Đặt vấn đề
Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 11 – Chương Dãy số – Cấp số
cộng, cấp số nhân, tôi nhận thấy có một vấn đề thường gặp khó khăn cho học
sinh lớp 11 và cũng như là một số giáo viên đó là bài toán tìm số hạng tổng quát
của một dãy số cho bởi một hệ thức truy hồi. Như chúng ta đã biết bài toán tìm
số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi thực chất là “Bài toán
tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trong toán học cao cấp” . Nhưng
làm thế nào để học sinh 11 có thể nắm bắt và giải quyết được bài toán này? Vì
vậy dưa trên ngôn ngữ của toán học cao cấp tôi đã cố gắng tìm hiểu và đưa cách
giải tổng quát cho một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường gặp
bằng ngôn ngữ toán học sơ cấp, hy vọng nó sẽ giúp các em học sịnh giải quyết
được một số bài toán tìm số hạng tổng quát thường gặp.


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Loại 1. Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp 1.
Bài toán 1.
u1 cho tr íc
 u n +1 = un + d

Cho dãy số (un) xác định bởi: 

(1)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải.
Dãy số (u n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u 1 và công sai d, nên theo
công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có un = u1 + (n - 1).d.
Bài toán 2.
u1 cho tr íc
 u n +1 = qun ,

1− a

Khi đó: vn+1 = avn, n = 1, 2,… và v1 = u1 - k. Nên theo bài toán 2 thì số hạng
tổng quát của dãy (vn) là vn = v1.an - 1.

2


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
b
Vậy: un = (u1 - k)an - 1 + k, n = 1, 2,… trong đó k =
.
1− a
Bài toán 4.
Cho dãy số (un) xác định bởi:

u 1 cho tríc

n
u n +1 = au n + bq , n = 1,2,...

(4)

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải.
Xét 2 khả năng
a)

Nếu a = q:


Vậy: un = v1an-1 + λqn-1, n = 1,2,… với v1 = u1 - λ, λ =

bq
.
q−a

Bài toán 5.
u1 cho tr íc

Cho dãy số (un) xác định bởi: 

u n +1 = aun + nb,

3

n = 1,2,...


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải
Xét 2 khả năng
a) Nếu a = 1: T a có: un = un-1 + (n -1)b, n = 2,3,…Do đó:
un = (un - un-1) + (un-1 - un-2) + … + (u2 - u1) + u1 =
= (n-1)b + (n-2)b + … + b + u1 =

n ( n − 1)
b + u 1 , n = 2,3,…
2


Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - (x1 + x2)un+1 + x1x2un = 0, n = 1,2,…
Hay: un+2 - x1un+1 = x2(un+1 - x1un)

(*).

Đặt un+1 - x1un = vn, ∀n = 1,2, … ⇒ v1 = u2 - x1u1 và từ (*) ta có v n+1 = x2vn,
n = 1,2,… ⇒ vn = v1.x2n-1, n = 1,2,…

4


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Do đó từ: un+1 - x1un = vn ⇒ un+1 = x1un + v1x2n-1, n = 1,2,… Đây là dãy có dạng
n −1

đã xét ở bài tập 4. Từ đó suy ra: un = C1 x1
với C1 =

+ C2 x2n −1 , n = 1,2,…

u1x 2 − u 2
u − u1x1
, C2 = 2
.
x 2 − x1
x 2 − x1

b) Nếu a2 - 4b = 0: Khi đó phương trình x 2 + ax + b = 0 có nghiệm kép
a
x0 = − .

 =1)
(Ta có thể đặt được như vậy vì:  −
 +
 2 b   2 b 
Khi đó bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được:
un =

( b)

n −1

[C5 cos(n −1)ϕ + C6 sin( n −1)ϕ] , n = 1,2,…

với C 5 = u 1 , C 6 =

2u 2 + au1
.
−∆

Bài toán 7
u1 , u 2 cho tr íc
 u n + 2 + aun +1 + bun = c, n = 1, 2,...

Dãy số xác định bởi: 

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Lời giải
5




c + bu 1
u + c
1 
, C5 =
u2 + 1
.
1− b
b − 1
b −1 

b) Nếu a + b ≠ -1: Đặt un = vn + λ, với λ =

c
, n = 1,2,…
a + b +1

Từ công thức xác đinh dãy suy ra: v n+2 + avn+1 + bvn = 0, n = 1,2,…Từ đây theo
mục 6. Tìm được vn và do đó suy ra un. Cụ thể như sau:
c

n −1
n −1
C
x
+
C
x
+
, nÕu x 2 + ax + b = 0 cã 2 nghiÖm x 1 ≠ x 2

, sin ϕ =
=
2 b
2 b
2 b
a

6


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp

C1 =

u1x 2 − u 2
u − u1x1
u
u
2u + au 1
, C2 = 2
, C 3 = 2u 1 − 2 , C 4 = 2 − u 1 , C 5 = u 1 , C 6 = 2
.
x 2 − x1
x 2 − x1
x0
x0
−∆

u 1 = −1, u 2 = 0
Ví dụ 1. Cho dãy số được xác định: 

