SỞGIÁO
GIÁODỤC
DỤC&&ĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠO
SỞ
HẢI
DƯƠNG
HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
KỲ
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
Ngày thi: 06/04/2016
MÔN THI: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang)
(Hướng dẫn chấm gồm … trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I(2,0 điểm)
Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; −1) và có hệ số góc
là k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành
độ là .
1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
2) Chứng minh rằng

1
+ 2
+ 2
.
2
2
a + b + 3 b + c + 3 c + a2 + 3
2

-----------------------Hết-----------------------

Họ và tên thí sinh:………………………………..; Số báo danh:……………
Chữ ký của giám thị 1:………………..; Chữ ký của giám thị 2:…………….


Câu

Nội dung

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; −1) và có hệ số
góc là k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần
lượt có hoành độ là .
1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
+ Đường thẳng (d) có pt: y = kx - 1
2

2

+ PT tương giao (d) và (P): - x = kx - 1 Û x + kx - 1 = 0(*)
+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 vì D = k 2 + 4 > 0( " k )

k 2 + 4(k 2 + 1) ≥ 2 , ∀k ∈ R . Đẳng thức xảy ra khi k = 0

⇔

(

) (

0,25
0,25
0,25

0,25

1,0
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

Điều kiện: x ≥ −
(1) ⇔

1,0

1,5

1) Giải phương trình: (1)

 x 2 + x3 y − xy 2 + xy − y = 1(1)
(*)
2) Giải hệ phương trình:  4
2
 x + y − xy (2 x − 1) = 1(2)
( x 2 − y ) + xy ( x 2 − y ) + xy = 1
(*) ⇔  2
2
( x − y ) + xy = 1

0,25
0,25
0,25
0,25
1,5

0,25


a = x 2 − y
Đặt 
. Hệ trở thành:
b = xy

a + ab + b = 1
(*)
 2
a + b = 1

3

Với (a; b) = ( −2; −3) ta có hệ
3
3


 x 2 − y = −2
y = −
y = −
⇔
⇔
⇔ x = −1; y = 3 .
x
x

3
2
 xy = −3
x + 2x + 3 = 0
( x + 1)( x − x + 3) = 0



0,25

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( x; y ) ∈ { (1; 1);(0; − 1);(1; 0);(−1; 0);( −1; 3)} .

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6) ,
III

3

0,25
0,25
0,25


2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là . Kí hiệu lần lượt là độ
dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng
2ma2 ≥ mb2 + mc2 (*)
a) Chứng minh rằng a 2 £ 4S .cotA

1,5

Viết được công thức các trung tuyến
0,25
2

2

2

2

2

2

2

a
c +a

∠MGO không nhọn.
uuur uuur
uuur uuur
Ta sẽ chứng minh GO.GM £ 0 Û OG.GM ³ 0
Ta
có
uuur uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

0,25
0,25
1,0
0.25

3OG = OA + OB + OC ; 6GM =2AM = AB + AC = OB + OC − 2OA
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⇒ 3OG.6GM = OA + OB + OC . OB + OC − 2OA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= OB2 + OC 2 − 2OA2 + 2OB.OC − OA.OC − OA.OB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= 2OB.OC − OA.OC − OA.OB

(

)(

)

0.25



Cho a; b; c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn
a+b+c=
IV
M=

3 3
.
2

Tìm

giá

trị

lớn

nhất

của

biểu

thức

1
1
1
+ 2

Ta sẽ chứng minh
1
1
1
1
+ 2 2
+ 2
≤ .
2
2
a +b +3 b +c +3 c +a +3 2
1
1
1
1
 1
 1
 1
⇔ − 2
÷+  − 2 2
÷+  − 2
÷≥
2
2
3 a +b +3 3 b +c +3 3 c +a +3 2
M=

2

a 2 + b2


(

2

)

(

)

Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P.
Sau đó áp dung bđt (*) ta có:
P≥

( a + b + b + c + c + a)

(

2

+

)

4 a 2 + b 2 + c 2 + 18

( a − b + b − c + a − c)

⇔P≥


)

2 a2 + b2 + c2 + 9

Ta sẽ chứng minh
2( a + b + c) + 2( a − c)
2

(

)

2 a +b +c +9
2

2

2

2

≥

3
2
2
⇔ 4 ( a + b + c ) + 4 ( a − c ) ≥ 6 a 2 + b 2 + c 2 + 27
2


Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm.
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25