Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
2.1

15

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2

Tính chất đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.3

Các định lý dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.4

Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Định lý về tích phân ảnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4

Tích chập các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5

Tích phân Duhamel

36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và
tích phân

38
1


3.1



Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.1.5
3.2


PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
TÍCH PHÂN

Nguyễn Thị Bích Hạnh
Hà Nội, 2010


LỜI CẢM ƠN


Biểu thức này có thể được coi là phương trình vi phân nếu thay y là một hàm chưa
biết của biến x.
Vào nửa cuối thế kỷ 19, phép biến đổi Laplace đã được mở rộng thành dạng phức
bởi Poincare và Pincherle, mở rộng cho trường hợp hai biến bởi Picard, được Abel và
nhiều người khác tiếp tục nghiên cứu.
Ứng dụng đầu tiên của phép biến đổi Laplace hiện đại xuất hiện trong tác phẩm của
Bateman (1910), người đã biến các phương trình trong các công trình của Rutherford
nghiên cứu về sự phân rã phóng xạ
dP
= −λi P,
dt
bằng cách đặt

∞

e−xt P (t)dt

p(x) =
0

và thu được phương trình biến đổi. Năm 1920, trong bài viết của mình về hàm theta,
Bernstein đã sử dụng biểu thức
∞

e−su Φ(u)du

f (s) =
0


tích phân
Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn.

iii


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả
cách thức một đại lượng nhất định thay đổi theo thời gian, ví dụ như dòng điện trong
mạch điện, sự dao động của lớp màng đang rung, ... Các phương trình này thường đi
kèm với các điều kiện mô tả trạng thái ban đầu của hệ.
Một kỹ thuật rất mạnh để giải các bài toán này là phép biến đổi Laplace, biến đổi
phương trình vi phân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp. Biểu thức đại số này lại
có thể được biến đổi thành nghiệm của bài toán ban đầu. Kỹ thuật này được gọi là
"phép biến đổi Laplace". Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết và các tính chất cơ bản
của phép biến đổi Laplace.

1.1

Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử rằng f là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức của biến
(thời gian) t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f là
∞

τ
−st


Ví dụ 1. Nếu f (t) ≡ 1 với t ≥ 0, thì
∞

e−st 1dt =

L(f (t)) =

1
s

(1.1.2)

0

với điều kiện là s > 0 (nếu s là số thực). Do đó ta có
1
(s > 0).
(1.1.3)
s
Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và sẽ không có biến đổi Laplace của hàm này. Nếu
1
ta lấy s là một biến phức, tính toán tương tự với (s) > 0, ta cũng được L(1) = .
s
Ví dụ 2. Tính L(eiωt ), L(e−iωt ).
L(1) =

Giải
Ta có

∞

1
Tương tự, L(e−iωt ) =
.
s + iω

1.2

Sự hội tụ

Mặc dù toán tử Laplace có thể được áp dụng cho rất nhiều hàm nhưng có những
hàm tích phân (1.1.1) không hội tụ.
2

Ví dụ 3. Đối với hàm f (t) = et ,
τ

τ
t2

2 −st

e−st e dt = lim

lim

τ →∞

et

τ →∞


|e−st f (t)|dt → 0

f (t)dt ≤

τ

τ

khi τ → ∞, với τ > τ. Điều này suy ra rằng L(f (t)) hội tụ.
Hội tụ đều: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ đều với s thuộc miền xác định Ω ⊂ C
với bất kỳ ε > 0, tồn tại số τ0 > 0 sao cho nếu τ > τ0 , thì
∞

e−st f (t)dt < ε
τ

với mọi s ∈ Ω.

1.3

Điều kiện hội tụ

Chúng ta có thể tính biến đổi Laplace cho một số hàm, nhưng cũng có hàm không
2

có biến đổi Laplace, ví dụ như hàm et . Ta sẽ xây dựng một lớp các hàm có biến đổi
Laplace.
Định nghĩa 1.3.1. Điểm t0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f nếu hai giới
hạn

nếu

0

t > 0,

nếu t < 0.

có điểm gián đoạn loại 1 tại t = 0 và liên tục hầu khắp nơi.
Ví dụ 6. Hàm
f (t) =


cos 1

nếu

t

0

t > 0,

nếu t < 0.

gián đoạn tại t = 0, nhưng lim+ f (t) không tồn tại, vì vậy t = 0 không phải là điểm
t→0

gián đoạn loại 1 của hàm f .
3

τ1

f (t)dt
τn

vì f vừa liên tục và bị chặn trên mỗi khoảng con nên trên mỗi khoảng con đó đều xác
định tích phân Riemann.
Đặc điểm thứ hai của lớp các hàm có biến đổi Laplace mà chúng ta cần xem xét
đó là tốc độ tăng của hàm. Trong định nghĩa
∞

e−st f (t)dt,

L(f (t)) =
0

khi ta lấy s > 0 (hoặc

(s) > 0) thì tích phân sẽ hội tụ miễn là f không tăng quá

nhanh.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm f được gọi là có bậc mũ α nếu tồn tại hằng số M > 0 và số
α sao cho với t0 ≥ 0,
|f (t)| ≤ M eαt , t ≥ t0 .
Rõ ràng hàm mũ eat có bậc mũ α = a, trong khi đó tn có bậc mũ α với α > 0 và
n ∈ N bất kỳ. Các hàm bị chặn như sin t, cos t, . . . có bậc mũ 0, còn e−t có bậc mũ −1
(xem [1]).
Chú ý rằng nếu β > α thì từ bậc mũ α suy ra bậc mũ β, vì eαt ≤ eβt , t ≥ 0.
Ta thường coi bậc mũ là giá trị nhỏ nhất của α mà |f (t)| ≤ M eαt , M > 0, t ≥ t0 ≥ 0.
Định lý 1.3.1. 1. Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ α, thì biến đổi

M e−(x−α)τ
−
.
x−α
x−α

0

Cho τ → ∞ và chú ý rằng

(s) = x > α ta được
∞

|e−st f (t)|dt ≤

M
.
x−α

(1.3.1)

0

Do đó tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối (và do đó hội tụ) với

(s) > α.

(s) > α là πα . Để chứng minh F (s) là hàm chỉnh hình

2. Ta ký hiệu nửa mặt phẳng


−st

=

f (t)e

e−∆st − 1
dt
∆s
1
(∆s.t)2 (∆s.t)3
− ∆s.t +
−
+ · · · dt
∆s
2!
3!

0
∞

f (t)e−st t − 1 +

=

∆s.t (∆s.t)2
−
+ · · · dt
2!


0

Ta cần chứng minh rằng δ → 0 khi ∆s → 0. Thật vậy, ta có
∞

|δ| = |∆s|

tf (t)e

−st

t
∆s.t2
−
+ · · · dt
2!
3!

0
∞

t|f (t)||e−st |

≤ |∆s|
0
∞

2


t2 e−(x−α−ε−|∆s|)t dt,

= M |∆s|
0

trong đó ta sử dụng ước lượng |f (t)| ≤ M e(α+ε)t với α là bậc mũ của f , còn ε > 0 là
số bé tùy ý. Bằng phép tích phân từng phần ta có thể chứng minh rằng tích phân
∞

e−βt t2 dt
0

hội tụ và bằng

2
nếu β > 0. Do đó khi
β3
x − α − ε − |∆s| > 0 ⇔ (s) = x > α + ε + |∆s|

thì

∞

t2 e−(x−α−ε−|∆s|)t dt =

2
.
(x − α − ε − |∆s|)3

0


Do vậy hàm F (s) có đạo hàm tại điểm s bất kỳ của nửa mặt phẳng (s) > α + ε + |∆s|
cũng tức là trong nửa mặt phẳng

(s) > α + ε (vì ∆s có thể lấy bé tùy ý).

Vì ε > 0 bé tùy ý nên kết luận đúng trong nửa mặt phẳng πα : (s) > α.
Ví dụ 7. Cho f (t) = eat , a thực. Hàm này liên tục trên [0, ∞) và có bậc mũ a. Khi đó
∞

e−st eat dt =

at

L(e ) =

e−(s−a)t
−(s − a)

0

Kết quả trên cũng đúng với a là số phức và

∞

=
0

1
s−a

e−st dt = L(1) = 2 ,
s
s
0

(s) > 0.

Thực hiện tích phân từng phần hai lần, ta được
L(t2 ) =

2
s3

( (s) > 0).

Bằng quy nạp, ta có thể tính được
L(tn ) =

n!
sn+1

(1.3.3)

với n = 1, 2, 3, ...
Định nghĩa 1.3.4. Lớp L là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực hoặc phức mà xác
định trên khoảng mở (0, ∞) và biến đổi Laplace của mỗi hàm (được định nghĩa theo
nghĩa của tích phân Riemann) tồn tại với giá trị nào đó của s.
Như vậy, nếu hàm f thuộc lớp L thì:
• f (t) ≡ 0 nếu t < 0;
• Khi t ≥ 0, trên mọi đoạn thẳng hữu hạn của trục t, hàm f liên tục từng mảnh


2

e−st 2tet cos(et )dt,

L(f (t)) =
0

tồn tại do tích phân từng phần thu được
∞

∞
t2

L(f (t)) = e−st sin(e )

2

0

2

e−st sin(et )dt = − sin(1) + sL(sin(et )) ( (s) > 0).

+s
0
2

và biến đổi Laplace L(sin(et )) tồn tại theo định lý (1.3.1). Ta có một hàm liên tục,
không có bậc mũ nhưng vẫn có biến đổi Laplace.

Thật vậy, giả sử rằng
|f (t)| ≤ M eαt ,
8

t ≥ t0 .


Khi đó
∞

∞

e−xt |f (t)|dt

e−st f (t)dt ≤
t0

t0

∞

e−(x−α)t dt

≤M
t0

=

M e−(x−α)t0
,

(s) ≥ x0 > α.

Phép biến đổi Laplace ngược

Để ứng dụng biến đổi Laplace vào các bài toán vật lý, ta cần phải nghiên cứu biến
đổi Laplace ngược. Nếu L(f (t)) = F (s) thì phép biến đổi Laplace ngược được ký hiệu
bởi
L−1 (F (s)) = f (t),

t ≥ 0,

mà ánh xạ ảnh Laplace của một hàm trở về hàm ban đầu.

1.4.1

Công thức Mellin

Định lý 1.4.1 (Mellin). Giả sử hàm chỉnh hình F (s) trong miền

(s) > α0 là ảnh

của hàm f (t) trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của tia [0, ∞) với bậc mũ α0 . Khi
đó tại các điểm liên tục của hàm f (t) ta có
x+i∞

1
f (t) =
2πi

est F (s)ds,


e

−xt (α0 +ε)t

e

e−(x−α0 −ε)t dt.

dt = M

0

(1.4.2)

0

Chọn ε > 0 đủ bé sao cho x − α0 − ε > 0. Khi đó tích phân ở vế phải của (1.4.2) hội
tụ. Điều này có nghĩa là hàm φ(t) khả tích tuyệt đối trên [0, ∞).
Từ hai điều kiện vừa chứng minh suy ra hàm φ(t) thỏa mãn mọi điều kiện để biểu diễn
hàm thành tích phân Fourier.
∞

∞

φ(u)ei2πv(t−u) dudv

φ(t) =

(đặt ξ = 2πv)

∞

1
f (t) =
2π

f (u)e−xu e−iξu du,

eiξt dξ

∞
t(x+iξ)

e

f (u)e−u(x+iξ) du.

dξ

−∞

0

Đặt s = x + iξ, ds = idξ ta thu được
∞

x+i∞

1
f (t) =


Công thức Mellin (1.4.1) cho phép ta tìm gốc của một hàm ảnh bất kỳ cho trước.
Nhưng đối với hàm chỉnh hình bất kỳ đã cho F (s), ta không thể nào biết trước nó có
phải là hàm ảnh của một hàm nào đó hay không?
Định lý sau về điều kiện đủ để hàm biến phức F (s) là ảnh của hàm gốc f (t) nào đó.
Định lý 1.4.2 (Điều kiện đủ để tồn tại gốc). Giả sử hàm F (s) thỏa mãn các điều kiện
i. Hàm F (s) chỉnh hình trong nửa mặt phẳng
ii. Trong miền

(s) > α0 ;

(s) ≥ x > α0 , hàm F (s) dần đều đến 0 đối với arg s ∈

−

π π
,
2 2

khi

|s| → ∞;
iii. Với mọi giá trị

(s) = x, x > α0 tích phân suy rộng sau đây hội tụ
∞

|F (x + iy)|dy ≤ M.
−∞


11


được xác định một cách duy nhất.
Vì rất nhiều hàm mà chúng ta quan tâm là nghiệm của các phương trình vi phân và
do đó liên tục, giả thiết trên hoàn toàn được xác định.

1.4.3

Tính tích phân Mellin

Trước hết, ta nhắc lại Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư và Bổ đề Jordan.
Định lý 1.4.4 (Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư). Giả sử hàm f (z) chỉnh hình
trong miền D ∪ ∂D ⊂ C trừ ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1 , a2 , . . . , an
nằm trong D (nhưng không nằm trên ∂D). Khi đó
n

f (z)dz = 2πi

Res[f ; ak ]
k=1

∂D

Bổ đề 1.4.1 (Bổ đề Jordan). Giả sử hàm f (z) chỉnh hình trong mặt phẳng phức trừ
ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập và dần đều đến 0 đối với arg z khi |z| → ∞.
Khi đó
1. Nếu λ < 0 và γ1 (R) là cung tròn {z : |z| = R, (z) > δ} trong nửa mặt phẳng
bên phải


i − iii của định lý (1.4.2) là có thể thác triển giải tích ra toàn mặt phẳng phức s.
2. Thác triển giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng

(s) ≤ α0 là thỏa mãn các

điều kiện của Bổ đề Jordan.
Khi đó ta có công thức
x+i∞

1
2πi

n
st

Res[F (s)est ; ak ]

F (s)e ds =
x−i∞

trong đó t > 0 và s = ak ,

(1.4.5)

k=1

k = 1, n là những điểm bất thường cô lập của thác triển

giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng
12


(1.4.6)

k=1

γ(R)

Bằng cách áp dụng Bổ đề Jordan, khi t > 0 ta thu được
lim

R→∞
γ(R)

F (s)est ds = 0.

(1.4.7)

Qua giới hạn đẳng thức (1.4.6) khi R → ∞ và từ (1.4.7) ta thu được (1.4.5). Định lý
được chứng minh.
Chú ý rằng L−1 tuyến tính, tức là
L−1 (aF (s) + bG(s)) = af (t) + bg(t)
nếu L(f (t)) = F (s), L(g(t)) = G(s). Điều này suy ra từ tính chất tuyến tính của L và
đúng trong miền xác định chung của F và G.

1.4.4

Một số ví dụ

Ví dụ 10. Tìm hàm gốc f (t) của hàm F (s) =



1
.
− 1)
Giải. Hàm F (s) chỉnh hình trong mọi nửa mặt phẳng (s) > 1 và F (s) → 0 khi

Ví dụ 11. Tìm hàm gốc f (t) của hàm F (s) =

s2 (s2

s → ∞. Đặt s = x + iσ, tích phân
1
dσ
− 1)

s2 (s2
R

hội tụ, x > 1.
Hàm F (s) có các cực điểm là a1 = −1, a2 = 0 và a3 = 1. Ta dựng đường tròn với
tâm tại điểm (x, 0), x > 1 bán kính R đủ lớn sao cho các điểm a1 , a2 và a3 nằm trong
Γ(R) = γ(R) ∪ I(R); I(R) = [x − iR, x + iR]. Theo Định lý Cauchy về thặng dư ta có
3
st

st

e F (s)ds +
γ(R)



e F (s)ds = lim

R→∞
x−iR

est F (s)ds = 2πif (t).

e F (s)ds =

(1.4.9)

x−i∞

Từ (1.4.8) và (1.4.9) suy ra
x+i∞

1
f (t) =
2πi

3
st

Res[est F (s), ak ].

e F (s)ds =

(1.4.10)


trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân có thể giải được nhờ phép biến
đổi Laplace. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu hàm Gamma; hàm tuần hoàn; đạo
hàm, tích phân của hàm ảnh và hàm gốc; cũng như phép tích chập.

2.1
2.1.1

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính

Nếu L(fi (t)) = Fi (s), (s) > αi , i = 1, 2, . . . , n trong đó αi là bậc mũ của hàm
fi (t), i = 1, n và ci là những hằng số (thực hoặc phức) thì
n

L

n

ci fi (t)

=

i=1

ci Fi (s) = F (s),
i=1

(s) > max αi .
1≤i≤n


i=1

0

n

=

ci Fi (s).
i=1

15

(2.1.1)


∞

fi (t)e−st dt hội tụ trong nửa mặt phẳng

Nếu tích phân

(s) > αi thì tích phân

0
∞

n

ci fi (t) e−st dt


s
,
+ ω2

(2.1.2)

và
L(sin ωt) =

L(eiωt ) − L(e−iωt )
1
1
1
=
−
2i
2i s − iω s + iω

=

s2

ω
, ( (s) > 0).
+ ω2
(2.1.3)

Ví dụ 13. Xét hàm cosin hyperbolic có
L(cosh wt) = L(


n
k

L(f (t)) =

ak L(t ) =
k=0

∞

Nhưng đối với chuỗi vô hạn,

k=0

ak k!
.
sk+1

an tn , nói chung không thể thu được biến đổi Laplace

n=0

của chuỗi bằng cách lấy biến đổi Laplace của từng số hạng.
16


Ví dụ 15.

∞

∞

1
s

(−1)n (2n)...(n + 2)(n + 1)
.
s2n

n=0

Mà
lim

n→∞

un+1
2(2n + 1)
= lim
= ∞,
n→∞
un
|s|2

và chuỗi đã cho phân kỳ với mọi s.
2

2

Tuy nhiên, L(e−t ) tồn tại vì e−t liên tục và bị chặn trên [0, ∞).


n=0

( (s) > α).

Tính chất đồng dạng

Nếu L(f (t)) = F (s) với

(s) > α0 thì
L(f (αt)) =

với

an n!
sn+1

1
s
F
α α

(s) > αα0 , trong đó α là số dương bất kỳ.

Chứng minh. Đối với hàm f (αt) ta có
∞

e−st f (αt)dt.

L(f (αt)) =

Ví dụ 16. Tìm ảnh của các hàm cos2 αt, sin2 αt, sin αt cos βt.
Giải.
1. f (t) = cos2 αt =

1 + cos 2αt
1 1
s
s2 + 2α2
⇒ L(f (t)) =
+ 2
=
.
2
2 s s + 4α2
s(s2 + 4α2 )

2. f (t) = sin2 αt =

1 − cos 2αt
1 1
s
2α2
⇒ L(f (t)) =
− 2
=
.
2
2 s s + 4α2
s(s2 + 4α2 )


Chứng minh. Với

(s) > a,
∞

e−(s−a)t f (t)dt

F (s − a) =
0
∞

e−st eat f (t)dt

=
0

= L(eat f (t))

18


Định lý vừa chứng minh còn được gọi là định lý tắt dần, thường được sử dụng để
nghiên cứu các hiện tượng vật lý gắn liền với dao động tắt dần (trong trường hợp này
biến độc lập t được hiểu là thời gian).
1
1
Ví dụ 17. Vì L(t) = 2 ( (s) > 0) nên L(teat ) =
và nói chung L(tn eat ) =
2
s

s−a
( (s) > a);
(s − a)2 + w2
w
( (s) > a);
L(eat sin wt) =
(s − a)2 + w2
s−a
L(eat cosh wt) =
( (s) > a);
(s − a)2 − w2
w
( (s) > a).
L(eat sinh wt) =
(s − a)2 − w2
L(eat cos wt) =

Ví dụ 19.
L−1

s2

s
+ 4s + 1

s
(s + 2)2 − 3
s+2
2
= L−1

=
0

=e

−as

e−sτ f (τ )dτ
0

F (s)

19