BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Ngọc Cường

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG HÌNH NÓN VÀO PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

tình cảm yêu thương nhất và lòng tri ơn sâu sắc nhất, nơi đã tạo cho tôi niềm
tin và nghị lực và là chỗ dựa vững chắc nhất giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Trang 3

Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và
sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và
tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các
khóa trước, tôi có sử dụng một số kết quả đã được chứng minh để hoàn thành
luận văn của mình nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã có
và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Trang 5

MỤC LỤC
0TLỜI CẢM ƠN0T 2
0TLỜI CAM ĐOAN0T 4
0TMỤC LỤC0T 5
0TMỞ ĐẦU0T 7
0TChương 1. NÓN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NÓN0T 8
0T1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón0T 8
0T1.2 Nón chuẩn0T 9
0T1.3 Nón chính qui0T 10
0T1.4 Nón sinh0T 10
0T1.5 Nón liên hợp0T 12
0TChương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU0T 13

00
xt x=
(1)
Trong đó E là không gian Banach,
[ ]
,f C EE
+
∈ס
và
( )
,f tx
là hàm tựa đơn
điệu không giảm theo
x
với mỗi
t
+
∈¡
liên quan đến nón K hoặc
( )
,f tx
có
tính chất tựa đơn điệu hỗn tạp.
Nội dung luận văn sử dụng năm phương pháp chứng minh tồn tại
nghiệm của phương trình (1).
1. Bất phương trình vi phân.
2. Tập hợp bất biến dòng.
3. Phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới.
4. Kỹ thuật lặp đơn điệu.
5. Phương pháp tựa nghiệm trên và tựa nghiệm dưới.

iii)
( ) { }
KK
θ
∩− =
.
2/ Nếu K là nón thì thứ tự trong E sinh bởi K được định bởi:

xy yxK≤ ⇔ −∈
.
3/ Nón K được gọi là có thể (solid) nếu nó có chứa điểm trong, tức
là
0
K ≠∅
và
yxK−∈
thì ta viết
xy=
.
4/ Nón
KE⊂
được gọi là minihedral nếu
{ }
sup ,xy
tồn tại với mọi cặp
{ }
,xy
bị chặn trên ( tức là
:,w E x wy w∃∈ ≤ ≤
).

nn
x yn x x y y
→∞ →∞
≤∈ = =¥

xy⇒≤
.
3/ Nếu
{ }
n
x
là dãy tăng, hội tụ về
x
thì
n
xx≤

*
n∀∈¥
.
Chứng minh:
1/ Suy ra từ tính chất ii) của định nghĩa nón.
2/ Ta có
n n nn
xy yxK≤ ⇒ −∈

Trang 9 ( )

Mệnh đề 1.2.1
Giả sử “
≤
” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K. Khi đó:
1/ Nếu
uv≤
thì đoạn
{ }
,: :uv x E u x v= ∈ ≤≤
bị chặn theo chuẩn.
2/ Nếu
( )
*
nnn
x y zn≤≤ ∈¥
và
lim ,lim
nn
nn
xa za
→∞ →∞
= =
thì
lim
n
n
ya
→∞
=
.

nnnn
yxzx
θ
⇒≤ − ≤ −0
nn nn
y x Nz x⇒−≤ −→
.
Ta lại có
( )
n n nn
yx yx=+−

( )
( )
lim lim
n n nn
nn
y x yx a
→∞ →∞
⇒ = +− =

3/ Ta coi dãy
{ }
n
x
tăng và
lim

n
xa
N
ε
−<
( N là hằng số nói trong định nghĩa nón
chuẩn).
0
0
,
k
k nn
nn ax ax
θ
∀≥ ≤− ≤−

0
k
nn
ax Nax
ε
⇒− ≤ − <
. Vậy
lim
n
n
xa
→∞
=
.

