SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………………………….
CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……………………..
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI…………………………………………………………1
1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………....1
2. Nhiệm vụ của đề tài…………………………………………………………….......1
3. Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………………...1
PHẦN II: NỘI DUNG……………………………………………………………………..2
1. Những vấn đề lý luận chung……..………………………………………………....2
2. Thực trạng của vấn đề……….……………………………………………………..2
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề…………………………………..2
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………….12
PHẦN III: KẾT LUẬN…………………………………………………………………..13
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………..14

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

1


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Học sinh:
Giáo viên:
Hình học :
Phương pháp vectơ:
Sách giáo khoa:
Sách bài tập:

gặp phải một số khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu trong quá trình giải bài tập và không
tránh khỏi những sai lầm khi giải toán hình học 10.
Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên làm quen với đối tượng
mới là vectơ, các phép toán trên vectơ. Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc
trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình
học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên
khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của
bài toán.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại.
Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng giải toán
bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10” nhằm giúp học sinh có
cách nhìn rộng hơn, hình thành cho học sinh kỹ năng giải các bài toán hình học bằng
PPVT.
2. Nhiệm vụ của đề tài
Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.
3. Phạm vi nghiên cứu
Bài tập hình học phẳng bằng phương pháp vectơ trong chương I, chương II SGK,
SBT hình học 10 theo chương trình cơ bản và nâng cao.
Kỹ năng giải toán hình học bằng PPVT của học sinh khối 10 trường THCS&THPT
Hà Trung.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

3


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

mới là vectơ, các phép toán trên vectơ. Học sinh khó khăn trong việc chiếm lĩnh hai đặc
trưng độ dài và định hướng của vectơ,khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số_hình
học của phép toán vectơ nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong sử dụng PPVT.
Khó khăn thứ hai khi sử dụng PPVT là do thoát khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên
khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của
bài toán.
Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông
thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Trong quá trình dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho
học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để
giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

4


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

giáo phải hình thành cho học sinh môt quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một
bài toán.Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho môt bài toán thường được tiến hành
theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải.
Sau đây là ví dụ áp dụng quy trình bốn bước giải toán của Polya để chứng minh:
Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm I, bán kính R và một điểm M. Một đường thẳng qua M
uuur uuur
bất kì cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng: MA.MB  MI 2  R 2 (*)


uuuur

uur

uuur

uuur

uuuur uur

uuur

- GV: Tìm mối liên hệ giữa MB và B ' A ; IB và IB ' . Hs: MB  B ' A, IB   IB '
Bước 3: Trình bày lời giải
uuur uuur

uuur uuuur



uuuur



uuur uuuur



uuur uur

đối với đường tròn (I) kí hiệu PM /( I ) .
Áp dụng quy trình bốn bước trong dạy giải bài tập toán hình học 10, giáo viên cần
hình thành cho học sinh các bước giải toán hình học bằng phương pháp vectơ theo quy
trình bốn bước sau:
Bước 1: Chọn các vectơ cơ sở.
Bước 2: Dùng phương pháp phân tích vectơ và các phép toán vectơ để biểu diễn,
chuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ.
Bước 3: Giải bài toán vectơ.
Bước 4: Kết luận, đánh giá kết quả.
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

5


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Cụ thể minh họa quy trình bốn bước trên bằng ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho góc xOy và hai điểm di chuyển trên hai cạnh của góc. M thuộc Ox, N
thuộc Oy, luôn thỏa mãn OM = 2ON. Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn thuộc
đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải:
uuur uuur
Bước 1: Lấy điểm A  Ox, B  Oy sao cho OA = OB, và chọn hai vectơ OA, OB làm
hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ trong bài toán đều phân tích được( hoặc biểu thị được) qua hai
vectơ này.
uuur
uuur
uuuur
uuur
Bước 2: Giả thiết OM = 2ON, nên nếu ON  kOB thì OM  2kOA . Điều phải








N

Bước 4: Nhận xét:
uuur
uuur
r uuur uuur
Nếu lấy OA '  2OA thì v  OA '  OB , suy ra đường thẳng cố định nó đi qua O và
trung điểm của A’B.
Lưu ý học sinh: Ta có thể tổng quát hóa bài toán theo hai cách:
- Thay cho giả thiết OM = 2ON bằng OM = m.ON (với m là hằng số)
- Thay cho kết luận: Trung điểm I của MN thuộc đường thẳng cố định bằng kết luận:
IM p
 (p, q là các số dương) đều thuộc một đường thẳng
Mỗi điểm chia MN theo tỉ số
IN q
cố định.
Ví dụ 3: (Bài toán 3_tr 21_SGK HH 10-nâng cao)
Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm ,
trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ngôn ngữ hình học
Ngôn ngữ vectơ
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur
Chọn các vectơ cơ sở: OA, OB, OC . Ta sẽ phân tích vectơ OH , OG qua ba vectơ này.
uuur 1 uuur uuur uuur
Giải: Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: OG  OA  OB  OC
3
uuur
uur
Gọi I là trung điểm của BC. Dễ thấy AH  2OI nếu tam giác ABC vuông.
Nếu tam giác ABC không vuông, gọi D là điểm đối xứng của A qua O.
Khi đó: BH song song với DC
BD song song với CH
A
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó I là trung điểm
uuur
uur
của HD. Từ đó AH  2OI
uuur uuur
uur uuur
Tacó: OB  OC  2OI  AH nên
O
H
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
G
OA  OB  OC  OA  AH  OH
C
uuur
uuur
B
I
Vậy OH  3OG suy ra O, H, G thẳng hàng.

