Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
TUYỂN CHỌN BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
(Tài liệu Tổng Ôn Môn Toán cho kì thi THPT Quốc Gia 2016 )
I-Bài tập :




4

2

1
dx
1) I = 
2
1

2cos
x



4





2


6) I =



8) I =





2

1
9) I =  sin x. sin x  dx
2

2

6

10) I =

6

1
dx
0




+84 (4) 3519-0591

7sin x  5cos x

4



Tổng đài tư vấn :

x   x  sin x  sin x
dx
1  sin x  sin 2 x

3




13) I =

3

2
3

2

11) I =

0  2  3sin x  1 dx
2

14) I =

- Trang | 1 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />



2

sin x



15) I =

 sin x 

0

3 cos x

e

17) I =

 sin x
sinx-sin x 
21) I =   e .sìn2x+
dx
cos
2
x

7

0
1
e 2
 ln x  1
x
23) I = 
dx
x

ln
x
1
3

2

1

 2



.e

1
cot x
sin 2 x

 1x

e
x


 2 tan x  dx
31) I =   2  x 
2

 cos x

3 x


4 

1

1

35) I =



2

x

cos 4 xdx

0

ln 3 1  ln 2 x
dx
1
x

34) I =

4

x

.e dx







36) I  x.log 2 x  9 dx
2


0



33) I 

x  tan x e x dx

ln x
dx
x 1

3

4

3

2

0

1

1

1

22) I =


(x 2  5 x  6)e x
19) I= 
dx
x
x

2

2013.
e


0

27) I =

x2
dx
2
 2x  4

2

1

25) I =

1
dx


1

41) I =

x  x3  2014 x
dx
x4
e

2
1

x

3  e  2e  7
x

x 2 .e  x

  x  2

x

dx

40) I =

2


2 x 2  x 1  2ln x   ln 2 x

x

2

 x ln x 

2

dx

- Trang | 3 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />HD GIẢI:

4

1) I =

1
 1  2cos2 xdx



4



.
dx
tan 2 x  3 cos 2 x

4

1
Đặt t = tanx => dt =
dx . Đổi cận... => I =
cos 2 x
=> dt =

3 (1+tan2 u)du. Đổi cận... => I =

1

t

1

2

1
dt . Đặt t = 3 tanu
1

 3
9






x
x
12
dx  
dx

2
1  s ìn2x
2 0
0
0  sin x  cos x 

I1  

x



sin  x  
4


dx

2



4
20
4




v   cot  x  4 
sin  x  
sin 2  x  



0

4
4









sin x
1
1  cos 2 x
1




1
  2 1 2 d  sin x  cos x 
1 1

  cot  x    
dx   ln sin x  cos x
4
4  0 2 0 sin x  cos x
2 2

 2
Vậy I = I1  I 2 
4
Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591


2
0



1
2

- Trang | 4 -

t
t

2
t
t

2
3
3
3

. Đặt t =







2





2
1

t 2

2



6 1

ln 2  3
3
2

1

dt

t

2

3
2




3

1
 sin 2 2 x.cos2 xdx

4) I =


4

4

4






1
1
1
tan x  3
3 2 3 1
2
3
  1  tan x  d  tan x   cot 2 x    tan x 

 
4
2
4
3
6
3



1sin2x

0

4

.2sìn2xcos2xdx   2sìn2xcos 4 2xdx  I1  I 2
0


4



1sin2x

Tính: I1= 2

.2sìn2xcos2xdx . Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận ...

0


 du  dt
 u t

I1   2  t  1 dt   t.2 dt   2 dt . Đặt: 

2t
t

6  1

I1 
.2t 
2t dt   2t dt 

 1  2t dt

ln 2 1 ln 2 1
ln 2  ln 2  1
1
2

2

2

6  1
4
2
 1 t2


 1 .
.2 
 2
ln 2  ln 2  ln 2 1 ln 2 ln 2


hoctoancapba.com



4



5

1
5

2 
1  1
2

ln 2 
ln 2  5



6) I =

4

3

4

=




4

0
1 

 1

  1 
 1dx   x  tan x      tan x  x  04
dx   
2
2
cos
x
cos

1


3

0

0

3



sin x.e dx 1
e
sin x x


dx

0 1  cos x 0 1  cos x 2 0 2 x 0 1  cos xe dx
cos
2




x
x
.cos
x
x
2
2 2sin
2
2
1
e
1
e
x
x
2

dx
2 0 cos 2 x
v

2
tan
x
2


cos
2

2

2

= I

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 6 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />

 


x


 sin

2

x

dx 

3

2
3

dx

 1  sin x = I

1

+I2

3

2
3




cot
x
dv



sin 2 x

cot xdx 





3

 ln sin x

2
3






3


 cot
 2cot
 42 3
12
12
12



Vậy I =

3



2



1
2

2
3





3

2
6


2

=

 sin x.



3
 cos 2 xdx . Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
2

6

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 7 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />0

Đổi cận... => I = -


3
3
1
4 3
2
cos
udu

1

cos
2
u
du

u

sìn2u



    2 
2 0
4 0
4
2
 0 16
4

I=





6

d  tan x 
dx
3 3
6   2 ln


2


2
ln
tan
x

1
2
0 tan x  1
0
cos2 x 1  tan x 
3
0
6

=> I =





2

2
sin x
cos x
= 3
dx  4 
dx = I1 +I2
2
2
3

cos
x
4

sin
x
0
0


2

Tính: I1 = 3


2



d  sin x 
cos x
sin x  2 2
=
4
= ln3
dx


ln
0 4  sin 2 x
0  sin x  2sin x  2 
sin x  2 0

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 8 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
 3

Vậy I =

4
4


 
2
2
2
2
3
7
sin
t
.

.cos
t

5
cos
t
.

sin
t
.





3
4

2 sin t  6 2 cos t
1
dt   cot t 
3
sin t
2
2

2

3
4

d  sin t  1
3
 
3
3
2 2sin 2 t
sin t

2

3
4



2
2
4  1  tan x

 cos x  1  tan x

6

=> I = -

tan 2 x  1

  tan x  1 dx
2

Đặt t = tanx => dt = ( tan2 x + 1) dt, đổi cận...

0

1
3

I=-

1

dt

  t  1


- Trang | 9 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />



2

2
cos x
I 
dx   x.cos xdx  I1  I 2
2

3sin
x

1
0
0



* Tính I1 = I1 

2

cos x

2

2  2ln 22  1  2ln 3 





3 1 2t
3 1 2t
3
3
1
2 4 3
 I1   ln
3 3 4

 I1 



ux
 du  dx

dv  cos xdx v  sin x



2






2

 I 2  x.sin x   sin xdx 
2
0



2
0
4 3  1
Vậy: I  I1  I 2  ln  
3 4 2 3



 cos x 02 


2

1


2



5
6






3

)=

sin x
dx

3
sin  x  
3


Đặt t = x +


3

1
3
sin t 
cos t . Đổi cận...


- Trang | 10 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />5
3
1
3
3
2

cot t 6 


=
6
4 3 32
4 3 12
3

1


2

1
dx




 
cos x  sin  x   sin x
sin  x   

2 cos  x 
2
2
2
cos x
6
6
6




dx
=

dx





sin
x



3
3

6

* Cách khác: Do sinx.cos (x +








6









3 cot x  1




2

2
 2
 2



6





2
ln 4
.ln 2 
3
3

e

17) I =

x
1



ln 3 x
4  ln x  4  ln x
2




4  t 2  4  t 2 dt hoctoancap ba.com

- Trang | 11 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />1

1

1

1

1
1
1
1
1
1
2
2
2 2
2
2 2
2
=  t 4  t dt   t 4  t dt    4  t  d  4  t     4  t  d  4  t 

ln 3 x
t3 
4
2
4
4
2
4
dx   2t   dt ,đổi
 t  64  16t  4 16  ln x  4ln x  16t  t 
x
4

Đặt t = 4  ln x 
2



5 3


1 2
t3 

 2  t  dt   2t  
4 
12  4




=

  x  1  x  1

 3


2



0

2

 x  1

0

2

Tính I1 =

2

3



dx

I1  

3 1  tan t 
2



dx

Đặt x+1 =

dt  ... 

3 tant => dx = 3 (1+ tan2t)dt, đổi cận...

