BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Thân Văn Đính
ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG HÌNH NÓN VÀO PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và
tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các
khóa trước, tôi có sử dụng các kết quả đã được chứng minh để hoàn thành luận
văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có và tôi
xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình.

MỤC LỤC

0TMỤC LỤC0T 5
0TMỞ ĐẦU0T 7
0T1.Lí do chọn đề tài0T 7
0T2.Mục đích của đề tài0T 7
0T3.Phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu và phạm vi của đề tài.0T 7
0TMỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN0T 9
0TChương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN0T 10
0T1.1 Nón chuẩn (Normal cones)0T 10
0T1.2 Nón chính quy (Regular cones) và nón chính quy đủ (Fully Regular Cones).0T 11
0T1.3. Hàm tuyến tính dương0T 13
0TChương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN0T 15
0T2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu0T 15
0T2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu hẹp nón
( cone compression).
0T 23
0T2.3. Định lí điểm bất động bội (Multiple Fixed point theorems).0T 37
0TChương 3 : ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
PHI TUYẾN
0T 40
0T3.1. Phương trình tích phân của dạng đa thức0T 40
0T3.2 Giá trị riêng và vectơ riêng0T 54
0T3.3. Phương trình tích phân phi tuyến dạng lan truyền bệnh dịch0T 62

một số kết quả sau đây.
Chương 1 : Trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của nón.
Chương 2 : Trình bày một số định lí điểm bất động trong hình nón, bao gồm:
 Định lí điểm bất động của ánh xạ tăng, ánh xạ giảm.
 Định lí điểm bất động của ánh xạ cô đọng.
 Định lí điểm bất động của ánh xạ mở rộng và thu hẹp nón.
Chương 3 : Là nội dung trọng tâm của luận văn, trình bày những ứng dụng trực
tiếp của các định lí đã trình bày ở chương 2 vào xét sự tồn tại nghiệm không âm,
liên tục của các phương trình tích phân phi tuyến sau :
(1)
( ) ( , ). ( , ( ))
G
u x k x y f y u y dy=
∫

(2)
. ( ) ( , ). [ ( )] ( )
G
ux kxy fuy dy Aux
λ
= =
∫

(3)
() (, ()
t
t
x t f s x s ds
τ
−

P = { f
∈
EP
*
P : f(x)
≥
0, x
∈
P}.
• P
R
u0
R = {x
∈
E :
∃λ
> 0 , x >
λ
uR
0
R}.
•
γ
(S) : độ đo của tập không compact S.
• Mes(G) : độ đo của tập G.
• co(A) : bao lồi của A, co(A) =
11
: 1, 0,
nn
ii i i i

x
∈
P
(ii) x
∈
P, -x
∈
P thì x = θ, trong đó θ là phần tử không trong E.
• Một nón P được gọi là thể nón ( solid cone) nếu nó có chứa điểm trong,
tức là
P
o
≠∅
.
• Một nón được gọi là nón sinh (generating) nếu E = P – P, tức là mọi phần
tử x
∈
E có thể biểu diễn được dạng x = u – v, trong đó u , v
∈
P.
• Mỗi nón P trong E xác định một thứ tự riêng phần trong E cho bởi
x
≤
y nếu và chỉ nếu y – x
∈
P. (1.1.1)
• Nếu x
≤
y và x
≠

(iv) Có một chuẩn tương đương
⋅
trên E sao cho θ ≤ x ≤ y thì
11
xy≤
,
tức là
⋅
là đơn điệu.
(v)
,( 1,2,3, )
nnn
x z yn≤≤ =
và
0, 0
nn
xx yx−→ −→
thì
0
n
zx−→
;
(vi) Tập ( B+P)
∩
(B – P) bị chặn, trong đó B = { x
∈
E :
1x ≤
} ;
(vii) Mọi đoạn [x , y] = { z

. . .
≤
xR
n
R
≤
. . . ≤ y , (1.2.1)
thì có x
P
*
P
∈
E sao cho
*
0
n
xx−→
.
Rõ ràng nón P là chính quy nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn trong E có
giới hạn.