MA  MB  MC  3MG
G là trọng tâm tam giác ABC (M là điểm tùy ý)

B

I
A

G
B

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

C

7


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Ba điểm A,B, C thẳng hàng
Hai điểm B, C trùng nhau

uuur
uuur uuur
uuur
AB  k AC , AC  k BC ,
uuur
uuur uuur
OC  kOA  lOB

MA  k MB
uuur
uuur
uuuur OA  kOB
OM 
1 k
uuur uuur
uuuur
AB  AC  2 AM

A

B

M

C

uuur uuur
Hai đường thẳng vuông góc
AB.CD  0
AB  CD
Như vậy, việc chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ là điểm xuất phát trong việc sử
dụng công cụ vectơ để giải toán.
Kỹ năng thứ hai: Phân tích một vectơ thành tổ hợp vectơ.
Một khâu mấu chốt khác nữa để giải bài toán hình học bằng PPVT là GV cần rèn
luyện cho HS kỹ năng vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để phân tích
một vectơ thành một tổ hợp vectơ khác nhau.
 Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc hình bình hành.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = a. Gọi I là tâm đường

IB '   IB
a

(2)
(3)

8


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

A

uur
uur
uur
uur r
b uur c uur
IA   IB  IC  a.IA  b.IB  c.IC  0
a
a

C'

B'
E

D

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Kết quả vừa chứng minh là sự mở rộng đẳng thức AB.CD  AC.DB  AD.BC  0 khi
A, B, C, D nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ 6:
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao
uuur
uuuur r uuur
uuur r uuur uuur r
cho: MB  2MC  0, NA  2 NC  0, PA  PB  0 . Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng.













Hướng dẫn giải:

uuur uuur
Chọn hai véc tơ AB, AC làm hai vectơ cơ sở. Mọi vectơ xuất hiện trong bài toán đều
được phân tích qua hai vectơ này.
Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

9


uuur uuur uuur
1 uuur 2 uuur
PN  PA  AN   AB  AC
B
C
2
3
uuuur
uuur
Ta thấy PM  3PN . Vậy M, N, P thẳng hàng.





M

Kỹ năng thứ ba: Ghép một số vectơ trong một tổ hợp vectơ.
Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN.
uur uur uur uur r
Ta biết rằng IA  IB  IC  ID  0
B
uur uur uur uur r
F
Đặt tổ hợp vectơ IA  IB  IC  ID  v
r
M
C
Nếu nhìn v dưới dạng

Nếu nhìn v dưới dạng
r uur uur uur uur
uur uur
v  IA  IB  IC  ID  3IG  ID với (G là
E



 





 







trọng tâm tam giác ABC) ta có G, I, D thẳng
D
hàng.
Tương tự, sẽ dẫn đến các đoạn nối mỗi đỉnh của tứ giác ABCD và trọng tâm tam giác tạo
bởi ba đỉnh còn lại đồng quy.
Rõ ràng nếu nhìn một tổ hợp vectơ theo từng nhóm ta có được nhiều kết quả thú vị.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

Tóm lại: MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Kỹ năng thứ tư: Khái quát hóa một số những kết quả để vận dụng vào bài toán
tổng quát hơn.
Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về vectơ để chứng minh một số
tính chất trong hình học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp,
khái quát hóa…chẳng hạn giúp học sinh khái quát hóa những vấn đề sau:
uuur uuur uuur uuur r
- O là tâm của hình bình hành ABCD: OA  OB  OC  OD  0
- O là trung điểm của đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo hoặc hai
uuur uuur uuur uuur r
cạnh đối của tứ giác ABCD: OA  OB  OC  OD  0
Ví dụ 9: Ta có bài toán:
uuur uuur
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : AB 2  CD 2  BC 2  AD 2  2 AC.BD (*)
Từ bài toán trên ta thấy:
uuur uuur
Nếu tứ giác ABCD có AC  BD thì AC.BD  0 ,khi đó : AB 2  CD 2  BC 2  AD 2 .
uuur uuuuuuur
Nếu tứ giác ABCD có AB 2  CD 2  BC 2  AD 2 thì từ (*) suy ra AC.BD  0 hay
AC  BD .
- Trong tứ giác ABCD: AC  BD  AB 2  CD 2  BC 2  AD 2
Ví dụ 10: Ta có bài toán: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam
uuur uuur uuuur
uuuur
giác ABC và A’B’C’ thì: AA '  BB '  CC '  3GG '
Từ bài toán trên , ta đặt bài toán “phủ định” là: Điều kiện cần và đủ để hai tam giác
ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm?
uuur uuur uuuur r
- Hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm: AA '  BB '  CC '  0


