1

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Cán bộ hướng dẫn chính: TS Dương Tử Cường

Cán bộ chấm phản biện 1: ……………………………………………………..

Cán bộ chấm phản biện 2: ……………………………………………………..

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
Ngày 06 tháng 07 năm 2015


2

LỜI CAM ĐOAN
Những kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toàn
trung thực, của tôi, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật sở hữu trí tuệ và
pháp luật Việt Nam. Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Lê Thị Hồng Loan


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: Lê Thị Hồng Loan
Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Sự phát triển mạnh mẽ của các thế hệ máy tính điện tử đã tạo điều kiện
cho kỹ thuật xử lý tín hiệu số bước sang một bước ngoặt mới và được sử dụng
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiện nay rất nhiều hệ thống thông tin liên
lạc, radar, xử lý ảnh, xử lý tiếng nói,... trên thế giới đã được số hóa hoàn toàn.
Tuy nhiên, để có thể áp dụng được các kỹ thuật xử lý tín hiệu số thì tín
hiệu tương tự phải được chuyển sang tín hiệu số. Sau đó, tín hiệu số này được
bộ xử lý hoặc phần mềm thao tác như loại nhiễu tín hiệu, loại bỏ nhiễu xuyên
kênh,... Cuối cùng, tín hiệu số lại được chuyển sang tín hiệu tương tự và xử lý
các bước tiếp theo tùy thuộc vào ứng dụng cụ thể.
Để tín hiệu số có thể được thao tác thuận tiện trong bộ vi xử lý hoặc
máy tính thì phương pháp hay được sử dụng nhất là biến đổi Fourier rời rạc.
Đây là công cụ toán học quan trọng trong xử lý tín hiệu số. Hầu hết các ứng
dụng xử lý tín hiệu đều được đưa về bài toán thiết kế bộ lọc số. Tuy nhiên,
việc xây dựng, thiết kế bộ lọc số đạt được các yêu cầu mong muốn thì không
phải đơn giản.
Qua nghiên cứu thực tế, có thể thấy quá trình thiết kế bộ lọc số là một
quá trình phức tạp. Việc thiết kế bộ lọc có thể được thực hiện bằng những
phương pháp khác nhau, trong đó biến đổi Fourier rời rạc là một phương pháp
được thực hiện dựa trên phần mềm và có tốc độ xử lý nhanh.
Từ những vấn đề trên, tôi đã chọn đề tài: “Biến đổi Fourier rời rạc và
ứng dụng trong bài toán lọc tuyến tính”.
Mục tiêu: Nghiên cứu tổng quan về xử lý tín hiệu số để nắm những vấn
đề cơ bản về tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu, tín hiệu và hệ thống rời rạc
theo thời gian và phân tích tín hiệu rời rạc và hệ thống trong miền tần số;
Nghiên cứu biến đổi Fourier rời rạc và sử dụng biến đổi Fourier trong lọc
tuyến tính. Để khẳng định kết quả nghiên cứu về mặt lý thuyết, phần cuối của


7


1.1. Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu
1.1.1. Tín hiệu
Tín hiệu được định nghĩa như một thực thể vật lý phụ thuộc vào thời
gian, khoảng cách hoặc một biến số độc lập khác. Về phương diện toán học,
tín hiệu được mô tả như một hàm của một hoặc nhiều biến độc lập. Ngoài các
tín hiệu chỉ phụ thuộc vào một biến như đã chỉ ra ở trên còn tồn tại tín hiệu
của nhiều biến khác nhau. Nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm của một biến
độc lập thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu một chiều. Trong trường hợp
ngược lại nếu tín hiệu được biểu diễn qua hàm toán học với M biến độc lập,
tín hiệu được gọi là tín hiệu M chiều.
Tín hiệu có thể được phân thành một số loại sau:
 Tín hiệu tất định

Là tín hiệu có thể được xác định một cách duy nhất thông qua biểu thức
toán học, bảng dữ liệu hoặc các quy tắc đã được định nghĩa. Điều đó có nghĩa
là tất cả các giá trị trong quá khứ, hiện tại và tương lai đều có thể được xác
định một cách chính xác. Loại tín hiệu này bao gồm: tín hiệu tuần hoàn, tín
hiệu với độ dài hữu hạn, tín hiệu quá độ và tín hiệu gần như tuần hoàn.
Các tín hiệu tuần hoàn có thể được mô tả một cách đầy đủ thông qua
một chu kỳ và có thể được phân rã và biểu diễn bằng các thành phần hình sin.


9

Các tín hiệu có độ dài hữu hạn được định nghĩa một khoảng thời gian
hữu hạn và không được xác định bên ngoài khoảng thời gian này.
Tín hiệu quá độ là các tín hiệu có giá trị khác không trong một khoảng
thời gian hữu hạn nào đó hoặc thay đổi trong một khoảng thời gian ngắn sau
đó sẽ tiến tới một giá trị không đổi.
Nhóm tín hiệu gần như tuần hoàn bao gồm tổng các tín hiệu hình sin và

Tín hiệu vào tương tự

Bộ xử lý tín hiệu
tương tự

Tín hiệu ra
tương tự

Hình 1.1: Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự
 Hệ thống xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu số cũng là một phương pháp được lựa chọn để xử lý các
tín hiệu tương tự. Quá trình này được mô tả trong Hình 1.2.

