Mở đầu
Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric xác suất có thể đợc coi nh là
một phần trong giải tích ngẫu nhiên. Hơn nữa, đây là một hớng tổng quát tốt, tiệm cận
tốt tới các định lý về điểm bất động ngẫu nhiên. Một hớng nghiên cứu trong nhóm
Xemina khoa học do GS. TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì.
Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chơng (chơng 1-2-3), tài liệu tham
khảo. Nội dung chính của các chơng đợc tóm tắt nh sau:
Chơng 1 trình bày về không gian metric xác suất. Chơng 1 chủ yếu trình bày về
định nghĩ không gian metric xác suất, topo trong không gian metric xác suất và một số
ví dụ.
Chơng 2 là chơng chính của luận văn. Chơng trình bày một số định lý điểm bất
động trong không gian metric xác suất. Đầu tiên là một số định lý về điểm bất động
trong không gian metric xác suất đầy đủ cho ánh xạ co xác suất. Trong phần này có
trình bày hai xu hớng về nghiên cứu định lý điểm bất động trong không gian metric
xác suất. Xu hớng đặt điều kiện lên t-chuẩn của không gian, xu hớng thứ hai là đặt
điều kiện lên hàm phân phối khoảng cách của không gian. Sở dĩ có hai xu hớng nh
vậy, nguyên nhân là tồn tại một không gian metric xác suất đủ, và một ánh xạ co mà
không có điểm bất động trên đó. Đây chính là định lý nổi tiếng của H. Sherwood. Kế
đến, luận văn trình bày các định lý điểm bất động khi đặt điều kiện lên hàm phân phối
khoảng cách với các t-chuẩn T T
L
. Các định lý này tìm đợc ứng dụng cho một số
định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên. Phần tiếp theo, luận văn trình bày các
định lý điểm bất động cho các ánh xạ q co xác suất và một số tổng quát hóa của ánh
1
2
xạ co. Phần tổng quát hóa chủ yếu theo các hớng. Hớng thứ nhất, phát biểu định lý
điểm bất động cho ánh xạ co tổng quát. Hớng thứ hai là các định lý cho ánh xạ q
co địa phơng.
Trong chơng 3, xin trình bày về các hệ quả đợc rút ra từ các định lý viết trong
chơng 2 cho các định lý về điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên.

1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Không gian định chuẩn ngẫu nhiên và không gian tiền chuẩn . . . . . . 17
1.6 Không gian metric liên quan tới độ đo tách đợc . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1 Độ đo tách đợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Các không gian metric xác suất liên quan . . . . . . . . . . . . 26
2 Các định lý điểm bất động trong không gian metric xác suất 31
2.1 Các nguyên lý B co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3
4
2.2 Một số tổng quát hóa của các nguyên lý B co xác suất cho ánh xạ
đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Các định nghĩa liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 áp dụng vào các định lý điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 68
3.1 Một số định lý áp dụng trong E-không gian . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Hai lớp đặc biệt của q co xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chơng 1
Không gian metric xác suất
1.1 Hàm tam giác
1.1.1 Chuẩn tam giác và đối chuẩn tam giác
Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn tam giác( t- chuẩn) là một toán tử nhị phân trên đoạn
đóng [0, 1], có nghĩa là, một hàm T : [0, 1]
2
[0, 1] sao cho với mọi x, y, z [0, 1] các
tiên đề sau đợc thỏa mn:
1. T (x, y) = T (y, x) (Giao hoán);
2. T (x, T(x, z)) = T (T (x, y), z) (Kết hợp);
3. T (x, y) T(x, z) với y z ( Đơn điệu);
4. T (x, 1) = x (chuẩn hóa).
Định nghĩa 1.1.2. Nếu T là một t- chuẩn, khi đó t- đối chuẩn đối ngẫu vớ nó S :

L
vµ t- ®èi chuÈn Lukasiewicz S
L
cho bëi
T
L
(x, y) = max(x + y − 1, 0),
S
L
(x, y) = min(x + y, 1);
4. t- chuÈn yÕu nhÊt ( tÝch drastic) T
D
vµ t- ®èi chuÈn m¹nh nhÊt S
D
cho bëi
T
D
(x, y) =





min(x, y) nÕu max(x, y) = 1;
0 tr−êng hîp kh¸c,
S
D
(x, y) =








T
M
(x, y) nÕu λ = 0,
T
P
(x, y) nÕu λ = 1,
T
L
(x, y) nÕu λ = +∞,
log
λ
(1 +
(λ
x
−1)(λ
y
−1)
λ−1
) tr−êng hîp kh¸c.
2. Hä t-chuÈn Yager (T
Y
λ
)
λ
∈ [0, +∞] cho bëi

) tr−êng hîp kh¸c.
7
3. Họ t- chuẩn Sugeno -Weber cho bởi
T
SW

(x, y) =













T
D
(x, y) nếu = 1
T
P
(x, y) nếu = ,
max(0,
x+y1+xy
1+
) trờng hợp khác.

