ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRÙNG DƯƠNG SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Lê Trùng Dương THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2006

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Người hướng dẫn:
TS Nguyễn Thành Long
Khoa Toán-Tin học,
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành Luận văn Thạc sỹ Toán học này, lời đầu tiên tác giả xin
trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và
hướng dẫn trong suốt quá trình tôi thực hiện Luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Thầy Nguyễn Công Tâm
đã đọc luận văn và đã cho những nhận xét quý báu và những lời phê bình bổ ích
đối với luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho
tôi thời gian quý báu và những lời góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn tập thể các Thầy, Cô thuộc khoa Toán − Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong
suốt thời gian học tập.
Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và
Đào Tạo sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tổ
chức, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và các thủ tục hành chính trong
khóa học.
Sau cùng, xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán khoá 13; Ban
Giám Hiệu, các phòng khoa và tập thể giáo viên trường Đại học Tiền Giang; Gia
đình và những người thân;… đã luôn động viên, luôn nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện tốt nhất để tôi có thể có thể hoàn thành khoá học.
Tiền Giang, ngày tháng năm 2006

Lê Trùng Dương 3

ω−=
với
1N+
ω
là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR
N +1
,
N;2N <σ≥
là một hằng số dương cho trước và
IRIRIR:g
N2
→×
+
là hàm
liên tục cho trước thoả điều kiện:
Tồn tại các hằng số
00 >≥
γ
β
α
M,,,
sao cho
(1.2)
()
,u,IRy,x,uyxMu,y,xg
N
0≥∀∈∀≥
α
γβ


,0x,IRx,x,0vv
1N
1N
1N
1N
1i
xx
ii
>∈==Δ
+
+
+
+
=
∑

(1.5)
()
(
)
(
)
,IRx,0,xv,xg0,xv
N
x
1N
∈=−
+

mà giá trò biên u(x) = v(x, 0) là ẩn hàm của (1.3).

, r
0
, α là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.6), (1.7) là trường
hợp dừng của bài toán liên quan đến sự đốt cháy bởi bức xạ. Trong trường hợp
0 < α ≤ 2 bài báo [1] đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến
(1.8)
()
()
2
22
00
22
00
1d
v r,0 I exp s / r v (s,0) sds r 0,
2
rs2rscos
+∞ π
α
θ
⎡⎤
=−+ ∀≥
⎣⎦
π
+− θ
∫∫

liên hệ bài toán (1.6), (1.7) không có nghiệm dương. Từ khi bài báo [1] xuất hiện
đã có nhiều tác giả nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau [1
− 11].

()
,0u,IRy,Muu,yg
N
≥∀∈∀≥
α

(1.11) Tích phân
(
)
∫
+
N
IR
dy
y1
0,yg
tồn tại và dương,
và thêm một số điều kiện phụ. Trong trường hợp
(
)
2N,1N/N0 ≥−
≤
α
≤
các tác
giả trên đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.3) tương ứng với
bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương [2, 3].

5
Trong [5, 6] các tác giả đã chứng minh rằng bài toán (1.4), (1.5) không có

= vv,xg không thoả các điều kiện (1.10),
(1.11) trong các bài báo [2, 7, 8, 10].
Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với
hai trường hợp:
IRIRIR:g
N
→×
+
và IRIRIR:g
N2
→×
+
là hàm liên tục cho
trước thoả điều kiện (1.2) tương ứng. Với các điều kiện trên hàm g tương ứng
luận văn sẽ chứng minh rằng phương trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương.
Các điều kiện cho hàm g trong luận văn nầy cũng không sử dụng tính không giảm
của hàm g đối với biến u và các điều kiện (1.10), (1.11) như trong một số công
trình trước đây [2, 7, 8, 10, 11].
Luận văn này ngoài phần kết luận và phần tài liệu tham khảo sẽ được trình
bày trong 4 chương:
Trong chương 1, là phần trình bày xuất phát điểm của bài toán cùng với một
số kết quả đã có trước đây và giới thiệu các nội dung sẽ trình bày trong các
chương kế tiếp của luận văn.
Trong chương 2, nhằm mục đích thiết lập phương trình tích phân phi tuyến
(1.3) mà ẩn hàm là giá trò biên xuất phát từ phương trình Laplace (N + 1)
− chiều
(1.4) trong nửa không gian trên
(
)
0,,

