DEHOCTOT.COM.VN

MỤC LỤC
Trang
PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH --------------------------------------- 1
A – Phương trình & Bất phương trình cơ bản --------------------------------------------- 1
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 1
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 2
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 12

M
.V
N

B – Đưa về tích số (biến đổi đẳng thức, liên hợp) ----------------------------------------- 23
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 23
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 24
Sử biến đổi đẳng thức ------------------------------------------------------------- 24
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 31
Tổng hai số không âm ------------------------------------------------------------- 33

O

Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 34
Nhân liên hợp ---------------------------------------------------------------------- 35

C

Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 47
Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn -------------------------------------------------- 56


II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 106
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 114
F – Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ------------------------------------------------------ 118
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 118
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 119
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 127
G – Bài toán chứa tham số -------------------------------------------------------------------- 131
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 131


II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 133
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 142
PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ----------------------------------------------------------------------- 149
A – Hệ phương trình cơ bản ------------------------------------------------------------------ 149
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 149
II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 151
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 166
B – Biến đổi 1 phương trình thành tích số và kết hợp phương trình còn lại ----------- 176

M
.V
N

I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 176
II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 176
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 181
C – Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản ------------------------------------------------------------- 185

Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 185


D

EH

Tài liệu tham khảo ----------------------------------------------------------------------------- 248


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn

PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản

B ≥ 0
A = B ⇔ 
.
A = B2


B ≥ 0
A = B ⇔ 
.
A = B


A ≥ 0


C

Lưu ý

Bước 1.

Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa.

Bước 2.

Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm.

Bước 3.

Bình phương cả hai vế để khử căn thức.

TO

2/

T.

Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực
hiện theo các bước:

Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

EH

O


 A < −B


A>B


Lưu ý
Đối với những phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng chuẩn
như trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải.
3/

Một số phương trình – Bất phương trình cơ bản thường gặp khác

www.mathvn.com

Page - 1 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số
3

● Thay
Dạng 2.

3

(1)

 f (x ) + h (x ) = g (x ) + k (x )
f (x) + g (x) = h (x ) + k (x ) với 
.
 f (x ).h (x ) = g (x ).k (x )

● Biến đổi về dạng:

f (x) − h (x ) = g (x ) − k (x ) .

● Bình phương, giải phương trình hệ quả.
Lưu ý

M
.V
N

Dạng 1.

www.MATHVN.com

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Giải phương trình:

−x 2 + 4x − 3 = 2x − 5

(∗)

C

Thí dụ 1.

5x − 24x + 28 = 0

 x = 14

5

O
C

2x − 5 ≥ 0
(∗) ⇔  2
2
−x + 4x − 3 = (2x − 5)

Vậy nghiệm của phương trình là x =

Giải phương trình:

EH

Thí dụ 2.

14
.
5

7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2

(∗)


⇔  x = −1
⇔ x = −1 .

 3

x
2
2
 2
x + x − 16x − 16 = 0
 x = ±4


x (x + 5) = (x + 2)

Vậy nghiệm của phương trình là x = − 1 .

www.mathvn.com

Page - 2 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com
Thí dụ 3.

Giải phương trình:

3x − 2 − x + 7 = 1

⇔
⇔ 
⇔ x = 9.
2
x + 7 = x − 10x + 25
x = 9 ∨ x = 2


● Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 9 .
Thí dụ 4.

Giải phương trình:

x+8− x = x+3

(∗)

Trích đề thi Cao đẳng Hóa chất năm 2004

O

Bài giải tham khảo

(∗) ⇔

C

● Điều kiện: x ≥ 0 .

x + 8 = x + 3 + x ⇔ x + 8 = 2x + 3 + 2 x (x + 3)

O
C

Thí dụ 5.

(

)

2 x2 − 1 ≤ x + 1

(∗)

Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2004
Bài giải tham khảo

D

EH

 2
x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
2 x − 1 ≥ 0

x = −1 ∨ x ≥ 1


⇔ x ≥ −1
⇔ 
⇔

Giải bất phương trình:

x 2 − 4x > x − 3

(∗)

Trích đề thi Cao đẳng bán công Hoa Sen khối D năm 2006 (Đại học Hoa Sen)
Bài giải tham khảo
x ≤ 0
x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 x ≥ 3
x 2 − 4x ≥ 0 x − 3 ≥ 0



.
∨
⇔
(∗) ⇔ x − 3 < 0 ∨  2
2 ⇔ 
9
x > 9

x − 4x > (x − 3)
x < 3
x >

2
2



M
.V
N

(∗) ⇔

3 − 2x ≥ 0
x 2 − 4x + 5 ≥ 0


x − 4x + 5 ≥ 3 − 2x ⇔ 
∨  2
2
3 − 2x < 0
x − 4x + 5 ≥ (3 − 2x )


2

●

Giải bất phương trình:

x 2 − 4x + 3 < x + 1

(∗)

C

Thí dụ 8.

2
3
3x − 8x + 4 ≤ 0

 ≤ x ≤ 2
2

 3

Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006

T.

Bài giải tham khảo

TO



 2
x ≤ 1 ∨ x ≥ −3
x − 4x + 3 ≥ 0

⇔ x > −1
⇔
(∗) ⇔ x + 1 > 0

 2
2
1

x + 11 ≥ x − 4 + 2x − 1

(∗)

EH

Trích đề thi Cao đẳng Điều dưỡng chính qui (Đại học điều dưỡng) năm 2004
Bài giải tham khảo

D

x + 11 ≥ 0
x ≥ −11


● Điều kiện: x − 4 ≥ 0 ⇔ 
x ≥ 4 ⇔ x ≥ 4 .


2x − 1 ≥ 0
x ≥ 0, 5



(∗) ⇔ x + 11 ≥ 3x − 5 + 2 (x − 4)(2x − 1) ⇔ (x − 4)(2x − 1) ≤ 8 − x
x ≤ 8
x − 8 ≥ 0


⇔


Điều kiện: x ≥

(∗) ⇔

3
.
2

x + 2 ≥ 2x − 3 + x − 1 ⇔ x + 2 ≥ 3x − 4 + 2

(x − 1)(2x − 3)

M
.V
N


x ≥ 3
 3

2
 ≤ x ≤ 3
2
⇔ 2x − 5x + 3 ≤ 3 − x ⇔ 3 − x ≥ 0
⇔ 2

 2
x + x−6
2x 2 − 5x + 3 = (3 − x )2

(∗)

Trích đề thi Đại học An Ninh Hà Nội khối D năm 1999

5x + 1 ≥ 0

1
Điều kiện: 
4x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ .

4
x ≥ 0


O
C

●

TO

Bài giải tham khảo

(∗) ⇔

5x + 1 ≤ 4x − 1 + 3 x ⇔ 5x + 1 ≤ 9x + 4x − 1 + 6 4x 2 − x

D

EH


●

x + 2 ≥ 0

Điều kiện: 
3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3 .

5 − 2x ≥ 0


www.mathvn.com

Page - 5 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số

(∗) ⇔

www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn

x + 2 < 5 − 2x + 3 − x ⇔ x + 2 < 8 − 3x + 2 (5 − 2x)(3 − x )

2x − 3 < 0


2
∨x≥3
−

 x = −3 ∨ x = 4

 x = −3
⇔ −3 < x < 4
⇔ 
.
x ≥ −2
−2 ≤ x ≤ 4

Lưu ý: Thông thường thì ta quên đi trường hợp
của học sinh.

EH

Thí dụ 14. Giải phương trình:

12 + x − x2 = 0, và đây là sai lầm thường gặp

x (x − 1) + x (x + 2) = 2 x2

(∗)

Đại học sư phạm Hà Nội khối D năm 2000 – Cao đẳng sư phạm Hà Nội năm 2005
Bài giải tham khảo

●

Với x = 0 thì (∗) ⇔ 0 = 0 ⇒ x = 0 là một nghiệm của (∗)



x = 0

x ≥ 1 .


x − 1 + x + 2 = 2 x2 ⇔

x −1 + x + 2 = 2 x

(x − 1)(x + 2) = 4x ⇔ (x − 1)(x + 2) = x − 21
Page - 6 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com



1
1
x ≥
x ≥
2
2 ⇔x=9
⇔ 
⇔ 
 2


M
.V
N

Đại học Dược Hà Nội năm 2000

●



x 2 − 8x + 15 ≥ 0
x≥5 ∨ x≤3

 2

Điều kiện: x + 2x − 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 ∨ x ≤ −5 ⇔
 2

3
4x − 18x + 18 ≥ 0


x ≥ 3 ∨ x ≤
2


●

Với x = 3 thì (∗) được thỏa ⇒ x = 3 là một nghiệm của bất phương trình



(2)

Với x ≥ 5 ⇒ x − 3 ≥ 2 > 0 hay x − 3 > 0 thì

TO

●

C

(∗) ⇔ (x − 5)(x − 3) + (x + 5)(x − 3) ≤ (x − 3)(4x − 6)

(1)

Với x ≤ −5 ⇔ −x ≥ 5 ⇔ 3 − x ≥ 8 > 0 hay 3 − x > 0 thì

(2) ⇔ (5 − x)(3 − x) + (−x − 5)(3 − x) ≤ (3 − x)(6 − 4x)

EH

⇔ 5 − x + −x − 5 ≤ 6 − 4x ⇔ −2x + 2 (5 − x )(−x − 5) ≤ 6 − 4x

D

⇔ x2 − 25 ≤ 3 − x ⇔ x2 − 25 ≤ x2 − 6x + 9 ⇔ x ≤

⇒ x ≤ −5

●

●

0

−∞

x

x2 − x

+

2x − 4

−

1

0

+

0

−

+∞

2



2
(∗) ⇔ − x2 − x − (2x − 4) = 3 ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ 
−
1
+
5
x =

2
● Trường hợp 3. x ∈ (2; +∞)

)

O

(

T.

)

TO

●

C


 x = −1 − 29

−1 + 5
−1 + 29
∨ x=
.
2
2

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

Thí dụ 17. Giải phương trình:

.

M
.V
N

(

●

Ths. Lê Văn Đoàn

www.MATHVN.com

x+3
2

(∗)


)

(

)

x − 1 − 2. x − 1 + 1 =
2

)

x −1 −1

x −1 −1 =

=

x+3
2

x+3
2

x+3
2

(1)

x+3
⇔ x = 1.

www.mathvn.com

Page - 8 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn

● Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1 ∨ x = 5 .
Lưu ý:
Với điều kiện x ≥ 1, có thể bình phương hai vế của (∗) :

(∗) ⇔ 2x + 2 x − 2 =

x2 + 6x + 9
.
4

Xét hai trường hợp: x ∈ 1;2 và x ∈ (2; +∞) ta vẫn có kết quả như trên.

(∗)

x −1 + 2 x − 2 − x −1− 2 x − 2 = 1

M
.V
N

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

9
.
4

TO

●

T.

C

t − 1 = t
1
1
9
⇔ 
⇔ t = ⇔ x −2 = ⇔ x = .
2
2
4
 t − 1 = −t

Dạng tổng quát của bài toán:

x + 2a x − b + a 2 − b + x − 2a x − b + a 2 − b = cx + m , (a > 0) .

O

−
 A ⇔ A < 0
pháp chia khoảng để giải.

Thí dụ 19. Giải phương trình:

x + 2 x −1 − x − 2 x −1 = 2

(∗)

Trích đề thi Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2000
Bài giải tham khảo
● Đặt t = x − 1 ≥ 0 ⇒ t2 = x − 1 ⇒ x = t2 + 1 .

(∗) ⇔

t2 + 1 + 2t − t2 + 1 − 2t = 2 ⇔
Page - 9 -

2

(t + 1)

−

2

(t − 1)

=2


2

14x − 49 + 7

)

(

+

2

14x − 49 − 7

)

⇔ 14x − 49 + 7 + 14x − 49 − 7 = 14
● Điều kiện: 14x − 49 ≥ 0 ⇔ x ≥

= 14

(1)

7
.
2

M
.V


x + 2 x −1 + x −2 x −1 ≥

O
C

Thí dụ 21. Giải bất phương trình:

TO

7 
● Vậy nghiệm của phương trình là x ∈  ;7  .
2 



3
2

(∗)

Học Viện Ngân Hàng năm 1999

Bài giải giải tham khảo

(

2

)


(1) ⇔

x −1 −1 ≥

1
− x −1
2


 x −1 −1 ≥ 1 − x −1

2
⇔
− x − 1 + 1 ≥ 1 − x − 1

2


.

(∀x ≥ 1)

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 1; +∞) .

www.mathvn.com

Page - 10 -

dethithudaihoc.com

= − (2x + 3)

⇔ 4x + 3 + 3 3 2x + 1. 3 2x + 2
Thay

3

(2) ⇔

(

3

)

2x + 1 + 3 2x + 2 = − (2x + 3)

(2)

M
.V
N

(1) ⇔

2x + 1 + 3 2x + 2 = − 3 2x + 3 vào (2) ta được:
3

2x + 1. 3 2x + 2. 3 2x + 3 = −2x − 2
3

phương trình có nghiệm duy nhất x = −1 .

TO

● Thay x = −1 ∨ x = −

3

(∗) ⇔ (

3

3x − 1 + 3 2x − 1

EH

⇔ 5x +

(

3

(∗)

3x − 1 + 3 2x − 1 = 3 5x + 1

O
C

Thí dụ 23. Giải phương trình:

● Thay x =

www.mathvn.com

19
vào (∗), ta được (∗) ⇔
30

Page - 11 -

5
3

30

=

5
3

30

(luôn đúng) ⇒ nhận x =

19
.
30

dethithudaihoc.com


● Điều kiện: 
⇔ x ≥ 0.

x ≥ 0

2x + 1 ≥ 0

(1)

Nhận thấy (1) có (3x + 1) + (2x + 2) = (4x ) + (x + 3) = 5x + 3, nên

(1) ⇔

3x + 1 − 2x + 2 = 4x − x + 3

(3x + 1)(2x + 2) =

4x ( x + 3)

4x ( x + 3)

T.

⇔ 6x 2 + 8x + 2 = 4x 2 + 12x

O

⇔

(3x + 1)(2x + 2) = 4x + x + 3 − 2

x 2 + 2x − 6 = 2 − x .

ĐS: x =

5
.
3

D

EH

Bài tập 1.

3/

x + x2 + x + 2 = 3 .

ĐS: x = 1 .

4/

x + 2 + x 2 + 3x + 1 = 0 .

ĐS: x = −3 .

5/

x 3 − 2x + 5 = 2x − 1 .


9/

x 4 + 5x 3 + 12x 2 + 17x + 7 = 6 (x + 1) .

ĐS: x = 3 − 2 .

10/

3x + 1 + x + 1 = 8 .

ĐS: x = 8 .

11/

7x + 4 − x + 1 = 3 .

ĐS: x = 3 .

12/

5x + 1 + 2x + 3 = 14x + 7 .

ĐS: x = −

13/

3x − 3 − 5 − x = 2x − 4 .

ĐS: x = 2 ∨ x = 4 .


5/

3 − 2x − x = 5 2 + 3x + x − 2 . ĐS: x = −

C

O

x 2 − 1 = x 3 − 5x 2 − 2x + 4 .

TO

T.

ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 .
ĐS: x = 0 ∨ x = ±2 .

)

23
3
∨ x=
.
9
23

Giải các bất phương trình sau:
1/

2x + 3 ≤ 4x2 − 3x − 3 .




5/

x + 9 + 2x + 4 > 5 .

ĐS: x > 0 .

6/

x + 2 − 3 − x < 5 − 2x .

ĐS: x ∈ −2;2) .

7/

7x + 1 − 3x − 8 ≤ 2x + 7 .

ĐS: x ∈ 9; +∞) .

8/

5x + 1 − 4x − 1 ≤ 3 x .

9/

5x + 1 − 4 − x ≤ x + 6 .

EH


Ths. Lê Văn Đoàn

www.mathvn.com

Page - 13 -

1

ĐS: x ∈  ; +∞ .
4


 1 
ĐS: x ∈ − ; 3 .
 5 



dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số
Giải các bất phương trình sau

(
x ∈ (−5 + 2

) (
5; 1) .



 


2  
 2



4/

x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5 .

 1

ĐS: x ∈ − ; +∞ .

 11

5/

4x 2 + 4x − 2x + 1 ≥ 5 .

ĐS: x ∈ (−∞; −2 ∪ 1; +∞) .

2x − 1
x 2 − 3x − 4



x −1

ĐS: x ∈ −∞;−1 − 7  ∪ −3 + 15;1 ∪ 1; −1 + 7 .
 

8/

3
≥ x +2 .
x + 3 −1

ĐS: x ∈ −5; −4) ∪ −2;2 − 3  .


9/

9
≥ x −2 .
x −5 −3

) (

O

T.

C

(


EH

ĐS: x = ± 10 .

D

Bài tập 7.

Bài tập 8.

Giải phương trình:

x 2 − 2x − 8 = 3 (x − 4) .

Đại học Dân Lập Đông Đô khối B năm 2001

ĐS: x = 4 ∨ x = 7 .
Giải phương trình:

x 2 − 6x + 6 = 2x − 1 .

Đại học Xây Dựng năm 2001
ĐS: x = 1 .
Bài tập 9.

Giải phương trình:

1 + 4x − x 2 = x − 1 .

Đại học Dân lập Hồng Bàng năm 1999

.V
N

ĐS: x = 2 .

5x − 1 − 3x − 2 − x − 1 = 0 .

Giải phương trình:

Đại học Kinh tế quốc dân khối A năm 2000
ĐS: x = 2 .
Bài tập 13.

16 − x + 9 − x = 7 .

Giải phương trình:

Đại học Đà Lạt khối A, B năm 1998

Bài tập 14.

O

ĐS: x = 0 ∨ x = 7 .

x+8− x = x+3.

Giải phương trình:

C


11
.
3

EH

ĐS: x = 0 ∨ x =

Học Viện Ngân Hàng khối A năm 1998

Giải phương trình:

2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2x + 2 .

Đại học Bách Khoa Hà Nội khối A – D năm 2001

D

ĐS: x = −1 ∨ x = 1 .

Bài tập 18.

Giải bất phương trình:

x2 + x − 6 ≥ x + 2 .

Cao đẳng khối T – M năm 2004 (Đại học Hùng Vương)
ĐS: x ∈ (−∞; −3 .



Giải bất phương trình:

Đại học Dân lập kĩ thuật công nghệ khối D năm 1999
1
ĐS: x ∈  ;
2


Bài tập 21.


5 .



8x 2 − 6x + 1 − 4x + 1 ≤ 0 .

Giải bất phương trình:

Dự bị Đại học khối D năm 2005

Bài tập 22.

M
.V
N

1


Giải bất phương trình:

TO

Bài tập 24.

T.

1

ĐS: x ∈  ; +∞ .
6


Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 2001 – Cao đẳng sư phạm Cần Thơ khối A năm 2005

Giải bất phương trình:

EH

Bài tập 25.

O
C

 4 
ĐS: x ∈ (−∞; −5 ∪ − ; 4 .
 3 



ĐS: x ∈ −2; −1 ∨ x = 3 .

Bài tập 27.

(

Giải bất phương trình: x 2 − 3x

)

2x2 − 3x − 2 ≥ 0 .

Đại học D – 2002

www.mathvn.com

Page - 16 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn


1
ĐS: x ∈ −∞; −  ∨ x = 2 ∨ x ≥ 3 .

2 


Đề thi thử Đại học lần 7 – THPT Chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm 2012

Bài tập 30.

Giải bất phương trình:

51 − 2x − x 2
< 1.
1− x

O

 1 5
ĐS: x = 3 ∨ x ∈  ;  .
 3 2 


C

Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 1997

) (

)

Giải bất phương trình:

−3x 2 + x + 4
< 2.


1
.
2x − 1

Đại học Sư Phạm Vinh khối B, E năm 1999


5  3
ĐS: x ∈ −∞; −  ∪ 1;  ∪ (2; +∞) .
2   2 


D

Bài tập 33.

Bài tập 34.

Giải bất phương trình:

x +1 > 3− x + 4 .
Đại học Bách khoa Hà Nội năm 1999

ĐS: x ∈ (0; +∞) .
Giải bất phương trình:

x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x .
Đại học Ngoại Thương khối D năm 2000


Giải bất phương trình:

x+5 − x+4 > x+3 .

M
.V
N

 229 + 26304


ĐS: x ∈ 
; +∞ .

59


Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội năm 1997

−12 + 2 3 
ĐS: x ∈ −3;
.
3



Bài tập 38.

Giải bất phương trình:



TO

ĐS: x ∈ (8; +∞) .

Đại học Hồng Đức khối D năm 2001

ĐS: x ∈ (−∞; −5) \ {4} .
Giải bất phương trình:

EH

Bài tập 41.

x + 1 + x −1 ≤ 4 .
Đại học Dân Lập Bình Dương khối D năm 2001

 5
ĐS: x ∈ 1;  .
 4
 

D

Bài tập 42.

Bài tập 43.

Giải bất phương trình:



Giải bất phương trình:

Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Long Châu Sa – Phú Thọ
 6+2 3
.
ĐS: x ∈  3;

3



Bài tập 45.

Giải bất phương trình:

3 − 2 x 2 + 3x + 2
1 − 2 x2 − x + 1

(x ∈ ℝ ) .

> 1,

M
.V
N

Đề thi Thử Đại học lần 1 năm 2013 khối A, B – THPT Quốc Oai – Hà Nội
 13 − 1



x 2 − 2x + 1 = x 2 − 2x + 1 .

T.

