Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

TÍNH TR C TI P TH TÍCH KH I A DI N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng Tính tr c ti p th tích kh i đa di n thu c khóa h c:
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a . G i đi m I thu c c nh AB sao cho IA = 2IB
và hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a CI. Góc gi a đ ng th ng SC và
m t ph ng (ABC) b ng 600 . Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC .
Gi i:
G i H là trung đi m c a CI  SH  ( ABC ) . Suy ra góc t o b i SC và m t ph ng ( ABC ) là
SCH  600

Ta có BI 

1
a
AB  . Xét tam giác BCI :
3
3

CI 2  BC 2  BI 2  2BC.BI .cos CBI
2


. V y VS. ABC  SH .SABC  .

.
3
3 6
4
24
4

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình ch nh t ABCD , có AD  2 AB ; SC  2a 5 và SA vuông
góc v i đáy. Bi t góc t o b i đ

ng th ng SC và m t ph ng ( ABCD) b ng 600 . Tính th tích c a kh i

chóp S. ABCD theo a .

S

Gi i:
Ta có SA  ( ABCD) , suy ra góc t o b i SC và m t đáy ( ABCD) là góc SCA 600 .
A

 SA  SC sin SCA  2a 5.sin 600  a 15
Khi đó 
0
 AC  SC cos SCA  2a 5.cos 60  a 5
B

D



A'

C'

B'
600

A

C

a

H
B

G i H là tr ng tâm tam giác ABC và M là trung đi m c a BC , khi đó A'. ABC là hình chóp đ u
Suy ra A' H  ( ABC ) , suy ra góc t o b i AA' và m t ph ng ( ABC ) là góc A' AH  600
Tam giác ABC đ u c nh a nên SABC

a2 3
a 3
2
a 3
và AM 
 AH  AM 

2
3

M

C

Ta có SABCD  AB. AD  a 2 3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Do SA  ( ABCD) nên góc t o b i SM và m t ph ng ( ABCD) là SMA 300 .
Ta có AC  AB2  AD 2  2a  AM 2 
Suy ra SA  AM .tan SMA 
V y VS. ABCD

AB2  AC 2 BC 2 a 2  4a 2 3a 2 7a 2
a 7






C'

A'

D'

a

a
A

C

B
O

H

D

G i H là tr ng tâm tam giác ABD
Do A' ABD là hình chóp đ u, nên A' H  ( ABD) hay A' H  ( ABCD)
Tam giác ABD đ u c nh a nên AO 
Khi đó A' H  A' A2  AH 2  a 2 

2
2 a 3 a 3
a 3
 AH  AO  .


S

Theo gi thi t SM  ( ABCD) , do đó góc t o b i SC

2a 5

và m t ph ng ( ABCD) là SCM  600 .

A

Ta có ABCD là hình vuông nên MC  MD ,
khi đó xét tam giác SMC và SMD ta có:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

M
B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

D
600
C

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

3
3

Bài 7. Cho hình l ng tr tam giác ABC. A' B ' C ' có đáy là tam giác đ u c nh a , c nh bên t o v i đáy m t
góc 600 . G i M là trung đi m c a BC và I là trung đi m c a AM . Bi t r ng hình chi u c a đi m I lên
m t đáy ( A' B ' C ') là tr ng tâm G c a tam giác A' B ' C ' . Tính theo a th tích c a kh i l ng tr

ABC. A' B ' C ' .
Gi i:
A

C

I
M
B

A'

H

C'
G

M'
B'

G i M ' là trung đi m c a B ' C ' .
G i H là hình chi u vuông góc c a A trên A' M '  AH / / IG  AH  ( A' B ' C ') (do IG  ( A' B ' C ') )
Suy ra góc t o b i AA' và m t ph ng ( A' B ' C ') là góc AA' H  600

a 3
a
.tan 600 
12
4

a a2 3 a3 3
.
Khi đó VABC . A' B'C '  AH .SA' B'C '  .

4 4
16

Bài 8. Cho hình chóp S. ABCD có SA  SB  SC  a 2 và đáy ABC là tam giác cân. Bi t BAC  1200
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

và BC  2a . Tính theo a th tích kh i chóp S. ABC .
Gi i:


BC
sin BAC



2a
4a
2a

 HA 
0
sin120
3
3

4a 2 a 6

3
3

1
1 a 6 a2 3 a3 2
Khi đó VS. ABC  SH .SABC  .
.

.
3
3 3
3

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

AB  OI và AB  SO  AB  (SOI )  AB  OH
M t khác : OH  SI  OH  (SAB)  d (O, ( SAB))  OH 

a 3
4

Vì ABCD là hình thoi nên :
OA 

BD
AC
a
 a 3 và OB 
2
2

Xét tam giác vuông AOB :

OI 

OAOB
OAOB
a 3.a
a 3
.
.

2

Xét tam giác vuông SOI :

1
1 a
a3 3
.
 VS. ABCD  SO.SABCD  . .2 3a 2 
3
3 2
3

Bài 10. Cho l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đ u n i ti p đ ng tròn tâm O . Hình chi u
vuông góc c a A' trên mp ( ABC ) là O . Kho ng cách gi a AA' và BC là a và góc gi a hai m t ph ng
( ABB ' A') và ( ACC ' A') là  . Tính th tích c a kh i l ng tr

ABC. A' B ' C ' theo a .

Gi i:
+) G i I là hình chi u c a A trên BC
và H là hình chi u c a I trên AA' .
Khi đó ta có: CB  ( AIA')
( vì CB  AI và CI  A' O )
 CB  IH mà IH  AA'
 d ( AA', BC )  IH  a

 AA'  CB
 AA'  CH
 AA'  (CBH )  

2 3a tan

AI
2

2
2
 3a tan  AO 

 AI 
2
2
3
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

t A' O  x . Khi đó xét A' AI ta có :

2 3a tan



2a 3 tan 3

1



a2 3
a 3
và h 

4
2

c phép s d ng luôn k t qu này trong các bài thi).

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

2

2 . 3a 2 tan
2


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH


-