Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Phần thứ nhất
I/ Đặt vấn đề
Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ,
rèn luyện năng lực t duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng
quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học đợc tốt.
Trong chơng trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một
vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó đợc sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa
thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các
biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phơng trình và xuyên suốt quá trình
học tập sau này của học sinh.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp. Việc tìm ra ph-
ơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay
tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc
tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phơng pháp để phân
tích giúp cho học sinh phát triển t duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận
dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích
đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan nh :
Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa
thức Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử đòi hỏi học sinh phải t duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các kiến thức đó.
Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong
quá trình giải, cũng nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn
toán và đồng thời phát huy đợc trí tuệ của học sinh. Qua quá trình giảng dạy bộ
môn Toán 8 tôi mạnh dạn đa ra một vài kinh nghiệm và giải pháp thực hiện về việc
Hớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp
các em nắm vững một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài
tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử, thấy đợc đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm

Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)
II. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Kiến thức
cơ bản là :
1. Bình phơng của một tổng : ( A + B )
2
= A
2
+ 2AB +B
2
2. Bình phơng của một hiệu: ( A - B )
2
= A
2
- 2AB +B
2
3. Hiệu hai bình phơng: A
2
- B
2
=( A + B ).( A - B )
4. Lập phơng của một tổng: ( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B +3AB
2

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x
3
y
6
-1 =(2xy
2
)
3
- 1
3
Giải
8x
3
y
6
- 1 =(2xy
2
)
3
- 1
3
= ( 2xy
2
- 1 ).(4x
2
y
4
+ 2xy
2
+ 1)

2
+8xy - 3x - 6y
Giải
4x
2
+8xy - 3x - 6y = (4x
2

+ 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
- y
2
+ 2xz + z
2
Giải
x
2
- y
2
+ 2xz + z
2
=( x
2
+ 2xz + z
2
) - y
2
=(x+z)
2

y- 3xy
3
- 6axy
2
- 3a
2
xy +3xy

Giải
3x
3
y - 6x
2
y-3xy
3
- 6axy
2
-3a
2
xy +3xy
= 3xy(x
2
-2x-y
2
-2ay-a
2
+1)
= 3xy[(x
2
-2x+1)-(y

Cách 2 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x +9-1 = (x-3)
2
-1
2
=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
Cách 3 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-
4)
Cách 4 : x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x +4-2x+4=(x-2)
2
- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách
thông dụng là :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai
bình phơng
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :


= a.c.
Trong thực hành ta làm nh sau :
- Tìm tích a.c
- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x
2
+6x-8 thành nhân tử
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
4
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị
tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
9x
2
+6x-8 =9x
2
-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x
2
x -6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt

Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng
tử 4x
2

x
4
+ 4 = (x
4
+ 4 + 4x
2
) 4x
2
= (x
2
+2)
2
(2x)
2
= (x
2
+ 2x +2)( x
2
- 2x +2)
Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a
2
+ b
4
thành nhân tử
Ta thấy 64a
4

2
- 16a
2
b
2
= (8a
2
+ b
2
)
2
- (4ab)
2
= (8a
2
+ b
2
-4ab)( 8a
2
+ b
2
+4ab)
III . Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x
2
+x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12 thành nhân tử

+ x+6)( x
2
+2x-x -2)
=(x
2
+ x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
=(x
2
+ x+6)(x+2)(x-1)
*Chú ý : x
2
+ x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6
= 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
Giải Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
Ta có : (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y
2
+ y - 6 = y
2
+ 3y - 2y - 6

2;

4). Kiểm tra thấy 1 là
nghiện của đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x 1. Do đó ta tách các hạng tử
của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
6
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Cách 1: x
3
+ 3x
2
-4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
-4 = x
2
(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x
2
+4x+4)
= (x-1)(x+2)
2
Cách 2: x
3
+ 3x
2

đa thức không có nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng
q
p
với p
là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.
Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :
-1 ; -
2
1
; - 3 ; -
2
3
Kiểm tra thấy x=
2
1
là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử
x-
2
1
hay 2x-1
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1
Ta có: 2x
3
- 5x
2
+ 8x-3 =2x
3
- x
2

2
+8x-3 = acx
3
+(ad+bc)x
2
+(am+bd)x+bm
Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
7
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc
a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
=> b có thể là

1 hoặc

3
Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
Vậy 2x
3
-5x
2
+8x-3 = (2x-1)(x
2
-2x+3).
VI . Phơng pháp xét giá trị riêng
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử

3
=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c nh nhau trong đa
thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức
chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng
số k
(a+b+c)
3
-a
3
-b
3
-c
3
= k(a+b)(b+c)(c+a)
Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
(0+1+2)
3
-0 -1
3
-2
3
= k(0+1)(1+2)(2+0)
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
8
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
18 = 6 k => k=3
Vậy : (a+b+c)
3

5
- 5x
3
+ 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên x.
Giải : Ta có M = x
5
-5x
3
+ 4x
= x(x
4
-5x
2
+4)=x( x
4
- x
2
-4x
2
+4)
=x[ x
2
(x
2
-1)-4(x
2
-1)]= x(x
2
-1) (x
2


(x-1)
Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử
(sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) để biến đa thức chia thành tích sau
đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh.
Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách
chứng minh. ở ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số d
bằng 0 có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d 0 ). Hoặc chứng minh nghiệm của
đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia. Nhng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu
hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên (áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử)
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
9
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích đó
đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn.
II. Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc không âm
Bài toán này kích thích t duy của học sinh phải đi tìm đờng lối giải và khi
giải phải nắm đợc kiến thức:
- Biểu thức luôn dơng (lớn hơn 0) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu
- Biểu thức không âm (lớn hơn 0) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn
của biểu thức khác.
- Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn
dơng hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc
nhân dấu trong dấu nguyên.
Ví dụ 1 : Cho biểu thức P = 4x
2
- 12x + 9 . Chứng minh rằng P không âm với mọi x
Giải : Ta có P = 4x
2

234
34
++++
+
xxxx
xxx
=
223
)1()1(
234
3
++++

xxxx
xxx
=
223
)1)(1(
234
3
++++

xxxx
xx
=
)1)(2(
)1()1(
22
22
+++

>0

x
Mặt khác (x-1)
2



x và x
2
+2 > 0

x
Vậy M

0

x . Hay M không âm

x.
Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút
gọn biểu thức. Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát triển
cùng với những kỹ năng giải toán khác
III. Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức.
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân
tử. Đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành
nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung. ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
10

)1(7)1(
)1(5
+++

xxx
x
=
7
5
+x
( với x

-1; x

-7)
b/ Tính giá trị của P với x=2001
Giải P =
7
5
+x
=
72001
5
+
=
2008
5
IV. Bài toán chứng minh đẳng thức.
Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế
này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải biến

7
5
+x
=VP
Vậy đẳng thức đợc chứng minh .
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau
1
2


x
x
=
)42)(1(
8
2
3
+
+
xxx
x

Giải Biến đổi VP ta có : VP =
)42)(1(
8
2
3
+
+
xxx

x
=
x
x

+
1
2
VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh.
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là
dạng toán đã cho sẵn kết quả.
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
11
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
V. Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên.
Để giải bài toán này đờng lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần
phân thức ở dạng đơn giản hơn (Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ
còn phân thức đơn giản hơn). Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức
ấy có giá trị nguyên. Muốn đạt đợc giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu
thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là ớc của tử thức. Từ đó ta tìm đợc giá trị
của biến.
Ví dụ : Cho P =
78
55
2
++
+
xx
x

x+7 = 5

x=-2
Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị nguyên.
phần thứ ba
Kết luận
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung chủ yếu trong chơng trình toán 8, muốn
phát huy đợc trí lực của học sinh ta cần sử dụng nhiều phơng pháp khác nhau.
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã vận dụng các phơng pháp trên để phát huy trí tuệ
của học sinh thông qua việc phân tích đa thức thành nhân tử, tôi thấy kết quả học
sinh có tiến bộ rõ rệt, nhiều em đã say mê học toán.
Trên đây là một vài sáng kiến mà tôi đã áp dụng trong năm học này, rất mong sự
đóng góp của các đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.
Tuân Đạo, ngày 18 tháng 05 năm 2010
Ngời thực hiện
Nguyễn Thị Hải Lý
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
12
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tửNguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo Lạc Sơn Hoà
Bình
13
Ph ơng pháp h ớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử