Mục lục
Lời mở đầu i
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach . . 1
1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Các bất đẳng thức đối với biến ngẫu nhiên thực và Mar-
tingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo . . . . . . . . . 12
2 Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập 13
2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức của tổng các biến
ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập . . 23
2.3 Sự tập trung và dáng điệu đuôi . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Luật mạnh số lớn 56
3.1 Phát biểu chung cho định lý giới hạn . . . . . . . . . . . 56
3.2 Các luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 80
i
Lời nói đầu
Lý thuyết xác suất ra đời vào thế kỷ 17 bởi các nhà toán học Pháp.
Tuy nhiên, phải đến nửa đầu thế kỷ 20 mới thực sự có một cơ sở vững
chắc. Kể từ đó môn khoa học này không ngừng phát triển. Ngày nay nó
đã trở thành một ngành toán học lớn chiếm vị trí quan trọng, không chỉ
có nhiều ứng dụng mà còn là một ngành toán có tầm lý thuyết ở trình
độ cao.
Lý thuyết xác suất trong không gian Banach là một nhánh mới của
toán học, nhằm mở rộng để nghiên cứu vector ngẫu nhiên vô hạn chiều.
Đó là một sự khái quát tự nhiên của quá trình ngẫu nhiên, đã được
nhiều nhà toán học nghiên cứu như A. Beck, B. Maurey, G.Pisier, J-P.
Kahane, J. Hoffmanm-Jorgensen, với nhiều kết quả quan trọng được tìm

hướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH Đặng Hùng Thắng. Người
đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu
của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về kiến thức, tài liệu
và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, năm 2009
Học viên
Tạ Công Sơn
iii
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Phần này, ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả cần dùng trong phần
tiếp theo như: Các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan tới biến ngẫu
nhiên với giá trị trong không gian Banach; bất đẳng thức đẳng chu; bất
đẳng thức co; và dãy biến Rademacher với các tính chất của nó.
Với mục tiêu chính của luân văn là nghiên cứu về tổng các biến ngẫu
nhiên trong không gian Banach. Vì vậy, chương này chỉ chứng minh hai
bất đẳng thức về dãy tổng riêng là bất đẳng thức Levy và bất đẳng thức
Ottavani-Kolmogorov.
1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không
gian Banach
Ở đây, trình bày một số khái niệm và tính chất liên quan tới biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian Banach như: Khái niệm về biến
ngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach, các sự hội tụ trong của
biến ngẫu nhiên trong không gian Banach, tính khả tích.
Ký hiệu B là không gian Banach trên R với chuẩn ., B

là không
gian liên hợp của B.

i
∈ A.
Đối với biến ngẫu nhiên X, khi đó độ đo xác suất ảnh trên B µ = µ
X
của P qua X được gọi là phân phối xác suất của X.
Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Radon là hoàn toàn được xác
định bởi hình chiếu của nó; chính xác hơn, nếu X,Y là các biến ngẫu
nhiên Radon sao cho mọi f ∈ B

: f(X) và f(Y ) (như là biến ngẫu nhiên
thực) có cùng phân phối thì µ
X
= µ
Y
.
Kết hợp với định lý trong trường hợp thực, thì ta có : các phiếm hàm
đặc trưng trên B

:
E exp{if(X)} =

B
exp{if(x)}dµ(x) f ∈ B

xác định hoàn toàn phân phối của X.
Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối thoả mãn µ
X
= µ
(−X)
thì ta

trong P(B) là compac tương đối với tô pô yếu khi và chỉ khi
mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B để
µ
i
(K) ≥ 1 − ε với mọi i ∈ I.
Dãy (X
n
) các biến ngẫu nhiên Radon với giá trị trong B gọi là hội
tụ đến X nếu dãy phân phối µ
X
n
⇒ µ
X
. Để kiểm tra (X
n
) hội tụ yếu
đến X ta cần kiển tra f(X
n
) hôi tụ yếu tới f(X) với mọi f ∈ B

và dãy
(X
n
) là chặt theo nghĩa:
Mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B với
P(X
n
 > ε) ≥ 1 − ε
với mọi n hoặc n đủ lớn.
Dãy (X

p
khả tích
EX
p
=

X
p
dP < ∞, p < ∞.
3
và
X
∞
= esssupX < ∞, p = ∞.
Khi đó L
p
(B) cùng với X
p
= (EX
p
)
1/p
là một không gian Banach
với 1 ≤ p ≤ ∞ (và là không gian vector metric với 0 < p < 1 ).
Nếu (X
n
) hội tụ tới X trong L
p
(B), thì ta nói (X
n

tích Pettis):
Giả sử, biến ngẫu nhiên Radon X thoã mãn: với mỗi f ∈ B

, biến
ngẫu nhiên thực f(X) khả tích. Nếu ta xét toán tử
T : B

−→ L
1
(Ω,A, P)
định nghĩa bởi T (f) = f(X) thì T là toán tử bị chặn, vì vậy xác định
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên B

, nó là một phần tử trong
B

. Nếu phần tử này thực sự thuộc B thì ta ký hiệu phần tử đó là EX
và khi đó ta nói X là khả tích yếu (hay khả tích Pettis). Nói cách khác,
nếu tồn tại a ∈ B sao cho với mọi f ∈ B

, ta có Ef(X) = f(a) thì X là
khả tích yếu, và viết EX = a.
Nếu biến ngẫu nhiên Radon X khả tích mạnh thì khả tích yếu. Đồng
thời ta có
EX ≤ EX
4
Ở đây ta cũng nhắc lại một tính chất quan trọng được thiết lập từ
bất đẳng thức Jensen và tính độc lập. Nếu X là biến ngẫu nhiên Radon
với giá tri trong B mà EX = 0 ( tức Ef(X) = 0 với mọi f ∈ D) ta nói
X có kỳ vọng không hay X là quy tâm.

P{max
i≤N
X
i
 > t} ≤ 2P{S
N
 > t}.
Nếu (S
k
) hội tụ theo xác suất tới S, thì ta có bất đẳng thức mở rộng sau
P{max
k
S
k
 > t} ≤ 2P{S > t}
và tương tự, khi thay S
i
bởi X
i
.
Hơn nữa, nếu tính khả tích đươc đảm bảo thì với mỗi p: 0 < p < ∞
E max
k≤N
S
k

p
≤ 2ES
N


n
 > t, τ = k}. (∗)
Lại do, với mọi k thì (−X
1
, ...,−X
k
, X
k+1
, ..., X
N
) cùng phân phối với
(X
1
, ..., X
N
) và {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X
1
, ..., X
k
nên ta cũng có:
P{S
N
 > t} =
N

k=1
P{S
k
− R
k

k
=
k

i=1
X
i
(k ≤ N)
thì với mọi s, t > 0
P{max
k≤N
S
k
 > s + t} ≤
P{S
N
 > t}
1 − max
k≤N
P(S
N
− S
k
 > s)
Chứng minh. Xét
τ =





Ta thấy, khi
S
k
 > s + t ⇒ S
N
 ≥ S
k
 − S
N
− S
k
 > t.
Vậy nên, khi τ = k và S
N
− S
k
 ≤ s thì S
N
 > t.
Cùng với tính độc lập của {τ = k} và S
N
− S
k
nên:
P{S
N
 > t} = P({S
N
 > t}


k
 ≤ s}
N

k=1
P{τ = k}
= (1 − max P{S
N
− S
k
 > s})P{maxS
N
 > s + t}
⇒ đpcm
1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co
Việc nghiên cứu trực tiếp chuỗi ngẫu nhiên trong không gian Banach là
khó khăn. Vì vậy, như một bước trung gian ta sẽ nghiên cứu các kết quả
cho trường hợp chuỗi đặc biệt dạng

i
x
i
ε
i
, với ε
i
là các biến ngẫu nhiên
thực nào đó. Như là một phép nhúng biến ngẫu nhiên thực vào không
gian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Dưới
đây, ta xem xét các tính chất của chuổi dạng trên.

).
Ở đây, ta nêu một số tính chất (chứng minh được trình bày ở [5] và
[7]) của chuỗi Rademacher.
Định lý 1.3. Với 0 < p < ∞ khi đó tồn tại các hằng số dương A
p
và
B
p
phụ thuộc vào p sao cho với mọi dãy số thực hữu hạn (α
i
) Ta có
A
p
(

α
2
i
)
1/2
≤ 

ε
i
α
i

p
≤ B
p

+
là lồi, không giảm.
Mỗi dãy hữu hạn (x
i
) trong không gian Banach B và mỗi dãy số thực
(α
i
) sao cho với mọi i, α
i
 ≤ 1 với mọi i. Ta có:
EF (

i
α
i
ε
i
x
i
) ≤ EF (

i
ε
i
x
i
) (1.2)
P(

i

i
: R → R, i ≤ N
8
là ánh xạ co, sao cho ϕ
i
(0) = 0. Thì với mọi tập T trong R
N
EF (
1
2

