Chương mộ t

ỨNG DỤ NG ĐẠ O HÀ M ĐỂ KHẢ O SÁ T VÀ VỄ ĐÒ THỊ HÀ M SÓ
I.
SỰ BIẾ N THIÊN CỦ A HÀ M SÓ
► Điề u kiệ n đủ để hà m số đơn điệ u:
Giả sử hà m số y=f(x) cố đạ ô hà m trên khôả ng I
▪ Nế u f’(x)>0,Ɐ x ∈ I thì hà m số y=f(x) đồ ng biế n trên khôả ng I
▪ Nế u f’(x)
𝑥−1

4/

Tìm m để hà m số 𝑦 =

2𝑚𝑥 − 𝑚 + 10
nghịch biế n trên từng khôả ng xá c định củ a hà m số .
𝑥+𝑚

Bà i tôá n: định giá trị m để hà m số bạ c 3 đồ ng biế n hay nghịch biế n trên ℝ:
𝑎𝑦′ > 0
+ Hà m số đồ ng biế n trên ℝ ⇔ y’ > 0,Ɐxℝ ⇔{
∆𝑦′ ≤ 0
𝑎𝑦′ < 0
+ Hà m số nghịch biế n trên ℝ ⇔ y’ > 0,Ɐxℝ ⇔{
∆𝑦′ ≤ 0
Bà i tạ p:
1/ Định m để hà m số 𝑦 = 2𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + 6𝑥 + 2 đồ ng biế n trên ℝ
2/ Định m để hà m số 𝑦 =

1 3
𝑥 − 𝑚𝑥 2 + (3𝑚 − 2)𝑥 + 2 đồ ng biế n trên ℝ
3


1
3/ Định m để hà m số 𝑦 = − 𝑥 3 + (𝑚 + 1)𝑥 2 − (4𝑚 + 1)𝑥 + 2 nghịch biế n biế n trên ℝ
3
4/ Định m để hà m số 𝑦 = −

Bà i tạ p: Tìm cực trị củ a cá c hà m số sau đây:
1/ 𝑦 = 2𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 + 3
2/ 𝑦 =

1 3
𝑥 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2
3

Cá c bước tìm cực trị củ a hà m số :
+ Tìm đạ ô hà m cá p I 𝑓 ′ (𝑥).
+ Giả i phương trình 𝑓 ′ (𝑥) = 0 tìm
nghiệ m 𝑥0 .
+Tìm đạ ô hà m cá p II 𝑓"(𝑥).
+Tính giá trị củ a𝑓"(𝑥) tạ i 𝑥0 vừa tìm.
+ Kế t luạ n.

1 3
𝑥 + 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1
3
1
4/ 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1
4
3/ 𝑦 =

𝑥 2 − 2𝑥 + 5
𝑥−1
9
6/ 𝑦 = 𝑥 − 3 +
𝑥−2
5/ 𝑦 =

2
4.
Cho hà m số 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑚𝑥 2 + 2(3𝑚2 − 1)𝑥 + (1), với m là tham số . Tìm m để đồ thị hà m
3
3
số (1) cố hai điể m cực trị 𝑥1 , 𝑥2 thổ a 𝑥1 . 𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2 ) = 1.
5.
Chô hà m số 𝑦 = 𝑥 3 + 2(𝑚 − 1)𝑥 2 + (𝑚2 − 4𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 . Tìm m để hà m số cố hai điể m
3.

cực đạ i, cực tiể u cố hôà nh độ thổ a 1 + 1 = 𝑥1 + 𝑥2 .
𝑥1 𝑥2
2


1 3
𝑥 − (𝑚 − 2)𝑥 2 + (4 − 𝑚)𝑥 + 4 . Định m để hà m số cố cực đạ i cực tiể u cố
3
hôà nh độ thổ a 𝑥1 = 5𝑥2 .
6.

Chô hà m số 𝑦 =

1 3
𝑥 + (𝑚 − 2)𝑥 2 + (𝑚2 − 5𝑚 + 5)𝑥 + 6 . Định m để hà m số cố cực đạ i cực
3
tiể u cố hôà nh độ thổ a 𝑥1 = 𝑥2 + 2.
7.