2
12
⇔

C (2 − 3 ) + C ( 2 + 3 ) = v = 5
C = 9 − 3
1
2
2

 1
2
12
Vậy: v n =

9+ 3
9− 3
(2 − 3 ) n −1 +
(2 + 3 ) n −1 , n = 1,2,…
12
12

Suy ra: u n =

9+ 3
9− 3
5
(2 − 3 ) n −1 +
(2 + 3 ) n −1 − , n = 1,2,…
12


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
π
π
n −1
Do đó: v n = 2 [C1 cos(n − 1) + C 2 sin( n − 1) ] , n = 1,2,….
3
3
C1 = −2
C1 = v1 = −2


⇔
Khi n = 1, n = 2 ⇒ 
π
π
3
2(C1 cos 3 + C 2 sin 3 ) = v 2 = −1 C 2 =
3

Vậy: v n = 2 n −1[−2 cos(n − 1)

π
3
π
+
sin( n − 1) ] , n = 1,2,…
3
3
3

Ví dụ 4. Xét dãy số (un): 
1
u n + 2 = u n +1 − 4 u n , n = 1,2,...
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải: Phương trình đặc trưng: x 2 = x −

1
1
có nghiệm kép x 0 = . Do đó:
4
2
8


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
1
un =  
2

n −1

(C1 + C 2 n ) , n = 1,2,… Trong đó C1, C2 được xác định:

C1 + C 2 = u 1 = 1
n −1
C1 = 0

1
⇔
. Vậy: u n = n   , n = 1,2,…

.
x 2 − x1
x 2 − x1

, ∀n = 1,2,…

b) Nếu α2 + 4β = 0: Phương trình x2 = αx + β có nghiệm kép x 0 =
v n = (C 3 + nC 4 ) x 0n −1 , ∀n = 1,2,… trong đó: C 3 = 2v1 −

(

Từ đó suy ra: un = eC3

)

x0n−1

.( e

C4

)

n. x0n−1

v2
v
, C 4 = 2 − v1 .
x0
x0

,
sin
ϕ
=
=
trong đó:
;
2 −β
2 −β
2 −β
.
Từ đó suy ra:

un = e (

− β )n−1 .C5 .cos( n −1)ϕ

.e(

− β )n −1 .C5 .sin( n −1)ϕ

, ∀n = 1,2,…

u 1 = 1, u 2 = 2
Ví dụ 1. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
u n + 2 = u n +1u n , n = 1,2,...
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (un).
Giải. ở đây α = β =

1

2
 2 1
Vậy un = ( e

)

 1
C1  − 2 



n −1

 1 
.e C2 = 3 4. 3 
 4

 1
− 
 2

n −1

, n = 1,2,…

u 1 = 1, u 2 = 2

Ví dụ 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
u 2n +1
u


(u n +1u n ) 2

Tìm công thức số hạng tổng quát un.
Giải. ở đây α = β = -2. Phương trình x2 = -2x – 2 vô nghiệm (∆ = -4). Ta có:
cos ϕ =

−2
2
4
2
3π
=−
, sin ϕ =
=
⇒ϕ=
2
2
4
2 2
2 2

Do đó: v n = ln u n =

( 2)

n −1

[C1 cos(n − 1)


Tìm un theo n.
Giải. Dãy ở đây có dạng 2), với C = ln2, α = 2, β = -1 (α + β = 1).
Đặt lnun = vn, ∀n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 và
vn+2 = 2vn+1 - vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 = vn+1 - vn + ln2.
Đặt vn+1 - vn = wn , n = 1,2,…w1 = ln2 và wn+1 = wn + ln2, ∀n = 1,2,…(wn) là
CSC công sai d = ln2.
Ta có: vn = (vn - vn-1) + (vn-1 - vn-2) + ….v2 - v1) + v1 =
= wn-1 + wn-2 + …w1 =

n −1
n (n − 1) ln 2
[ 2w 1 + (n − 2)d] =
, ∀n = 2,3,…
2
2
11


Mét sè bµi to¸n t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè thêng gÆp
Vậy u = e vn = 2
n

n ( n −1)
2

, n = 1,2,….

u 1 = 1, u 2 = 2

Ví dụ 5. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 

ln 2
ln 2
) + (vn-1 - vn-2 )+ …+(v2 - v1 )+v1 + (n-1)
3
3
3
3

ln 2
ln 2
(−2) n −1 − 1
+ …w1 + (n - 1)
= w 1.
+ (n – 1)
=
3
3
−3

ln 2
2 ln 2 (−2) n −1 − 1
.
+ (n – 1)
, n = 2,3,…
3
3
−3
Công thức này cũng đúng khi n = 1. Vậy
vn =


sự hiểu biết của tôi về phương trình vi phân còn hạn chế cho nên chỉ mới dừng
lại ở ứng dụng kết quả của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2. Hy
vọng trong thời gian tới tôi có thể giải quyết được lớp bài toán rộng hơn, phong
phú hơn. Rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy, cô trong tổ Toán –
Tin của Trường THPT Vũ Quang.

13