Đại học quốc gia Hà Nội
Đại học khoa học tự nhiên
----------
Nguyễn Quang Báu
Một số vấn đề phát triển
của nhiệt học phổ thông
Hà Nội – 2009
Lời nói đầu
Tài liệu “Một số vấn đề phát triển của nhiệt học phổ thông” gồm 2 phần:
Phần 1: Phương trình trạng thái cho khí thực trên quan điểm hiện
đại của Vật lý Thống kê. Trong phần này trình bày những cơ sở hiện đại của
Vật lý Thống kê: phân bố Gibbs, tổng thống kê, biểu diễn năng lượng tự do
qua tổng thống kê và các hệ thức nhiệt động. Từ đó, áp dụng cho khí thực để
tìm biểu thức của năng lượng tự do, năng lượng trung bình và phương trình
trạng thái.
Phần 2: Tuyển chọn các bài tập nhiệt học nâng cao cho phổ thông.
Trong phần này tuyển chọn một số bài tập nhiệt học nâng cao liên quan đến
phương trình trạng thái có kèm theo lời giải chi tiết hoặc chỉ dẫn. Các bài
tập này rất bổ ích để luyện nâng cao cho học sinh các khối chuyên, chuẩn bị
cho các kỳ thi học sinh giỏi.
2
2
GS.TS. Nguyễn Quang BáuPhần
I: Phương trình trạng thái
cho khí thực trên quan điểm hiện đại của Vật lý Thống kê
Trên quan điểm hiện đại của Vật lý thống kê, các đại lượng nhiệt động, trong đó có các tham số
trạng thái quan sát được, ghi nhận được trong thực nghiệm để mô tả trạng thái của hệ vĩ mô bao gồm nhiều
hạt có thể được tính như giá trị trung bình thống kê theo các trạng thái vi mô của hệ. Để tính các giá trị
trung bình thống kê này chỉ cần xây dựng phân bố Gibbs đặc trưng cho hệ, và từ đó tính tổng thống kê, rồi
tính năng lượng tự do, năng lượng trung bình và dựa vào các hệ thức nhiệt động tính phương trình trạng
thái, thiết lập mối quan hệ giữa các giá trị trung bình thống kê đó. Ơ đây ta sẽ nhắc lại một số cơ sở hiện đại

i
const= =
1
∆Γ
(1.2)
Xét tham số y nào đó của hệ và giả sử nó là đại lượng ngẫu nhiên, tức
là nhận những giá trị tuỳ thuộc từng trạng thái vi mô của hệ. Nếu trong số
3
3
∆Γ
có
∆Γ
i
trạng thái vi mô của hệ trong đó đại lượng y nhận giá trị y
i
, thì
xác suất giá trị y
i
sẽ bằng :
( )
ω
y
i
i
=
∆Γ
∆Γ
Vì
∆Γ
=const , nên ta có thể viết :

=const (với độ chính xác
δ
E
), và nhiệt độ T. Như vậy, vấn
đề đặt ra là tìm xác suất trạng thái lượng tử với năng lượng E
n
của hệ con khi
nó cân bằng nhiệt động với môi trường có nhiệt độ T. Mô hình hệ con và
môi trường được miêu tả qua hình vẽ 1.
T, E
*
E
n
4
4
Gọi E
n
là năng lượng của hệ con, E
*
là năng lượng tương ứng của môi
trường. Vì hệ con cộng với môi trường là hệ cô lập nên ta có:

E E E const
n
+ = =
*
0
(1.4)
Hình 1
Ta giả thiết rằng năng lượng của hệ con nhỏ hơn rất nhiều so với năng

của hệ con tỷ lệ với số trạng thái lượng tử tương ứng
của môi trường. Ký hiệu
ω
n n
E( )
là xác suất trạng thái lượng tử với năng
lượng E
n
, ta có thể viết:
ω
n n n
E E E E( ) ~ ( ) ( )
*
∆Γ ∆Γ= −
0
(1.6)
Mặt khác, nếu ký hiệu S là entrôpi của môi trường, ta có:
( ) ( )
∆Γ E E
k
S E E
n n0 0
1
− = −









(1.8)
Chú ý tới điều kiện
E E
n
<<
0
, ta có thể khai triển gần đúng :
( ) ( )
S E E S E
S
E
E
n
E E
n0 0
0
− = −






∗
=
∂
∂
*

<<
0
), ta có thể viết :
S E E S E
E
T
n
n
( ) ( )
0 0
− = −
(1.9)
Thế (1.9) vào (1.8), ta được :
( )
( )
ω
n n
n
E
S E
k
E
kT
~ exp
0
−





n n
E
kT
E Ae
n
=
−
(1.10)
Ở đây A là một hằng số được chọn sao cho
ω
n n
E( )
thỏa mãn điều kiện
chuẩn hoá :
ω
n n
n
E( )
[ ]
=
∑
1
Ký hiệu
[ ]n
∑
có nghĩa là ta thấy tổng theo mọi trạng thái lượng tử khả
dĩ. Như vậy hằng số A được xác định từ điều kiện:
A e
E
kT

A e g E e
E
kT
n
n
E
kT
E
n n
n
−
− −
= =
∑ ∑
1
[ ]
( )
(1.11)
Đại lượng
Z e g E e
E
kT
n
n
E
kT
E
n n
n
= =

, chứ không phải là xác suất giá trị E
n
của năng lượng. Nếu
muốn xác định xác suất giá trị E
n
của năng lượng thì ta phải nhân
ω
n
với bội
suy biến của mức E
n
. Ký hiệu bội suy biến đó là g(E
n
) và xác suất giá trị E
n
là
ω
(E
n
), ta có:
( ) ( ) ( )
ω ωE g E E
n n n n
=

Trên cơ sở (1.13) ta có:
( )
ω E
Z
g E e

n0
−
của
môi trường. Mặt khác, trọng số thống kê là hàm giảm nhanh khi năng lượng
giảm . Vì vậy, khi E
n
của hệ con tăng thì năng lượng của môi trường giảm,
do đó trọng số thống kê của môi trường giảm. Xác suất của hệ con tỉ lệ với
trọng số thống kê của môi trường với năng lượng
E E E
n
*
= −
0
:
( )
ω
n n n
E E E E( ) ~ ( )
*
∆Γ ∆Γ= −
0

Như vậy, rõ ràng là
ω
n n
E( )
phải giảm khi E
n
tăng. Từ phân bố Gibbs ta

E
n
n
=
−
∑
1
( )
Thông thường, đối với hệ vĩ mô ta có thể coi gần đúng phổ năng
lượng là phổ liên tục. Khi đó ta có thể thay phép lấy tổng bằng phép tích
phân:
A A E f E dE
E
E
=
∫
( ) ( )
1
2
(1.16)
Ở đây [E
1
, E
2
] là khoảng năng lượng khả dĩ của hệ, f (E) là hàm phân
bố xác suất theo năng lượng. Nó liên quan tới mật độ trạng thái theo hệ thức:
f E E E
z
E e
E