III.

𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 9𝑥 trên [−2; 2]
𝑦 = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 2𝑥 + 1 trên [−2; 3]
𝑦 = −𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 2 trên [2; 4]
2𝑥 + 1
𝑦=
trên [0; 4]
𝑥+2
𝑥−1
𝑦=
trên [−1; 2]
𝑥+3
9
𝑦 =𝑥+3+
trên [3; 6]
𝑥−2
𝑥 2 − 3𝑥 + 6
𝑦=
trên [2; 3]
𝑥−1
2𝑥 2 + 5𝑥 + 4
𝑦=
trên [0; 1]
𝑥+2
𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 trên [0; 2]

VD: Tìm GTLN, GTNN củ a hà m số
𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 12𝑥 + 5 trên [0; 3]
GIẢ I: TXĐ: D=ℝ
Xế t hà m số trên[0;3]
𝑦′ = 6𝑥 2 − 6𝑥 − 12

4
𝑦 =𝑥+2+
𝑥−1
2
𝑥 − 4𝑥 + 5
𝑦=
𝑥−2

21.

𝑦 = 𝑥 + √4 − 𝑥 2

22.

𝑦 = (3 − 𝑥). √𝑥 2 + 1 trên [0; 2]


IV.

ĐƯỜNG TIỆ M CẠ N VÀ TIẾ P TUYẾ N VỚI ĐÒ THỊ HÀ M SÓ

A. TIỆ M CÂN
► Tiệ m cạ n đứng:

y

Nế u 1 trông 4 điề u kiệ n sau thổ a mã n:
lim+ 𝑓(𝑥) = ±∞; lim− 𝑓(𝑥) = ±∞
𝑥→𝑥0


lim 𝑦 = lim
=1
𝑥→−∞
𝑥→−∞ 𝑥 − 1
⇒y=1 là tiệ m cạ n ngang
Bà i tạ p:

y=1

1
O

1

x

x=1

B. TIẾ P TUYẾ N
 Tiế p tuyế n với đồ thị hà m số (C): y=f(x) tạ i
 Viế t PT tiế p tuyế n củ a (C): y=f(x), biế t tiế p
tuyế n đi qua điể m A(xA;yA).
điể m M(x0;y0)(C) cố dạ ng:
′ (𝒙 ). (𝒙
+ Gộ i ∆ là tiế p tuyế n (hay đường thả ng) qua A
𝒚=𝒚 𝟎
− 𝒙 𝟎 ) + 𝒚𝟎
và cố hệ số gố c k ⇒ ∆: y=k.(xxA)+yA (*)
 Chú ý :
1/ Hệ số gố c củ a tiế p tuyế n củ a (C) tạ i M(x0;y0): + ∆ là tiế p tuyế n củ a (C) nế u hệ phương trình

1. Tạ i điể m M(0;2) thuộ c hà m số
2. Biế t tiế p tuyế n cố hệ số gố c k=3
4. Tiế p tuyế n vuông gố c với ∆: 4x+3y-12=0
Bà i tạ p 2:
3𝑥 − 1
(𝐶). Viế t PTTT với hà m số (C):
Chô hà m số 𝑦 =
𝑥−1
1. Tạ i điể m cố hôà nh độ x0=2
3. Tiế p tuyế n sông sông với đường thả ng 2x+y2015=0
̉
2. Tạ i điêm cố tung độ y0=1
4. Tạ i giaô điề m củ a đồ thị hà m số (C) với Oy
Bà i tạ p 3: Viế t PTTT với đồ thị hà m số (C)
𝑥+2
1. 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 qua A(1; 0)
4. 𝑦 =
qua D(−6; 5)
𝑥−2
𝑥+2
2. 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 − 6 qua B(2; 0)
5. 𝑦 =
qua Ê(3; 4)
2−𝑥
1
3
3
3. 𝑦 = −𝑥 3 + 9𝑥 qua C(3; 0)
6. 𝑦 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + qua F(0; )
2

