Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Phần 1: Thể tích khối đa diện
A/ Lý thuyết
1.Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (SGK Hình học 12 trang 23)
2.Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối lợng chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h , h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h , h: Chiều cao của khối lăng trụ
B/ Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính thể tích của khối đa diện
*Phơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính
đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính
thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích
đáy và áp dụng công thức:
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau:

a
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=
2
2
2
3
2
3
a
a
a
=

3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2
= l
2
-
9
4
AA
2
Tam giác vuông SOA có:


(sin
2
+ 4) =9l
2

4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33
4sin3
3
4sin
3
2
1
2
1
2
2
22
..'.
+

3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB
= a, AC = a
3
. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. tính
VAABC theo a?
Giải.
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)
-Ta có SABC =
3.
2
2
1
2
1
aACAB
=
-Vì AH (ABC) AH AH
Tam giác vuông AHA có:
AH
2

C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa
=
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB =
BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC
Giải
a)
SABC =
2
2
1
2
1
. aBCBA

1
2'
a
aSBAB
===
Trêng THPT Lý Th¸i Tæ ThÓ tÝch
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a
SC
SA
SC
==
B’C’
2
= SB’
2
- SC’
2
=
66
''
2
aa

===
a
SC
SC
SB
SB
a
36
3
6
1
6
1
'''
6
1
3
'''
3
3
''
a
CBSA
a
SC
SC
SB
SB
SA
SA

BD
(2)
Tõ (1) (2) ⇒
ββα
sinsincos
22
aAB
BDAB
−
==
⇒
β
α
sin
cos
22
2
2
aAB
AB
−
=
⇒ AB
2
(sin
2
β – cos
2
α) = -a
2

cos
sin
cos
.
−−
==
a
a
Sin
ABAD
SA = AB. tan α =
βα
α
22
sincos
sin
−
a
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

BI =
2
2
2
a
BD
=
x
n
A
D
C
m
B
M
N
Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên
nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC
Trêng THPT Lý Th¸i Tæ ThÓ tÝch
Gi¶i
A
S
C
B
H
a
-Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC)
-V× c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
-Ta cã: ∆ABC =
α
sin..
2
1
ACAB

mµ BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos α = 2AB
2
(1-cos α) = a
2

AH
SH
⇒ SH =
αα
α
cos2sin2
tan
aa
=
⇒VSABC =
αα
α
α
cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==
∆
Bµi 7: SABC cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ SABCD =

2
3
2
2
1
==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông
cân tại S SO =
1
2
1
=
AC
VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o

-SAC có AC
2
= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC
ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a SH

3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. SAC
và SBD là các tam giác đều có cạnh =
3
. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Đáp số: VSABCD =
4
6

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC
= 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
2a
3a
C
D
H

aa
ADCDAB
==
+
VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
, (SAB) b (ABCD). M, N - Trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải
Trêng THPT Lý Th¸i Tæ ThÓ tÝch
S
A
D
C
H
B
M

aaaSBSASH
=+=+=
⇒ SH =
2
3a
⇒VSBMDN =
3
1
S⋄BMDN.SH =
2
3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD =
2
1
AD. ∆SBD
vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a. TÝnh
VSABCD
Gi¶i
S
H

==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD
2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a
CBD có BD
2
=2BC
2
(1+
2
1
) = 3BC

a

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170
3
a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm
trong mặt phẳng b (ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng
lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
S
A
D
C
K
B

Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60
o
, BC = a,
SA = a
3
, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Giải
H
C
A
B
a
M
Cách 1.
SA b (ABC)
Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
2
3
2
1
a
SA
=
SABC =
3.60tan..
2
2

SB
SM
V
V
ASABC
MABC
VMABC =
SABC
V
2
1
mà VSABC =
3
1
SA.SABC =
63.3
3
2
1
2
2
1
3
1
aaa
=
Vmabc =
3
4
1

BC b (SAB) BC b AH (2)
Từ (1) (2) AH b (SBC)
AH b SC (3)
Chứng minh tơng tự ta có SC b AK (4)
Từ (3) (4) SC b (AKH)
Gọi F = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE b (AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==

KH
===
3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF=
3
1
SO
2
1
=
SF
OF
SAC có : OA=OC

2
1
==
SF
OF

3
1
SOE
27
22
3
a
Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(a/2,a/2,0)
SKA SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,2a/3,a
2
/3)
ABS có
SHSBAS .
2
=
SH=
3

2
(
aa
AO
=
[
AKAH ,
] =(
9
4
,
9
22
,
9
22
222
aaa

)
VOAHK=
6
1
|[
AKAH ,
].
AO
|=
3
27

Tính SAIB = ?
ABD só I là trọng tâm
SABI =
3
2
SABO =
4
1
3
2
.
SABCD =
3
2
a.a
2
=
6
22
a
SANIB =
3
1
NO.SAIB =
36
2
6
2
23
1

2
1
SE =
4
3
2
3
2
1
.
aa
=
SCNP =
2
8
1
8
1
4
1
aSS
ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3

BH b (AOOA)
BH là đờng cao của tứ diện BAOO
SAOO =
2
2
a
, AB=
3'
22
aAAAB
=
ABD vuông ở B BD=a
OBD đều BH=
2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA b
(ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o

SM
=
MN=
3
4. a
SA
SMAD
=
SBCMN=
33
10
).(
2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN=
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o

BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có ABC vuông. AB = AC = a; AA
1
= a
2
.
M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.

2
22
4
1
1.4
cossin4
sin2
x
xx
C
x
xx
CC


===
Tam giác vuông HCD có HD
2
= CD
2
- DC
2

=
2
2
2
4
3
4

1
3..4..
2
2
xxxHDS
x
x
x
ABC
==



Cách 2:
Trờng THPT Lý Thái Tổ Thể tích
B
A
D
M
C'
Gọi M là trung điểm CD CD b ABM
Vì ACD và BCD đều AM = BM =
2
3
VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1
CM.SABC =
ABM
S

43
1
=
b)
SACD=
4
3
d(B,(ACD))=
ACD
ABCD
S
V3
=
xx .3
3
1
2

c)
VABCD =
8
1
2
3
12
1
2
12
1
22