-Giả sử BI  k BF . Vì A, I, E thẳng hàng nên

uuur uur
uuur uur
AE , AI cùng phương. Biểu diễn AE , AI theo hai

A

r r
vectơ cơ sở a, b sau đó dùng điều kiện cùng
phương ta tìm được k.

B
E I

AIC  900 , tương đương
-Điều phải chứng minh ·
uur uur
uur uur
AI .CI  0. Với AI , CI đều phân tích được qua
r r
rr
a, b (để sử dụng giả thiết a.b  0)

D

C

F


5
5
uur uur  6 r 2 r  1 r 3 r  6 2 6 2
Ta có: AI .CI   a  b  a  b  
a  a  0 . Suy ra AI  CI
5  5
5  25
25
5
AIC  900 .
Kết luận ·

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

12


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

PPVT có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài tập hình học. Tuy vậy, trong quá
trình thực tế đứng lớp giảng dạy khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp một số
khó khăn, và không tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học lớp 10.
Sau đây là những sai lầm cơ bản của học sinh trong quá trình giải bài tập:
uuur uuur uuur uuur
Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB . Với bài
toán trên, nhiều học sinh đã hiểu bài toán này như sau: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng
minh rằng AB + CD = AD +CB. Vì hiểu sai bài toán dẫn đến khó khăn trong quá trình
tìm lời giải bài toán.
uuur uuur
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB  3, AC  5, BC  7 . Tính AB. AC , tính góc A,

uuur uuur
uuur uuur 1
15
AB. AC
1
A
  . Suy ra góc A bằng
Ta có AB. AC  ( AB 2  AC 2  BC 2 )  
, cos µ
2
2
AB. AC
2
0
0
120 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB, AC là 60 .
4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến này được áp dụng trong quá trình giảng dạy chuyên đề hình học ở các lớp
mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THCS & THPT Hà Trung năm học 20112012 , 2014-2015. Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp đã nghiên cứu tôi
thấy kỹ năng giải toán hình học bằng phương pháp vectơ của các em được nâng lên rõ rệt,
góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục
của nhà trường nói chung. Điều đó được minh chứng bởi kết quả học tập của học sinh lớp
10/1, 10/2 năm học 2011-2012 và học sinh lớp 10/1 trong học kì I năm học 2014-2015.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

13


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10


Lớp

Sĩ số
40

Giỏi

Sĩ số

Yếu
11
27,5%

Trung bình
17
42,5%

Khá
9
22,5%

SL
12
10

TL
38,7%
25%


bằng PPVT. Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu của học sinh, đều có tác dụng rèn
luyện năng lực giải toán cho học sinh THPT.
Kết quả thu đươc qua thử nghiệm đã chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của các biện
pháp mà sáng kiến đề cập tới. Sáng kiến đã góp phần nào trong việc nâng cao chất lượng
dạy và học ở trường THCS & THPT Hà Trung.
Với những ý kiến được trình bày trên đây hi vọng rằng sáng kiến sẽ là tài liệu tham
khảo cho quý Thầy cô giáo, cho các em học sinh góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
nói chung và bộ môn toán nói riêng. Với kinh nghiệm còn ít ỏi của mình chắc chắn sáng
kiến này còn thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến độc giả để bản sáng kiến được
đầy đủ và có ý nghĩa thiết thực hơn. Đồng thời đây cũng là vấn đề mở cần được tiếp tục
nghiên cứu mở rộng thêm.

Văn Bùi Vũ_Trường THCS & THPT Hà Trung

15


SKKN: Rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp vectơ trong chương trình hình học 10

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. G.Polya – Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục-1997
2. Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài toán Hình học 10, NXB Đại Học Quốc
Gia Hà Nội.
3. PGS.TS Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Việt Dũng (2011), Tuyển chọn 400
bài tập Toán 10 Hình học, NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh.
4. Lê Đức, Vương Ngọc (2010), Các dạng toán điển hình Hình học 10, NXB Đại Học
Quốc Gia Hà Nội.
5. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Thất Tôn, Đặng Quang Viễn
(1996), Toán bồi dưỡng học sinh Hình học 10, NXB Hà Nội.
6. Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp