THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016

CHỌN LỌC BÀI TOÁN XÁC SUẤT
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016
Xác suất và các nguyên tắc tính xác suất
 Loại 1. Sử dụng định nghĩa xác suất
 Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu n() là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một
phép thử (giải quyết bài toán đếm trước chữ "Tính xác suất").
 Bước 2. Tính số phần tử của biến cố A đang xét là kết quả của phép thử làm xảy ra A (giải
quyết bài toán sau chữ "Tính xác suất") là n( A).
 Bước 3. Áp dụng công thức: P  A  

n( A)

n()

 Loại 2. Áp dụng các nguyên tắc tính xác suất
 Bước 1. Gọi A là biến cố cần tính xác suất và Ai , (i  1, n) là các biến cố liên quan đến A sao cho:
Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố Ai , (A1 , A2 , ..., An ).
Hoặc xác suất của các biến cố Ai tính toán dễ dàng hơn so với A.
 Bước 2. Biểu diễn biến cố A theo các biến cố Ai .
 Bước 3. Xác định mối liên hệ giữa các biến cố và áp dụng các nguyên tắc:
Nếu A1 , A2 xung khắc ( A1  A2  )  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 ).
Nếu A1 , A2 bất kỳ  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 .A2 ).
Nếu A1 , A2 độc lập  P( A1 .A2 )  P( A1 ).P( A2 ).
Nếu A1 , A2 đối nhau  P( A1 )  1  P( A2 ).
 Lưu ý. Dấu hiệu chia hết
Gọi N  an an1 ...a1 a0 là số tự nhiên có n  1 chữ số  an  0  . Khi đó:
 Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8 và 125 của số tự nhiên N :

+ N 2  a0 2  a0  0; 2; 4; 6; 8 .

Lời giải tham khảo
Gọi A là biến cố: ‘Xếp 6 chậu bonsai mà chậu tùng và mai chiếu thũy ỡ cạnh nhau ’ .
Khi đó : n( A)  5.2!.4!  240
Số phần tữ cũa không gian mâ̂u : n  6!  720
Vậy P( A) 

n( A) 240 1


n() 720 3

Bài 2 . Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5
hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa
để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại..
THPT Hà Huy Tập lần 2
Lời giải tham khảo
Số cách chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp

3
= 220
C12

Số cách chọn 3 hộp có cả 3 loại C51C41C31 = 60
Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại là : 60/220 = 3/11

Bài 3 . Mạnh và Lâm cùng tham gia kì thi THPT Quốc Gia năm 2016, ngoài thi ba môn Toán, Văn,
Anh bắt buộc thì Mạnh và Lâm đều đăng kí thêm hai môn tự chọn khác trong ba môn: Vật Lí,
Hóa Học, Sinh Học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng. Mỗi môn
tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau.
Tính xác suất để Mạnh và Lâm chỉ có chung đúng một môn tự chọn và một mã đề thi.

Lời giải tham khảo
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất . Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Tính xác suất
để phương trình x2  bx  2  0 có hai nghiệm phân biệt . Có 6 khả năng xảy ra khi tung súc sắc nên
số phần tử không gian mẫu: n()  6
Gọi A là biến cố: phương trình x2  bx  2  0 (*) có hai nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân
biệt    0  b2  8  0  b  3; 4 ; 5; 6  n (A )  4 . Xác suất cần tìm P( A) 

n( A) 2

n() 3

Bài 5 . Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để
trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.
THPT Đoàn Thị Điểm
Lời giải tham khảo
5
 15504 .Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số
Số phần tử của không gian mẫu là: n     C20

lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.

VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 3


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
3
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: n  A   C10

1
7
7

 3
 

1   1
7k k
k
7 k
k
k 7 k
  0  k  4  số
 2 x  4    2 x 3  x 4   C7 (2 x 3 ) .( x 4 )  C7 .2 .x 3 4 . Ta có :
 k 0
3
4
x  
k

0







hạng không chứa x là : C74 .27 4  280

1
90

TRANG 4


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
n



Bài 9 . Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu thức  x 3 


thỏa mãn

Cn4

1 
 , biết n là số tự nhiên
x2 

 13Cnn2 .

Lần 2 THPT Đồng Đậu
Lời giải tham khảo


n!
n!


15
 1 
k
.   2   C15
( 1)k .x 45 5 k . Để trong khai triển đã cho có
 x 
k 0



số hạng chứa x10 thì 45  5k  10  k  7(t / m) . Vậy hệ số của x10 trong khai triển đã cho là
7
C15
.( 1)7  6435 .

Bài 10. Trong cuộc thi ‚Rung chuông vàng‛ có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn
nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi
nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiên bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5
bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Lần 2 THPT Đồng Đậu
Lời giải tham khảo
5
5
5
.C15
.C10
.C55
Chia 20 học sinh thành 4 nhóm nên số phần tử của không gian mẫu là   C20


.C55



1
.
3876

Bài 11. Từ tập E  1; 2;3; 4;5;6;7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó
luôn có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
THGDTX Cam Lâm
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 5


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời giải tham khảo
Từ tập E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó luôn có
chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
Gọi số có 5 chữ số phân biệt: a1a2 a3a4 a5 ; trong đó ai  E ; i  1,5
Gán a2 = 1  a2 có một cách chọn
Chọn 1 trong 4 vị trí còn lại của các chữ số để đặt số 7  có 4 cách chọn vị trí cho số 7.
Ba vị trí còn lại nhận giá trị là 3 số lấy từ E\{1;7}  có A53 cách xếp 3 số vào 3 vị trí còn lại
Suy ra, số các số gồm 5 chữ số phân biệt lấy từ tập E, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là
chữ số 1 là: 1.4. A53  240 (số) . Kết luận: Có 240 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 12. Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ
số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Đề 1 THGDTX Nha Trang

 n( A)  C76  7  P( A) =

n( A)
7
1
1
1143
 6 
 P( A)  1 

n() C16
1144
1144 1144
15


1
Bài 14. Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu – tơn của : f ( x)   x 2  
x


, x  0

6

Lần 1 THPT Số 3 Bảo Thắng
Lời giải tham khảo

15



mãn

0  k  15

8
 k  8 . Vậy số hạng chứa x6 trong khai triển là : C15
.x6  6435.x6
k  N
30  3k  6


Bài 15.Đội tuyển văn nghệ của trường THPT Bình Minh có 3 học sinh khối nữ khối 12 , 4 học
sinh nam khối 11 và 2 học sinh nữ khối 10 . Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà
trường cần chọn 5 học sinh từ 9 học sinh trên . Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả
học sinh nam , học sinh nữ và có cả học sinh ở ba khối .
THPT Bình Minh
Lời giải tham khảo
Số cách chọn 5 hoc sinh từ 9 học sinh là C95
Để chọn 5 hs thỏa mãn , ta xét các trường hợp sau
1 nữ 12 , 2 nam 11, 2 nữ 10 có C31C42C22 cách
2 nữ 12, 2 nam 11, 1 nữ 10 có C32C42C21 cách
2 nữ 12, 1 nam 11, 2 nữ 10 có C32C41C22 cách
3 nữ 11 , 1 nam 11, 1 nữ 10 có C33C41C21 cách
1 nữ 12 , 3 nam 11 , 1 nữ 10 có C31C43C21 cách
Vậy xác suất cần tìm là  P =

7
9




20

C
k 0

n  5
3.n!
 15  5n  n2  11n  30  0  
2!(n  1)!
n  6

k
k 20  k 20  3 k
x
20 ( 1) 2

k
Số hạng tổng quát của khai triển trên là C20
( 1)k 220 k x203 k . Hệ số của x8 trong khai triển trên ứng

với 20  3 k  8  k  4 . Vậy hệ số của x8 trong khai triển P(x) là C420 (1)4 216
n


1 
Bài 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  2 x 
 , biết rằng
x

k
C12
(2x)12-k

24-3k
k
 1 
12-k
k
2 = Ck .212-k .x 2
C
2x
.x
=
;




12
12
 x


k  N, 0 < k < 12
k =8.

24 - 3k = 0

Số hạng này không chứa x khi 

8!4! 4!4!
2.3.4
2.3.4

Bài 19. Một đội văn nghệ gồm có 20 người trong đó có 12 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 người
để hát đồng ca. Tính xác suất để 8 người được chọn có cả nam và nữ và số nữ nhiều hơn số nam.
Lần 1 THPT Đa Phúc
Lời giải tham khảo
+) Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 8 người từ 20 người, mỗi kết quả của phép thử ứng với một cách
8
chọn được 8 người từ 20 người => Số phần tử của không gian mẫu là: n()  C20
 125970 .
+) Gọi biễn cố A: ‚8 người được chọn có cả nam và nữ và số nữ nhiều hơn số nam‛
3
2
1
Ta có n( A)  C85 .C12
 C86 .C12
 C87 .C12
 14264  P( A) 

n( A) 14264
7132


.
n() 125970 62985

Bài 20. Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X. Ban quản
lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi

Tính n  D 
Có 4 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy A.
Có 5 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy B.
Có 6 khả năng chọn được một hộp thịt ở quầy C.
Suy ra, có 4.5.6  120 khả năng chọn được 3 hộp đủ loại thịt ở các quầy A, B, C  n  D   120.
Do đó: P( D) 

120 24

.
455 91

Bài 21. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu
hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút
ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc
Lần 1 THPT Phước Bình
Lời giải tham khảo
4
Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có C20
 4845 đề thi.
2
2
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc, có C10
.C10
 2025 trường hợp.
3
1
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc, có C10
.C10
 1200 trường hợp.

- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là C85 = 56 cách
- Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau
+) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: C21C21C43 cách
+) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C21C22C42 cách
+) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C22C21C42 cách
+) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: C22C22C41 cách
Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là:
C21C21C43 + C21C22C42 + C22C21C42 + C22C22C41 = 44 cách

- Vậy xác suất cần tính là:

44 11

56 14

Bài 23. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0; 1;
2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5
Lần 3 THPT Phước Bình
Lời giải tham khảo
Số phần tử của A là 6.A63  720
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A63  120 cách
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A52  100 cách
Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120  100  220 cách
Vậy xác suất cần tìm bằng

220 11

.
720 36


C15
.C12
.C31
10
C30



99
.
667

Bài 25. Đội bóng chuyền nam Trường THPT Hùng Vương có 12 vận động viên gồm 7 học sinh
K12 và 5 học sinh K11. Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên Trần Tý cần chọn ra 6 người thi đấu.
Tính xác suất để có ít nhất 4 học sinh K12 được chọn
Lần 1 THPT Hùng Vương
Lời giải tham khảo
Đội bóng chuyền nam Trường THPT Hùng Vương có 12 vận động viên gồm 7 học sinh K12 và 5
học sinh K11. Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên cần chọn ra 6 người thi đấu. Tính xác suất để
có ít nhất 4 học sinh K12 được chọn.
6
 924 . Xác suất cần tìm là P 
Không gian mẫu   C12

C74C52  C75C51  C76 462 1


924
924 2
100

.

 2x 

100  k

k

100
 1 
k
.  3   C100
2100  k .x100 4 k
x
 
k 0



25 75
Số hạng không chứa x ứng với k  25 . Kết luận: C100
2

Bài 27. Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ, xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng
ngang một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để không có 3 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau
Lần 1 THPT Đồng Xoài
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 12


A




28800 10

60480 21

Bài 29. Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán khối 10 trường THPT Đồng Xoài có 6 học sinh, trong đó
có 2 nữ và 4 nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh tham dự kì thi Olympic cấp tỉnh. Tính xác suất để
chọn được 3 học sinh trong đó có cả nam và nữ.
Lần 3 THPT Đồng Xoài
Lời giải tham khảo
+ Số phần tử của không gian mẫu: n     C63  20
+ Gọi A là biến cố ‚ chọn được 3 HS có cả nam và nữ‛ thì n  A   C41C22  C42C21  16
+ Vậy xác suất là P  A  

16 4

20 5

Bài 30. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba
thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ.
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 13


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016

tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho
10.

Lời giải tham khảo
Gọi  là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho
10
Suy ra   C30

Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có 3 tấm thẻ mang
số chia hết cho 10.
Gọi  A là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ
có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 14


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
5
4
Suy ra  A  C15
.C12
.C31

Vậy P  A  

5
4
C15
.C12

Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120  100  220 cách
Vậy xác suất cần tìm bằng

220 11

.
720 36

Bài 35. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba
thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ.
Lần 1 THPT Kẻ Sặt

Lời giải tham khảo
Số phần tử của không gian mẫu là n(  ) = C 93 = 84
Số cách chọn 3 thẻ có tích là số lẻ là n(A) = C53 = 10 => Xác suất cần tính là P(A) =
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

10
5
=
84
42
TRANG 15


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Bài 36. Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm
trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
THPT Khánh Sơn
Lời giải tham khảo

 S  n2n1

Bài 38. Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Cô giáo chọn ra 5 học sinh để lập một
tốp ca chào mừng 20 - 11. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ.
Lần 1 THPT Khoái Châu
Lời giải tham khảo
5
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh có: C48
 1712304

Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ" thì A là biến cố " chọn 5
học sinh mà trong đó không có học sinh nữ ".
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 16


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Ta

có

số

 P  A  1 

kết

quả


7


2 
Bài 39. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức :  3 x  4  , x  0
x


Lần 1 THPT Kinh Môn
Lời giải tham khảo
7

7 k  k
28 7 k
7
7
3
2 
k k
k k
3
4
 x  4   ( 2) C7 x x  ( 2) C7 x 12 , x  0
x
k 0
k 0





Vậy xác suất cần tính là: P 

540
12

6435 143

Bài 41. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu
hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút
ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc
THPT Lam Kinh

VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 17


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời giải tham khảo
4
Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có C20
 4845 đề thi.
2
2
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc, có C10
.C10
 2025 trường hợp.

3
1

Khi đó A là biến cố ‛ 4 học sinh được chọn chỉ toàn nam hoặc nữ‛
Ta có  A  C54  C74  5  35  40
P( A) 

40
455 91
 P( A)  1  P( A) 

495
495 99

Bài 43. Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ ?
THPT Lê Lợi
Lời giải tham khảo
Gọi A là biến cố " Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số
lẻ". Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là A74  840 (số), suy ra:   840

VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 18


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có dạng abcd . Do tổng
a  b  c  d là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ
Trường hợp 1 : có 1 chữ số lẻ , 3 chữ số chẵn : có C41 .C33  4 bộ số
Trường hợp 2 : có 3 chữ số lẻ , 1 chữ số chẵn : có C43 .C31  12 bộ số
Từ mỗi bộ số trên ta lập được P4  24 số
Tất cả có 16.24= 384 số , suy ra:  A  384 .




28800 10

60480 21

Bài 45. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp
12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm học. Tính
xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A.
Lần 2 THPT Minh Châu
Lời giải tham khảo
Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 19


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Số phần tử của không gian mẫu là: C95  126
Gọi A là biến cố ‚Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và có ít nhất 2
học sinh lớp 12A‛.
Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là :
+ 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C
+ 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C
+ 3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C42 .C31.C22  C42 .C32 .C21  C43 .C31.C21  78 .
Xác suất cần tìm là P 

78 13


 n2  9n  0  n  9 (do n  3 )



Khi đó ta có  x 


9

k

9
9
k
2 
k 9  k  2 

C
x

C9k x9  3 k  2 
 2
9
2 
x 
x 
k 0
k 0


B





740 37
.

1820 91

Bài 48. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu
nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một
quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Lời giải tham khảo
4
 1820 .
Số phần tử của không gian mẫu là   C16

.+) Gọi B là biến cố ‚ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu
vàng‛. Ta xét ba khả năng sau:
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C41C53
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C41C52C71
- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C41C51C72
Khi đó B  C41C53  C41C71C52  C41C72C51  740 .
Xác suất của biến cố B là P  B  

B



VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 21


THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời giải tham khảo
▪ Ta có: Cn1  Cn2  15  Cn21  15 

n  n  1
2

n  5  N 
 15  n2  n  30  0  
 n  6  L 

▪ Với n  5 và x  0 ta có:
5

5
 2 2
x


C5k x 2


x

k 0

Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.
THPT Nguyễn Bình
Lời giải tham khảo
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi  là không gian mẫu.
4
4
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C24
cách lấy hay n(  )= C24
.

Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
2
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C10
C81C61  2160 cách
1
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C10
C82C61  1680 cách

1
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có C10
C81C62  1200 cách

Do đó, n(A)=5040
Vậy, xác suất biến cố A là P( A) 

n( A) 5040

 47,4%
n() 10626



Để mâm ngũ quả có đủ các loại quả và có ít nhất 3 quả cam thì có các trường hợp sau:
Th1: mâm ngũ quả gồm 4 quả cam, 1 lê, 1 quýt, 1 bưởi, 1 thanh long
Số cách bày là n1  C44 .C31 .C61 .C11 .C21
Th2: Mâm ngũ quả gồm
 3 cam, 2 lê, 1 quýt, 1 bưởi, 1 thanh long
 3 cam, 1 lê, 2 quýt, 1 bưởi, 1 thanh long
 3 cam, 1 lê, 1 quýt, 1 bưởi, 2 thanh long
Khi đó số cách bày là
n2  C43 .C32 .C61 .C11 .C21  C43 .C31 .C62 .C11 .C21  C43 .C31 .C61 .C11 .C22

Vậy xác suất cần tìm là P 

C44 .C31 .C61 .C11 .C21  C43 .C32 .C61 .C11 .C21  C43 .C31 .C62 .C11 .C21  C43 .C31 .C61 .C11 .C 22
8
C16

Bài 54. Tủ lạnh của nhà bạn An có 20 quả trứng, trong đó có 7 quả trứng bị hỏng, mẹ bạn An lấy
ngẫu nhiên từ đó ra 4 quả để làm món trứng tráng. Tính xác suất để trong 4 quả trứng mẹ bạn An
lấy ra có 2 quả bị hỏng.
Lần 1 THPT Nguyễn Trãi
Lời giải tham khảo
4
* Số khả năng có thể xảy ra là: C20
 4845

* Số cách lấy ra 4 quả trứng mà trong đó có 2 quả trứng bị hỏng là
2
C13
.C72  1638

n 



16
91

Bài 56. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0;
1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.
Lần 2 THPT Như Xuân
Lời giải tham khảo
Số phần tử của A là 6.A63  720
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A63  120 cách
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A52  100 cách
Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120  100  220 cách
Vậy xác suất cần tìm bằng

220 11

.
720 36

Bài 58. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A,
4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất
để trong 4 học sinh có đúng 2 học sinh lớp A.
THPT Phan Bội Châu
Lời giải tham khảo
4
Số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh là C12
 495

115254
 0,81 .
142506

Bài 61 . Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải trong
đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học
sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 năm học 2015 – 2016 do
huyện uỷ Phù Cừ tổ chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và
nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.
THPT Phù Cừ
Lời giải tham khảo
5
 252
Không gian mẫu n     C10

VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRANG 25