THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
ọ
ọ
c
c2
Trang 1
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
ic
c
ấ
ấ
p
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
-
Trang 2
C
H
Ứ
Ứ
C
C
1
1
.
.Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
HN
N
G
G
H
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
CI> Khái niệm số phức:
Là biểu thức có dạng a + b
i
, trong đó a, b là những số thực và số
i
thoả
2
i
= –1.
Kí hiệu là z = a + b
i
với a là phần thực, b là phần ảo,
i
là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + b
i
/ a, b
aa
bb
VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)
i
= (2y + 1) + (3x – 7)
i
(1)
(1)
2321 2 2
3137 2 0
xy xy x
yx xy y
III> Biểu diễn hình học của số phức:
được gọi là môđun của số
phức z. Kí hiệu
22
z
=a+bi= a +b
VD: z = 3 – 4
i
có
22
34 3 (4)zi
= 5
Chú ý:
2
222 222 2222
2()4z a b abi a b a b a b z
V> Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + b
i
, số phức liên hợp của z là
z
abi
C
Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.
VI> Cộng, trừ số phức:
Số đối của số phức z = a + b
i là –z = –a – bi
Cho
z
abi
và
'''
z
abi
. Ta có
z
± z' = (a ± a')+ (b ± b')i
Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.
VII> Phép nhân số phức:
Cho hai số phức
z
abi
và
'''
z
abi
. Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay
2
i
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
0
1
1
0
0–
–
Trang 3
VD: Phân tích
2
z + 4 thành nhân tử.
2
z + 4 =
2
z –
2
(2 )i = (z – 2
i
)(z + 2
i
).
Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.
VIII> Phép chia số phức:
Số nghịch đảo của số phức
z
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)
=
a+bi a +b
VD: Tìm z thoả (1 + 2
i
)z = 3z –
i
.
Ta có (3 – 1 – 2
i
)z =
i
z =
22
i
i
(2 2 ) 2 2 1 1
44 8 4 4
ii i
zzzi
À
À
I
IT
T
Ậ
Ậ
P
PP
P
H
H
É
É
P
PT
T
O
O
Á
Á
3
c) x =
15
2
, y =
13
3
b) x = 0, y = 1.
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) Phần thực của z bằng –2;
b) Phần ảo của z bằng 3;
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].
Hướng dẫn:
a) Là đường thẳng x = –2;
b) Là đường thẳng y = 3;
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2
tính cả biên.
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:
a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.
Hướng dẫn:
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa
22
1ab
ii
i
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
c
c
ấ
ấ
p
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
ọ
Trang 4
Hướng dẫn: a) z = 1 b) z =
89
55
. B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số
31
22
i
7)Cho
13
22
zi
. Hãy tính:
23 2
1
;; ;();1
zz z z z
z
.
Hướng dẫn
: Ta có
1z
nên
113
22
iz
z
;
2
13
.
d) Với mọi số phức z, z
, ta có
'','.'zz zz zz zz
và nếu z
0 thì
''zz
zz
Hướng dẫn:
,zabizabi
(1)
a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng
1
2
zz
. Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức
z bằng
zzzzzzzz
9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có
44142 43
1; ; 1;
mm m m
iiii i i
Hướng dẫn: Ta có
422
.1iii
44441414242 43
11.1. 1.1.
m
mm m m m m m m
i i iiii iiiiii ii ii i
10)Chứng minh rằng:
e) Nếu
u
z
zz
g) Với mọi số phức z, z
, ta có
''
z
zzz
Hướng dẫn:
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
–
– t
t
h
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
0
0
1
1
1
1
-
-
,AA theo thứ tự biểu diễn số phức
12
,zz thì
12 2 1 2 1 12 2 1
A A OA OA z z A A z z
b)
z
abi
,
'''
z
abi
,
.' ' ' ' '
z
zaabb ababi
,
22 2 2
,' ' '
z
abz ab
zz
c)
u
biểu diễn z,
'u
biểu diễn z thì
'uu
biểu diễn z + z và ''zz uu
Khi
,' 0uu
, ta có
2
222
22
' '2'cos,' '2' 'u u u u uu uu u u uu u u
2
22 2
1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1zi x y i x y x y
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1.
b) Với zxyi
22
22
1(1)(1) 1 1 0
zi
xy ixy i x y x y y
zi
Tập hợp các điểm M là trục thực Ox.
c) Với zxyi
22 2 2
34 (3)(4) (3)(4)
z
zixyix yixyx y
68250xy
. Tập hợp các điểm M là đường thẳng
68250xy
zz
22
()
1
zz
zz
Hướng dẫn: Ta có
,zabizabi
,
222 222
()2,()2,z a b abi z a b abi
Và
33 2 2333 2 23
(3)(3 ), (3)(3 )z a ab a b b i z a ab a b b i
Vậy
22 22
( ) 2( )zz ab là số thực;
333 2
() 3
zz b
i
zz aab
z là số thực âm khi xy = 0 và
22
0xy
x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ
O
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
c
c
ấ
ấ
p
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
Trang 6
b)
2
2
40z
k)
23 1iz z
d)
13 230iz z i z i
Hướng dẫn:
a)
12
z
i
b)
13
10 10
zi
c)
84
thực dương.
Hướng dẫn:
a) Phần thực là
22
22
1
(1)
xy
xy
, phần ảo
22
2
(1)
x
xy
b) Là số thực dương khi
0x
và
22
10xy
Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm
biểu diễn hai số phức ,ii .
16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số
phức
123
,,zzz. Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào?
OA OB OC
nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G
trùng O hay
123
0zzz.
3
3
.
.C
C
Ă
Ă
N
NB
B
Ậ
Ậ
C
CH
H
&
&P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
GT
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là
.ai
và –
.ai
w là số phức: w = a + b
i
(a, b
, b 0) và z = x + y.
i
là 1 căn bậc hai của w khi
2
zw
22
2
x
-y =a
(x + yi) = a + bi
2xy = b
Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
n
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
0
1
1
0
Trang 7
22 4 2 2
3340 4
22 2
xy y y y
xx x
yy y
.
II> Phương trình bậc hai:
1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực:
22
0( 0), 4ax bx c a b ac .
0: Phương trình có 2 nghiệm thực
1,2
2
b
x
a
< 0: Phương trình có 2 nghiệm phức
1,2
||.
2
bi
x
a
x
i .
Do đó phương trình có 3 nghiệm
123
1 3., 1 3., 2xixix
2) Phương trình bậc hai với hệ số phức:
22
0( 0), 4Ax Bx C A B AC , abi
= 0: Phương trình có nghiệm kép
2
B
x
A
0: Phương trình có 2 nghiệm
1,2
2
ii
zi
,
2
31
42
ii
zi
b)
2
(3 2 ) 5 5 0zizi có =
22
(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8iiiiii
=
2
(1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức
1
32 14
13
2
ii
zi
P
PP
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
GT
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
Hướng dẫn:
a)
12
3
i
b)
347
14
i
c)
7 171
10
i
2) Giải các phương trình sau trên tập phức:
a)
42
60zz
b)
42
7100zz
Hướng dẫn
:
a) 2; 3i b) 2; 5ii
3) Cho a, b, c R, a 0,
12
,zz là hai nghiệm phương trình
2
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
t
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
Trang 8
Hướng dẫn:
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0
2
() 0xzzxzz .
Với z + z = 2a, z z =
22
ab
. Vậy phương trình đó là
222
20xaxab
z
w
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
a)
2
1zz b)
2
250zz
c)
2
(1 3 ) 2(1 ) 0zizi
Hướng dẫn:
a)
2
2
115 1 5 1 5
2. .
244 2 4 2 2
zz z z
b)
222
A
nên
12 12
;
B
C
zz zz
A
A
.
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình
2
4510zizi
Có
2
512 23ii
2
30zBzi
có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Hướng dẫn
:
a)
2
2
0zizi
có 3 nghiệm là
22 22
;;
22 22
iii
.
b) Ta có
12 12
;. 3zz Bzz i nên
22
22 2 2
12 12 12
828683 3zz zz zz B i B i B i
9) Tìm nghiệm của phương trình
a) k = 1 thì
1,2
13
22
zi
b) k =
2
thì
1,2
22
22
zi
c)
1,2
212kiz i
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:
a)
3
10z
; b)
4
10z
; c)
4
40z
; d)
n
nV
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
a
a
n
n–
–
Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
i
c
c2
2
0
0
1
1
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
-
13 13
10 1 1 0 1, ,
22 22
zzzzzzizi
.
b)
442
10 1 1 1,zzzzzi
c)
442
40 4 2 1 , 1
z
zzizizi
d)
32
113
18 1 0 12 14 2 1 0 1, ,
244
zz zzzz zzz i
11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình
)Lần lượt thay
1
z
i
và z = 2 vào phương trình, ta được
2(22 ) 0
84 2 0
bc abi
abc
24
22 6
42 8 4
bc a
ab b
abc c
D
D
Ạ
Ạ
N
N
G
GL
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
GG
G
I
I
Á
Á
h
h
a
a
m
mk
k
h
h
ả
ả
o
o
)
)I> Số phức dưới dạng lượng giác:
1) Acgumen của số phức z
0:
Cho số phức z = a + b
i
0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian)
của góc
(, )Ox OM
+ k2
– z biểu diễn bởi –
'OM
nên có acgumen là –
+ (2k + 1)
1
z
=
1
2
||
z
z
z
, vì
2
1
||z
là một số thực nên
1
z
có cùng acgumen với z là –
+ k2.
2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b
2
và sin
=
3
2
. Lấy
=
3
thì 1 + 3
i
= 2(cos
3
+
i
sin
3
)
Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos
+
i
sin
)
+
i
sin
có dạng lượng giác là cos( –
) +
i
sin( –
)
II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:
Cho z = r (cos
+
i
sin
) và z = r (cos
’ +
i
sin
’) với r , r 0
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
n
nL
L
o
o
a
a
n
n–
– Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
p
1
1
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
-
11
[cos(')sin(')]
''
i
zr
.
Do đó
[cos( - ') sin( - ')]
''
zr
i
zr
( r ’
0)
VD:
1
33
2cos sin
44
zi
zi
;
12
.zz =
55 31
22cos sin 22 6 2.
66 22
iii
và
1
2
z
z
=
(n
*
)
2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`
Mọi số phức z =
r
(cos
+
i
sin
) (
r
> 0) có 2 căn bậc hai là
φφ
rcos +isin
22
và
22
cos sin
22
ri
22
ii
.
Do đó
100
1 i
=
100
50
2 cos sin 2 cos25 sin 25
44
ii
.
1)
Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn
19
1 i
và công thức Moavrơ để tính
024 1618
19 19 19 19 19
ððð ð ð
.
Hướng dẫn:
12cossin
44
ii
Ta có
19
có phần thực
9
2512
Vậy
024 1618
19 19 19 19 19
ððð ð ð
= –512.
2)
Tính:
21
2004
533
;
1
123
ii
i
i
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
a
a
n
n–
–
Ô
Ô
n
nt
t
h
h
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
0
1
1
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
Trang 11
2004
2004 2004
1002 1002
12 1 1
cos sin cos sin
122442 2
ii
ii
i
21
21
21
21 21
533 2 2
n
w
là số thực. Hỏi có số nguyên
dương m để
m
w
là số ảo?
Hướng dẫn:
14444
1 3 cos sin cos sin
23333
n
nn
wiiw i
W là số thực khi
4
sin 0
3
n
, điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3.
Không có m nào để
m
w
1
2
i
i
z
i
i
b.
;0
2
1
.32
i
izizi
5. Các vectơ
',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.
a. Chứng minh rằng tích vô hướng
'.'.
2
1
'. zzzzuu
;
b. Chứng minh rằng
',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz
6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn
,k
iz
z
(k là số thực dương cho trước).
7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
1
9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:
1tan
1tan
i
i
10. Giải các phương trình sau trên C :
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
–
–
t
t
h
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
1
1
1
1
-
-
01
32
izziz d.
.0124
2
2
2
zzzz
11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
, zz sau :
a/
izz
izz
25
4
2
i ; c. ;
8
cos
8
sin
i d.
cossin1 i
;
2
0
13. Cho PT : z
2
+ kz+1=0 (-2<k<2) .Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT
10
3
1
i
i
; c.
2000
2000
1
z
z
biết rằng .1
1
z
z
18. CMR:3(1+i)
2011
= 4i(1+i)
2009
- 4(1+i)
2007
19. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức
n
i
i
PT
T
Ự
ỰR
R
È
È
N
N1) Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i.
Hướng dẫn:
a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3
2)
Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó.
Hướng dẫn: z = a + bi |z| =
22
ab
. Ta có |z|
2
c)
4
10z
Hướng dẫn:
a)
747
6
i
b)
4
8
,
4
8i c)
1, i
5)
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố
L
L
o
o
a
a
n
n–
–
Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
pt
t
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
-
1,2
37
2
i
z
6)
Cho hai số phức
12
,zz. Biết rằng
1212
,zzzz
là hai số thực. Chứng tỏ
12
,zz là hai nghiệm một
phương trình bậc hai với hệ số thực.
Hướng dẫn:
Đặt
12 12
,zz azz b với a, b R. Khi
12
,zz là hai nghiệm phương trình
12
()()0zzzz hay
2
12 12
() 0zzzzzz
zw zw
zw zw
zw
nên
10
1
zw
zw
zw
là số thực.
8)
Giải phương trình:
a)
2
zi zi
zi izi
b)
2
3
15
1
(1 ) 3 2
33
2
22
340
435
3(4)38
22
4
17 17
2
iz
zi
iz i
c)
2
2
222
1301(3)1(3)0zzizzizzi
Phương trình
2
13 0ziz i
có nghiệm
12
12; 1ziz i
Phương trình
2
13 0ziz i
, phần ảo là
2( )
x
yy
. Số phức trên là số thực khi y =
0 hoặc x = 1.
B
B
à
à
i
i2
2
.
.
Thực hiện các phép tính:
a)
d)
33
(1 2 ) (1 2 )ii; g)
2010 2009
(1 ) (1 )ii e)
2212
1222
zi
ii
i
d)
23
1321
1
i
ziz
i
; e) (2 3) 2 3 2 2izi i; f)
213
12
ii
z
ii
g)
2
Hướng dẫn:
a)
12
z
i
; b)
13
55
zi
; c)
23
z
i
; d)
1
5
zi
;
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
Ố
L
L
o
o
a
a
n
n–
–
Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
pt
t
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
-
z
i
i)
23
z
i
B
B
à
à
i
i4
4
.
.
Biết
1
z và
2
z là hai nghiệm của phương trình
2
330zz
zz
= 63; c)
12
21
zz
zz
= –1; d)
22
12
zz
= 6.
B
B
à
à
i
i5
5
.
.
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.
Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là
1
37
22
iz i
;
c)
2
21 4 0iz i z
; d)
2
580
z
iz i
Hướng dẫn:
a)
2, 8 6ziz i
; b)
12
2;zzi; c)
12
2; 2zzi
; d)
12
2; 32ziz i
42
3(1 2 ) 8 6 0
x
ix i ; e)
4
724 0
x
i
; f)
4
28 96 0
x
i
Hướng dẫn:
a)
12, 12
x
ix i
; b)
3, 3
x
ix i
B
B
à
à
i
i8
8
.
.
Tìm z biết:
a)
2
zz ; b)
224
z
zi
c)
212
z
iz i
và
110
13 1 3
(0;0), (1;0), ; , ;
22 2 2
Vậy phương trình có các nghiệm: z = 0; z = 1; z =
13
22
i
; z =
13
22
i
b)
2
4
3
zi
c)
13; 13ziz i
B
B
à
à
(m là tham số)
Hướng dẫn:
a)
22 22
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 4zi x y i x y x y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R = 2.
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
S
S
Ố
ỐP
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
pt
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
m
1
-
-
(2 3 ) 2 0 3 2 2 0
34
2 3 13 13
13
m
x
mi m m
iz i m z z i x y
m
i
y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0.
B
B
à
à
i
i1
1
1
1
.
.Tìm phần thực và phần ảo của số phức
8
3 i
.
Hướng dẫn
:
31
32 2cossin
22 6 6
ii i
ĐS:
2212,2212zizi .
Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn:
1
11
3
12
z
zi
zi
zi
2
43
1 0
2
z
zz z .
HD
: Chia hai vế phương trình cho z
2
. ĐS: z=1±i,
11
22
zi
.
Bài 19. Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD
: Đặt thừa số chung ĐS:
13 13
1, ,
22 22
zz iz i .
Bài 20. Cho phương trình: (z + i)(z
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
a
a
n
n–
–
Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
0
1
1
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
làm nghiệm biết:
a.
= 25i b.
= 2i 3 c.
= 3- 2i
Bài 22. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
iz
2
2iz2 = 0. b. z
3
+(i3)z
2
+(44i)z7+4i = 0.
Bài 23. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
22zi zz i . ĐS:
2
4
x
y .
Bài 24. Trong các số phức thỏa mãn
3
23
2
zi
2.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực 2
10
, phần ảo: 2
10
+1. C
C
Á
Á
C
CĐ
Đ
Ề
Ề
C
A
A
O
OĐ
Đ
Ẳ
Ẳ
N
N
G
GB
B
à
à
i
i1
1
.
.
2(2 ) 1 2 8ii iz i
8
12
i
z
i
(8 )(1 2 )
14
ii
z
10 15
23
5
i
zi
zi
B
B
à
à
i
i2
2
.
.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện
|(34)|2zi
.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i
(x, y
)
z
= 25.
Hướng dẫn:
Đặt z = x + y
i (x, y )
(2 ) 2 ( 2) ( 1)zixyiix yi
Ta có
|(2)|10zi
22
(2)(1)10xy
22
4250xy xy
(1)
Ta có
.
z
z
= 25 (x + y
i
)( x – y
i
) = 25
22
25xy
(2)
THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
a
a
n
n–
– Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
ic
c
ấ
ấ
p
2
0
0
1
1
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
-
22
10 2
25
yx
xy
2
10 2
8150
yx
xx
3
4
4
.
.
(Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi
1
z và
2
z là hai nghiệm
phức của phương trình
2
2100zz
. Tính giá trị của biểu thức
22
12
A
zz
.
Hướng dẫn:
2
2100zz
có = 1 – 10 = –9 =
2
(3 )i . Nghiệm là
1
13zi
2
23 4 13iz iz i
b)
Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình
2
1630
z
iz i
Hướng dẫn:
a) Gọi z = a + bi, ta có:
2
23 4 13iz iz i
2
648 2
23( ) 4 ( ) 13 6 4 (2 2) 86
226 5
ab a
iabi iabi i a b a bi i
ab b
3
2
ii
zi
B
B
à
à
i
i6
6
.
.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa:
2z và
2
z là số thuần ảo
Hướng dẫn:
Gọi z = a + bi
22
bb
ab ab
ab
aa a a
bb b b
2
.
B
B
à
à
i
i8
8
.
.
(Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)
a)
Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:
2
(2 )(1 2)zii
b)
Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:
3
(1 3 )
1
i
z
i
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
a
a
n
n–
– Ô
Ô
n
nt
t
h
h
i
i
ọ
c
c2
2
0
0
1
1
0
0–
–2
2
0
0
1
1
1
1
-
-
122 1 2 5 2abi i i abi i .
5, 2ab
. Vậy phần phần ảo b = –
2
.
b) Gọi z = a + bi, ta có:
3
(1 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
44
11111
iii i
zi
iii
z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i
ziz
= –8 – 8i. Do đó :
22
8882ziz
.
k
n
, n≥k≥0.
4.
Quy ước n!=0!=1.
5.
Nhị thức Newton
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba
11222222110
.
011222 2222 111
(1) (1) (1)
n
nn n nnn nnn nnn
kk
nn
nk
CC
k
10.
111 1
123 1
kk k k k
nn n n k
CC C C C
(k<n)
Công thức số hạng tổng quát
:
kknk
nk
baCT
1
, 0≤k≤n.
Hệ số khai triển thứ k+1:
2
1
n
x
và
2
1
n
x……… Sau đó thay x = 1 cộng trừ vế với vế
123
2 3 ( 1) ( 1) 0,
kk nn
nnn n n
CCC kC nC Sử dụng đạo hàm
123 1
2 3 2 ,
knn
nnn n n
CCC kC nCn
Bài toán trong khai triển:
0111 22222111
n
nn n n n n n n n n nnn
nn n n n
P
P
H
H
Ứ
Ứ
C
C
Gv:
N
N
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
t
ố
ố
c
c–
–
N
N
ă
ă
m
mh
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
0
1
Trang 19
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2
n
x
x
5
3
1
, biết rằng
37
3
1
4
nCC
n
n
n
n
, (n nguyên dương, x>0, (
k
dương,
k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
M
5.
(ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x
7
4
1
CCC . (
k
n
C là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7.
(ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(12x)
5
+x
2
(1+3x)
10
. ĐS: 3320
8.
(ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n3
là hệ số của x
3n3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
11.
(ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n
C
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
, (
k
g
g
u
u
y
y
ễ
ễ
n
nV
V
ă
ă
n
nL
L
o
o
a
a
n
n
Ô
Ô
n
n
m
mh
h
ọ
ọ
c
c2
2
0
0
1
1
0
0–
–2
2
0
0
Trang 20
13. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó nN* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0
n
n
k
n
C là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
15.
(ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
n
n
n
nnnn
CnCCCC
,
(
n
n
x
x
CCCC
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
n
1
C
n
3
+C
n
5
…
19.
Chứng minh rằng C
100
0
–C
100
2
+C
100
4
–C
100
6
+ … –C
100
98
+C
100
100
= –2
50
Copyright: Tài liệu đại học ©