Tín hiệu vào tương tự

Chuyển đổi
A/D

Bộ xử lý tín hiệu số

Tín hiệu vào dạng số

Chuyển đổi D/A

Tín hiệu ra dạng số

Hình 1.2: Hệ thống xử lý tín hiệu số
Để thực hiện quá trình xử lý số thì đòi hỏi phải có các thiết bị giao diện
giữa tín hiệu tương tự và bộ xử lý số. Giao diện này được gọi là bộ chuyển

xa (nT ) ≡ x(n)

. Ở đây T được gọi là khoảng cách lấy mẫu.

2. Quá trình lượng tử hóa: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu đã được
rời rạc hóa theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian và biên độ.
Thực chất đây là quá trình làm tròn giá trị các biên độ ở các thời điểm lấy
mẫu bằng các giá trị đã được chọn trong tập hợp hữu hạn các giá trị cho phép.
Giá trị sai lệch giữa mẫu chưa được lượng tử hóa x(n) và đầu ra đã được
lượng tử hóa xq(n) được gọi là sai số lượng tử hóa.
3. Mã hóa: Trong quá trình mã hóa, mỗi giá trị rời rạc xq(n) được biểu
diễn bằng một dãy nhị phân gồm n bit.


12

Cần lưu ý là mặc dầu chúng ta mô phỏng quá trình chuyển đổi AD như
ba quá trình liên tiếp nhau: lấy mẫu, lượng tử hóa và mã hóa nhưng trên thực
tế cả ba quá trình này đều được thực hiện bởi một thiết bị duy nhất với đầu
vào là xa(t) và đầu ra là số nhị phân đã được mã hóa. Quá trình lấy mẫu và
lượng tử hóa có thể được thực hiện theo một thứ tự bất kỳ nhưng trên thực tế
quá trình lấy mẫu thường được tiến hành trước quá trình lượng tử hóa.
Tín hiệu đã được số hóa trong rất nhiều trường hợp lại cần được chuyển
đổi thành tín hiệu tương tự. Quá trình chuyển đổi tín hiệu dạng số sang dạng
tương tự được gọi là chuyển đổi D/A (Digital to Analog). Tất cả các bộ
chuyển đổi D/A đều sử dụng các phương pháp nội suy để “chắp nối” các điểm
trong tín hiệu số thành tín hiệu tương tự. Hình 1.4 mô tả một dạng đơn giản
của quá trình chuyển đổi D/A. Dạng này được gọi là dạng xấp xỉ bậc thang.
Ngoài phương pháp này còn có một số phương pháp xấp xỉ khác có thể được
sử dụng như phương pháp tuyến tính hóa đường nối các cặp mẫu liên tiếp (nội

rất quan trọng cần phải lưu ý là tín hiệu rời rạc theo thời gian không được
định nghĩa ở các thời điểm nằm giữa hai mẫu liên tiếp nhau. Cũng sẽ không
đúng nếu cho rằng x(n) sẽ có giá trị bằng 0 nếu giá trị của n không phải là số
nguyên. Rất đơn giản, tín hiệu x(n) chỉ được định nghĩa đối với các giá trị
nguyên của n.
Trong khi nghiên cứu, chúng ta sẽ giả sử tín hiệu rời rạc theo thời gian
được định nghĩa đối với giá trị nguyên của n thuộc khoảng

−∞ < n < ∞

. Theo

qui ước x(n) sẽ được xem như là “mẫu thứ n” của tín hiệu, thậm chí nếu tín


14

hiệu này vốn đã là tín hiệu rời rạc (không phải là kết quả của quá trình lấy
mẫu tín hiệu rời rạc). Nếu cho rằng x(n) là tín hiệu nhận được do quá trình lấy
mẫu của tín hiệu tương tự

x a (t )

thì

x(n) ≡ x(nT )

, trong đó T là chu kỳ lấy mẫu

(thời gian giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp nhau) (để ngắn gọn trong báo cáo

0, if n < 0
 Tín hiệu dốc đơn vị

Tín hiệu này được ký hiệu bằng

u r (n)

và được định nghĩa qua công

thức:

n, if n ≥ 0
u r ( n) ≡ 
0, if n < 0
Tín hiệu này được mô tả trên Hình 1.12

Hình 1.7: Biểu diễn bằng đồ thị của tín hiệu dốc đơn vị


16

1.2.2. Các hệ thống rời rạc theo thời gian
Các hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các thiết bị hoặc thuật toán
mà qua đó một tín hiệu rời rạc x(n) gọi là tín hiệu đầu vào được chuyển đổi
thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) gọi là tín hiệu đầu ra hoặc đáp ứng của hệ
thống. Quan hệ vào ra này có thể được biểu diễn bằng biểu thức toán học:

y ( n ) ≡ T [ x ( n) ]
trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử.