(
)
(
)
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
π
=
2
IR
2
22
,IRy,xdd
yx
,u,,g
2
1
y,xu

với
++
→× IRIRIR:g
2

2N,N,N0 ≥<σ+
γ
<σ< . Hàm
[
)
IR,0IR:g
N2
→∞× là hàm liên tục cho trước
thoả điều kiện (1.2) và một số điều kiện phụ sau đó. Bằng cách xây dựng một
dãy hàm thích hợp chúng tôi chứng minh rằng nếu
(
)( )
β−σ
γ
+
≤
α
≤
/
N0 phương
trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương.

7
CHƯƠNG 2.
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

Trong chương này, với σ = N – 1, chúng tôi muốn chỉ ra rằng phương trình
tích phân phi tuyến (1.1) ở trên mà ẩn hàm u(x) = v(x, 0) là hàm giá trò biên của
bài toán Neumann phi tuyến cho phương trình Laplace (N + 1)−chiều trong nửa
không gian trên .

n
1nn
n
n
n
1nn
n
n
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
==∈
≥∈∈==
>∈∈==
+=
∑
=
−
+
−
+
K

Xét bài toán : tìm một hàm v có tính chất
(S

⎛
ν∂
∂
+
>=>=
+∞→

và thoả phương trình Laplace
(2.1)
(
)
{
}
,0x,IR'x:x,'xIRx,0v
n
1n
n
n
>∈=∈=Δ
−
+

và điều kiện biên Neumann
(2.2)
,IR'x),'x(G)0,'x(
v
1n−
∈=
ν∂
∂

=γ
22
2
1

trong đó

(
)
(
)
,IRa,x,'xx
~
,IRx,'xx
n
n
n
n +
∈−=∈=

là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR
n
ω
n
.
Chú ý rằng với cố đònh, hàm
n
IRa
+
∈

=

(2.5)
()
.xtrên ,'x,a
nx
n
000
=
=
γ

Cố đònh và số thực R > 0. Chọn
n
IRa
+
∈
0>
ε
đủ nhỏ sao cho

{
}
,BIRax:IRxS
RR
nn
Ω≡∩⊂ε≤−∈=
++ε

với

⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ=γΔ−Δγ
εTa có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Với giả thiết (S
1
) ta có
(2.7)
()
∫

()()
(
)
,x,ax,asx,a
Φ
+=
γ()
()
()
()
()
x
~
,asx
~
a
2n
1
x,a,xa
2n
1
x,as
n2
n
n2
n
=−

(
)
12
Ia, Ia,.
=
ε+ ε

* Do giả thiết (S
1
), hàm
()()() (
x,ax,avx,a
v
x,ax
ν∂
)
Φ
∂
−
ν∂
∂
Φa liên tục trên
ε
S
nên
(2.10)
()
.0,aIlim
1
0

()
()
n
y1
v
ayd 0
n2
khi 0
+
=
,
ε
∂
=+εω→
−ω ∂ν
∫
ε→

(2.12)
()()
∫∫
ε=−=
−
ωε+
ν∂
∂
ε+ε−=
ν∂
∂
−

2
0
=
ε
+
→ε

Từ (2.9), (2.10), (2.13) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh.