Ta có thứ tự mạnh yếu sau: T
D
< T
L
< T
P
< T
M
Định nghĩa 1.1.4. Một t-chuẩn T đợc gọi là Archimedean nếu với mọi (x, y) (0, 1)
2
tồn tại mọt số tự nhiên n N sao cho
x
(n)
T
< y.
Bổ đề 1.1.1. Một t-chuẩn T là Archimedean nếu và chỉ nếu với mỗi x (0, 1) chúng
ta có
lim
n
x
(n)
T
= 0.
Định nghĩa 1.1.5. Một t-chuẩn T gọi là có kiểu H nếu họ (x
(n)
T
)
nN
là liên tục đồng
bậc tại điểm x = 1.





0 nếu a [, ),
1 nếu u = .
Trong chúng ta đặt vào đó một thứ tự sau: nếu F và G là hai hàm phân phối thì
ta nói F G khi và chỉ khi F (x) G(x) x [, ]. Khi đó, ta có (
+
, ) là
sắp thứ tự bộ phận với H

là phần tử lớn nhất và H

là phần tử bé nhất. Chúng ta
có H
a
[0, ].
Định nghĩa 1.1.8. Một hàm tam giác là một phép toán hai ngôi :
+
ì
+

+
trên
+
mà thỏa mn các tính chất
1. Tính chất giao hoán: (F, G) = (G, F )F, G
+
.


.
Nếu
1
và
2
là hai hàm tam giác khi đó
1
là yếu hơn
2
( hay
2
là mạnh hơn
1
).

1

2
, nếu với mọi F, G trong
+
và với x in R
+

1
(F, G)(x)
2
(F, G)(x).
9
Ví dụ 1.1.3.

= T
M
(F, G)(x) (x R
+
).
Ví dụ 1.1.5.
Nếu T là một t-chuẩn liên tục trái, khi đó
T
, đợc định nghĩa bởi

T
(F, G)(x) = sup
u,vR
{T (F (u), G(v))|u + v = x}
là một hàm tam giác.
Một hàm tam giác là liên tục, nếu nó liên tục trong topo hội tụ yếu trong
+
.
Ví dụ 1.1.6.
Nếu F, G
+
khi đó tích chập F G trên [0, ) định nghĩa bởi
(F G)(0) = 0, (F G)() = 1 và
(F G)(x) =

[0,x)
F (x t)dG(t) với x (0, ).
Định nghĩa 1.1.9. L là lớp tất cả các phép toán hai ngôi trên [0, ) thỏa mn điều
kiện:
10

< v
2
thì L(u
1
, v
1
) < L(u
2
, v
2
), (1.1)
khi đó
T,L
là một hàm tam giác.
Điều kiện (1.1) là yếu hơn tính tăng ngặt của L theo mỗi biến.
Tài liệu tham khảo về chuẩn tam giác có thể xem tại [6]
1.2 Các định nghĩa về không gian metric xác suất và các
không gian liên quan
Định nghĩa 1.2.1. Một không gian metric xác suất theo nghĩa của Serstnev là một bộ
ba (S, F, ) với S là một tập khác rỗng, F : S ì S
+
cho bởi (p, q) F
p,q
, là
một hàm tam giác, sao cho điều kiện sau đây đợc thỏa mn với mọi p, q, r trong S :
1. F
p,p
= H
0
;

Định nghĩa 1.2.5. Nếu tiên đề 1, 2 và 3 trong định nghĩa (1.2.1) đúng thì cặp (S, F)
đợc gọi là không gian nửa metric xác suất.
1.3 Không gian Menger
Định nghĩa 1.3.1. Cho T là một t-chuẩn liên tục trái. Khi đó, không gian metric xác
suất (S, F, ) là không gian metric xác suất với =
T
, đợc gọi là không gian Menger,
ta cũng ký hiệu là (S, F, T ).
Nhận xét 1.3.2.
Nếu một t-chuẩn T là liên tục trái khi đó
T
trong định nghĩa (1.3.1)
là một hàm tam giác. Khi đó ta có
F
p,r
(x + y) T (F
q,q
(x), F
q,r
(y)) (1.2)
với mọi p, q, r trong S và x, y là các số thực. Khi đó bất đẳng thức trên đơng nhiên
cũng kéo theo tiên đề 4 trong định nghĩa không gian metric xác suất theo nghĩa của
Serstnev. Thật vậy, lấy x [0, ) chúng ta có với mọi u, v [0, ) sao cho u + v = x
F
p,r
(x) T (F
p,q
(u), F
q,r
(v)).