N

i=1
ε
i
ϕ
i
(t
i
)
T
) ≤ EF (
N

i=1
ε
i
t
i

ε
i
x
i
x
i






. (1.4)
Gọi X là một chuỗi Rademacher trong B ta có một bất đẳng thức
đuôi sau:
P{X ≥ M + t} ≤ 2exp(−t/8σ
2
). (1.5)
Ở đây M = M(X) là ký hiệu median của X , σ = sup
f≤1
(Ef
2
(X))
1/2
.
Ta cũng có đánh giá:
M ≤ 2EX và σ
2
≤ EX
2

i
là hiệu martingale thực, và
N

i=1
d
i
= S
N
 − ES
N
.
Vì vậy, vấn đề lại chính là việc nghiên cứu biến cố đuôi của các martingale
thực.
Phần này, ta sẽ xem xét những đánh giá đuôi của các martingale
thực (chứng minh có trong [5]) để phục vụ cho chương sau, cụ thể:
Cho L
1
= L
1
(Ω,A, P) là không gian tất cả các hàm đo được f trong
Ω sao cho E|f| < ∞ giả sử ta xét họ các σ đại số:
{∅, Ω} = A
o
⊂ A
1
⊂ ... ⊂ A
N
= A
và E(f|A

N

i=1
d
i
là tổng của hiệu martingale
tương ứng đối với (A
i
)
i≤N
. Giả sử d
i

∞
< ∞ đăt a = (
N

i=1
d
i

2
∞
)
1
2
thì
với mọi t > 0:
P{|f − Ef| > t} ≤ 2exp{−t
2

|A
i−1
)
∞
)
1/2
10
thì ∀t > 0:
P{|f − Ef| > t} ≤ 2exp{
−t
2
2b
2
(1 − exp(at/b
2
))}.
Định lý 1.8. Cho 1 < p < 2 và q =
p
p − 1
, lấy f sao cho
f − Ef =
N

i=1
d
i
và đặt
a = max
i≤N
i

i
EX
2
i
)
1/2
ta có:
P{

i
X
i
> t} ≥ exp{−(1 + ν)t
2
/2b
2
}.
Định lý 1.10. Cho (Z
i
)i ≤ N là biến ngẫu nhiên thực dương thì ∀t > 0
P{max
k≤N
Z
i
> t} ≥
N

i=1
(Z
i

N trên E
N
một điểm x trong E
N
có hệ số
x = (x
1
, ..., x
N
) với x
i
∈ E, A là một tập con của E
N
. Chúng ta đặt:
H(A, q, k) =
{x ∈ E
N
: ∃x
1
, ..., x
q
∈ A sao cho card{i ≤ N : x
i
/∈ {x
1
i
, ..., x
q
i
}} ≤ k}

K
o
q
)
k
. (1.6)
Khi đó, với dãy biến ngẫu nhiên (X
n
)
n≤N
độc lập nhận giá trị trong
không gian đo được E, thì tồn tại không gian xác suất tích Ω
N
sao cho
với ω = (ω
n
)
n≤N
trong Ω
N
, X
n
(ω) chỉ phụ thuộc vào ω
n
. Vậy (1.6) suy
ra:
Khi P(X ∈ A) ≥
1
2
và k ≥ q ta có:

i
; với (X
i
) là
dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng không. Vì vậy việc mở rộng
này sẽ là công việc tương đối khó khăn. Do đó ta cần có những phương
pháp khác để nghiên cứu. Phương pháp đầu tiên được nói đến là phương
pháp đối xứng hoá, được trình bày trong phần một; phương pháp thứ
hai là phương pháp dùng dãy Rademacher cũng được trình bày ở phần
một và phần ba; phương pháp thứ ba là phương pháp nghiên cứu thông
qua dãy martigale thực ở phần ba; và cuối cùng và cũng là quan trọng
nhất là sử dụng bất đẳng thức đẳng chu, được chỉ rõ ở phần ba.
Với ý tưởng như trên, chương này được chia làm ba phần: Phần một
nghiên cứu phương pháp đối xứng hoá, và áp dụng nó để chứng minh
định lí Lévy- Itô-Nisio, bất đẳng thức co. Phần hai nghiên cứu tính khả
tích của tổng các đại lượng ngẫu nhiên, bất đầu bằng bất đẳng thức
Hoffmana-Jorgensen, sau đó là bất đẳng thức momen của tổng các biến
ngẫu nhiên độc lập, và nhưng kết luận về tính khả tích. Phần ba với áp
13
dụng của bất đẳng thức đẳng chu, để đánh giá ước lượng đuôi của tổng
các biến ngẫu nhiên độc lập và định lí mở rộng về tính khả tích.
Các kết quả ở chương này dùng để nghiên cứu chương sau về các
định lí giới hạn.
2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức
của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
Ý tưởng cơ bản trong nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập là
khái niệm đối xứng hoá. Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ xác định trên
(Ω,A, P); ta có thể xây dựng một biến ngẫu nhiên đối xứng theo nghĩa