 3
18

6

x 1

2

Tính: I2 =


0

 x  1


12


4

ln 3
.
6

 3  3ln 3
18

(x 2  5 x  6)e x
19) I= 
dx
x
x

2

2013.
e


0
1

Tổng đài tư vấn :


2015

 3e  2  2013ln

3e  2013
2015

 2 x3 4 x 
20) I =   x e 
dx
1 x 
0
1
1
4
x
2 x3
dx  I1  I 2
=  x .e dx  
x
0
0 1
1

1

1 t
e 1
Tính I1 = x .e dx Đặt t = x => dt = 3x dx => I1 =  e dt 
30


2

x  t 4  x  dx  4t 3 dt
1

1
1
 t3 
t 3
1 
dt
 2
 I 2  4
.
t
dt

4
t

1

dt

4

t

4

0
t 1
1  tan u
4
0
0
8
 I2    
3
e  9  3
Vậy I =
3
1



 sin x
sinx-sin 3 x 
21) I =   e .sìn2x+
dx
cos
2
x

7

0
2




Tính: I1 =

e

sin x

0

Tổng đài tư vấn :

.sìn2xdx = 2  sin x.esin x d  sin x 
0

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 13 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
u  sin x

du  cos dx


sin x
sin x
dv  e d  sin x   v  e


0

2

0



sin x.cos2 x
Tính: I2 = 
dx Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận...
2
2cos
x

8
0
2

1
t2
1 
4 
1 1 t 2
dt   1  2
dt

 ln
I2 =  2



0





4

4



4
1
x
x
= 
.e dx   e dx   tan x.e x dx  I1  I 2  I 3
2
cos x
0
0
0




u  ex
du  e x dx



  tan x.e dx  e  I 3  I1  I 3  e 4

x 4
0

x

4

0


4

Tính: I2 =

 e dx  e
x


x 4
0



 e 4 1

0

=

Đặt t = lnx => x = et, dt =

1
dx ,đổi cận... => I
x

1
1 t
 et  1 
2et  t  1
e 1
dt

1

dt

1



0 et  1
0  et  t 
0 et  t dt  1  J
1 t
e 1
dt Đặt u = et  t  du   et  1 dt , đổi cận...
Tính: J =  t

 u  ln x
du



x
Đặt 
dx  
dv


x  1 v  2 x  1

8
8
x 1
I  2 x  1.ln x  2
dx  6ln8  4ln 3  2 J
3
x
3





x 1
dx Đặt t =
x



1


2
2
2
3

3

Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
1

25) I =

 2

2

x

0

 9 . 3  2

1 x

1



2 .2

x

x
2

1

 9  3.2  2
x

dx  
0

2

2x

x

 9  3.2  2
x

dx

t 2  25
2t
Đặt t  3.2  2  t  3.2  2  2  9 


+84 (4) 3519-0591

2

1

- Trang | 15 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />


1  3
2
1
9
.ln
 ln  ln  
5ln 2  7
3  5ln 2 14
1

26) I =



1  6 x  3x 2 dx


2
4 1
4  4sin t  2  cos t. cos tdt 
.  1  cos 2t dt
2 
3
3




2


3

2  1
2   1   3  

t

sin
2
t

 



 

dx  
dx  
dx  I1  I 2
= 
2
x
2
x
2
x
1
1
1
1

1

1

1
1  1
1
Tính: I1   1  dx   x  ln x   1
1
2 1  x 
2
1

x2  1
dx; t  x 2  1  2tdt  2 xdx; x  1  t  2  I 2  0

x2  1
x

 1 x  1
2

1

dx  3

x2  1

Tổng đài tư vấn :

2

0

dx

1
dx  10 I1  3I 2
x 1
2

dx; t  x 2  1...  I1  2  1

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 16 -


cos x  2cot 2 x  3cot x  1
sin 3 x

.e

1
cot x
sin 2 x

dx

4


2



cot x  2cot 2 x  3cot x  1
2

sin x



.ecot

2



t

1


4

30) I =

 x tan

2

xdx

0







4
1
2
 1

=  x







4

J  x tan x 04   tan xdx 
0


4

d  cos x  
  ln cos x
cos
x
4
0
4




4
0




 2 tan x  dx
31) I =   2  x 
2

 cos x

3 x


4 


1
x



I



3
4



J




x
x
x dx

4
3

 e dt  e
t

4
3

e

1



1




u  x2

du  2 xdx
x



4
1
2
9
Vậy I = e 3  e  
16


2


2

32) I =

2

x

cos 4 xdx

0

du  2 x.ln 2.dx
 u2

Đặt 

1
dv  cos 4 xdx  v  sin 4 x

Đặt 

1

v  cos 4 x
4

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 18 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />


2
ln 2  1 x
 2 ln 2  1

I 
.  .ln 2. 2 x.cos 4 xdx 
 .2 .cos 4 x  
4  4
4 4
0
0


dx
2
2
1  x  1



1

u  ln x
du

dx


x


x

dv 
dx 
1
2
2
v



 x  1

1
x
ln 3 ln 3 1 d  x  1 9ln 3 1

 ln x 1   2 dx  

  2

 ln  x 2  1
1
20 2
2 1 x 1
20
2 4 1 x 1
20 4
9ln 3 ln 5 9ln 3  5ln 5



20
4
20

ln 3 1  ln 2 x
dx
1
x
e

34) I =

2
I  t.ln  t  1   2 dt  ln 2  J
0
3
3 0 t 1
3
3

Tổng đài tư vấn :

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 19 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />
t 2  1 1
dt
dt  1   2
Tính J =  2
t 1
t 1
0
0
1

1

Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan2u)du, đổi cận...


 x  1

2

 e 1 2J

1
1
 x
2 x.e x 
x.e x
x
 1
 I  e 
dx
dx   e dx  2
2
2
2


x

1
x

1
x


 x  1 


x

  x  1 dx
2

0

1

1

x.e x
e
J 
  e x dx    e  1
x 1 0 0
2
Vậy I = 1
4







36) I  x.log 2 x  9 dx

I
.log 2  x 2  9  
xdx

...

2
ln 2 0
ln 2
0
4

* Cách khác: t = x2 + 9...

1
t
t
25ln 5  9ln 3  8
25
ln tdt 
.ln t 9 
dt 
=> I =


2ln 2 9
2ln 2
2ln 2 9
ln 2
25


x  x3  2014 x
dx
x4
1


1
3

3
1 3

xx
dx  
x4
1

1 3

3

I1  
1
3

1
1
x 2 dx
x3

 2x  1
1 x
Vậy I = I  6  8056  8062

1  x 1x

38) I =   1  x   e dx
x
1
1

1

=

e

2
1
x
x

1  x 1x

dx    x  e dx  J  K
x
1

1
2

1

J  e

1
x
x

dx

1
2

J  x. e

x

1 1
x
1
2

5
2

1
e

   x  e dx  e 2   K
x

x
3
3

e

2
e

7
0



3  e x  t 2  3  e x , 2tdt  e x dx ,đổi cận....
3
3
3
 2t  1   t  1dt
2t
t
I 
dt

2
dt

2
2 2t 2  3t  1
2  2t  1 . t  1

63

 x 2   2ln x dx

Do: ln( x4 + x2 ) -2lnx = ln [ x2.( 3x2+1 )] – lnx2

u  ln  3 x 2  1 du  6 xdx

= ln( 3x2 + 1 ), nên I =   ln 3 x  1 dx Đặt: 
3x 2  1
1
 v  x
 dv  dx
3
1

I  x.ln  3x  1 1
1

2

3





2

6 x2


3
1

Với K =

1


1
3

1

 3x 

2

1

3

dx

Đặt

1

4
dx   2 K

2 x
x .e
dx
41) I = 
2
0  x  2
Vậy I 


2 x

x.  2  x 
u

x
.
e
du

dx


x
e
dx  
Đặt 
dv 
1
2


ux
 du  dx


x
x
dv  e dx v  e

Đặt 

+84 (4) 3519-0591

- Trang | 22 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />1

1
1
2
  e  x dx    e  x    1
0
0
e
e
0
3e
Vậy I =
e


2

dx

1
x2  x
dx   2 dx   2
dx  A  B
2
x
1
1 x  ln x  x 
e

e

1
1
e 1
A   2 dx  

x
x1
e
1
e

e



- Trang | 23 -


Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Tài liệu học tập group />5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

quốc gia 1, 2 tháng.

- Trang | 24 -