www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử ”
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề:
- Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ thông nói chung và mục tiêu tầm quan
trọng của môn Toán nói riêng.
- Giáo dục phổ thông nhằm giáo dục học sinh phát triển toàn diện, không
những nâng cao hiểu biết về kiến thức văn hoá mà phát huy năng khiếu khác.
- Xuất phát từ yêu cầu của việc đổi mới phương pháp là phát huy tính tích cực
chủ động sáng tạo của học sinh. Có như vậy các em mới có điều kiện khắc phục khó
khăn tiếp nhận kiến thức mới.
- Xuất phát từ tâm lý lứa tuổi học sinh là lứa tuổi nhạy cảm hiếu động ham
chơi. Nếu giáo viên gây được hứng thú trong bài dạy sẽ tạo cho học sinh sự phấn chấn,
hào hứng để tiêp thu bài học một cách có hiệu quả.
- Từ thực tiễn giảng dạy cũng như thực tiễn của học sinh nông thôn ít có điều
kiện để tiếp nhận tri thức. Nếu giáo viên tạo được hưng thú trong giảng dạy và học tập
sẽ giúp cho học sinh say mê học tập.
Từ những lý do nói trên, bản thân tôi nhận thấy việc gây hứng thú cho học sinh
trong học tập môn Toán là một trong những giải pháp hết sức quan trọng trong việc
nâng cao chất lượng trong việc dạy và học. Vì vậy nó là động lực giúp tôi đi sâu
nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm này. Trong quá trình thực hiện tôi đã hiểu được phần
nào khó khăn chung của học sinh nông thôn và những hoàn cảnh mà chúng ta cần
chung tay để khắc phục.
1. Thực trạng vấn đề.
a. Thực trạng chung.
*Ảnh hưởng của sự phát triển xã hội theo cơ chế thị trường :

tâm và không tạo điều kiện cho các em học tập thì việc học tập các em không đến nơi
đến chốn, chất lượng học tập bị ảnh hưởng, các em học tập yếu, thua sút bạn bè.
*Gia đình có hoàn cảnh kinh tế khó khăn:
- Từ những khó khăn về đời sống kinh tế, cha mẹ phải lao động vất vả, không
quan tâm đến việc học tập của con em, phó mặc cho nhà trường, có gia đình buộc con
cái phải lao động, làm cho các em không có thời gian học tập ở nhà như soạn bài, học
bài cũ, do đó khi đến lớp việc tiếp thu bài mới rất khó khăn, không làm được bài kiểm
tra, lo lắng sợ sệt khi thầy cô giáo kiểm tra bài cũ . . .
*Gia đình chỉ lo làm ăn, không quan tâm đến việc học của con cái:
- Nhiều gia đình vì kế sinh nhai, cả vợ chồng đều đi làm ăn xa, phó mặc con cái
cho ông bà hoặc chị em chăm sóc lẫn nhau, một số HS chưa tự giác và thiếu sự quản lí
chặt chẽ của người lớn nên nảy sinh những tư tưởng không lành mạnh.
- Có gia đình tuy không khó khăn về kinh tế nhưng có tham vọng làm giàu, bỏ
mặc con cái, không quan tâm đến việc học tập của con cái kể cả những thói hư tật xấu
của con cái, cha mẹ cũng không biết để răn dạy.
*Gia đình có cha mẹ bất hòa, không có hạnh phúc:
- Lứa tuổi các em rất nhạy cảm, những cuộc cải vả của cha mẹ, sự to tiếng quát
nạt, bạo lực của người cha làm cho các em dần dần bị ảnh hưởng, từ đó nẩy sinh
những việc làm không lành mạnh thích đánh lộn để giải tỏa tâm lý, bị ức chế, bỏ nhà
đi chơi không thíêt tha đến việc học.
b. Thực trạng cụ thể.
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy
khi gặp các dạng bài tập như: rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu,
tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lúng túng. Qua đó tôi
thấy được phần lớn học sinh mắc phải một số sai lầm như sau:
*Sai lầm về nhận dạng đặc trưng và kỹ năng sắp xếp bài toán:
*Ví dụ 1:
- Phân tích đa thức x2 – 4 + y2 + 2xy thành nhân tử
Sai lầm: Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử dầu vì cho rằng có dạng hằng
đẳng thức A2 – B2 và nhóm hai hạng tử cuối vì cho rằng nhân tử chung là y

x 2 − xy − x + y
học sinh rút gọn phân thức: 2
x + xy − x − y

Sai lầm: Nhiều học sinh cho rằng ba hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x
Học sinh đưa ra lời giải như sau:
x 2 − xy − x + y x( x − y − 1) + y
=
(lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn)
x 2 + xy − x − y x( x + y − 1) − y

Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa
được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
- Hay phân tích đa thức x 3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử. nhiều học
sinh hai hạng tử đầu tiên có nhân tử chung là x, hai hạng tử tiếp theo có nhân tử chung
3xy, hai hạng tử cuối y, nên đưa ra lời giải như sau:
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y)
= x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được nữa)
Lời giải đúng:
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
= (x + y)3 – (x + y)
= (x + y)[(x + y)2 – 1]
= (x +y)(x + y + 1)(x +y – 1)
*Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. (BT- 28a)-SBT-tr6)
Lời giải sai: (x + y)2 – (x – y)2
= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng:


TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót
số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x 2y thì hạng tử thứ 3 trong
ngoặc còn lại là số 0)
Lời giải đúng:
15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1
= 3x2y ( 5y - 3x + 1 )
*Ví dụ 5: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y)
(kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện đổi dấu sai
(y – x)2
= - (x – y)2 nên dẫn đến:
9x(x – y) – 10(y – x)2
= 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai
- Ta có: ( x – y )2=(y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2
= 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả
năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, áp dụng phương
pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót
trong lời giải cũng như cách trình bày.
*Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh:


Trang 4


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT
2

= 3x y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
*Ví dụ 8: Hay khi phân tích đa thức x2 – 5x + 6 thành nhân tử. Học sinh thường mắc
sai lầm khi tách (b1x + b2x = bx) và b1x.b2x = acx2. Trong thực hành học sinh thường
giải như sau:
x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x+ 6
= (x2 – 2x) – (3x + 6)
= x(x – 2) – 3(x + 2) không phân tích được nữa
Lời giải đúng:
x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x+ 6
= (x2 – 2x) – (3x – 6)
= x(x – 2) – 3(x – 2 )
= (x -2)(x - 3)
- Hay tìm ĐKXĐ của phương trình:

1
. Học sinh gặp rất nhiều lúng
x − 4x + 3
2

túng và chưa tìm ra cách giải.

=0

x = 0
x
=
0



<=>  x = − 3
<=>  x + 3 = 0

2x + 1= 0
1
x = −

2
1 

Vậy tập nghiệm của phương trình: S= -3; − ; 0 
lời giải sai
2 

Lời giải như mong muốn:
2x3 + 6x = x2 + 3x
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 5



 1 
Vậy tập nghiệm của phương trình: S= -3; ;0 
 2 
2
*Ví dụ 10: Giải phương trình (3x - 1)(x + 2) = (3x - 1)(7x - 10) (bài 25b tr17 SGK)
Sai lầm thứ nhất: Chia hai vế của phương trình cho đa thức 3x -1 dẫn đến phương trình
mất nghiệm và thực hiện như sau:
(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)
<=> x2 + 2 = 7x - 10
<=> x2 - 7x +12 = 0
<=> x2 - 3x - 4x +12 = 0
<=> x(x - 3) - 4(x- 3) = 0
<=> (x - 3)(x - 4) = 0
x −3= 0
x =3
<=> 
<=> 
x −4=0
x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là s= { 3;4} lời giải sai
Sai lầm thứ 2: Chuyển vế đổi dấu cả hai nhân tử
(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)
<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1) - (7x - 10) = 0 bài toán sai
Lời giải đúng:
(3x - 1)(x2 + 2) = (3x - 1)(7x - 10)
<=> (3x - 1)(x2 + 2) - (3x - 1)(7x - 10) = 0
<=> (3x - 1)(x2 - 7x +12) = 0
<=> (3x - 1)(x2 - 3x - 4x +12) = 0
<=> (3x - 1)(x - 3)(x - 4) = 0

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- Chuyển vế các hạng tử thì đổi dấu các hạng tử, chuyển vế tích các nhân tử chỉ
cần đổi dấu một trong các nhân tử.
*Sai lầm về việc phân tích bài toán chưa triệt để:
*Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 9x3 + x2 – 9x
TH1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
TH2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3 (x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng:

x4 – 9x3 + x2 – 9x
= x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2) + (x – 9)]
= x[x2(x – 9) + (x – 9)]
= x(x – 9)(x2+ 1)

Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử
nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ gặp khó khăn
trong quả trình giải. Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)
Bài 52a. phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử.
Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích.
SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó đa thức dễ
dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương tự ta làm như thế
nào?
Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương pháp

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ lại,
trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài
tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng
phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất,
hướng giải nào là tốt nhất.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
Giúp học sinh phân tích tốt một đa thức thành nhân tử, vận dụng giải một số
phương trình và các dạng toán có liên quan. Đồng thời giúp học sinh có cách quan sát
và phân tích bài toán một cách phù hợp nhằm đưa ra cách giải hợp lý.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài.
- Giới hạn nội dung nghiên cứu: “Các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử”
- Đối tượng: là học sinh khối 8
- Giới hạn địa bàn: Trường THCS Mỹ Cát - Phù Mỹ - Bình Định
II. Phương pháp tiến hành.
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
a. Cơ sở lí luận:
- Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là
giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng,
phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ
những yêu cầu đó.
- Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ,
rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan
trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt. Trong chương trình
toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm.
Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy

cho từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các
bài tập tương tự dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.
- Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra
phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học
hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào
việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để
phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận
dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa
thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như:
Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức.
Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi
hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các
kiến thức đó.
- Trong việc dạy và học bộ môn toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư
duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ
với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương
pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú
học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
- Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập phân tích đa thức
thành nhân tử sao cho các em có thể giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử một
cách dễ dàng nhất, cũng như giúp các em hệ thống được các dạng loại bài tập, theo
mức độ khó dần, nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong giải toán ở mỗi đối tượng
học sinh.
b. Cơ sở thực tiễn:
- Qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ giữa các giáo viên trong trường,
đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi. Tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ
năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng
mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các
phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ...vì để giải

(sgk – Toán 8 tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp
khó khăn trong quá trình giải toán( có những bài chưa thể giải được hoặc không có
phương pháp tổng quát để giải). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác
(ngoài sách giáo khoa) như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một
hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng...Đặc biệt là đối với học
sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng
toán khó.
- Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán. Tôi mạnh dạn
lựa chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử”
với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung
và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp mới:
- Tiến hành tổ chức lồng ghép thường xuyên trong mỗi tiết dạy theo các yêu cầu
và mức độ khác nhau.
- Lựa chọn bài tập, phương pháp tổ chức lồng ghép hợp lý, phù hợp với từng
đối tượng học sinh nhằm phát huy tính sáng tạo của học sinh.
- Thông qua các tiết bài tập, giáo viên xây dựng cho học sinh phương pháp
phân tích, suy luận, tìm tòi… từ đó giáo viên có thể giao công việc, bài tập về nhà để
học sinh tìm tòi cách giải quyết nhanh hơn, gọn hơn…
- Qua mỗi tiết ôn tập cần cho thêm các bài tập tổng hợp nhằm củng cố kiến thức
đồng thời móc xích được các đơn vị kiến thức.
- Hướng dẫn học sinh cách tham khảo tài liệu, sách báo, phân biệt được các
dạng toán… có thể gắn vào việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
- Tổ chức lồng ghép trong mỗi tiết dạy chính khoá cũng như tự chọn có liên
quan đến từng dạng loại.
- Đưa chuyyên đề trên thực hiện trong các tiết học tự chọn, trong tiết thao giảng
để đồng nghiệp dự giờ góp ý rút kinh nghiệm.
- Thảm khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

hiện đề tài:
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp khảo sát thực tiễn.
Phương pháp phân tích.
Phương pháp tổng hợp.
Phương pháp khái quát hóa.
Phương pháp quan sát.
Phương pháp kiểm tra.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 11


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu.
Tên đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân
tử”
Nhiệm vụ:
- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử ở
trường THCS Mỹ Cát.
-Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh,
kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh.
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích

1. Thuyết minh tính mới.
Nhằm giúp học sinh học tập tốt tất cả các môn học nói chung và môn Toán nói
riêng chúng ta phải làm tốt công tác giáo dục học sinh. Từ đó áp dụng các giải pháp
dạy học theo hướng tích cực mới đạt hiệu quả tốt. Điều quan trong là sự kết hợp chặt
chẽ giữa công tác giáo dục học sinh cùng với giải pháp mới trong đề tài mới đem lại
hiệu quả trong quá trinh ứng dụng vào giảng dạy.
 Công tác giáo dục học sinh.
* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường:
- Tổ chức cho HS thảo luận nội qui nhà trường và hướng dẫn cho các em thực
hiện nội qui, có chế độ khen chê công bằng, khách quan .
- Trong buổi chào cờ đầu tuần, cần phải đánh giá nhận xét chu đáo, nêu gương
người tốt, việc tốt để các em noi theo, hạn chế những vi phạm nội qui lớp học , trường
học .
* Giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt lớp:
Ngoài việc giáo dục HS thông qua giờ sinh hoạt trường, giờ sinh hoạt lớp
(SHL) cũng rất quan trọng trong vấn đề này. Bởi vì thông qua giờ SHL, GVCN, CB
lớp kịp thời uốn nắn những sai trái khuyết điểm của HS khi bị vi phạm, lấy tình cảm
bạn bè, lấy nghĩa thầy trò làm cho các em thấy được khuyết điểm của mình. Đồng thời
với sự chân thành của GVCN, HS trong lớp, HS khi vi phạm sẽ sớm nhận ra lỗi lầm
của mình mà sửa chữa .
Trong khi giáo dục các em, GVCN không nên nặng về kiểm điểm, phê bình, mà
phải tìm ra và xác định đúng nguyên nhân đã tác động đến các em làm cho các em mắc
sai lầm, vi phạm, vận dụng những điều khoản trong nội qui, trong qui định xếp loại
của TT40 làm cho các em thấy được phạm vi vi phạm ở mức độ nào và nêu ra hướng
cho các em khắc phục. GVCN nêu những việc làm tốt, những cố gắng nổ lực của các
thành viên trong lớp để xây dựng tập thể lớp thành lớp tiên tiến … với thành tích như
vậy thì không được bất cứ thành viên nào trong lớp phá vỡ.
* Kết hợp với Hội PHHS để giáo dục HS:
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng


Mặt khác, thông qua nhóm bạn tốt, GVCN giao cho HS thực hiện một số công
việc, tạo những điều kiện để những HS hoàn thành và động viên khích lệ. Ngoài ra có
thể vận động gia đình của nhóm bạn tốt tham gia vào việc giúp đỡ những HS này bằng
cách tạo cho các em tâm lý xem gia đình của bạn như gia đình mình, tạo điều kiện cho
các em cùng tham gia học tập với con em mình để tách dần ra khỏi nhóm bạn chưa
ngoan. Việc làm này cả là một cố gắng trong đó vai trò của GVCN rất quan trọng và
sự tham gia của Hội PHHS là rất cần thiết.
 Giải pháp mới của đề tài
 Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)
* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các
hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
- Giúp học sinh thấy được các hạng tử có thể lập thành hằng đẳng thức:
Xác định biểu thức A, B
Số lượng biến và bậc của đa thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 14




Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Lập tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến)
+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức.
+ Phương pháp hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào trình độ
nhận thức của học sinh. Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứu tất cả các phương
pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (phương pháp 1,2,3,4)và thêm hai
phương pháp nâng cao (phương pháp 5,6). Các phương pháp còn lại (phương pháp
7,8,9,10) chỉ mang tính chất giới thiệu.
2. Khả năng áp dụng.
a. Thời gian áp dụng.
- Sau khi thực hiện đề tài GV thấy các em làm bài tập toán với một phong cách
nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt là với mỗi
bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau. Từ đó tìm được phương
án tối ưu để giải toán
- Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời giải dễ
dàng hơn và hệ thống được kiến thức, rèn luyện khả năng tư duy toán học linh họat
hơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dạy của giáo viên. Và điều dễ thấy nhất là kết
quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài kiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài
kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng
tạo.
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 15

+ Về kỷ năng: Kỹ năng trực quan, tư duy, phân tích, tổng hợp của học
sinh được nâng cao hơn và hoàn thiện hơn. Đồng thời học sinh vận dụng được các liến
thức vào cuộc sống thực tiễn một cách dễ dàng và hiệu quả.
Chính vì vậy mà sau khi tiến hành vận dụng một số kinh nghiệm dạy học
theo PP mới trong năm học 2011-2012 thu được kết quả như sau:
Năm học

Sĩ số Phạm vi

Giỏi

Khá

Tbình

Yếu

Kém

TB

2008-2009 155
8
45
87
14
1
140
2009-2010 145 Đại số
12

Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 16


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm
phát huy khả năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong
học toán.
*Trong HKI năm học 2011 – 2012, tôi và các đồng nghiệp trong nhóm tôi đã
vận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy
rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất. Số học
sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng
được vào các bài tập tương đối tốt
b. Các Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
 . Lý thuyết
* Định nghĩa: Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa thức đó
thành một tích của những đa thức
 . Các phương pháp cơ bản
*Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a) Phương pháp
- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử
vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D)



www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiện
nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x)
= 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử
Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )
= 2x(y -z ) - 5y(y -z )
= (y- z)(2x - 5y)
Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng tử
(lưu ý tích chất: A = -(-A))
c) Bài tập áp dụng
* Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1.
12x2y - 18y3
2.
5x(x - 1) – 3x(x - 1)
3.
x(x + y) – 2xy(y - x)
4.
x2 + 5x3 + x2y

2. Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số
nguyên n.
*Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a) Phương pháp
- Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về
“dạng tích”
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 18