q,r
(y))
thì bộ ba (S, F, T ) là không gian Menger không có tính Arrchimedean.
Ta xét một trờng hợp đặc biệt của không gian Menger để thu đợc không gian
metric cổ điển.
Ví dụ 1.3.7.
Nếu ta giả sử tồn tại một hàm d, d : M ì M [0, ), sao cho
F
p,q
(x) = H
d(p,q)
(p, q M, x R) (1.3)
khi đó ta nhận đợc không gian Menger (M, F,
T
), với F(p, q) = H
d(p,q)
, với bất kỳ
t-chuẩn T là một không gian metric cổ điển. Ta có với p, q, r M sao cho d(p, q) < x
và d(q, r) < y với x, y > 0, khi đó theo (1.3) ta có F
p,q
(x) = 1 và F
q,r
(y) = 1. Khi đó
theo (1.2) và tính bị chặn của t-chuẩn T ta có d(p, r) < x + y, tức là ta có bất đẳng
thức tam giác.
Ngợc lại, nếu (M, d) là một không gian metric cổ điển thì ta lấy F
p,q
định nghĩa
bởi (1.3) chúng ta nhận đợc với bất kỳ t-chuẩn T nào ta có F
p,q

L
) là một không gian Menger và đợc gọi là E-không gian
trên không gian metric (M, d).
Định nghĩa 1.3.2. Một không gian metric xác suất mà (S, F, ) với là một tích chập
đợc gọi là không gian Wald.
Định lý 1.3.1. Một không gian metric xác suất (S, F, ), là không gian Wald thì là
không gian Menger (S, F, T
P
).
Chứng minh. Trong một không gian Wald, với bất kỳ x, y 0 và p, q, r S chúng ta
có
F
p,r
(x + y)
x+y

0
F
p,q
(x + y z)dF
q,r
(z)
=
x+y

0
(
x+y

0

t,z0t+zx+y
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z) =
x

0
y

0
dF
p,q
(t)dF
q,r
(z)
=
x

0
dF
p,q
(t)
y

0
dF
q,r
(z)

p,q
(t) > 1 t} với t > 0 và p S.
Định lý 1.4.1. Cho (S, F, ) là một không gian metric xác suất. Nếu là liên tục khi
đó hệ lân cận N xác định trên S một topo Hausdorff.
Chúng ta quan tâm tới (, )topo trên (S, F, ) đợc định nghĩa bởi họ các lân
cận sau (N
p
(, ))
pS,t>0(0,1)
với N
p
(, ) = {q|q S, F
p,q
() > 1 }.
Vì N
p
(t, t) = N
p
(t) với t > 0, và
N
p
(min(, )) N
p
(, ) với mọi > 0, (0, 1)
hệ lân cận mạnh tơng đơng với hệ (, ) lân cận.
Nếu (S, F, T ) là không gian Menger và sup
a<1
T (a, a) = 1, khi đó họ (N
p
)

n
)
nN
trong S là một dy Cauchy nếu với mọi và
(0, 1) tồn tại n
0
(, ) N sao cho F
p
n
,p
m
> 1 , với mọi n, m n
0
(, ).
1.4.3 Không gian metric xác suất đầy đủ
Định nghĩa 1.4.3 (Định nghĩa không gian metric xác suất đủ). Không gian metric xác
suất (S, F, T ) đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dy Cauchy trong (S, F, T ) đều có giới hạn
trong (S, F, T ) .
Mệnh đề 1.4.2. Cho (S, F, T
L
) là một E không gian trên không gian metric đủ (M, d).
Khi đó ta có các khẳng định sau tơng đơng:
1. {x
n
} S hội tụ tới x
0
trong S.
2. lim
n
F

x
0
.
Ngợc lại, giả sử x
n
P
x
0
khi đó với mọi > 0 chúng ta có
lim
n
P { , d(x
n
(), x
0
()) < } = 1.
Vì thế mà với mọi > 0 chúng ta có, tồn tại một số nguyên dơng N = N (, ), sao
cho
P { , d(x
n
(), x
0
()) < } > 1 n N.
Tức là ta có F
x
n
,x
0
() > 1 với mọi n N. Cũng tức là ta có x
n