X = X − X

 > t}
cùng với tính độc lập, và cùng phân phối của X và X

ta có đpcm.
Đặc biệt, khi ta chon a sao cho P(X ≤ a) ≥
1
2
thì ta có
P{X > t + a} ≤ 2P{

X > t}.
Điều này cũng suy ra một kết luận quan trọng về mối liên hệ của
tính khả tích giữa X và

X rằng:
Hệ quả 2.2.
EX
p
< ∞ ⇔ E

X
p
< ∞ (2.1)
với mọi p > 0.
14
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức:
EX − X


p

p−1
P(X − X

 ≥ x)dx < ∞
⇒
+∞

0
x
p−1
P(X ≥ x)dx < ∞
(theo bất đẳng thức trên). Vậy ta được điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.3. Ta có thể tổng quát khẳng định trên (với việc chứng minh
tương tự) cho hàm f là hàm khả vi, lồi, tăng thì
Ef(X) < ∞ ⇔ Ef(

X) < ∞.
Phương trình (2.1) là chưa thực sự tốt cho nhiều áp dụng khác, vì
vậy nó được cải tiến như sau:
Định lý 2.4. Với mọi a, t > 0
inf
f∈D
P{| f(X) |≤ a}P{X > t + a} ≤ P{X − X

 > t}. (2.2)
Chứng minh. Thật vậy, lấy ω sao cho X(ω) > t + a, khi đó tồn tại
h ∈ D để cho: |h(X(ω))| > t + a (do trong B thì x = sup
f∈D
f(x)).
Từ đó suy ra với |h(X


) > t}.
Do đó; với X(ω) > t + a
inf
f∈D
P

{|f(X

)| ≤ a} ≤ P{X − X

 > t}.
15
Suy ra
I
{X(ω)>t+a}
inf
f∈D
P
ω

{|f(X

)| ≤ a} ≤ P
ω

{X(ω) − X

 > t}.
Lấy tích phân theo ω, áp dụng định lý Fubini và vì X, X


(ω

)) < t. Vậy
|h(X

(ω

))| ≥ h(X(ω)) − h(X(ω) − X

(ω

)) > a.
Nên
{X(ω) − X

 > t} ∪ {|f(X

)| > a} = Ω

.
Vì thế mà
I
{X(ω)>t+a}
≤ P
ω

{X(ω) − X

 > t} + sup


i=1
X
i
(n ≥ 1). Các
điều sau là tương đương
i) (S
n
) hội tụ h.c.c.
ii) (S
n
) hội tụ theo xác suất.
iii) (S
n
) hội tụ yếu.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp đối xứng:
Ta thấy (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên.
Ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (ii). Để chứng minh điều này ta chứng minh
X
i
P
−→ 0.
Do (X
i
) là compắc tương đối yếu, nên tồn tại dãy con (X
i
k
) để X
i
k

f(X
i
)| > M}
= sup
n
P{|f(
n

i=1
ε
i
X
i
)| > M}
= sup
n
P{|f(S
n
)| > M} < ε
2
với (ε
i
) là dãy Rademacher độc lập của (X
i
); với mọi n ta đặt
A = {ω : P
ε
{|
n



i=1
f
2
(X
i
) ≤ 8M
2
} < ε
suy ra

i
f
2
(X
i
) < ∞ h.c.c.
Vậy f(X
i
)
h.c.c
−−→ 0.
Lại vì (X
i
) là dãy chặt với giới hạn duy nhất là 0, suy ra X
i
P
−→ 0.
Khi đó ta có (ii), vì nếu không thì (S
n

P
−→ 0, điều này là vô lý. Vây ta đã chứng
minh được (ii).
Ta chứng minh (ii) ⇒ (i)
Do S
n
P
−→ S, khi đó tồn tại dãy con (n
k
) sao cho

k
P{S
n
K
− S > 2
−k
} < ∞.
Sử dụng bất đẳng thức Levy ta có
P{ max
n
k−1
≤n≤n
k
S
n
− S
n
k−1
 > 2

suất khác (Ω

,A

, P

); ta xét bản sao (X

i
) của (X
i
) và xét S

n
=

n
i=1
X

n
.
Khi đó (S

n
) hội tụ yếu tới S

, là biến ngẫu nhiên có cùng phân phối với
S.
Đặt

h.c.c
−−→

S. Khi đó tồn tại ω

trong Ω

sao cho
S
n
− S

n
(ω

)
h.c.c
−−→ S − S

(ω

) (∗).
(vì nếu ngược lại thì tồn tại  < 1 để P
ω

(A

) > 1/2 với
A
ε

(ω

))} −→ exp{if(S

(ω

))}
Suy ra f(S

n
(ω

)) −→ f(S

(ω

)) và vì vậy S

n
(ω

) hội tụ trong B đến
S

(ω

), cùng với (*) ta có điều phải chứng minh.
Phương pháp đối xứng hoá được minh hoạ rõ hơn trong mệnh đề sau
đây.
Định lý 2.7. Cho F : R

i
)
với (ε
i
) là dãy Rademecher độc lập của (X
i
).
Chứng minh. Xét

X = X − X

và lấy (ε
i
) là dãy Rademecher độc lập từ
(X
i
) và (X

i
). Khi đó vì

i
X
i
với kì vọng 0, theo bất đẳng thức (1.1) ta
có
EF (

i
X

).
Sử dụng bất đẳng thức (1.1) cùng với tính chất lồi và

i
ε
i
(X
i
+ X

i
) có
kỳ vọng không, ta có:
EF (

i
ε
i

X
i
) ≤ EF (2

i
ε
i
X
i
).
19

i
ε
i

X
i
) = EF (
1
2


i

X
i
) ≤ EF (

i
X
i
).
Phương pháp đối xứng hoá và các đánh giá ở trên chỉ ra rằng hầu
hết các kết quả đối với biến ngẫu nhiên đối xứng, có thể di truyền cho
trường hợp chung. Với lý do này, trong các phần sau ta chủ yếu xét với
các biến ngẫu nhiên đối xứng.
Phần tiếp theo, ta sử dụng các kết quả đã biết của tổng các biến
Rademecher để thu được các kết quả cho tổng các biến ngẫu nhiên độc
lập tổng quát. Với tư tưởng tổng quát như sau:
Xuất phát từ kết quả của dãy Rademecher, chẳng han dạng
Ef(x

N
) ≤ E
ε
g(X
1
(ω)ε
1
, ..., X
N
(ω)ε
N
) với mọi ω ∈ Ω.
Vì vậy, lấy kỳ vọng hai vế ta được
Ef(X
1
ε
1
, ..., X
N
ε
N
) ≤ Eg(X
1
ε
1
, ..., X
N
ε
N
)

i
) với ϕ
i
: R −→ R là đối xứng, và tương tự đối với
ζ
i
. Khi đó, nếu |ξ
i
| ≤ |ζ
i
| a.s với mọi i, cho mọi hàm lồi, không giảm
F : R
+
−→ R
+
khả tích thì
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ EF (

i
ζ
i
X
i

i
độc lập, đối xứng trong B ( trong trường hợp cụ thể
A
i
= {x ≤ a
i
}) ta được:
EF (

i
X
i
1
{X
i
≤a
i
}
) ≤ EF (

i
X
i
).
Chứng minh. Dãy (X
i
) cùng phân phối như (ε
i
X
i

i
ξ
i
X
i
).
Tương tự , ta cũng có
EF (

i
ζ
i
X
i
) = E
X
E
ε
F (

i
ε
i
ζ
i
X
i
).
Với mỗi ω ∈ Ω bởi nguyên lý co (Định lý 1.4 ) thì
E

ε
i
ξ
i
X
i
) ≤ E
X
E
ε
F (

i
ε
i
ζ
i
X
i
).
Cùng với hai đẳng thức trên, ta có bất đẳng thức đầu.
Bất đẳng thức thứ hai đựợc thiết lập tương tự với việc áp dụng bất đẳng
thức (1.3).
Thật vậy, do tính chất cùng phân phối và định lý Fubini ta có
P(

i
ξ
i
X

X
i
 > t).
21
Với mỗi ω, theo bất đẳng thức (1.3) thì
Pε(

i
ε
i
ξ
i
(ω)X
i
(ω) > t) ≤ 2Pε(

i
ε
i
ζ
i
(ω)X
i
(ω) > t).
Sau đó lấy tích phân hai vế theo ω ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.9. Với X, Y là hai biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập và hàm
F là hàm lồi, tăng; áp dụng với ξ
1
= 1, ξ
2

) không nhất thiết đối xứng nhưng có kỳ vọng không cùng
với các giả thiết khác như trên định lý thì
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ EF (2

i
ζ
i
X
i
).
Chứng minh. Vì
EF (

i
ξ
i
X
i
) ≤ EF (

i
ξ
i


1
2
sup
f∈D






i
ε
i
|f(X
i
)|






≤ EF (

i
ε
i
X
i

X
i
X
i
. (2.4)
22