Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Chuyên đề gồm một số phương pháp giải mà tác giả giới thiệu để các bạn tham khảo thêm
và gần 50 bài toán về phương trình và bất phương trình có lời giải chi tiết. Ngoài lời giải
đã nêu một số bài còn có định hướng giúp các bạn tìm lời giải khác .
Chuyên đề gồm hai phần
A. MỘT CÁCH TIẾP CẬN MỚI ĐỂ GIẢI CÂU 9 TRONG ĐỀ THAM KHẢO VÀ
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
B. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG

Giải bài toán Phương trình và bất phương trình không chỉ có một con đường duy nhất, mà
nó được phản ánh dưới nhiều cách thức, hướng đi khác nhau. Chuyên đề này chỉ là một
hướng mới trong những hướng đi sáng tạo, vì thế, sẽ còn nhiều thiếu sót, mong các đồng
nghiệp bổ sung thêm để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn !
Tháng 6 năm 2016.
GV: Ngô Quang Vân

1

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

A. MỘT CÁCH TIẾP CẬN MỚI
ĐỂ GIẢI CÂU 9 TRONG ĐỀ THI THPT QG
1. Cách sử dụng máy tính cầm tay
1.1. Cách nhập ẩn vào máy tính cầm tay CASIO fx-570ES PLUS

x : ALPHA  )
y : ALPHA  S  D

2.1. Một số bài tập mẫu.
Bài 1. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải phương trình

4 x2  x1  1 5x  4x2  2x3  x4 (1)
GV: Ngô Quang Vân

2

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Nhận xét:

- Giải trực tiếp bằng MTCT cho ta một nghiệm vô tỉ. Thực hiện các

cách làm như một số tài liệu về MTCT đã hướng dẫn ta không thu được kết quả gì tốt đẹp
và thuận lợi cả. Như vậy MTCT không giúp được trực tiếp nên khả năng cao là đặt ẩn phụ
hoặc đánh giá.
- Biểu thức ở VP (1) bậc 4, biểu thức trong căn ở VT là bậc 2 gợi cho ta đến việc sử dụng
hệ số bất định để biểu thị biểu thức ở VP qua biểu thức trong căn ở VT. Ta có



 



2


-

SHIFT  RCL  () … đặt nghiệm tìm được bằng A

-

ALPHA  ()  x 2    ALPHA  ()   … kết quả bằng 1

- Đến đây đa thức ở vế trái của (2) phân tích được thành nhân tử a 2  a 1 )

1 5
a 
2
(2)  a 2  a 1 a 2  a  5  0  

1  21
a 
2




Với a 

x



1 5

ta có
2

x2  x  1 

1  21
9  21
 x2  x 
0
2
2

1  19  2 21
2

Vậy nghiệm của phương trình là: x 

1  19  2 21
1  3  2 5
hoặc x 
2
2

Bài 2. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải phương trình



Giải

ĐK:


-

SHIFT  RCL  () … đặt nghiệm tìm được bằng A

-

4  ALPHA  ()  x 2    k  ALPHA  ()   …

- Thay k =  1,  2,  3,…
- Ta thu được nhân tử 4 x 2 15 x  8 )







 4 x 2  15 x  8 4 x 2  11x  3  0
 4 x 2  15 x  8  0
.
 2
 4 x  11x  3  0

Giải và kết hợp điều kiện
x

15  97
11  73
,x 









Giải

ĐK: 0 < x < 1



 

Khi đó (1)  x 2  1  x  1  x



2



1


Đặt t  1  x . Do 0 < x < 1 nên 0 < t < 1.

Ta được phương trình t 4  5t 3  6t 2  5t  1  0

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x  4  2 3 .
Bài 4. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải bất phương trình
5 3
x  x  2  x 2  3 (1)
2

Giải
GV: Ngô Quang Vân

5

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Điều kiện x  1 (*)
Khi đó (1)  4 x 4  25 x3  24 x 2  25 x  14  0
(Xử lý bằng MTCT

- Nhập phương trình đã cho vào máy tính cầm tay
-

SHIFT  CALC   … kết quả cho ta một nghiệm vô tỉ

-

SHIFT  RCL  () … đặt nghiệm tìm được bằng A

-

2   2


Bài 5. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải bất phương trình



x 2  5 x  4 1  x3  2 x 2  4 x

 x  1  5
ĐK: 
 1  5  x  0

Giải

 (1)




Bất phương trình tương đương với x 2  2 x  4  3 x  4 x x 2  2 x  4 (2)

Trường hợp 1  5  x  0 , ta có (2) luôn đúng
Trường hợp x  1  5 , khi đó



(2)  x 2  5 x  4



ALPHA  ()  x 2    k  ALPHA  ()   …

- Thay k =  1,  2,  3,…
- Ta thu được nhân tử x 2  7 x  4 )
 x 2  7 x  4  0
1  17
7  65
 2

x
 x  7x  4 x  x  4  0
2
2
 x  x  4  0
 1  17 7  65 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình T   1  5;0   
;

2
2







2











 2
4x  x  3  0
 x  2  0

 4x 2  5x  1 4x 2  x  1  0 (*)








5

 x   2; 1  



 5  41

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T   2; 1  

Bài 1. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải phương trình
log

8  x 2   log 

2
1



1 x  1 x  2  0

2
Bài 2. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải bất phương trình

x2  x  2  3 x  5x2  4 x  6
Bài 3. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải bất phương trình

5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1
Bài 4. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải phương trình

42 x  23 x1  2 x3  16  0
Bài 5. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải phương trình

log 4 x  log3 x  2log 2 x  9log x  9  0
3. Vận dụng vào giải toán loại 2.

Sử dụng MTCT để nhận biết biến ở hai vế của phương trình, từ đó đưa về phương pháp
xét hàm trung gian.
3.1. Bài tập mẫu.








x  2  2  ( x  1) x 2  2 x  3 (2)

( Sử dụng MTCT cho (2)

- Nhập phương trình đã cho vào máy tính cầm tay
GV: Ngô Quang Vân

8

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

-

SHIFT  CALC   … kết quả cho ta một nghiệm vô tỉ

-

SHIFT  RCL  () … đặt nghiệm tìm được bằng A

- Thay A vào biếu thức chứa căn trong phương trình





2

 2    x 1  2   x 1  2




Xét hàm số f (t )  (t  2)(t 2  2)
Ta có f ' (t )  3t 2  4t  2 suy ra f ' (t )  0, t   nên f (t ) đồng biến trên  .
x 1

Do đó (2)  f ( x  2)  f ( x 1)  x  2  x 1  

2
 x  3x  1  0

x
x

3  13
. Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x  2 ;
2

3  13
.
2

- Lấy biếu thức chứa căn ở trên cộng với A kết quả cho ta một số vô tỉ
- Lấy biếu thức chứa căn ở trên trừ cho2 A kết quả bằng 0

5  2 x  2 x và kết hợp với cấu trúc của phương trình (1) . Đên đây chỉ có

- Ta dự đoán

thể là phương pháp hàm số với hai biến trung gian ở hai vế là

5  2x và 2x .)

Giải

Điều kiện: x 

5
2





Ta có (1)  (2x)2 1 2x   6  2x  5  2x








4

Do đó (2)  f ( 5  2 x )  f (2 x)  5  2 x  2 x  

2

4 x  2 x  5  0

Bài 3. (Đề thi thử THPT QG - Violet) Giải bất phương trình

3 x3 1  2x2  3x 1 (1)
Giải
GV: Ngô Quang Vân

10

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Bài 4. (Đề thi thử THPT QG - QL4) Giải phương trình

2x 3 2x  1  9x 3  6x 2  x  x 2  6x  3 (1)
Giải
Điều kiện x  0
Phương trình tương đương 2x 3 2x  1   3x  1 x  x 2  6x  3 (2)
1
2



3

 x

3

 x (*)

Xét hàm số f(t) = t4 + 3t3 + t với t > 0
Dễ thấy f(t) đồng biến với mọi t > 0
GV: Ngô Quang Vân

11

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Ta được phương trình

3

2x  1 


x  1

3 5


Giải

3.1. Bài tập tự luyện.
GV: Ngô Quang Vân

12

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Bài 1. (Đề thi thử THPT QG -Vinh) Giải phương trình
2
2 x 1 log

x
2



x 2  1  4 x log

2

3x 

Bài 2. (Đề thi thử THPT QG -Violet) Giải phương trình



2

B. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG

Hệ thống các bài tập sau đây được lấy từ các đề thi thử THPT QG trên
Thư viện Đề thi & Kiểm tra - Thư viện trực tuyến ViOLET
Phù hợp với các phương pháp đã nêu ở trên.
Bài 1. (Đề thi thử THPT QG -Violet) Giải bất phương trình

4 x 1  6 x  4  2 x2  2 x  3
Nhẩm bằng MTCT ra hai nghiệm và tách thành nhân tử
HD.

Bài 2. (Đề thi thử THPT QG-Violet) Giải phương trình





2 x3  9 x 2  6 x 1  2 6 x  1  2 6 x  1  8  0
Giải
GV: Ngô Quang Vân

13

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT




Giải

Bài 4. (Đề thi thử THPT QG - Hà Nội) Giải bất phương trình
5x  13  57  10x  3x 2
x  3  19  3x

 x 2  2x  9

Giải

19
 3  x 
Điều kiện 
3
x  4


Bất phương trình tương đương



x  3  19  3x

2

x  3  19  3x





2 x 2  x  2




x  5
9 x  3 

3 




x 2  x  2
 x2  x  2


13  x
9  19  3x 

3 







3 




*

 19 
 0 với mọi x   3;  \ 4
3

13  x 

9  19  3x 

3 


1



Do đó *  x 2  x  2  0  2  x  1 (thoả mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2;1 .
Bài 5. (Đề thi thử THPT QG - Khoái Châu) Giải phương trình
2x  1  3  2x  4  2 3  4x  4x2 

2
1






(*)
Xét hàm số f  t   t 2  t trên  0;   có f   t   2t  1  0 t   0;   nên hàm số f(t) đồng
biến trên  0;  
Do đó pt (*) trở thành

 2x 1 
8




 2x 1 2 


 f 2 x  1  3  2 x  f 


2




 f ñoàng bieán

 2 x  1

GV: Ngô Quang Vân

16

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT





8 a  b  a 2  b2 2  4a2 b2 (1)

 

 a2  b2  4
2
Từ (1)  8  a  b   16  4a2 b2  2  a  b   4  a2 b2



8 a  b  a2  b2
 


a 2  b2  4



2
 t  1  5  loaïi 
1
2

Vậy phương trình có hai nghiệm là x   , x 

3
2

Bài 6. (Đề thi thử THPT QG - Thanh Hóa) Giải phương trình

7 x 2  25 x  19  x 2  2 x  35  7 x  2 .
Giải

Điều kiện x  7
Phương trình tương đương 7 x 2  25 x  19  7 x  2  x 2  2 x  35 .
Bình phương 2 vế suy ra: 3x 2  11x  22  7 ( x  2)( x  5)( x  7) (*)
3( x 2  5 x  14)  4( x  5)  7 ( x  5)( x 2  5 x  14)

Đặt a  x 2  5 x  14; b  x  5 .( a ,b  0) Khi đó ta có phương trình
a  b
3a 2  4b 2  7ab  3a 2  7 ab  4b 2  0  
3a  4b
Với a = b suy ra x  3  2 7 (t / m); x  3  2 7 (l ) .

61  11137
61  11137
(t / m); x 
(l ) .






Giải
Điền kiện: x  2 (*).



PT  x3 (2x 2  3x  14)  (4x 4  14x3  3x 2  2) x  2  2


 x (x  2)(2x  7) 
 x3 (x  2)(2x  7)
3


x  2  2   (4x  14x  3x  2)(x  2)

x  2  2  (4x 4  14x3  3x 2  2)(x  2  4)
4

3

2

 x  2  0  x  2 (thoûa maõn (*))
 3
4

x3 x

Xét hàm số: f(t)  2t 3  3t với t  .
Ta có: f '(t)  6t 2  3  0 t  
 Hàm số f(t) đồng biến trên .
Do đó (2)  f





1
1
x  2  f    x  2   x x  2 1
x
x

x  0
1  5
(thỏa mãn (*))

x
2
2
(x  1)(x  x  1)  0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 

1  5
,x  2.

 2
2
 x  1  4 x  12 x  9
4 x  13 x  10  0

Bài 9. (Đề thi thử THPT QG - Nguyễn Đình Chiểu) Giải phương trình
2
x  x  4  x  4 x  4  2 x  x  4  50





Giải

Điều kiện x  4


 x 


x  4

 x x4

2

 x  4  2  2 x  x  4  50

2

x (x + 3) + 2 x + 2 - 2x -

(x + 2)(x + 3)

x+3
x

x

(

x 2 + 5x + 6
£ 0    
x

+ 2 x + 2 - 2x £ 0    

) (

)

x+3
x - x + 2 - 2 x - x + 2 £ 0     
x
æ x+3
ö÷
ç
 x - x + 2 çç
- 2÷÷÷ £ 0   
ççè

x  3
 x3
 x3
 x 4
20 
2 

 x
 x0
 x





Hệ:   x  x  2  0
     
x  x  2
 x 2  x  2  0
x  1

x2
x  2

x  3
4
 x3
 x3

20 


ĐK: x > 0, BPT tương đương:
x

 
x

3

( x  1)( x  1)
( x  1)3
(1)


x  1 ( x  1) 2  1
x ( x  1)2  1
3

Xét hàm số f (t ) 
Ta có: f '(t ) 

t3
trên 
t2 1

t 4  3t 2

 t 2  1

2

2
x 3

Giải

Điều kiện x  3. Bất pt đã cho tương đương với
x x2

x3
2

x


2

2
x 3
2

4
x2  x  2
 2
x3
x  3  x2 1  0
2
2
x x2

2

 1  0
2
2  
 x  3 x2  3  x  x  2 

 





2


x3
x

3

 

2
 x  1  0  1  x  1 (Với x  3 thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương).

Vậy tập nghiệm của bất pt là S   1;1
Bài 13. (Đề thi thử THPT QG - Triệu Sơn I) Giải bất phương trình
x 1 

x2  x  2 3 2 x  1
3

2x 1  3

 ,  *

- Nếu 3 2 x  1  3  0  x  13 (1)
thì (*)   2 x  1  3 2 x  1   x  1 x  1  x  1
GV: Ngô Quang Vân

21

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Do hàm f (t )  t 3  t là hàm đồng biến trên  , mà (*):
f



3

 

2x 1  f


1 5 



x  1  3 2 x  1  x  1    1  x  13
 2

2
3
  2 x  1   x  1



1  5
 DK(2)
1  5

;   
;13 
 x   1;0  
 2

 2

1  5

-KL: x   1;0  
;13 
 2


Suy ra: x   1;0  

Bài 14. (Đề thi thử THPT QG - Vĩnh Long) Giải bất phương trình

Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Bài 15. (Đề thi thử THPT QG - Nguyễn Trung Thiên) Giải phương trình




 x  2   x 2  4 x  7  1  x  x 2  3  1  0








Giải

GV: Ngô Quang Vân

23

Sưu tầm và biên soạn


Ôn tập câu 9 trong đề thi THPT QG - Phần PT, BPT và HPT

Bài 16. (Đề thi thử THPT QG - Chuyên Phú Thọ) Giải bất phương trình
2 x  5 x  11 



3

 2 x   x  1  1 x  1   2 x   2 x 
3





3

x 1  x 1

 3

Xét hàm số f  t   t 3  t trên 
Ta có f '  t   3t 2  1  0 t  
Suy ra hàm số f  x  đồng biến trên 

 3  f  2 x  

 1  x 

f



 x  0
 2 x  0