BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ

VÕ NGỌC ĐĂNG KHOA

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
TRONG MIỀN NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60. 46. 01 Thành phố Cần Thơ
2007
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Lời cảm ơn Qua thời gian học tập và nghiên cứu, đến nay luận văn này đã hoàn thành. Lời
đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng
dạy, giúp đỡ và hướng dẫn việc hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy đã đọc luận văn và cho những nhận xét quý
báu.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học
Khoa học Tự
nhiên TP. Hồ Chí Minh và Quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ đã
tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian học tập.
Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và Đào tạo
sau Đại học Cần Thơ đã tổ chức, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi học tập và hoàn
tất việc bảo vệ luận văn.
Sau cùng, xin cảm ơn tậ
p thể lớp Cao học Toán khóa 11; Sở Giáo dục và Đào
tạo tỉnh Vĩnh Long; Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn
Bỉnh Khiêm - Vĩnh Long; gia đình và người thân; . . . đã luôn động viên và nhiệt tình
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.

TP. Cần Thơ, ngày tháng năm 2007. Võ Ngọc Đăng Khoa Mục lục

Trang

(, ,) ( )(1 ) .gxyu M x y x y u
β
γα
−
≥+++
Định lý 4.1.
30
30
Chương 5: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân
phi tuyến với
1
22 22
(,,,,) ( )( ) .gxy u M x y u
β
β
α
ξη ξ η
≥+ +

Định lý 5.1.
Phần kết luận.
Tài liệu tham khảo.
40
41
49
501


η
xác định bởi hàm liên tục
2
:gIR IR IR
+
+
×
→
thỏa điều kiện:
Tồn tại các hằng số 0, 0, 0, 0
M
α
βγ
>≥≥≥ sao cho
(1.2)
(
)
22 22 2
(,;) (1 ) , (,,) ,guM u uIRIR
β
γα
ξη ξ η ξ η ξη
−
+
≥+++ ∀∈×

cùng với một số điều kiện khác. Phương trình tích phân phi tuyến được thành lập từ
bài toán Neumann phi tuyến dưới đây
(1.3)
2

α
−
−=−+ ∀>
trong đó
I
0
, r
0
,
α
là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.3), (1.4) là bài toán
dừng của bài toán liên hệ sự đốt cháy bởi bức xạ. Giá trị biên ( ) ( ,0)
wr ur= của bài
toán (1.5), (1.6) cũng là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến.
(1.7)
2
22
00
22
00
1
() exp( / ) () 0.
2
2cos
d
wr I s r w s sds r
rs rs
π
α
θ

=∀>
+−
∫∫
π
θ
π
θ

mà (1.6) là một trường hợp riêng.
Trong [11], các tác giả xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1)
2
:gIR IR IR
++
×→ liên tục thỏa điều kiện
Tồn tại các hằng số: 0, 0
M
α
>≥sao cho
(1.9)
2
(,;) , (,,) ,guMu uIRIR
α
ξ
ηξη
+
≥∀ ∈×

(1.10)
(
)

nới rộng cho bài toán với miền có chiều cao hơn [2–6, 8–10]. Chú ý rằng hàm
(,;)guu
α
ξ
η
= không thỏa điều kiện (1.11) như trong các bài báo [2, 7, 11].

3
Trong luận văn này, chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm,
không đồng nhất bằng không của phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với hàm
(,;)
gu
ξ
η
thỏa điều kiện (1.2). Ngoài ra một số dạng nới rộng của phương trình tích
phân phi tuyến (1.1) cũng được khảo sát. Luận văn ngoài phần kết luận và tài liệu
tham khảo sẽ được trình bày trong 5 chương.
Chương 1 là phần tổng quan về nguồn gốc của bài toán, quá trình phát triển và
sơ nét về nội dung sẽ trình bày trong luận văn.
Trong chương 2, luận văn thiết lập phương trình tích phân (1.1) từ bài toán
Neumann phi tuyến (1.3) và (1.4).
Trong chương 3, chúng tôi khảo sát phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với
(,,)
gu
ξ
η
cụ thể:
(1.12)
22
1

β
≥ là các hằng số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó. Trong phần này,
luận văn thiết lập một bổ đề đánh giá sự hội tụ, phân kỳ của một biểu thức tích phân
và một số bất đẳng thức tích phân có liên quan ( Bổ đề 3.1). Bổ đề này cũng được vận
dụng một cách phù hợp cho các chương sau. Vẫn trong chương này, bằng phương
pháp thiế
t lập một dãy qui nạp các hàm, luận văn chứng minh rằng, nếu các hằng số
,0,
α
β
≥ thỏa điều kiện 0 2,
α
β
≤≤+ thì phương trình tích phân phi tuyến (1.1),
(1.12), (1.13) không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không.
Trong chương 4 chúng tôi xét phương trình tích phân (1.1) với ( , ; )gu
ξ
η
thỏa
điều kiện (1.2). Bằng phản chứng, chúng tôi chứng minh rằng nếu các hằng số
0, 0, 0
α
βγ
≥≥≥ thỏa điều kiện 0 2, 1 0,
≤
≤−+ −+>
α
βγ βγ
thì phương trình


:gIR IR IR
+
+
×
→

phụ thuộc vào cả biến không lấy tích phân (x,y) và thỏa điều kiện:
Tồn tại các hằng số
1
0, 0, 0, 0 1M
α
ββ
>≥≥≤<, sao cho
(1.15)
1
22 22 4
(,,,,) ( )( ) , (,,,,) .gxy u M x y u xy u IR IR
+
≥+ + ∀ ∈×
β
βα
ξη ξ η ξη

Chú ý rằng phương trình (1.14) không xuất phát từ việc thiết lập phương trình
tích phân từ bài toán Neumann (1.3), (1.4). Vẫn bằng phương pháp phản chứng,
chúng tôi chứng minh rằng nếu các hằng số
1
,,
α
ββ

Chương 2
Thiết lập phương trình tích phân trong miền hai chiều.
Trong chương này, chúng ta muốn thiết lập phương trình tích phân phi tuyến
(2.1)
2
2
22
1(,;(,))
(, ) (, ) ,
2
()()
IR
gu dd
uxy xy IR
xy
ξ
ηξηξη
π
ξη
=∀∈
−+−
∫∫

mà ẩn hàm ( , ) ( , ,0)uxy vxy= là giá trị biên của bài toán Neumann phi tuyến cho

}
{}
{}
{}
3222
33222
322
3222
(, ,) : ,
(, ,) : , 0,
,(,,0): ,
(, ,) : , 0.
R
RR
RRRR
R
BxyzIRxyzR
BIR xyzIR xyzRz
DSD xy IR xyR
SxyzIRxyzRz
+
=∈++<
Ω= ∩ = ∈ + + < >
∂Ω = ∪ = ∈ + <
=∈++=>

Xét bài toán: Tìm một hàm ( , , )vvxyz
=
có tính chất
(S


6
(2.2)
3
0, ( , , ) ,vxyzIR
+
Δ= ∈
với điều kiện biên Neumann
(2.3)
2
1
(,,0) (,),(,) ,
z
v xy g xy xy IR−= ∈
trong đó,
.
n
∂
∂
chỉ đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị
n
r
trên nửa mặt cầu
R
S
hướng ra ngoài và
1
g là hàm số cho trước liên tục trên
2
.

(,,)
x
yz IR
+
∈
, hàm ( , , ) ( , , ; , , )Gxyz
ξ
ηζ ξηζ
a thuộc lớp C
∞

trong
{
}
3
(,,) \(,,),(, , )
x
yz IR xyz xy zΩ= − và
(2.5) 0, ( , , ) ( , , ),GG G G xyzΔ= + + = ∈Ω
ξξ ηη ζζ
ξ
ηζ

(2.6)
(,,;,,0) 0,Gxyz
ζ
ξ
η
= trên 0.
=

\
(. . ) . . . . .
R
R
S S
vG vG
G v v Gddd G v dS G v dS
nn nn
∂Ω
Ω ∂
∂∂ ∂∂
⎛⎞⎛⎞
Δ− Δ = − − −
⎜⎟⎜⎟
∂∂ ∂∂
⎝⎠⎝⎠
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
ε ε
ξηζ

Ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1
. Với giả thiết (S
1
), ta có
(2.8)
0
lim . . ( , , ).
R

()()()
sxyz
xyz
ξηζ
π
ξηζ
=
−+−+−

(2.11)
222
11
(, ,;,, )
4
()()()
(, ,;,, ).
xyz
xyz
sxyz
ξηζ
π
ξ
ηζ
ξη ζ
Φ=
−+−++
=−

Ta có
(2.12)

∂
∂
a liên tục trên S
ε
nên
(2.13)
1
00
lim ( , , ; ) lim . . 0.
S
v
Ixyz v dS
nn
ε
εε
ε
++
→→
∂
∂∂Φ
⎛⎞
=Φ− =
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫

Ta sẽ sử dụng phép biến đổi biến
(,, ) ( , , ) , , ,
x

,,
x
yz
n
ξηζ
εεε
−− −
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
r
,
(2.14)
1
(, ,; , , ) ,
4
sxyzx y z
εξ εη εζ
π
ε
′′′
+++=

(,, ) (,, ) (,, ) (,, ) ,
vv xv yv z
n
∂∂−∂−∂−
=++
∂∂ ∂ ∂

′′′
++++
∂
∂
′
′′′
++++
∂
ε
ξεηεζη
η
ε
ξεηεζζ
ζ

Khi đó
(2.16)
222
()()()
.(,,;,,).(,,)
S
xyz
vv
s
dS s x y z dS
nn
ε
ξηζε
ξηζ ξηζ
∂

n
v
xyzdS
n
ξηζ
ξηζ
ξηζ
εεξεηεζ
εξ εη εζ
ε
εξ εη εζ
πε
ε
εξ εη εζ ε
π
′′′
++ =
′′′
++ =
′′′
++ =
′′′
=+++
∂
′′′
×+++
∂
∂
′′′
=+++

4
xyz
−
=−+−+−
ξηζ
π()
()
()
3/2
222
3/2
222
3/2
222
1
()()()(),
4
1
()()()(),
4
1
()()()().
4
s
xx y z
s
yx y z

⎛⎞
∂=
⎜⎟
⎝⎠
r

(2.18)
(,,;,, ) (, ,;,, ) (,,;,, )
s
sxsy
xyz xyz xyz
n
∂∂−∂−
=+
∂∂ ∂
ξ
η
ξηζ ξηζ ξηζ
ξ
εη ε9

(, ,;,, )
s
z
xyz
∂
−

ξηζ
−
−
=−+−+− ×
−−−
⎡
⎤
×++
⎢
⎥
⎣
⎦
−−
==
−+−+−

Vậy từ (2.18), ta suy ra
(2.19)
222
222
222
22 2
()()()
2
()()()
2
1
2
1
1

ε
εξ εη εζ
πε
εξ εη εζ
π
π
∂
−+−+−=
−+−+−=
′′′
++ =
′′′
++ =
∂∂
−=−
∂∂
=
′′′
=+++
′′′
=+++
→
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
222
1
1
(,,) (,,)khi 0.xyzdS vxyz

Từ (2.12), (2.13) và (2.20) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh.

Từ (2.7), thay 0, ( , , ) ( , , )Gxyz
ξ
ηζ
Δ= ∀ ∈Ω và
3
0, ( , , ) ,vIR
ξ
η
ζ
+
Δ
=∀ ∈
sau đó
cho
0
ε
+
→ ta thu được
(2.21)
(,,) . . , (,,) .
R
R
vG
vxyz G v dS xyz
nn
∂Ω
∂∂
⎛⎞

⎛⎞
−=−
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫

Chứng minh Bổ đề 2.2. Nhắc lại rằng

{
}
{}
322
3222
,(,,0): ,
(, ,) : , 0.
RRRR
R
DSD xy IR xyR
SxyzIRxyzRz
∂Ω = ∪ = ∈ + <
=∈++=>

Ta viết
(2.23)
.
RR
R
DS
S

⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫

(2.25)
lim . . 0.
R
R
S
vG
GvdS
nn
→+∞
∂∂
⎛⎞
−=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫

Chứng minh (2.24). Trên
R
D
chọn (0,0, 1), .
z
v
nv
n

−
∂
= − −+−+−
∂

Tương tự ta có

()
1/2
222
1
(, ,;,, ) ( )( ) ( ) ( ) ,
4
xyz z x y z
−
Φ=−−+−++
ξηζ ζ ξ η ζ
π

(2.27)
()
3/2
222
Φ 1
()()()() .
4
−
∂−
=+−+−++
∂

=×
−+−+
R
D
G
π
x ξ y η z

Vậy từ (2.29) và (2.30) dẫn tới
(2.31)
lim . . lim .
RR
RR
DD
vG v
GvdS GdS
nn n
→+∞ →+∞
∂∂ ∂
⎛⎞
−=
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
∫∫ ∫∫2
lim .
( , , ; , ,0). ( , ,0) .

S ta có
(2.32)
222
11
0(,,;,,) ,(,,) ,
2
R
Gxyzξηζ ξηζ S
π
Rxyz
≤≤× ∀∈
−++

(2.33)
(,,) (,,) (,,) (,,) .
∂∂ ∂ ∂
=++
∂∂ ∂ ∂
vvξ v η v ζ
ξηζ ξηζ ξηζ ξηζ
n ξ R η R ζ R

Do đó
(2.34)
222
11
.S (,,)
2
R R
SS

12

1
222
2
1
11
2
(,,) (,,)
(,,)
S
π
Rxyz
vv
RRξ Rη Rζξ Rξ Rη Rζη
ξη
v
Rξ Rη RζζdS
ζ
=
−++
∂∂
′
′′′ ′′′′
×+
∂∂
∂
′
′′′
+

sup ( , , ) 2
2
ξηζ S
Rv
Rξ Rη Rζπ
π n
Rxyz
∈
∂
′′′
≤
∂
−++2
222
(,,)
sup ( , , ) .
R
ξηζ S
Rv
ξηζ
n
Rxyz
∈
∂
=
∂
−++

ζ R
∂∂ ∂
=+
∂∂ ∂
∂
+
∂

(2.36) ( , , ; , , ) ( , , ; , , ) Φ(, ,;,, ),Gxyzξηζ sxyzξηζ xyzξηζ
=
+

()
1/2
222
1
(, ,;,, ) ( ) ( ) ( )
4
sxyzξηζ ξ x η y ζ z
π
−
=−+−+− ,

()
3/2
222
1
()()()() ,
4
s

222
11
4
()()()
π
ξ x η y ζ z
≤
−+−+−2222
11
.
4
()
π
Rxyz
≤
−++

Tương tự
(2.38)
2222 2222
11 11
,,
44
()()
ss
ηπ ζ π
R xyz R xyz


Vậy ta suy ra từ (2.35) –(2.38) rằng
(2.39) (,,;,,) (,,;,,) (,,;,,)
GGG
xyzξηζ xyzξηζ xyzξηζ
n ξη
∂∂∂
≤+
∂∂∂2222
2222
(, ,;,, )
16
4
()
31
,(,,) .
2
()
R
G
xyzξηζ
ζ
π
Rxyz
ξηζ S
π
Rxyz

(,,)
31 4
sup ( , , )
22
()
R
ξηζ S
πR
v ξηζ
π
Rxyz
∈
≤× ×
−++14

2
2222
(,,)
3
sup ( , , ) .
()
R
ξηζ S
R
v ξηζ
Rxyz
∈

2
2
(,,)
222
3
sup ( , , )
R
ξηζ S
R
v ξηζ
Rxyz
∈
+
−++(
)
2
2
222
222
3RR
Rxyz
Rxyz
⎛⎞
⎜⎟
≤+
⎜⎟
−++

GvdS
nn
→+∞
∂∂
⎛⎞
−
=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫∫
. Do đó
(2.25) đúng. Cuối cùng bổ đề 2.2 được chứng minh xong. Kết hợp (2.20) và bổ đề 2.2,
ta thu được bổ đề sau
Bổ đề 2.3. Giả sử v là nghiệm của bài toán (2.2), (2.3) thỏa các điều kiện (S
1
) và (S
2
)
ta có
(2.42)
2
(,,) (,,;,,0) (,,0)
z
IR
vxyz Gxyzξη v ξη dξdη=−
∫∫2

1
), (S
2
). Khi đó, v thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau
(2.45)
2
3
222
1(,;(,,0))
(,,) , (, ,) .
2
()()
R
gv d
vxyz xyz IR
xyz
ξ
ηξη ξη
π
ξη
+
=∀∈
−+−+
∫∫

Giả sử v là nghiệm của bài toán (2.43), (2.44) thỏa các điều kiện (S
1
), (S
2
), với

Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 2.5. Cho
2
:gIR IR IR
+
+
×→ là hàm liên tục. Giả sử v là nghiệm của bài toán
(2.43), (2.44) thỏa các điều kiện (S
1
), (S
2
), (S
3
).
Khi đó, giá trị biên (, ) (, ,0)uxy vxy
=
thỏa một phương trình tích phân phi tuyến
sau
(2.46)
2
2
22
1(,;(,))
(, ) , (, ) .
2
()()
R
gu d
uxy xy IR
xy
Chương nầy chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không
đồng nhất bằng không ( , )uxy của phương trình tích phân phi tuyến (2.46) tương ứng
với số hạng phi tuyến cụ thể
(3.1)
22
1
(,,(,)) (,) ( ) (,),gu g u
βα
ξ
ηξη ξη ξ η ξη
=++

trong đó

2
1
:gIR IR
+
→
liên tục sao cho
(3.2) tích phân
2
22
(,)
()()
IR
gdd
xy

xy
ξ
ηξηξη
π
ξη
−
+++
=
−+−
∫∫

Khi đó
(3.4) Nếu 1,qp−≤ thì
[
]
,(,) .Apq xy
=
+∞
(3.5) Nếu 1,qp−> thì
[
]
,(,)
A
pq xy hội tụ và

17

[]
221 22
1

[]
22
22
1
1
,(,) ln( ).
2
2
p
x
y
Apq xy
xy
++
≥
+

Chứng minh bổ đề 3.1.
i) Giả sử 1.qp−≤
Sử dụng bất đẳng thức
(3.8)
222222 2
()() ,(,),(,) ,
x
yxy xyIR
ξη ξη ξη
−+−≤ ++ + ∀ ∈
ta có
(3.9)
[]

qp
IR
dd
xy
−
+++
≥
++ +
∫∫
ξ
ηξηξη
π
ξη1
1
22
0
[,] (,).
(1 ) ( )
q
p
r
dr A p q x y
rr x y
+
+∞
==
+++

ii) Giả sử 1,
p
q−> ta sẽ chứng minh
[
]
,(,)
A
pq xy hội tụ.
a. Xét tại (x, y) = (0,0), khi đó