Định nghĩa 1.2.2
Một nón P
⊂
E được gọi là chính quy đầy đủ (fully regular) nếu mọi dãy tăng và
bị chặn theo chuẩn trong E có giới hạn, tức là nếu x
R
n
R
⊂

n
xx−→
.
Rõ ràng một nón P là chính quy đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy giảm và bị chặn
theo chuẩn trong E có giới hạn.
Định lí 1.2.1
Nón P là chính quy đầy đủ thì P là chính quy và P là chính quy thì P là nón
chuẩn.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 7-8).
Định lí 1.2.2
Nếu E là phản xạ và P là nón trong E, khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) P là nón chuẩn
(ii) P là chính quy
(iii) P là chính quy đầy đủ.
Chứng minh. ( Xem: [1], page 10 – 12).
Định lí 1.2.3. Cho P là nón trong E. P là nón chính quy nếu và chỉ nếu điều kiện
sau được thỏa :
(HR
1
R)
{ }
, inf 0xP x
ii
i
⊂>
thì
1
n
i
i

inf 0
i
i
x >
thì
1
n
i
i
x
=



∑
không bị chặn theo chuẩn, tức là :

1
sup
n
i
n
i
x
=
= +∞
∑

Chứng minh. ( Xem: [1], page 12 -13).
1.3. Hàm tuyến tính dương

*
P
∩
(-PP
*
P) = {
θ
}, (1.3.2)
Do đó, nếu P là chính quy thì (1.3.2) thỏa và PP
*
P là nón trong EP
*
P, PP
*
P được gọi là
nón đối ngẫu của nón P.

Định lí 1.3.1
Ta có các kết luận sau
(i) x
∈
P nếu và chỉ nếu f(x)
≥
0 với mọi f
∈
PP
*
P , với xR
1
R >

P nếu và chỉ nếu f(x) > 0 với f
∈
PP
*
P\{
θ
}.
(iii) Nếu E là tách được, thì tồn tại f
R
0
R
∈
PP
*
P sao cho fR
0
R(x) > 0 với mỗi x >
θ
.
Chứng minh (Xem: [1], page 18 – 20).

Chương 2 : MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG NÓN
2.1 Điểm bất động của ánh xạ đơn điệu
a. Điểm bất động của ánh xạ tăng
Cho P là nón trong không gian thực E và “ ≤ ” là thứ tự xác định bởi nón P và D
là tập con của E.
Định nghĩa 2.1.1
Một ánh xạ A : D
→
E được gọi là tăng nếu xR

1
R < AxR
2
R , A
được gọi là tăng mạnh nếu x
R
1
R < xR
2
R (xR
1
R, xR
2
R
∈
D) thì AxR
1
R << AxR
2
R trong trường
hợp
0
P ≠∅
.
Ánh xạ giảm cũng được định nghĩa một cách tương tự.
Định nghĩa 2.1.2
Một ánh xạ A : D
→
E được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó là liên tục và
compact.

R và A : [uR
0
R, vR
0
R]
→
E là ánh xạ tăng sao cho
u
R
0
R
≤
AuR
0
R, AvR
0
R < vR
0
R . (2.1.3)
Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau thoả:
(H
R
1
R) P là nón chuẩn và A là cô đọng (condensing);
(H
R
2
R) P là chính quy và A là nửa liên tục, nghĩa là, xR
n
R

→∞ →∞
(2.1.4)
trong đó, v
R
n
R = AvR
n-1
R và uR
n
R = AuR
n-1
R (n = 1,2,3,…) và
u
R
0
R
≤
uR
1
R
≤
…
≤
uR
n
R
≤
. . .
≤
vR

R, ,. . .} bị chặn và S = A(S) ∪ {uR
0
R}, do
vậy γ(S) = γ(A(S)).
Để ý rằng, A là cô đọng(condensing), ta có γ(S) = 0, nghĩa là, S là tập compact
tương đối. Do đó, có một dãy con
{ }
{ }
uu
nn
k
⊂
sao cho
*
ux
n
k
→
. Rõ ràng
*
u xv
nn
≤≤
( n = 1,2,3 …). Khi m > nR
k
R, ta có
**
xu xu
mn
k

R
2
R) thoả, {uR
n
R} hội tụ về xP
*
P
∈
E theo tính chính quy của P. Do A là nửa
liên tục, u
R
n
R = AuR
n-1
R hội tụ yếu đến AxP
*
P và do đó
.
**
Ax x=