n
θ
≤≤ = <
.
Vì
1
n
n
v
∞
=
<∞
∑
nên tồn tại
1
:
n
n
vv
∞
=
=
∑

Dãy
12
:
nn
s uu u= + ++
tăng, bị chặn trên bởi


xE∀∈

,: , ,uv Kx u vu Mx v Mx∃∈ =− ≤ ≤
.
Trang 11

Chứng minh:
I. Đặt
( )
( )
,1 ,1CKB KB
θθ
=∩ −∩
, ta chứng minh
( )
0: ,r CBr
θ
∃> ⊃
.
Thật vậy:
1n
E nC
∞
=
=
U
(Do K là nón sinh)

0

: ,1BB
θ
=
. Lấy
2
r
aB∈
.
+ Ta sẽ xây dựng dãy
{ }
n
x
thỏa:
1
1
1
,
22
n
nk
nn
k
r
x Ca x
+
=
∈ −<
∑
.
Thật vậy, vì

2
r
ax B−∈

2 12
23
1
:
22
r
x Cax x⇒∃ ∈ − − <
,…
+ Vì
1
2
n
n
xC∈
nên
1
, : ,,
2
nn n n n n n
n
uv Kx u v u v∃∈ =− <
.
Đặt
11
,
nn

′′
∈
,
1, 1uv
′′
≤≤,, , , .x u vuv K u v M x⇒=− ∈ ≤
, với
2
:M
r
=

Trang 12

Vậy mệnh đề được chứng minh.
1.5 Nón liên hợp
Định nghĩa 1.5.1
Nếu K là nón, thì ta định nghĩa nón liên hợp của nón K là
( )
{ }
**
:0K f E fx x K= ∈ ≥∀∈
.
Ta có:
1/
*
K

( )
⇐
Xét
( )
**
fK K∈ ∩−

Với mọi
xE∈
, ta có:
( )
lim
nn
n
x uv
→∞
= −
,
,
nn
uv K∈( )
( ) ( )
( )
lim
nn
n
fx fu fv

f x f tx<

,0xKt∀∈ ∀>
.
Cho
t →∞
ta có
( )
0fx x K≥∀∈
hay
*
fK∈
.
Tương tự
*
fK−∈
. Do đó
f
θ
=
(mâu thuẫn)
Trang 13
Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU
2.1 Điểm bất động của ánh xạ tăng.

A
được gọi là tăng mạnh nếu
12
xx<

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax=

trong trường hợp
0
K ≠∅
.
Tương tự,
A
được gọi là giảm nếu
12
xx≤

( )
12
,xx D∈
thì
12
Ax Ax≥
,
A

:AD E→
được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó liên tục và
compact. Chú ý compact theo nghĩa tập con
( )
AS
là compact tương đối với
mỗi tập con bị chặn
SD⊂
.
A
được gọi là một k-tập hợp-co
( )
0k ≥
(k-set-contraction) nếu nó liên
tục, bị chặn và
( )
( )
( )
.AS k S
γγ
≤
, với mỗi tập bị chặn
SD⊂
, trong đó
( )
S
γ

được xem là độ đo của tập không compact
S

00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử một trong hai điều kiện sau được thỏa:

( )
1
H
K là nón chuẩn và
A
là cô đọng;

( )
2
H
K là nón chính quy và
A
là nửa liên tục.
Khi đó,
A
có một điểm bất động cực đại
x
∗
và một điểm bất động cực tiểu
*
x

u Au
−
=

( )
1,2,3, n =
, và

01 10

nn
uu u v vv≤≤≤ ≤≤ ≤≤≤
(2.1.3)
Chứng minh:
Do
A
là ánh xạ tăng, theo (2.1.1) thì (2.1.3) được thỏa.
Bây giờ, ta chứng minh dãy
{ }
n
u
hội tụ về
xE
∗
∈
và
Ax x
∗∗
=
.