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN
3

2

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT
2

3

3

4. A + 3A B + 3AB + B = (A + B)
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

= 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3
= (3 - x)3
Ví dụ 2.6: 8x3 + y3 = (2x)3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)
Ví dụ 2.7: 1 - 27x3y6 = 13 – (3xy2)3
= (1 – 3xy2)[12 + 1. 3xy2 + (3xy2)2 ]
= (1 – 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4 )
Khai thác ví dụ:
Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và vận
dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa thức thành nhân
tử. Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà:
- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương (A 2 và
B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc
(– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Ví dụ 2.1;
2.2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai
hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa được về dạng hiệu
hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3). (Ví dụ 2.3)
- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể phân
tích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tử còn lại có thể
phân tích đưa về dạng 3.A 2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) thì áp dụng hằng
đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5). (Ví dụ 2.4; 2.5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc hai biểu
thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưa được về dạng lập
phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7). (Ví dụ 2.6; 2.7)
Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thức
Ví dụ 2.8: Phân tích đa thức - x4y2 - 8x2y - 16 thành nhân tử:
Giải:
- x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16)
=[(x2y)2 + 2.x2y.4 + 42]
= - (x2y + 4)2

x – 64y2
25

c. (a + b)3 – (a - b)3

5. x3 + y3 + z3 – 3xyz
Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có:
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
do đó : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz]
= (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y
+z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy)
*Tính nhanh:
1. a. 252 – 152
b. 372 – 132
c. 20092 - 92
2
2
2
2
2. 87 + 73 – 27 - 13
* Tìm x .biết:
1. 2 – 25x2 = 0
2. x2 – x +

1
=0
4

3. x3 – 0,25x = 0



www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

b. xy - 5y + 2x - 10

= (xy - 5y) + (2x -10)
= y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz) ta có
2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)
Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz) ta có .
2xy + z +2x +yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
*Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 2x + 1 – 4y2
b. x2 + 4x – y2 + 4
Giải:
a. x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
b.Cách 1. Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - 4 ) ta có
x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x) - (y2 - 4 )

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
= (x + y)3 – ( x + y)
= (x + y)[(x + y)2 - 1]
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 21


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau
khi nhóm.
ở ví dụ 3.3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Học sinh có
thể đưa ra lới giải sau.
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y
= (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là:
- Nhóm x 2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng tử ở
ngoặc thứ hai sau khi nhóm)
Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y

9.
3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
10.
2x3 – 3x2 + 2x – 3
* Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức
1. x2 – 2xy – 4z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 45
2. 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48
tại x = 0,5
* Tìm x ; biết
1. x(x - 2) + x - 2 = 0
2. 5x(x - 3) – x + 3 = 0
Trong quá trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta không thể chỉ
vận từng phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài toán để phân tích được cần phải
có sự phối hợp giữa các phương pháp. Vì vậy ngoài 3 phương pháp đã nêu ở trên,
trong chương trình SGK toán 8 còn giới thiệu thêm một phương pháp nữa, đó là: Phân
tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 22


www.huongdanvn.com
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT

*Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a) Phương pháp
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách

2
2
2
=3xy (x − 2x + 1) − (y + 2ay + a )  (Nhóm các hạng tử)
2
2
=3xy ( x − 1) − ( y + a ) 

( Dùng hằng đẳng thức)

=3xy ( x − 1) − ( y + a )  ( x − 1) + ( y + a )  (Dùng hằng đẳng thức)
=3xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Ví dụ 4.6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1);
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách
giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
Giáo viên: Phạm Đình Trưởng

Trang 23



8. 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2
* Tìm x .biết :
1. 5x(x - 1) = x – 1
2. 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
3. x3-

1
x=0
4

4. (2x2 - 1) – (x + 3)2 = 0
5. x2(x - 3) + 12 – 4x = 0
* Tính nhanh :
1. x2 +

1
1
x+
2
16

tại x = 49,75

2. x2 – y2 – 2y – 1
tại x = 93 và y = 6
* Chứng minh :
1) (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
2) n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
 Khai thác ví dụ 4.6: Từ ví dụ 4.6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.

b)Ví dụ
Ví dụ 5.1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử.
Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng không có
dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Như
vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác.
Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong
các hạng tử của đa thức thành 2 hay nhiều hạng tử.
Giải:
Cách 1: ( tách hạng tử bậc 2: x2 )
x2 - 6x + 8
= 3x2 - 6x - 2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2: ( tách hạng tử bậc 1: - 6x)
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: ( tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do: )
x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: ( tách hạng tử tự do: )
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
2
x - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Ví dụ 5.2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử bậc hai : 3x2)