Từ (2.6), thay
0,vvà
=
Δ
≠
∀
=
γ
Δ ax,0
sau đó cho ta thu được
+
→ε 0
(2.14)
()
.a,dSv
v
av
R
R
∫
Ω∂

⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
R
1n
n
IR
x
R
'.dxvdSv
v
lim
10
Chứng minh. Ta có

(
)
{
}
,R'x:0,'xD,SD
RRRR

⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂

lim

(2.18)
∫
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂
∂
γ
+∞→
R
S
R
.0dSv
v
lim

Chứng minh (2.17).
Trên
()
.vv,,,,:D
n

×
ω
−
=
−
−
−−
ω−
=
−

Tương tự

()
⋅
−
+
×
ω
−
=Φ
n
n
n
nx
x
~
a
ax1
x,'x;a

()
⋅
−
×
ω−
=γ
− 2/2n
2
n
D
'x'a
1
2n
2
x,a
R

Từ (2.19), (2.20) dẫn đến

11
(2.21)
∫∫
ν∂
∂
γ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

lim∫
γ−=
+∞→
R
n
D
x
R
'dxvlim

.'dxv
1n
n
IR
x
∫
−
γ−=
(2.17) được chứng minh.
Chứng minh (2.18).
Trước hết ta đánh giá các tích phân trên S
R
:
(i) Đánh giá tích phân
∫
ν∂
∂

(2.23)
()
()
∫∫
ν∂
∂
−
×
ω−
≤
ν∂
∂
γ
−
RR
S
2n
n
S
dS
v
aR
1
2n
2
dS
v()

sup
aR
R
2n
2
n
Sx
2n
1n
n
R
ω
ν∂
∂
×
−
×
ω−
≤
∈
−
−

()
()
()
.x
v
sup
aR2n

=ννΦ+=νγ=
ν∂
γ
∂
n
1i
ixx
n
1i
ix
.
R
x
,s
iii

(2.25)
()
()
()
xa
ax
xan2
2n
1
x;as
ii
n1
n
x

ax
x
~
an2
2n
1
x,a
ii
n1
n
x
i
−
−
−−
ω−
=Φ
−,1ni1,
x
~
a
ax
1
n
ii
n
−≤≤

~
x,Sx
nR
≥==∈∀

,aRaxax −=
−
≥−

aRax
~
ax
~
−=−≥− .
(2.28)
()
1n
n
n
ii
n
x
xa
11
xa
ax
1
x;as
i
−

−−

Töông töï
(2.29)
()
1n
n
n
ii
n
x
x
~
a
11
x
~
a
ax
1
x,a
i
−
−
×
ω
≤
−
−
×

n
x
x
~
a
ax1
x,a
i
−
+
×
ω
≤Φ13

()
.
aR
11
x
~
a
11
1n
n
1n
n
−−

∈∀
−
×
ω
≤
−

Do đó
(2.32)
()
∫∫
∈
−
−
×
ω
≤
ν∂
γ∂
ν
R
R
R
S
Sx
1n
n
S
dSsup
aR

aR
nR
R
Sx
1n
1n
ν
−
≤
∈
−
−

Ta suy ra từ (2.23), (2.32) rằng
(2.33)
()
()
()
x
v
sup
aR2n
R
dSv
v
R
R
Sx
2n
1n

Sx
1n
1n
∈
−
−
−
+

Sử dụng giả thiết (S
2
), từ (2.33) ta suy ra

.0dSv
v
lim
R
S
R
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν∂
γ∂
−
ν∂

n
IR
x
IRa,'dx'xG,'x;a'dxvav
.

14
Ta có đònh lý sau
Đònh lý 2.1. Nếu nghiệm v của bài toán (1.1), (1.2) với
[
)
[
)
+∞→+∞×
−
,,IR:g
n
00
1

là hàm liên tục thoả các tính chất (S
1
), (S
2
), khi đó v là nghiệm của phương trình
tích phân phi tuyến sau
(2.35)
()
()
(

a'a'x
'dx,'xv,'xg
n
a,'av
.


15
CHƯƠNG 3.
SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VỚI N = 2

Xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến
sau (tương ứng với N = 2)
(3.1)
()
(
)
(
)
()()
()
,IRy,xdd
yx
,u,,g
2
1
y,xu
2
IR


Chúng tôi xét bài toán (1.1), (1.2) cụ thể với N = 2 như sau
(3.2)
(
)
{
}
,z,IRz,y,xIR)z,y,x(,v 00
33
>∈=∈=∆
+

(3.3)
()
(
)()
(
)
,IRy,x,0,y,xv,y,xg0,y,xv
2
z
∈=−
trong đó g thoả các điều kiện (G
1
), (G
2
).
Các tính chất (S
1
), (S

⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
>=++
+∞→
>=++
+∞→
.0z,y,x
z
v
zz,y,x
y
v
yz,y,x
x
v
xsuplimii
,0z,y,xvsuplimi

S
*
. Khi đó v là
nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến sau
(3.4)
()
(
)
(
)
()()
()
∫∫
+
∈∀ηξ
+η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
π
=
2
IR
3
2
22
.IRz,y,x,dd
zyx
0,,v,,g

22
dd
yx
0,,v,,g
tồn tại
(
)
2
x,y IR∀∈.
Khi đó, ta dùng đònh lý hội tụ bò chận, cho z → 0
+
trong phương trình tích phân
(3.4), nhờ vào
()
3
S
*
, ta thu được
(3.5)
()
(
)
(
)
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η

ξ
ηξ=(
)()
()()
()
∫∫
∈∀ηξ
η−+ξ−
η
ξ
η
ξ
=
2
IR
2
22
,IRy,x,dd
yx
,u,,g

trong đó A là một toán tử tuyến tính xác đònh bởi công thức
(3.7)
()
[]
()
(

()
2
IRy,x ∈ ta có:
(i)
Nếu
,10 ≤
γ
−α<

(
)
(
)
()
.y,x1A
2222
+∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ

(ii)
Nếu ,1>
γ
−α

()
1
122
1
211xy
α−γ−
α+
≥
α−γ− + +

(iii)
Nếu ,2=γ−α
(
)
(
)
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
(
)
⋅

y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ

=
(
)
()
()()
∫∫
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
α
γ
2
IR
22
22
22
dd
yx1

+γ
π
+++
ϕ
π
=
0
22
1
2
0
)yxr(r1
drr
d
2
118

()
∫
+∞
α
+γ
+++
=
0
22
1

~
yxr
r
r1
r
22
khi
+
∞→
r
và
.
r
dr
1
+∞=
∫
+∞
γ−α

(ii)
1>
γ
−α
: Ta kiểm tra lại
(
)
(
)
()
(
)
()
ηξ
η+ξη+ξ+
η+ξ
π
=
∫∫
α
γ
dd
1
2
1
2
IR
2222
22()
(
)
()
.
1
1

2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
hội tụ khi .1>
γ
−
α

b) Xét tại
()()
0,0y,x ≠ :
Chọn
0yx3R
22
>+> . Ta viết lại
(
)
(
)
()
y,x1A
2222
⎥
⎦

η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
α
γ
2
IR
22
22
22
dd
yx1
2
119
(
)
()
()()
()()
∫∫
≤η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ

22
dd
yx1
2
1

()
(
)
(
)
(
)
.y,xJy,xJ
2
R
1
R
+≡

(j) Ñaùnh giaù

()
()
(
)
()
()()
()()
.dd

()()
∫∫
≤η−+ξ−
α
γ
ηξ
η−+ξ−η+ξ+
η+ξ
π
=
Ryx
2
2
22
22
1
R
22
dd
yx1
2
1
y,xJ

()()
(
)
()
α
γ

(
)
()
∫∫
≤η+ξ
α
γ
≤η−+ξ−
η+ξ
ηξ
×
η+ξ+
η+ξ
π
=
R
22
22
22
Ryx
22
22
dd
1
sup
2
1()()

)
()
.
1
supR
22
22
Ryx
22
+∞<
η+ξ+
η+ξ
=
α
γ
≤η−+ξ−

(jj) Ñaùnh giaù

()
()
(
)
()
()()
()()
.dd
yx1
2
1

}
,yxR:,
2222
+−≥η+ξηξ⊂

(3.15)
()()
,yxyx
2222
22
+−η+ξ≥η−+ξ−
với mọi
()()
.IRy,x,,
2
∈ηξ

Ta có
(3.16)
()
()
(
)
()
()()
()()
∫∫
≥η−+ξ−
α
γ

η+ξ
π
≤
2222
yxR
22
22
22
dd
yx1
2
1()
⋅
+−
⋅
+
=
∫
+∞
+−
α
γ
22
yxR
22
yxr
rdr

r
hội tụ với
.1>
γ
−
α

Vậy tích phân
(3.17)
()
()
y,xJ
R
2
hội tụ với
.1>
γ
−
α

Tổng hợp lại (3.11), (3.12), (3.13) và (3.17) ta thu được
(3.18)
()
2
IRy,x ∈∀
,
(
)
(
)

≥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
0
22
2222
yxr
rdr
r1
r
y,x1A21

()
()
⋅
++
⋅
+
≥
∫
+∞
+

⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ
()
∫
+∞
+
α
γ
+
≥
22
yx
r1
drr
2
122
1xy
1r
rdr
21r
+∞
α
γ−α

122
1
211xy
α−γ−
α+
=⋅
α−γ− + +

(iii)
2=γ−α , ta có
(3.22)
()()
()
y,x1A
2222
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
η+ξ+η+ξ
α−γ(
)
()
()()
∫∫

2
IR
22
2
22
22
dd
yx1
2
1(
)
()
∫∫
++η+ξ
ηξ
⋅
η+ξ+
η+ξ
π
≥
+γ
γ
2
IR
2222
2
22

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
≥
∫
+∞
+γ
1
22
2
yxrr
dr
r1
r22

Ta sử dụng bất đẳng thức
(3.23)
,1r,
2
1
r
1
r

⎛
++
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≥
11
2222
2
22
2
dr
yxr
1
r
1
yx

α 22
22
1
2222
yx2
yx1ln
yxr
r
ln
yx2
1

Đònh lý 3.2 : Giả sử rằng g thoả các giả thuyết (G1), (G2) với điều kiện
20 ≤
γ
−α<
. Khi đó phương trình tích phân phi tuyến (3.1) không có nghiệm
dương liên tục.
Chứng minh đònh lý 3.2 :
Bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử rằng phương trình tích phân phi tuyến
(3.1) có nghiệm liên tục dương u = u(x, y). Giả sử rằng tồn tại (x
o
, y
o
) ∈ IR
2
sao
cho u(x
o
, y

<−+−=∈∀

Ta suy ra từ (G
2
), (3.6), (3.25) và tính đơn điệu của toán tử A, rằng
(3.26)
()
(
)()
[]
(
)
y,x,u,,gAy,xu
η
ξ
ηξ=()
()()
y,x,uMA
22
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ηξη+ξ≥
α

2222
22
yxyx η+ξ++≤η−+ξ−(
)
(
)
2222
1yx1 η+ξ+++≤

(
)
(
)( )
(
)
2
0
2
0
2
0
2
0
22
yxyx1yx1 −η+−ξ+++++≤
η+ξ
π
γ
α
000
y,xB
22
22
0
dd
yx
2
mM(
)
()()
()
()
∫∫
ηξη+ξ
+++++
π
≥
γ
α
000
y,xB
22

0
2
0
22
0
∫∫
+γ
π
α
ϕ
+++++
π
=

(
)
()
()
⋅
++
⋅
++++γ
=
+γ
α
222
0
2
0
2

0
2
0
2
0
2
00
1
ryx1)2(
r)m(M
m

Ta xét các trường hợp khác nhau của
α − γ.
Trường hợp 1 : .10
≤
γ−α<
Ta thu được từ (G
2
), (3.6), (3.29) và tính đơn điệu của toán tử A rằng
(3.30)
()
(
)()
[]
(
)
y,x,u,,gAy,xu
η
ξ