1
, m
2
M, khi đó metric d
m
1
,m
2
xác định bởi
d
m
1
,m
2
(p, q) = sup{t|t 0, m
1
(t) f F
p,q
(m
2
(t))}(p, q S)
xác định (, )topo trên S.
Trong trờng hợp đặc biệt khi T = T
L
, khi đó d
m
1
,m
2
: S ìS [0, ) (m

+
và T
là một t-chuẩn với T T
L
. Bộ ba (S, F, T ) đợc gọi là một không gian định chuẩn
ngẫu nhiên khi và chỉ khi các điều kiện sau đợc thỏa mn, với F(p) = F
p
, với mọi
p S :
1. F
p
(0) = 0 với mọi p S và F
0
= H
0
p = 0;
2. F
p
(x) = F
p

x
||

với mọi p S, x > 0, K \ {0};
3. F
p+q
(x + y) T (F
p
(x), F

() = P({| , X() < }) ( > 0,

X S, X

X),
khi đó (S(, A, P ), F, T
L
) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên.
Mọi không gian định chuẩn ngẫu nhiên (S, F, T ) , với t-chuẩn T liên tục, là một
không gian vector topo với một cơ sở lân cận đếm đợc tại 0 của S. Khi đó tồn tại một
F chuẩn ã : S [0, ) thỏa mn các tiên đề sau và sinh ra (, ) topo:
18
1. Với mọi x S : x 0 và x = 0 x = 0;
2. Với mọi x S và với mọi a K
|a| 1 ax x;
3. Với mọi (x, y) S ì S : x + y x + y;
4. Với mọi x S và với mọi (a
n
) K
N
lim
n
a
n
= 0 lim
n
a
n
x = 0.
Bổ đề 1.5.1. Cho (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên và d : S ì S

n
) = b
n
(n N).
Định lý 1.5.3. Cho (X, ã ) là một không gian F chuẩn thỏa mn
((x
i
) X
N
)

lim
n
x
n
= 0 co{x
i
|i N} là bị chặn

.
Khi đó X là một không gian lồi địa phơng.
Mệnh đề 1.5.4. Cho (S, F, T ) là một không gian định chuẩn ngẫu nhiên với T là một
t-chuẩn liên tục kiểu H. Khi đó S với topo (, ) là một không gian vector topo lồi địa
phơng.
19
Chứng minh. Xét (x
i
) S
N
với lim

Chọn M
1
= {x
n
|n n(, )} và M
2
= {x
n
|n < n(, )}. Vì F
x
là một hàm phân phối
nên tồn tại

(, ) 1 sao cho
F
x
(

(, )) > với mọi x M
2
.
Chúng ta sẽ chứng minh (1.4) đúng cho (, ) = 2

(, ).
Nếu x co{x
n
|n N} khi đó
x =
n


p
s
= 1,
và x
i
k
M
1
(k {1, 2, .., n}), x
j
s
M
2
(s {1, 2, ..., m}).
Giả sử
n

k=1
r
k
< 1 và
m

s=1
p
s
< 1. Nếu
n

k=1

j
s
(2

(, ))
T

F
n

k=1
r
k
x
i
k
(

(, )), F
m

s=1
p
s
x
j
s
(

(, ))

k=1
r
k
+ 1
n

k=1
r
k



T (T (....T (T

n - lần

F
x
i
1
(

(, )), F
x
i
2
(

(, )),


p
s
x
j
s


(, ))
(m)
T
. Vì thế mà
F
x
(2

(, )) T (
(n)
T
,
(m)
T
) =
(m+n+1)
T
> 1 .
Định nghĩa 1.5.2. Cho (S, F) là một không gian nửa metric xác suất và > 0,
(0, 1). Không gian (S, F) đợc gọi là (, ) xích hóa đợc nếu với mỗi p, q S tồn
tại dy điểm hữu hạn trong S, p = p
0
, p


2
< 1 và
F
p
() >

, F
q
() >

.
Nếu p
i
= (1
i
)p +
i
q, i {0, 1, ..., n}, với n =

2

+ 1

và
i
= i

2
, i


T

F
p


2
2


, F
q


2
.
2


T (

,

)
> 1
với mọi i {0, 1, ..., n 1}.
Định nghĩa 1.5.3. Cho E là một không gian vector trên trờng K và p : E [0, )
thỏa mn các điều kiện sau:
1. p(x) = 0 x = 0;