Một cách tương tự, ta có thể chứng minh rằng {u
R
n
R} hội tụ đến xP
*
P
∈
E và AxP
*

00
Au Ax Av≤≤
, nghĩa là
11
u xv≤≤
.
Bằng cách lý luận tương tự, ta được
22
u xv
−
≤≤
, . . ., và một cách tổng quát, ta
được
, ( 1,2,3, )u xv n
nn
−
≤≤ =
, cho n
→

∞
thì ta được
*
*
x xx
−
≤≤
và do đó định
lí đã được chứng minh.
Hệ quả 2.1.1

và A là ánh xạ tăng, ta có
u
R
n
R
≤
xR
n
R
≤
vR
n
R (n = 1,2,3, . . .). (2.1.7)
Theo giả thiết, ta có xR
*
R = xP
*
P =
x
. Từ đó, kết hợp với (2.1.7) và (2.1.4), tính
chuẩn của P và tính chất (v) của định lí 1.1.1 thì x
R
n
R →
x
.
b. Điểm bất động của ánh xạ giảm
Định lí 2.1.2 . Giả sử
(i) P là nón chuẩn, A : P
→

(2.1.9)
Khi đó, A có đúng một điểm bất động dương x
P
*
P > θ. Hơn nữa, xây dựng được
dãy x
R
n
R = AxR
n-1
R, (n = 1,2,3, . . .) với xR
0
R
∈
P, sao cho :

*
0,( ).
n
xx n− → →∞
(2.1.10)
Chứng minh
Đặt u
R
0
R = θ, uR
n
R = AuR
n-1,
R(n = 1,2,3, . . .) (2.1.11)

R = Aθ (2.1.12)
uR
2n
R = AP
2
PuR
2n-1
R , uR
2n+1
R = AP
2
PuR
2n-1
R , (n = 1,2,3, . . .) (2.1.13)
và
u
R
2n
R = AuR
2n-1
R , uR
2n+1
R = AuR
2n
R , (n = 1,2,3, . . .) (2.1.14)
Từ A
P
2
P : P
→

P, (n
→∞
), AP
2
PzR
*
R = zR
*
R , AP
2
PzP
*
P = zP
*
P, với zP
*
P và zR
*
R
tương ứng là điểm bất động cực đại và cực tiểu của A
P
2
P trong
01
[ ,u ]u
.
Cho n
→

∞

*
P
≤
uR
2n+1
R, n = 1,2,3 . . . (2.1.16)
và do đó
z
R
*
R
≥
εR
0
RAθ = εR
0
RuR
1
R
≥
εR
0
RzP
*
P.
Đặt t
R
0
R = sup{ t > 0 : zR
*

R
≤
1.
Bây giờ ta sẽ chứng minh : tR
0
R = 1. Thật vậy, giả sử ngược lại thì theo giả thiết
(iii) dẫn đến tồn tại số
η
R
0
R > 0 sao cho :
z
P
*
P = AzR
*
R
≤
A(tR
0
RzP
*
P)
≤
[tR
0
R(1+
η
R
0

R
0
R = 1 và zR
*
R
≥
zP
*
P.
Và do vậy ta suy ra
z
P
*
P = zR
*
R . (2.1.17)
Từ (2.1.15) và (2.1.17), ta được Az
P
*
P = AzR
*
R, nghĩa là: zP
*
P là một điểm bất động
dương của A.
Cuối cùng, ta chứng minh (2.1.10) thoả với mọi điểm bất động dương z
P
*
P
của A và mọi giá trị đầu x

R
≤
xR
2
R
≤
uR
1
R. Tiếp tục quá trình này ta được
uR
2n
R
≤
xR
2n
R
≤
uR
2n-1
R, uR
2n
R
≤
xR
2n+1
R
≤
uR
2n-1
R, (n = 1,2,3, . . .) (2.1.18)

R
2n
R
→
zP
*
P.
Vậy,
*
0,( ).
n
xz n− → →∞

Mặt khác, cho n
→

∞
trong (2.1.19) ta được : xP
*
P = zP
*
P .
Vậy,
*
0,( )
n
xx n− → →∞
. Định lí được chứng minh xong.
Hệ quả 2.1.4
Khi P là thể nón (solid cone), định lí 2.1.5 vẫn đúng nếu ta thay giả thiết (iii)

θ
Điều này dẫn đến
A(tx)
≤
tP
-1
P(1-ε)Ax = [t(1 +
η
)]P
-1
PAx, trong đó
η
= ε / (1 – ε) > 0.
Do đó, (iii
P
*
P) suy ra (iii).