[]
2
22
22 22
()
1
,(0,0)
2
(1 )
q
p
IR
dd
Apq
ξη ξη
π
ξ
ηξη
+
=

22
22 22 22
()()
22
22 22 22
()()
()
1
,(,)
2
(1 ) ( )
()
1

2
(1 ) ( )
q
p
xyR
q
p
xyR
dd
Apq xy
xy
dd
xy
ξη
ξη
ξη ξη

22
(1)
22 22 22
()()
22
22 2 2
()()
()()
()
1
(, )
2
(1 ) ( )
()
1
sup
2
(1 ) ( ) ( )
q
p
xyR
q
p
xyR
xyR
dd
Jxy
xy
dd
xy

R
ξη
ξη ξη
−
−+−≤
=+++<+∞
b
.2. Đánh giá
(2)
(, ).Jxy
Ta chú ý rằng do
22 22 2 2
()()xy x y
ξ
ηξη
++ +≥ − +−
nên

{}
{
}
222 22222
(,) : ( ) ( ) (,) : .
I
Rx y R IR Rxy
ξη ξ η ξη ξ η
∈−+−≥⊂∈+≥−+

Do đó


π
ξη
ξ
ηξηξη
π
ξη
−
−+−≥
−
+≥− +
+++
=
−+−
+++
≤
−+−
∫∫
∫∫19

22 22
22 22
22 22
()(1 )
1
2
qp
Rxy

∫

Do
22
3,
R
xy>+ ta có
(3.14)
22 22 22 22
20,.r xyR xy xy rR xy− +≥− +> +>∀≥− +
Do đó, hàm
1
22
()
(1 ) (
q
p
r
rr
rr x y
+
→Ψ =
+−+
liên tục trên
22
rR x y≥− + và
1
()
pq
r

2
(, )
x
yIR∀∈ khi 1.
p
q−>
Hơn nữa, khi 1,
p
q−> ta viết:
(3.16)
1
1
22
0
[,] (,) [,] (,)
(1 ) ( )
q
p
r
A
pq xy A pq xy dr
rr x y
+
+∞
≥=
+++
∫22

(1 ) ( )
xy
p
p
rdr
Kxy
rr x y
+
+
=
+++
∫22
1
22 22 22
0
1
(1 ) ( )
xy
q
p
rdr
xy xy xy
+
+
≥
++ +++
∫

≥≥ ∀≥+
+
++ ++

ta thu được
(3.19)
22
1
2
22
(, )
(1 ) ( )
q
p
xy
rdr
Kxy
rr x y
+
+∞
+
=
+++
∫()
()()
22
22

rdr
r
rxy
xy
rdr
xy
xy
xy
qp
xy
xy xy
pq
+∞
−
+
+∞
−
+
−+
+−
⎛⎞
=
⎜⎟
+
⎝⎠
++
⎛⎞
+
=
⎜⎟

()()
1
22 22
1
22 22
1
22 22
1
1
2( 2)
1
1
2( 1)
1
1.
2( 2)( 1)
qp
qp
qp
xy xy
q
xy xy
pq
p
xy xy
qpq
+−
+−
+−
≥+++

22
1
(1 ) ( )
q
p
rdr
rr x y
+
+∞
≥
+++
∫21

22
1
22
22
11
2
()
1
ln(1 ).
2
p
p
dr
rr x y

+++
∫22
1
22
1
22
1
22
1
22
22
(1 ) ( )
11
2
()
11
2
()
1
1
ln .
2
2
q
p
p
xy

∫

Do đó ta có (3.7) đúng.
Bổ đề 3.1 được chứng minh.

Ta viết lại phương trình tích phân phi tuyến (2.46) theo dạng
(3.23)
2
(,) [(,,(,)](,), (,) ,uxy Hg u xy xy IR
ξη ξη
=∀∈

(3.24)
2
22
1(,)
[(,)](,) .
2
()()
IR
G
HG xy d d
xy
ξ
η
ξ
ηξη
π
ξη
=