y  f  x   

(Do đó y  f  x  được coi là hàm đa trị của y theo x)
 Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x)
 Đồ thị (C3) gồm hai phần:
 Phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành.
 Phần đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Ox.
d) Dạng đồ thị của hàm số: y =

 f x
f  x   g  x 
Ta có: y =
=
g  x   f x 
 g  x 
 Vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =

f x

g x
nÕu

 Phần đồ thị của hàm số: y = -f(x) + g(x) ứng với f(x) < 0
 Mở rộng:
Vẽ đồ thị hàm số: y = f1  x   f 2  x   ...  f k  x   g  x 
 Ta vẽ đồ thị trên các khoảng mà ở đó biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không đổi dấu.
g) Dạng đồ thị (C7) của hàm số: y = f  x 
 Ta vẽ đồ thị (C): y = f(x)
GV : Phạm Đỗ Hải


 Sau đó vẽ đồ thị (C2) của hàm số: y = f( x )

 Tiếp đó thực hiện cách vẽ đồ thị (C1) của hàm số: y = f  x  .
Tóm lại ta thực hiện dần các bước như sau:
y = f(x)  y = f( x )  y = f  x 
……………………

PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a n =

1
an

; a0 = 1 0 ;

m
n m
an  a

( m; n nguyên dương , n > 1)

 y

 a

x

a

x.y

 Hàm số mũ : y = a x với a > 0 ; a  1
TXĐ : D = R
MGT : (0; + )
+ a > 1 ; h/s đồng biến :
x1 > x2  a x1 > a x2
+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x1 > x2  a x1 < a x2
* Hàm số logarit:  = logaN  a = N
logax = b  x= ab
 Đặc biệt : a log a x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:
log a (B.C) = log a B + log a C

 B
log a   = log a B  log a C log a B = log a B

C
 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :

log c a.log a b =



> ( eu)/ = u/.eu
> ( au)/ = u/.au.lna


(lnx) / =

1

x (0;+)

> (lnu)/ =

x

(logax) / =

u
u

1

u

> (logau )/ =

u. ln a

x ln a


Đk t > 0

f (x)

Đk t > 0

a

. a b  f (x) +. a bf (x) +  = 0 ;

Đặt : t =

a

. a f (x) +. bf (x) +  = 0 và a.b = 1;

Đặt: t =

a

. a 2f (x) +.  a.b 

f (x)

f (x) 1

a
Đặt t =  
b


g(x)  0)

Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ
Cách 4. Sử dụng pp mũ hố 2 vế :
Cách 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit (thường thì PT có 1 nghiệm duy nhất)
Cách 6. Sử dụng pp đồ thị

Bài tốn 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các
cách giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:

 Bất phương trình mũ dạng:
TH1 :

0 < u(x) 1


a

TH1 :

0 < u(x) 1

log u(x) f(x)  log u(x) g(x)  f (x)  g(x)

;

log u(x) f(x) 

TQuat :

0 < u(x) 1

f(x)0
log u(x) g(x)  
g(x)0
[ u(x) -1][f (x) g(x)]0


Lưu ý:

(ax  b)

 C (
 (ax  b) dx 
a(   1)



= lnx + C ( x 0)

x
x
 e .dx =

e +C
a

 Sinx.dx

ax  b

1

lnax+ b + C

a
.dx 

1 ax+b



dx
2
Sin x

=

2
 (Cot x  1).dx

+C

a

ln a
 Cosx.dx

=

ax  b

e

x

x
 a .dx =

dx


Sin (ax  b)

1

= tan(ax+ b) + C
a
1

=  Cot(ax+ b) + C
a

Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I =  f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x)  dt  u'(x)dx
 I =  f [u(x)].u '(x)dx   f (t)dt

GV : Phạm Đỗ Hải


Dạng 2: Tính I =  f (x)dx Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a x
a2  x2 ;

1

;



Đặt

t  n ax  b

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
1  cos 2 x
1  cos 2 x
cos2 x 
, sin 2 x 
2
2
x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t  tan
2

 f(
6.  f (
7.  f (
5.

8.

 f(

a 2  x 2 ).dx

Đặt

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
 u(x).v'(x)dx  u(x).v(x)   v(x).u'(x)dx

Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax 
@ Dạng 1
 f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
 ax 
e 
u  f ( x )
du  f '( x ) dx


sin ax 
sin ax 

Đặt
Sau đó thay vào công thức




dv  cos ax dx
v   cosax  dx


 ax 
 ax 

e

ax

.

 udv  uv   vdu

sin ax
cosax dx



để tính

Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:

 sin(ax+b).sin(cx+d)dx ;  sin(ax+b).cos(cx+d)dx

 cos(ax+b).cos(cx+d)dx .

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:  sin n ax.cosmaxdx (n,m là các số nguyên dương)
*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).


ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn

 g(x) dx theo trường hợp sau.
Trường hợp 2: tính  r(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
g(x)
phải tính

r(x)

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C




(*) ( x1; x2 là nghiệm của g(x).
2
2

g(x)

a(x  1).(x  x 2 )

(x  x1)


GV : Phạm Đỗ Hải

a 2  x 2 ).dx

Đặt

x  a sin t


o
o
o

 f( a
 f( x

2

 f(

 x 2 ).dx

Đặt

x  a tan t

 a 2 ).dx

Đặt


b
 F (b)  F (a)
a

Bài toán 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản.
Bài toán 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
/
 f [u(x)]u dx
a

Dạng 1: Tính I =




bằng cách đặt t = u(x)

Đặt t = u(x)  dt  u'(x)dx
Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
b
/
 f [u(x)]u dx
a

I=

Dạng 2: Tính I =


1
2
a  x2

thì đặt x = atant.

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b
b b
 udv  u.v a   vdu
a
a

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1







sin ax 
f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
 ax 
e 


sin ax 
sin ax 






dv  cos ax  dx v   cosax  dx
ax
ax


e

e 
a.dx
ax  b
f ( x ) dx

để tính

sin ax
cosax dx



Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
@ Dạng 3:



Dạng 2:

 sin

n

ax.cos max.dx

(n,m là các số nguyên dương)



*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
*) n,m  Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.
Dạng 3:


 R(sinx,cosx)dx


R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, cosx) = R(sinx, cosx)

 g(x)

 h(x)

Như vậy  h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy


Trường hợp 2: tính  r(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
 g(x)

Nên

ta chỉ còn phải tính

 r(x)
dx theo

 g(x)

trường hợp sau.

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C



ax  b ).dx

Đặt

t  n ax  b

PP đổi biên dạng 2: Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số
các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
o

 f(

GV : Phạm Đỗ Hải

a 2  x 2 ).dx

Đặt

x  a sin t


o
o
o

 f( a
 f( x

2


cos t

Bài tốn 7: Tính tích phân chứa dấu giá trị tun đối. Tính

b
 f (x) dx
a

+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng khơng có nghiệm nào thuộc [a;b] hoặc có một
b
 f (x) dx
a

nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm còn lại khơng thuộc [a;b] thì
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c (a;b) thì

b
 f (x) dx
a

=

=

b
 f (x)dx
a

c

trục hoành x  0;y  a; y  b

 Hình phẳng giới hạn bởi : 

tích : S =

 Hình phẳng giới hạn bởi :
hàm số y  f (x) liên tục trên [a;b]

hàm số y  g(x) liên tục trên [a;b]
x  a; x  b


x
b
 | f (y) | .dy
a

y
Diện tích : S =

b
 | f (x)  g(x) | .dx
a

y=f(x
)
y=g(
x)
x

  f (x) .dx
a

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 hàm số x  g(y) liên tục trên [a;b]
quay

trục hoành x  0;y  a; y  b

quanh trục Oy và g(y)  0 trên [a;b] thì V =

* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
GV : Phạm Đỗ Hải

b
2
  g(y) .dy
a


 hàm số y  f (x); y  g(x) liên tục trên [a;b]
quay

 x  a; x  b

quanh trục Ox thì V =

b
2
2

a b
hợp của số phức ở mẫu)

Bài tốn 2:Căn bậc 2 của số phức:
Định nghĩa căn bậc 2: z là căn bậc 2 của w <=> z2=w
Chú ý:
 căn bậc 2 của w=a (a là số thực dương) là z=  a


căn bậc 2 của w=a (a là số thực âm) là z= i a




căn bậc 2 của w=0 (a là số thực dương) là z=0
căn bậc 2 của số phức w=a+bi
Phương pháp:
o Giả sử:z=x+yi ; x,y là số thực là căn bậc 2 của số phức w=a+bi
o lập hệ
 x2  y 2  a
2
2
2
2
z  w   x  yi   a  bi  x  y  2 xyi  a  bi <=> 
2 xy  b
o Giải hệ tìm x;y Kết luận

Bài tốn 3: Giải phương trình bậc 2.


b

sin   r
2. Tìm 1 Acgumen  sao cho 
co s   a

r
3. Thay r và  vào công thức z = r(cos+isin)
a b
Cách 2: Biến đổi: z=a+bi = r(  i )= r (co s   i.sin  )
r
r

CỦNG CỐ :Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng (Không có ở ban cơ bản )
Cho số phức z=ax+b; a,b R.được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trong mặt phẳng phức
Acgumen của số phức z: số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một
acgumen của số phức z.
y


Nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen của z có dạng +k2, kZ



Kí hiệu r là môdun của z thì r = |z| = a 2 b 2 , r > 0.
a=rcos , b=rsin.
Từ đó suy ra dạng lượng giác của số phức z = r(cos+isin)





O

1 1
 [cos( )  i. sin( )]
z r


Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z = r(cos+isin) có hai căn bậc hai là

r (cos

Hay z = r(cos+isin) có hai căn bậc hai là =

2

r cos(

sin ) và
2

2

)

*Căn bậc n của số phức z có n giá trị khác nhau zk :
zk =

n


) , với r > 0.

x


Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình



Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình tròn,...)
1
Tính thể tích khối chóp
V = Bh ;





Tính thể tích khối hộp chữ nhật
V= a.b.c
Tính thể tích khối lăng trụ:
V= Bh.
Khối cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp
 Dựng trục d của đa giác đáy
 Trong mp chứa cạnh bên và trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực)
của cạnh bên
 Khi đó:gọi I  d  d ' Suy ra I là tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp
 Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh của hình chóp)


Chú ý:
o Các dạng toán:song song,vuông góc ở lớp 11(đặc biệt là các bài toán giao tuyến và thiết diện)
o Không dùng trực tiếp công thức tỉ số thể tích mà phải chứng minh(Lập tỉ số thể tích thông
qua việc tính diện tích của hai tam giác đồng dạng)
Ví dụ:
Ta có: AH là đường cao chung của 2 hình chóp A.SMD và A. SBD. Nên ta có:
1
1
S SMD . AH
VS . AMD VA.SMD 3
S SMD 2 SM .SD.SinS SM





1
VS . ABD VA.SBD 1 S . AH S SBD
SB
SB
.
SD
.
SinS
SBD
3
2
Vậy:



k


Tính chất :

Tích

Cho


a


b =

= (a1;a2; a3) ,

(b1;b2; b3)

 
 a  b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)

 k. a = (ka1;ka2;ka3)
kR



vô hướng :
a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos




OM =


b =

k.


a 

(x;y;z) 

 
a , b ]

[


OM =

x.

=


i +





a

;[

 
a , b ]



x  k.x

B
x M  A
1 k


y  k.y

A
B
y M 
1 k


z  k.z
B
z  A

1
z G  (z A  z B  z C )
3


 
a , b ]

z.

( xB xA ; yByA;zB zA)

 M chia đoạn AB theo tỉ số k1 (

*[



[


b

 Đk đồng phẳng của 3 véctơ :

=

a a
a a
a a

1
AB2AC2  (AB.AC)
2
 

tứ diện ABCD : VABCD = 1 [ AB , AC ]. AD 
6
 

hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ]. AA 

 Diện tích tam giác ABC :
 Thể tích

 Thể tích

SABC =

Hoặc

SABC =

 
1
.[ AB , AC ]
2

Bài tốn 1:Xác đònh điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình học ...
GV : Phạm Đỗ Hải



)

+ Bán kính R = IA
 Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng ()
bán kính R = d(I; ())

Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
x - x o y - yo z - zo


;
mc(S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2
a
b
c
Tính d(I; (d)) = ?
Nếu: d(I; d ) > R <=> (d) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
 d(I;  ) = R <=> (d) tiếp xúc với (S) ( d là tiếp tuyến)
(d)  (S) =M0 ;
 d(I;  ) < R <=> (d) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A và B
(Chú ý:AB sẽ vng góc với đt qua tâm I tại trung điểm của nó)

Cho (d) :

Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng


Giả sử (d)

 x  a  At

 y  b  Bt
 z  c  Ct


+ Toạ độ điểm H là nghiệm hệ PT (gồm pt mp() và pt đ.thẳng (d))
+ Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy ra toạ độ điểm H

Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
+) Tính


IM0

+) Mặt phẳng tiếp diện () qua M0 nhận


IM0

làm VTPT.

Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu
(S) và mặt phẳng().
(Thường hay gọi là đường tròn trong khơng gian)
+ bán kính r = R 2  [d(I ; )]2

*(A;a) thì VTPT

n  [u a , AB]

* () //() thì VTPT
* () a thì VTPT

với B a.

n   n

n  ua

* () có hai vectơ chỉ phương

a,b

thì

n   [a, b] .

*() đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP
GV : Phạm Đỗ Hải

a thì n   [u a , AB]

( thay

ua