 Hệ thống tuyến tính và không tuyến tính

Hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.
Nguyên lý này đòi hỏi rằng đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của các
tín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từng
tín hiệu riêng lẻ.
 Hệ thống bất biến theo thời gian

Một hệ được gọi là bất biến theo thời gian nếu như đặc trưng vào ra của
nó không thay đổi theo thời gian. Đối với các hệ này nếu như đáp ứng của hệ
đối với tác động x(n) là y(n) thì với tín hiệu đầu vào bị dịch trễ k đơn vị thời
gian x(n-k), tín hiệu đầu ra cũng bị trễ k đơn vị y(n-k). Tức là nếu:
T
x( n) →
y ( n)

thì suy ra:

x(n − k ) 
→ y (n − k )
đối với mọi tín hiệu đầu vào x(n) và mọi thời gian dịch chuyển k.
 Hệ nhân quả và không nhân quả

Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra y(n) của nó tại
một thời điểm bất kỳ n chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và
tại thời điểm đang xét và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong
tương lai

[ x(n + 1), x(n + 2),]


các đáp ứng của hệ thống tuyến tính đối với một tín hiệu đầu vào cho trước.
 Phương pháp thứ nhất dựa trên cách giải quyết trực tiếp đối với biểu thức biểu

diễn quan hệ vào/ra của hệ thống. Biểu thức này thông thường có dạng sau:

y (n) = F [ y (n − 1), y (n − 2), , y (n − N ), x(n), x(n − 1), , x(n − M )]
trong đó

F [ .]

là hàm với các biến là các thành phần được chỉ ra trong dấu

ngoặc vuông. Cụ thể hơn, đối với các hệ thống LTI thì sau này ta có thể thấy
rằng quan hệ vào/ra có thể được biểu diễn bằng công thức:
N

M

k =1

k =0

y ( n) = −∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x( n − k )

ở đây

{ ak }

và


của hệ thống LTI có thể được xác định theo công thức:

y ( n) =

∞

∑ x ( k ) h( n − k )

(1.2)

k = −∞

Công thức (1.2) được gọi là tổng chập hoặc tích chập và nó cho phép
xác định đáp ứng y(n) của hệ thống LTI như là hàm của tác động đầu vào x(n)
và đáp ứng xung đơn vị h(n).
Đối với hệ thống LTI, ta có thể xác định tính nhân quả và tính ổn định
của hệ thống thông qua các tiêu chuẩn trên đáp ứng xung của hệ thống.
Một hệ thống LTI được gọi là nhân quả nếu đáp ứng xung của nó bằng
0 với mọi giá trị âm của n, tức là h(n) = 0 với

y ( n) =

∞

∑

k = −∞

∀n < 0.


2.1. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Cũng giống như trường hợp của tín hiệu năng lượng không tuần hoàn
và rời rạc theo thời gian, việc phân tích trong miền tần số của tín hiệu không
tuần hoàn rời rạc theo thời gian với năng lượng hữu hạn sẽ bao gồm phép biến
đổi Fourier của tín hiệu trong miền tần số.
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) với năng lượng hữu hạn được
định nghĩa bởi:

X (ω ) =

∞

∑ x(n)e − jωn

n = −∞

Như vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong
miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu
ω

. Về mặt vật lý,

cách khác,

X (ω )

X (ω )

X (ω )



2π .

hoặc từ 0 đến

- Bởi vì tín hiệu là rời rạc theo thời gian do vậy phép biến đổi Fourier
sẽ bao gồm tổng các phần tử thay cho phép lấy tích phân như trong trường
hợp tín hiệu liên tục.
Cặp biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc được tổng hợp lại trong
Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Phân tích tần số của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn
Biểu thức tổng hợp

x ( n) =

Biến đổi ngược
Biểu thức phân tích

1
2π

jω n

dω

2π

(2.1)

∞


khi

N →∞

với mọi giá trị của

ω.

Sự hội tụ này sẽ được đảm bảo nếu x(n) là khả tổng tuyệt đối. Thật vậy,
nếu x(n) khả tổng tuyệt đối, nghĩa là:


24

∞

∑ x ( n) < ∞

n =−∞

thì:
∞

∑ x ( n )e

X (ω ) =

− jωn


2



có thể

được khôi phục từ x(n).
Nếu

xa (t )

là tín hiệu không tuần hoàn với năng lượng hữu hạn thì phổ

của nó có thể được xác định bởi quan hệ của biến đổi Fourier:
∞

X a ( F ) = ∫ xa (t )e − j 2πFt dt
−∞

Ngược lại, tín hiệu

xa (t )

có thể được khôi phục từ phổ của nó qua biến

đổi Fourier ngược:

xa (t ) =

∞

∫ X a ( F )e