Tích phân
Kiến thức cơ bản
1. Công thức Niutơn Laipnit: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn
[ ]
ba;
. Ta có:

).()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
==

Chú ý: Tích phân

b
a
dxxf )(
chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số
tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
F(b) F(a) =

===
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf ...)()()((

.)()()()(

=
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
* Tính chất 5:

+=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf .)()()(
* Tính chất 6: Nếu f(x)
[ ]

bax ;,0


b
a
dxxf .0)(
* Tính chất 8: Nếu

C
x
dxx
2. Công thức 2:
;.ln
1

+=
Cxdx
x
II. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau

.
1
53
))54()
3
1
2
1
0
3
1
dx
x
x
IbdxxxIa

+

[ ]
.2ln26)1ln(23)
1
2
3(
3
1
3
1
+=++=
+
+

xxdx
x
Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I =


4
3
2
.
4x
dx
Bài giải
Ta có: I =
.3
5
ln
4

.
Ví dụ 3. Tính tích phân sau:

;
)1)(13(
1
)
76
)
2
1
22
2
3
2
2
dx
xxxx
x
Jb
xx
dx
Ia

++++

=
+
=
Bài giải


x
x
dx
xx
;
b) J =
=
++++


dx
x
x
x
x
x
2
1
2
)1
1
)(3
1
(
1
1
)5ln
2
7

++++
+

x
x
x
x
x
x
x
x
x
xd
Ví dụ 4. ĐHSP.TPHCM-2000:Tính tích phân sau: I =

++
+
1
0
2
.
65
114
dx
xx
x
;
Bài giải
Cách 1: I =
[ ]


+
+
+
=
++
++

xxdx
xxx
dx
xx
x
Cách 2: (Phơng pháp hệ số bất định)
Đặt:
.3;2,
32ã
65
114
2

+
+
+
=
++
+
x
x
b



=
=




=+
=+
1
3
1123
4
b
a
ba
ba
;
Khi đó: I =
[ ]
2
3
ln3
3
4
ln)3ln()2ln(3)
3
1
2

dx
xxx
dx
xx
xxx










+

+=

+++
2
1
2
1
2
)
3
1
4
1

+=
+
16
9
...
43ã
1
127
2
2
b
a
x
b
x
a
xx
x
(Bạn đọc tự làm)
Ví dụ 6. ĐHNT-2000. Tính tích phân sau:
a)
.
92
103
)
1
23
1
0
2

0
2
2
7ln2)1ln()
1
12
1( xxxdx
xx
x
.
b) J =
3
4
ln
2
1
1)92ln(
2
1
)
92
1
1(
1
0
1
0
2
2
+=





++

+
+
+
=
+

+
1
0
1
0
22
2
)2)(1(
2
)2(
1
)1(
1
)
2
1
1
1

=+=






+
+

+

+
+

x
x
xx
.
Ví dụ 8. ĐHTN 2001. Tính tích phân sau: I =

+
++

51
1
24
2
1
1

...
1)
1
(
)
1
(
1)
1
(
1
1
51
1
51
1
2
51
1
2
2
=
++
+
==
+
+
=
+



+
=

=
xx
dx
x
dxx
A
2)
;
)1(
B ;
1
.22(
4
2
10
3
2
1
3
2


=
+
+
=

C
3)
;
23
)47(
B ;
65
).63(
0
1
3
1
1
23
23


+

=
+
++
=
xx
dxx
xxx
dxxxx
A
4)
;

1
34
23


=
+

=
x
dxx
xx
dxxxx
A
6)
;
)1.(
).1(
B ;
)1(
3
1
4
4
2
1
26

+


2
65xx
dx
I
9) (ĐHKT TPHCM 1994)

+
=
1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I
10) (ĐHNT HN 2000)

++
+++
=
1
0
2
23
92
).1102(
xx
dxxxx

=
1
0
24
34xx
dx
I
14) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số A,B,C để
21
)1(23
333
23
2
+
+

+

=
+
++
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Tính

+=
+

=

x
1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2
17) Xác định các hằng số A,B để
1
)1()1(
2
22
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A
x

;
)1)(2(
1322
B ;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxx
A
Bài toán 2. Phơng pháp đổi biến số
Dạng 1. Đặt x = u(t)
* x = sint, t







2
;
2

* x = tant, t



⇒
t = 0
* x = 3
⇒
t =
2
π
⇒

dxxxdxxdxxdxx )2cos1(
2
9
cos9cos3.)sin1(99
222
+==−=−
⇒
I =
∫
+
2
0
)2cos1(
2
9
π
dxx
=
2
0
)2sin

;)2(4)44(4 dxxdxxx
§Æt x -2 = 2sint, t






−∈
2
;
2
ππ
* x = 0
⇒
t = 0
* x = 3
⇒
t =
2
π
⇒
dtttdttdtxdxx )2cos1(cos2cos2.)sin1(4)2(4
222
+==−=−−
⇒
I =
∫
==+
π






−∈
2
;
2
ππ

* x = 0
⇒
t = 0
* x = a
⇒
t =
2
π
⇒
x
2
dtt
a
tdt
a
tdxtatdxatatadxxa )4cos1(
8
2sin
4

dx
x

Bµi gi¶i
§Æt x =
5
tant,






−∈
2
;
2
ππ
t
* x = 0
⇒
t = 0
* x =
5

⇒
t =
4
π


x
⇒
Tæng qu¸t 2 :
∫
>=
+
a
a
a
dx
ax
0
22
.0,
4
1
π
Ph¬ng ph¸p : §Æt x = atant.
VÝ dô 5. TÝnh tÝch ph©n sau

;
1
:2000)
1
)
2
1
0
24
1

3
2
1
t
=






−∈
2
;
2
ππ
t
* x = 0
⇒
t =
6
π
* x = 1
⇒
t =
3
π
⇒
I =
∫ ∫∫

π
π
π
dtdt
t
t
x
dx
.
b)§Æt x
2
+
ttan3
2
1
=
(Lµm t¬ng tù).
VÝ dô 6. TÝnh tÝch ph©n sau : I =
∫
−
2
1
0
4
1 x
dxx
Bµi gi¶i
§Æt x
2
= sint, t

1
sin1
1
1
1
24
=
−
=
−

⇒

dx
x
xdx
2
1
1
4
=
−

⇒
I =
∫
=
6
0
122