Định lí 2.1.3. Giả sử
(i) P là nón chuẩn, thể nón (solid cone) và ánh xạ A : P
→
P giảm mạnh
và cô đọng (condensing).
(ii) Aθ > θ và A
P
2
Pθ
≥
εR

P, sao cho :

*
0,( ).
n
xx n− → →∞

Chứng minh
Chứng minh của định lí này là tương tự chứng minh của định lí 2.1.2. Khác
nhau duy nhất là cách thiết lập (2.1.17). Trong trường hợp này, ta làm như sau :
Đặt t
R
0
R = sup{t > 0 : zR
*
R
≥
tzP
*
P} và ta cần chứng minh tR
0
R = 1.
Giả sử ngược lại, 0 < t
R
0
R < 1, theo giả thiết (iii),
z
P
*
P = AzR

tR
0
R(1 + δR
0
R)zP
*
P, điều này trái với định nghĩa tR
0
R.
Vậy, t
R
0
R = 1.
Nhận xét
Giả thiết (iii) của định lí 2.1.3 tương đương với :
mọi x
≥

α
Aθ, (
α
=
α
(x) > 0) và t > 1, ta có
A(tx) > tP
-1
PAx. (2.1.22)
2.2 Điểm bất động của ánh xạ mở rộng nón (cone expansion) và ánh xạ thu
hẹp nón ( cone compression).
a. Chỉ số điểm bất động ( Fixed point index).

Y liên tục.
Khi đó, f có một mở rộng liên tục

:fX Y→
%
sao cho

( ) ( ( )).f X co f D⊂
%

Hệ quả 2.2.1
Mọi bao lồi đóng không rỗng của E là một co rút (retract) của E. Đặc biệt,
mọi nón trong E là co rút của E.
Chứng minh định lí 2.2.1 và hệ quả 2.2.1. ( Xem[5], page 353-367 và[4]).
Định lí 2.2.2
Cho X là một co rút của không gian Banach thực E. Khi đó, với mọi tập con
mở, bị chặn tương đối U của X và mọi ánh xạ hoàn toàn liên tục
:AU X→
không có điểm bất động trên
U∂
thì tồn tại số nguyên i(A,U,X) thỏa các điều
kiện sau :
(i) i(A,U,X) = 1 nếu Ax
≡
yR
0
R
∈
U, với mọi x
∈

[0,1] U∈ ×∂

(iv) i(A,U,X) = i(A,U
∩
Y,Y) nếu Y là một co rút của X và
()AU Y⊂
.
Hơn nữa, cho
M = {(A,U,X) : X là co rút của E, U mở bị chặn trong X, A:
UX→
hoàn toàn liên tục và Ax
≠
x trên
U∂
}.
 Cho
Ζ
là tập số nguyên. Khi đó, tồn tại đúng một hàm d : M
→
Z thỏa từ (i)
đến (iv).
 Mặt khác, i(A,U,X) xác định duy nhất. i(A,U,X) được gọi là chỉ số điểm bất
động của A trên U tương ứng với X.
Chứng minh
Trước hết, ta chứng minh tính duy nhất của chỉ số điểm bất động.
Cho {i(A,U,X)} là họ tùy ý thỏa các điều kiện (i) – (iv), ta định nghĩa
(,,) ( ,,)d f U p i A pU E= +
, (2.2.1)
trong đó, f = I – A, U là tập mở bị chặn của E, f(x)
≠

R
R
∩
rP
-1
P(U), E) = deg(I-A.r, BR
R
R
∩
rP
-1
P(U), θ). (2.2.4)
Do đó, từ (2.2.4) và tính duy nhất của bậc Leray – Schauder dẫn đến tính duy
nhất của chỉ số điểm bất động.
Theo chứng minh tính duy nhất ở trên, ta được định nghĩa
i(A,U,X) = deg(I – A.r, B
R
R
R
∩
rP
-1
P(U), θ), (2.2.5)
trong đó, r : E
→
X là một phép co tùy ý và BR
R
R = { x
∈
E :