Cao đẳng sư phạm Cà Mau khối B năm 2005

ĐS: x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2 .
Giải phương trình:

x −1 = x −1 .

TO

Bài tập 48.

Cao đẳng sư phạm Cà Mau khối T – M năm 2005

Bài tập 49.

O
C

ĐS: x = 1 ∨ x = 2 .
Giải bất phương trình:

x + 3 − 2− x > 1.
Cao đẳng Tài chính quản trị kinh doanh khối A năm 2006

EH


Đại học Bách Khoa Hà Nội khối D năm 2000
ĐS: x = 1 ∨ x = −5 .
www.mathvn.com

Page - 19 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số
Bài tập 53.

Giải bất phương trình:

www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn

x 2 − 4x + 3 − 2x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1 .

Đại học Kiến Trúc Hà Nội năm 2001

1
ĐS: x ∈ −∞;  ∨ x = 1 .
2 


Bài tập 54.


Bài tập 59.

Giải phương trình:

x + 2 x −1 + 3 x + 8 − 6 x −1 = 1− x.

ĐS: x = 5 .
Giải phương trình:

x + 2 x −1 − x −2 x −1 = 2 .

Đại học Cảnh Sát Nhân Dân II năm 2001

O
C

Bài tập 58.

TO

ĐS: x = 0 ∨ x = 3 .

T.

Bài tập 57.

C

ĐS: x = 3 .


Đại học Phòng Cháy Chữa Cháy năm 2001

3
.
5

Giải phương trình:

x +2 +2 x +1 + x +2−2 x +1 =

x+5
.
2

Đại học Thủy Sản năm 2001
ĐS: x = −1 ∨ x = 3 .
Bài tập 63.

Giải:

www.mathvn.com

2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4 .

Page - 20 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com

ĐS: x = 1 ∨ x =
Bài tập 68.

Giải phương trình:

ĐS: x =
Bài tập 69.

3

.

2

x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 .

3
∨ x = 2.
2
3

2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x − 2 .

O

Giải phương trình:

3

2

TO

Đại học An Ninh khối A năm 2001 – Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1999
ĐS: x = 2 .

Giải phương trình:

3

O
C

Bài tập 70.

x + 5 + 3 x + 6 = 3 2x + 11 .

ĐS: x = −5 ∨ x = −6 ∨ x = −
Bài tập 71.

Giải phương trình:

EH

ĐS: x = −

Bài tập 72.

3

11


ĐS: x = 6 .
Bài tập 74.

Giải phương trình:

x 2 + 2x + x + 2 = x + x 2 + 2x − 2 .

ĐS: Vô nghiệm.
Bài tập 75.

Giải phương trình:

www.mathvn.com

2 (x − 4) − 2x + 3 = x − 6 − x + 5 .

Page - 21 -

dethithudaihoc.com


Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số

www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn

ĐS: Vô nghiệm.
Bài tập 76.

1
=
− x.
x
x

ĐS: x = 1 .
Giải phương trình:

x + x + 9 = x +1 + x + 4 .

O

Bài tập 80.

M
.V
N

Bài tập 78.

C

Đại học Ngoại Thương khối D năm 1997
ĐS: x = 0 .

ĐS: x = 1 ± 3 .

x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 .


.

x−3

Đại học A – 2004

)

ĐS: x ∈ 10 − 34; + ∞ .
Giải phương trình:

EH

Bài tập 83.

4 − 3 10 − 3x = x − 2 .

Học sinh giỏi Quốc Gia năm 2000

D

ĐS: x = 3 .

Bài tập 84.

Giải bất phương trình:

x+


1/

Sử dụng biến đổi cơ bản

M
.V
N

Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương
trình về dạng tích đơn giản hơn và biết cách giải.
Một số biến đổi thường gặp

● f (x ) = ax 2 + bx + c = a (x − x1 )( x − x 2 ) với x1, x2 là hai nghiệm của f (x ) = 0 .
● Chia Hoocner để đưa về dạng tích số ("Đầu rơi, nhân tới, cộng chéo").
● Các hằng đẳng thức thường gặp.

● au + bv = ab + vu ⇔ (u − b)(v − a ) = 0 .
Tổng các số không âm

T.

2/

C

....... .

O

● u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0 .

o

o

 Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp
Biểu thức liên hiệp

Tích

A± B

A∓ B

A−B

D

Biểu thức

4/

3

A+3B

3

A2 − 3 AB + 3 B2

A+B