= {x|x E, p(x) < }.
Không gian S(0, 1) tât cả các lớp tơng đơng các biến ngẫu nhiên trên (0, 1) là
không gian tiền chuẩn nếu tiền chuẩn p : S(0, 1) [0, ) cho bởi
p(x) =
1

0
|x(t)|
1 + |x(t)|
m
0
(dt) ({x(t)} x). (1.5)
Tiền chuẩn p xác định bởi (1.5) không có tính thuần nhất. Tổng quát hơn, nếu (, A, P )
là một không gian xác suất và X là một biến ngẫu nhiên trên vào R
n
khi đó một tiền
chuẩn trên S(, A, P ) đợc xác định bởi
p(

X) =


X()
R
n
1 + X()
R
n
dP.
22

(u
2
)) với mọi x, y E và với mọi u
1
, u
2
0;
4. Nếu
n
(
n
, R) và lim
n
F
x
n
=x
() = 1 với mọi > 0(x
n
, x E) khi đó
lim
n
F

n
x
n
x
() với mọi > 0.
Mỗi không gian tiền chuẩn (E, p) cũng là một không gian tiền chuẩn ngẫu nhiên

với bất kỳ A, B A và A B = .
Ví dụ 1.6.10.
Xét t-đối chuẩn S
L
, = N, A = 2
N
và m(E) = min(|E|/N, 1) với N
là một số tự nhiên cố định, với |E| là lực lợng của E, chúng ta có m là một độ đo
S
L
tách đợc.
Định nghĩa 1.6.2. Cho S là một t-đối chuẩn liên tục liên tục trái. Một hàm tập
m : A [0, 1] là một độ đo S tách đợc nếu m() = 0 và
m



i=1
A
i

= S

i=1
m(A
i
)
với mọi dy (A
i
)

n
m(E
n
) = m



n=1
E
n

.
24
Ví dụ 1.6.12.
Cho B là một đại số Borel trên [0, 1] và f : [0, 1] [0, 1], là một
hàm liên tục sao cho f(0) = 0. Hàm tập m : B [0, 1], xác định bởi
m(E) = sup
xE
f(x)
là một độ đo sup tách đợc nhng không liên tục từ phía trên tại . Thật vậy,
chúng ta xét dy tập ((0, 1/n))
nN
, khi đó đơng nhiên (0, 1/n) , nhng
lim
n
m((0, 1/n)) = lim
n
sup
x(0,1/n)
f(x) = f(0) = 0.

nN
(s m)(A
n
).
Trờng hợp thứ nhất xảy ra đối với t-đối chuẩn chặt hoặc không chặt nhng có s m
cộng tính hữu hạn.
Mệnh đề 1.6.3. Cho P làm một độ đo xác suất trên A và s là một nhân cộng tính của
t-đối chuẩn Archimedean S. Khi đó, m = s
(1)
P là một độ đo S tách đợc trên
A. m thỏa mn s m là giả cộng tính khi và chỉ khi s(1) < P () = 1 và tồn tại
E A sao cho 0 < P (E) < P () = 1.
Tính liên tục tại 0 của t-đối chuẩn S đảm bảo một topo liên quan tới độ đo con .
Một hàm tập , : A [0, ], là một độ đo con nếu nó thỏa mn các điều kiện sau:
25
1. () = 0;
2. (A) (B) với A B, A, B A;
3. (A B) (A) + (B) với A, B A và A B = .
Định lý 1.6.4. Cho m, m : A [0, 1], là một độ đo S tách đợc ứng với một t-đối
chuẩn liên tục tại 0 S. Khi đó, tồn tại một độ đo con trên A sao cho lim
n
m(E
n
) = 0
khi và chỉ khi lim
n
(E
n
) = 0.
Định nghĩa 1.6.3. Một độ đo max-tách đợc m, m : A [0, ], nếu m thỏa mn điều

R
[0, 1] xác định bởi
m(A) =





1 nếu A = ,
0 nếu A = .
với A 2
R
là hoàn toàn tối đại nhng không liên tục trên. Thật vậy, lấy E
n
=
(0, 1/n)(n N), chúng ta nhận đợc dy giảm (E
n
)
nN
với E
n
, nhng 1 =
lim
n
m(E
n
) = m() = 0.
Ví dụ 1.6.14.
Mọi hàm số f : [0, ) xác định một độ đo hoàn toàn tối đại theo
nghĩa sau, m(A) = sup