tương đối. Do đó có dãy con
{ }
k
n
u
của dãy
{ }
n
u
sao cho
k
n
xx
∗
→
. Rõ ràng
nn
uxv
∗
≤≤

( )
1,2,3, n =

Khi
k
mn>
, ta có
k
mn

∗∗
=
. Do đó A liên tục .
Trang 16

+ Khi
( )
2
H
được thỏa, dãy
{ }
n
u
hội tụ về
xE
∗
∈
theo tính chất của nón chính
qui K. Từ
A
nửa liên tục,
1nn
u Au
−
=
hội tụ yếu về
Ax
∗
và do đó
Ax x

, nghĩa là
11
u xv≤≤
. Lý luận tương tự ta được
22
u xv≤≤
, …,
và tổng quát, ta có
nn
u xv≤≤
, (
1,2,3, n =
). Cho
n →∞
ta được

x xx
∗
∗
≤≤
. Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.1.1
Cho điều kiện của định lý 2.1.1 được thỏa. Giả sử rằng
A
chỉ có một
điểm bất động
[ ]
00
,x uv∈
. Khi đó, với mỗi

.
Theo giả thiết ta phải có
xxx
∗
∗
= =
. Do đó từ
1nn
x Ax
−
=

( )
1,2,3, n =
hội tụ
về
x
và (2.1.2), tính chuẩn của nón K, và mệnh đề 1.2.1 thì
n
xx→
.
Định lý 2.1.2
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

D
. Do tính strong minihedrality của K nên
supxD
∗
=
tồn tại.
Trang 17

Bây giờ, ta chứng minh
x
∗
là điểm bất động cực đại của
A
trong
[ ]
00
,uv
. Thật
vậy,
00
u xx v
∗
≤≤ ≤
, với mọi
xD∈
và do đó

0 0 00
u Au Ax Ax Av v
∗

∗∗
≤
.
Vậy
Ax x
∗∗
=
. Nếu
x
là điểm bất động nào đó của
A
trong
[ ]
00
,uv
thì
xD∈

và
xx
∗
≤
. Tính cực đại của
x
∗
được chứng minh xong.
Tương tự, ta chứng minh được
1
infxD
∗

,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Giả sử
[ ]
( )
00
,Auv
là tập compact tương đối của
E
. Khi đó
A
có ít nhất một
điểm bất động trong
[ ]
00
,uv
.
Chứng minh:
Đặt
[ ]
( )
{ }
00
,:F xAuv Axx=∈≥
. Ta có
( )
00
A Au Au≥
, điều này dẫn đến
0

( )
1,2,3, n =
và
n
zG∈
.
Khi đó, theo tính compact tương đối của G thì tồn tại dãy con
{ }
i
n
z
của dãy
{ }
n
z
sao cho
i
n
z zE
∗
→∈
.
Từ
12

n
zz z≤ ≤≤ ≤
Ta có
nn
yzz

∈
. Do vậy
Az
∗
là
một cận trên của G trong F. Do đó, theo bổ đề Zorn thì F chứa phần tử cực đại
x
∗
.
Từ
Ax x
∗∗
≥
ta suy ra
( )
A Ax Ax
∗∗
≥
. Do đó ta có
Ax F
∗
∈
. Theo tính cực đại
của
x
∗
, ta có
Ax x
∗∗
=

[ ]
( )
00
,Auv
là compact
tương đối (Do
A
là compact). Theo định lý 2.1.3 ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1.4
Cho
00 0 0
,,u v Eu v∈<
và
[ ]
00
:,Auv E→
là một ánh xạ tăng sao cho:

0 000
,u Au Av v≤≤
(2.1.1)
Trang 19

Giả sử K là minihedral và
[
]
( )
00
,Auv
là tập compact tương đối của

Ta còn phải chứng minh
x
∗
là điểm bất động cực đại của
A
trong
[ ]
00
,uv
. Thật vậy, giả sử
x
là điểm bất động nào đó của
A
trong
[ ]
00
,uv
, theo
tính minihedrality của K,
{ }
sup ,v xx
∗
=
tồn tại. Do
vx≥
và
vx
∗
≥
ta có

trong
[ ]
00
,uv
.
Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh

[ ]
( )
{ }
1 00
,:F xAuv Axx=∈≤

chứa phần tử cực tiểu
*
x
thỏa
Ax x
∗∗
=
và là điểm bất động cực tiểu của
A

trong
[ ]
00
,uv
.
Hệ quả 2.1.3
Cho

liên tục, do đó chúng có bản chất khác định lý 2.1.1.
Trang 20

2.2 Điểm bất động của ánh xạ giảm.
Định lý 2.2.1
Giả sử
i/ K là nón chuẩn và
:AK K→
là ánh xạ giảm và cô đọng;
ii/
A
θθ
>
và
2
0
AA
θεθ
>
, trong đó
0
0
ε
>
,
θ
là phần tử không của E;
iii/ Với mỗi
xA
αθ

1nn
x Ax
−
=

( )
1,2,3, n =
với mỗi giá trị đầu
0
xK∈
ta có:
0
n
xx
∗
−→

( )
n →∞
(2.2.2)
Chứng minh:
Đặt
0
u
θ
=
,
1nn
u Au
−

( )
1,2,3, n =
(2.2.5)
và
2 21nn
u Au
−
=
,
21 2nn
u Au
+
=
,
( )
1,2,3, n =
(2.2.6)
Từ
2
:AK K→
là ánh xạ tăng, cô đọng và
2
00
u Au≤
,
2
11
Au u≤
, áp dụng định
lý 2.1.1 ta suy ra

2
A
trong
[ ]
01
,uu
.
Lấy giới hạn trong (2.2.6), ta có
z Az
∗
∗
=
,
z Az
∗
∗
=
(2.2.7)
Hiển nhiên
2
0 2 2 21nn
A A uu zzu
θεθ θ
∗
∗+
< ≤ =≤ ≤≤≤
( )
1,2,3, n =
(2.2.8)
Trang 21

0
1t ≤
, do
zz
∗
∗
≤
.
Ta còn phải chứng minh
0
1t =
. Giả sử trái lại,
0
01t<<
thì theo iii/, tồn tại

0
0
η
>
sao cho
( )
( )
( )
1
1
0 00 0
11z Az A t z t Az t z
ηη
−

=
(2.2.9)
Từ (2.2.7) và (2.2.9), ta thấy
Az z
∗∗
=
, tức là
z
∗
là điểm bất động dương của
ánh xạ
A
.
Cuối cùng, ta chứng minh (2.2.2) thỏa với mỗi điểm bất động dương
z
∗

của
A
và mỗi
0
xK∈
. Điều này chính là tính duy nhất của điểm bất động
dương của
A
.
Từ
0
x
θ

2 21nn
u xu
∗
−
≤≤

( )
1,2,3, n =
(2.2.11)
Từ
2n
uz
∗
→
,
21n
uz
∗
−
→

()zz
∗
∗
=
và K là nón chuẩn thì theo (2.2.10) và mệnh
đề 1.2.1 dẫn đến
2n
xz
∗

n →∞
. Vậy định lý được chứng minh.
Trang 22

Định lý 2.2.2
Giả sử
i/ K là nón chuẩn, có thể (sold) và
:AK K→
là ánh xạ giảm mạnh và cô
đọng;
ii/
A
θθ
>
và
2
0
AA
θεθ
>
,
0
0
ε
>
,
θ
là phần tử không của E;
iii/ Với mỗi
xA

với mỗi giá trị đầu
0
xK∈
ta có:
0
n
xx
∗
−→

( )
n →∞
(2.2.2)
Chứng minh (Xem: Dajun Guo, V.Lakshmikantham, Nonlinear problems in
abstract cones, Academic Press 1988, page 51)
2.3 Cặp điểm bất động của ánh xạ đơn điệu hỗn tạp.
Định nghĩa 2.3.1
Cho
DE⊂
và ánh xạ
:AD D E×→

A
được gọi là ánh xạ đơn điệu hỗn tạp nếu
( )
,Axy
là tăng theo
x
và
giảm theo

∈×
được gọi là một cặp điểm tựa bất động của
A
nếu
( )
,Ax y x
∗∗ ∗
=
và
( )
,Ay x y
∗∗ ∗
=
.

xD
∗
∈
được gọi là điểm bất động của
A
nếu
( )
,Ax x x
∗∗ ∗
=
.
Định lý 2.3.1
Trang 23

Cho

2
H
K là nón chính quy và
A
là nửa liên tục.
Khi đó,
A
có cặp điểm tựa bất động
[ ] [ ]
00 00
(,) , ,xy uv uv
∗∗
∈×
mà là cực tiểu và
cực đại theo nghĩa
x xy
∗∗
≤≤
và
x yy
∗∗
≤≤
với mọi điểm tựa bất động
[ ] [ ]
00 00
(,) , ,xy uv uv∈×
của
A
. Hơn nữa, ta có



( )
1,2,3, n =
, thỏa

01 10

nn
uu u v vv≤≤≤ ≤≤ ≤≤≤
(2.3.3)
Chứng minh:
Từ (2.3.1) ta có
0 110
uuvv≤≤≤
. Giả sử
11n nnn
u uvv
−−
≤≤≤
.
Từ
A
là đơn điệu hỗn tạp,

( ) ( ) ( )
11 1 1
,,,
n n n nn nn n
u Au v Au v Au v u
−− − +

là tập compact tương đối do tính
hoàn toàn liên tục của
A
, và do đó, áp dụng định lý 2.1.1, ta có
[ ]
00
,
n
u x uv
∗
→∈
.
Trang 24

+ Khi
( )
2
H
được thỏa,
n
u xE
∗
→∈
được suy ra trực tiếp từ K là nón chính
quy. Một cách tương tự ta chứng minh được dãy
{}
n
v
hội tụ về
[ ]

(,)
n nn
v Av u
−−
=
hội tụ yếu về
( )
,Ay x
∗∗

Do đó

( )
,Ax y x
∗∗ ∗
=
và
( )
,Ay x y
∗∗ ∗
=
, tức là
( )
,xy
∗∗
là cặp điểm tựa bất động
của
A
.
Cuối cùng, ta chứng minh tính cực tiểu và cực đại của

, ,, , ,uAuv AuxAyxyAvxAvu v= ≤ ≤=≤ ≤ =
.
Một cách tương tự,
22
u xv≤≤
,
22
u yv≤≤
và tổng quát

nn
u xv≤≤
,
nn
u yv≤≤

( )
1,2,3, n =
(2.3.4)
Lấy giới hạn trong (2.3.4), ta được
x xy
∗∗
≤≤
và
x yy
∗∗
≤≤
.
Vậy định lý được chứng minh.


( )
( )
( )
fx fy
φφ
⇒≤

Nếu
n
E = ¡
và
n
K
+
= ¡
(nón chuẩn) thì bất phương trình cảm sinh bởi
nón K là theo từng thành phần và tựa đơn điệu của
f
biến đổi thành

xy≤
và
,1
ii
x y in= ≤≤

( ) ( )
ii
fx fy⇒≤


.
Khi đó, với
( ) ( )
00
ut vt<
thì
( ) ( )
0
,ut vt t t<≥
.
Chứng minh:
Giả sử khẳng định của định lý là sai. Khi đó, tồn tại
10
tt>
sao cho

( ) ( )
11
vt ut K− ∈∂
và
( ) ( )
[
)
0
01
,,vt ut K t t t−∈∈
. Do
( )
,f tx
là hàm