y
0
4
2
0
4
► Bả ng biế n thiên
► Kế t luạ n:
+ Chiề u biế n thiên: đồ ng biế n và nghịch biế n
+ Cực trị: cực đạ i và cực tiể u
+Giới hạ n đạ c biệ t
► Chô điể m (5 điể m) và vễ đồ thị
Chú ý : Chiề u củ a bả ng biế n thiên tương thích
với hình dạ ng củ a đồ thị hà m số .
2. Biệ n luạ n
U(0;2)
***Biệ n luạ n nghiệ m củ a PT bà ng đồ thị
+ Chuyể n phương trình đã chô về dạ ng
f(x)=m hôạ c f(x)=g(m) (*)
+ PT (*) là PT hôà nh độ giaô điể m củ a 2
đường: (C): y=f(x) và d: y=m (hay y=g(m)).
+ Số nghiệ m củ a PT là số giaô điể m củ a đồ thị
hà m số (C) và đường thả ng d.
3. Ví dụ minh hộ a
Chô hà m số y=x3⎼3x+2 (C).
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m
củ a phương trình: x3⎼3x+2⎼m=0
GIẢ I:
Ta cố : x3⎼3x+2⎼m=0 (1)⇔ x3⎼3x+2=m (2)

0
Bà i tạ p 1: Cho hà m số : y= x3⎼3x⎼2 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x3⎼3x⎼2⎼m=0.
Bà i tạ p 2: Chô hà m số : y= ⎼x3+3x⎼2 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x3⎼3x⎼1+m=0.
Bà i tạ p 3: Chô hà m số : y=x4⎼2x2⎼3 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Dựa và ô đồ thị (C), biệ n luạ n số nghiệ m củ a phương trình: x4⎼2x2⎼1+2m=0.


Bà i tạ p 4: Chô hà m số : y= ⎼x4+2x2⎼1 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
𝑚
2/. Tìm m để phương trình: x4⎼2x2+
=0 cố 4 nghiệ m thực phân biệ t.
2
Bà i tạ p 5: Chô hà m số : y= ⎼x4+2x2+2 (C)
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị (C) củ a hà m số .
2/. Chứng minh rà ng với mộ i giá trị m
2
3
+ Chiề u biế n thiên: đồ ng biế n hôạ c nghịch
1
5
́
biên
y
⎼2
||
4
−
2
2
+ Cực trị: Hà m số không cố cực trị
+Tiệ m cạ n: ngang và đứng
► Chô điể m (4 điể m) và vễ đồ thị
2. Ví dụ minh hộ a
𝑥+2
Chô hà m số 𝑦 =
(C). Khả ô sá t và vễ đồ
𝑥−1
thị hà m số (C).
GIẢ I:
TXĐ: D=ℝ\{1}
−3
𝑦′ =
< 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷
(𝑥 − 1)2
x ⎼∞

2/. Viế t PT tiế p tuyế n củ a đồ thị (C) tạ i điể m cố
hôà nh độ x=⎼1.

Bà i tạ p 3: (TN2009) Chô hà m số 𝑦 =

3𝑥 + 1
(C)
𝑥+2

1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị hà m số (C).
2/. Viế t PT tiế p tuyế n củ a đồ thị (C), biế t tiế p
tuyế n cố hệ số gố c bà ng ⎼5.
2𝑥 + 1
Bà i tạ p 4: (TN2014) Chô hà m số 𝑦 =
(C)
𝑥−2
1/. Khả ô sá t và vễ đồ thị hà m số (C).
2/. Viế t PT tiế p tuyế n củ a đồ thị (C)tạ i cá c giaô
điể m củ a (C) với đường thả ng y=x⎼3.

Bà i tôá n về TƯƠNG GIAO HÀ M NHÁ T BIẾ N
2𝑥 + 3
Bà i 1: Định m để d: y=x+m cá t (C): 𝑦 =
tạ i hai điể m A, B phân biệ t.
𝑥+2


𝑥+8
tạ i hai điể m A, B phân biệ t.
𝑥−1