HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 1/141
CHUYÊN ĐỀ 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài toán tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là thể tích khối chóp và thể tích khối lăng trụ là
một nội dung cơ bản trong chương trình toán lớp 12. Những năm gần đây trong đề thi tốt nghiệp
THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, các bài toán về tính thể tích
khối đa diện xuất hiện thường xuyên. Mặc dù đó là một bài toán cơ bản nhưng nó đã gây khó khăn
cho không ít học sinh. Vì vậy, mà nhiều thí sinh có ý định bỏ câu hỏi này.
Nhằm giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản, các phương pháp tính thể tích khối
đa diện và có kỹ năng giải toán, năm học 2011 – 2012 chúng tôi đã thực hiện chuyên đề “Phương
pháp tính thể tích khối đa diện”.
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và qua nghiên cứu đề thi học sinh giỏi lớp 12 của
các tỉnh những năm học gần đây, chúng tôi thấy các câu hỏi về hình học không gian ngoài yêu cầu
tính thể tích còn có các yêu cầu khác liên quan đến thể tích như tỷ số thể tích, thể tích lớn nhất hay
thể tích nhỏ nhất. Vì vậy, chúng tôi thực hiện chuyên đề “Một số vấn đề về thể tích khối đa diện”
với hy vọng rằng giúp các em học sinh phần nào tháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với bài toán
thể tích khối đa diện trong các kỳ thi đang đến gần.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A. Kiến thức cơ bản của hình học phẳng.
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có đường cao
AH
có độ dài các cạnh ; ;
BC a CA b AB c
. Kí hiệu
, ,
p R r
lần lượt là
nửa chu vi tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác
ABC
;
, ,
a b c
h h h
và
, ,
a b c
m m m
lần lượt là độ dài đường cao và trung tuyến xuất phát từ các đỉnh
, ,
A B C
của tam giác
ABC
.
a) Định lý hàm số cosin:
2 2 2
2 cos
a b c bc A
.
b) Định lý hàm số sin:
; ;
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m
.
Chú ý: Ngoài ra chúng ta cũng cần nắm vững các tính chất của các hình có dạng đặc biệt như
tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi,
hình chữ nhật, hình vuông, hình nửa lục giác đều, Bên cạnh đó, cũng cần phải nắm được công
thức tính diện tích của hình thang, hình bình hành, hình thoi,
B. Kiến thức hình học không gian lớp 11.
I. Quan hệ song song
1. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
1.1. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có
điểm chung.
1.2. Các định lý:
a) Định lý 1: Nếu đường thẳng
d
không nằm trên mặt phẳng
P
và song song với đường thẳng
a
nằm trên mặt phẳng
c) Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng
P
và
Q
cắt nhau theo giao tuyến
d
và hai mặt phẳng đó cùng
song song với đường thẳng
a
thì giao tuyến
d
song song với đường thẳng
a
.
d) Định lý 4: Nếu hai đường thẳng
a
và
b
chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng qua đường
thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Chú ý: Định lý này thường được vận dụng trong trường hợp tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
2. Hai mặt phẳng song song.
2.1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
2.2. Các định lý:
Q
song song với nhau thì mặt phẳng
R
đã cắt
P
thì
phải cắt
Q
và các giao tuyến của chúng phải song song với nhau.
II. Quan hệ vuông góc
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng là một trong các quan hệ quan trọng
nhất của hình học không gian. Sử dụng quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng để
chứng minh quan hệ vuông góc, để xác định và tính khoảng cách, để xác định và tính góc giữa hai
mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1.1. Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 3/141
1.2. Định lí: Nếu đường thẳng
Q
vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
a
nào
nằm trong
P
và vuông góc với giao tuyến của
P
và
Q
thì đường thẳng
a
vuông góc với mặt
phẳng
Q
.
Chú ý: Định lý này ngoài việc vận dụng để chứng minh quan hệ vuông góc, nó còn được sử dụng
trong bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và cách xác
định đường cao trong khối chóp, khối lăng trụ có mặt bên vuông góc với mặt đáy.
2.2. Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
P
. Khi đó góc giữa đường thẳng
a
và
mặt phẳng
P
là góc giữa đường thẳng
a
và đường thẳng
'
a
, trong đó
'
a
là hình chiếu của đường
thẳng
a
trên mặt phẳng
P
.
c) Góc giữa hai mặt phẳng
P
và mặt phẳng
trên mặt phẳng
P
.
Dấu hiệu nhận biết là trên đường thẳng
chứa điểm
M
sao cho
MH P
, với
H P
. Khi đó
đường thẳng đi qua điểm
H
và giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
P
chính là đường
thẳng
.
Cách 1: (Theo định nghĩa)
Bước 1: Xác định đường thẳng
a P
, đường thẳng
b Q
.
Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
.
Góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
bằng góc giữa hai mặt phẳng
P
và
Bước 3: Xác định giao tuyến
a
,
b
của mặt phẳng
R
với hai mặt phẳng
P
và
Q
. Xác định và
tính góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
. Đó cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng
P
và
Q
.
Khi đó
1 2
, , ,
n
HA HA HA
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
1 2
, , ,
n
SA SA SA
trên mặt phẳng
1 2
.
n
S A A A
.
+ Các góc
1 2
, , ,
n
SA H SA H SA H
nhọn nên góc giữa đường thẳng
1 2
, , ,
n
SA SA SA
với mặt phẳng
.
+ Từ
H
kẻ
1 2
, , ,
n
HK HK HK
lần lượt vuông góc với
1 2 2 3 1
, , ,
n
A A A A A A
, trong đó
1 2
, , ,
n
K K K
lần lượt nằm trên các đường thẳng
1 2 2 3 1
, , ,
n
A A A A A A
.
+ Các góc
1 2
.
- Thông thường điểm H có vị trí đặc biệt đối với đa giác
1 2
n
A A A
như trọng tâm, trực tâm, tâm
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hoặc nằm trên một đường thẳng nào đó, Việc lưu ý đến điều này
sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơn trong tính toán.
VẤN ĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
PHƯƠNG PHÁP 1: TÍNH TRỰC TIẾP DỰA VÀO CÔNG THỨC THỂ TÍCH.
A. Nội dung phương pháp.
Để tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ dựa vào công thức tính thể tích, chúng ta có thể tiến
hành theo các bước sau đây:
Bước 1: Xác định đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ.
Bước 2: Tính diện tích đáy và độ dài chiều cao.
Bước 3: Thay dữ kiện vào công thức thể tích để tính thể tích.
Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h
, trong đó
B
là diện tích đáy và
h
là chiều cao của khối chóp.
Thể tích khối lăng trụ:
bên đó.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 6/141
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt
đáy.
Chiều cao của hình chóp chính là đường cao
kẻ từ đỉnh của hình chóp của mặt bên đó.
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy
những góc bằng nhau.
Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm
đường tròn nội tiếp mặt đáy của hình chóp.
Hình lăng trụ đứng.
Chiều cao chính là cạnh bên của hình lăng
trụ.
Chú ý: Đối với khối lăng trụ nói chung, đôi khi có gắn với các yếu tố của khối chóp như có một
đỉnh cách đều các đỉnh của mặt đáy đối diện; cho biết trước hình chiếu vuông góc của một đỉnh
nào đó trên mặt đối diện; Vì vậy, chúng ta cần nắm vững cách xác định chiều cao trong một số
trường hợp đặc biệt nói trên để vận dụng cho cả khối lăng trụ.
B. Các ví dụ minh họa.
1. Các ví dụ về hình chóp.
1.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (hoặc có hai mặt bên kề nhau vuông góc
với mặt đáy)
Ví dụ 1. Cho hình chóp
.
S ABC
có mặt bên
Hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
cùng vuông góc
với mặt phẳng
ABC
và cắt nhau theo giao tuyến
SA
nên
SA ABC
.
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Do tam giác
SBC
đều nên
BC SM
ABC
bằng góc giữa hai
đường thẳng
AM
và
SM
.Tam giác
SAM
vuông tại
A
nên
0
90
SMA
. Theo giả thiết ta có
SMA
.
Tam giác
SBC
đều cạnh
a
nên
3
2
a
V SA S SA AM BC
. HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 7/141
Ví dụ 2. (Đề thi tốt nghiệp THPT 2011)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
với
AD CD a
,
3
AB a
. Cạnh bên
SA
vuông tại
A
nên
0
90
SCA
.
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABCD
bằng góc
SCA
. Do đó
0
SCA 45
.
Tam giác
ADC
vuông cân tại
D
nên
2
3
2
1 1 2
. .2
3 3 3
ABCD
a
V SA S a a .
Ví dụ 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng
ABCD
và
2
SA a
. Gọi
N
là trung điểm của
SC
ON ABCD
.
Tam giác
SAC
vuông tại
A
có
ON
là đường trung
bình nên
1 2
2 2
a
ON SA .
Lại có
BDM BAD BAM
S S S
2
1 1
. .
2 2 3
a
AB AD AB AM
Tứ diện
NBDM
có chiều cao
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
, mặt
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 8/141
phẳng qua
SM
và song song với
BC
cắt
AC
tại
N
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
cùng vuông góc với
ABC
suy ra
SA
vuông góc
ABC
.
AB BC SB BC
. Vậy
SBA
là góc giữa mặt phẳng
SBC
và
ABC
nên
0
60
SBA
. Diện tích tứ giác
BCNM
là
2
3
.
2 2
BCNM
BC MN
a
S MB
.
Thể tích khối chóp
.
S BCNM
là
3
.
1 3
. .
3 2
S BCNM BCNM
a
V S SA .
Nhận xét: Trước hết ta phải xác định được mặt phẳng qua
cũng nhận
SA
là đường cao.
1.2. Hình chóp đều
Ví dụ 5. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
.
a) Tính thể tích khối tứ diện
ABCD
.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
Lời giải
a) Gọi
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Khi
đó
AH BCD
. Ta có
2
. 3
4
Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 9/141
b) Ta có
AH
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
AB
, kẻ
IM
vuông góc với
AB
và
I
nằm trên
AH
thì ta có
IA IB IC ID
. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện
ABCD
nhận
I
là tâm, bán kính
S ABCD
có cạnh đáy bằng
A
. Gọi
SH
là đường cao của
hình chóp. Gọi
I
là trung điểm của
SH
, khoảng cách từ điểm
I
đến mặt phẳng
SBC
bằng
5
a
.
Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
theo
a
Lời giải
Từ
H
kẻ
'
HH SM
,
'
H SM
.
Khi đó
'
HH SBC
.
Từ điểm
I
kẻ // ',
IK HH K SM
thì
IK SBC
'
H H HS HM
2 2 2 2 2 2
1 1 1 25 4 9 2
3
' 4 4
a
SH
HS H H HM a a a
.
Vậy thể tích khối chóp đã cho là
3
2
1 1 2 2
. . .
3 3 3 9
ABCD
a a
V SH S a .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 10/141
Nhận xét: Trong ví dụ trên, điều mấu chốt là phải xác định được khoảng cách từ điểm
I
đến
mặt phẳng
theo
a
và số đo của góc giữa hai mặt phẳng
SAD
và
SCD
.
Lời giải
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
, suy ra
SO ABCD
.
Ta có
.
Theo giả thiết ta có
4
SMO
.
Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
1
. .
3
ABCD
V SO S .
Ta có diện tích hình vuông
ABCD
là
2
ABCD
S a
.
Trong tam giác
SOM
vuông tại
O
. Gọi
I
là hình chiếu vuông góc của
O
trên
SD
. Suy ra
SD ACI
.
Do đó ;
SD AI SD CI
. Khi đó
, ,
SCD SAD IA IC
.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
IAC
, ta được
SBC
bằng
2
a
. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích của khối chóp
.
S ABCD
nhỏ nhất.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 11/141
Lời giải
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
.
Do
.
S ABCD
là hình chóp đều nên
SO ABCD
ABCD
bằng góc
SHO
.
Đặt
, 0
2
SHO x x
.
Kẻ đường cao
OK
của tam giác
SOH
thì
2
;
d A SBC
AC
OC
d O SBC
.
Suy ra
1
; ;
2
d O SBC d A SBC a
.
Tam giác
OKH
vuông tại
K
nên
sin
sin
OK a
OH
x
S ABCD
là
2 3
2 2
1 1 4 4
. . .
3 3 cos
sin 3cos sin
ABCD
a a a
V SO S
x
x x x
.
Ta có thể tích khối chóp
.
S ABCD
nhỏ nhất khi và chỉ khi
2
cos sin
x x
lớn nhất.
Cách 1: (Theo Đại số)
Các số
cos ,sin
x x
dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
3
2 2 2
3
2 . 3
a khi
6
sin
3
x .
Cách 2: (Theo Giải tích)
Ta có
2 3
cos sin cos cos
x x x x
.
Xét hàm số
3
f t t t
trên khoảng
0;1
.
Ta có
2
' 1 3
.
S ABCD
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
3
2 . 3
a khi
3
cos
3
x .
Nhận xét: - Trong ví dụ trên điều mấu chốt là ta phải xác định khoảng cách từ điểm
O
đến mặt
phẳng
SBC
thông qua giả thiết
; 2
d A SBC a
và xác định được góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và mặt phẳng đáy là
0
30
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
theo
a
.
Lời giải
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Tam giác
SAB
là tam
giác đều nên
SH AB
.
Hai mặt phẳng
SAB
và
ABC
cắt nhau theo giao
và mặt
phẳng
ABC
bằng
SCH
.
Theo giả thiết, ta có
0
30
SCH
. Lại có
3
2
a
SH .
Tam giác
SHC
vuông tại
H
nên
0
3
.cot30
2
1 3 . 3
.
3 4
ABC
a
V SH S .
Ví dụ 10. (ĐH KB 2008)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
,
; 3
SA a SB a
và mặt phẳng
SAB
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
AB BC
. Tính
SH AB SA SB
hay
. . 3 3
2 2
SA SB a a a
SH
AB a
.
Do hai mặt phẳng
SAB
và
ABCD
vuông góc
với nhau và cắt nhau theo giao tuyến
AB
nên
SH ABCD
.
Diện tích đáy
ABCD
là
2
V SH S a .
* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SM
và
DN
.
Gọi
,
P Q
lần lượt là trung điểm của
AD
và
AP
. Khi đó
/ /
MQ DN
nên góc giữa hai đường thẳng
DN
và
SM
bằng góc giữa hai đường thẳng
MQ
và
SM
.
Tam giác
SAB
vuông tại
S
.
Do ,
AD AB AD SH
nên
AD SAB
hay
QA SAB QA SA
.
Tam giác
SAQ
vuông tại
A
nên
2
2 2 2
5
4 2
a a
SQ SA AQ a .
Tam giác
SMQ
Ví dụ 11. (Thi thử ĐH lần 1 năm học 2013 – 2014, THPT Gia Viễn B)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tâm
O
;
SAB
là tam giác cân tại
S
.
Mặt bên
SAB
vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng
SBD
tạo với mặt phẳng
ABCD
góc
0
30
.
SAB
vuông góc với
ABCD
,
SH SAB
nên
SH
vuông góc với
ABCD
. Vậy
SH
là đường cao của hình chóp
.
S ABCD
.
Kẻ ;
HK BD K BD
.
Ta có
(do tam giác
SHK
vuông tại
H
nên
0
90
SKH
). Theo giả thiết ta có
0
30
SKH
.
Do
K
là trung điểm của
OB
nên
1 2
2 4
a
HK AO .
Tam giác
SHK
vuông tại
H
SBC
vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Biết
0
2 3; 30
SB a SBC
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
và khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
SAC
theo
a
.
Lời giải
Kẻ ,
SH BC H BC
. Lại do
ABC
là
2
1
. 6
2
ABC
S AB BC a
.
Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
3
.
1
. 2 3
3
S ABC ABC
V SH S a .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 15/141
Kẻ ,
HD AC D AC
. Khi đó do
SH AC
4
BC a
nên
4
BC HC
.
Suy ra
, 4 , 4
d B SAC d H SAC HK
.
Ta có
2 2
5
AC BA BC a
;
HC BC HB a
.
6 7
,
7
a
d B SAC .
Nhận xét: - Bài toán trên có thể coi đó là hình chóp
.
A SBC
, có đường cao là
AB
(vì
AB SBC
). Diện tích tam giác
SBC
được tính theo công thức
1
. sin
2
SBC
S SB BC SBC
.
- Việc tính khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
5 , 6 , 7
CD a DB a BC a
. Tính thể tích khối chóp
.
A BCD
theo
a
.
Lời giải
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt
phẳng
BCD
. Kẻ
,
HM BC M BC
;
,
ABC ACD ADB
với mặt
đáy
BCD
lần lượt là
; ;
AMH ANH AKH
.
Theo giả thiết ta có
0
60
AMH ANH AKH
.
Diện tích tam giác
BCD
là
; 9
2
BCD
CB BD CD
AHM
vuông tại
H
nên ta có
0
5670
.tan 60
9
a
AH HM , với
HM r
.
Suy ra thể tích của khối chóp
.
A BCD
là
3
.
1 70 3
.
3 9
A BCD BCD
a
V AH S .
Ví dụ 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
ABCD
. Nhận thấy các tam
giác vuông , , ,
SHA SHB SHC SHD
đôi một bằng
nhau nên
HA HB HC HD
;
H
thuộc mặt
phẳng
ABCD
nên
H
là tâm đường tròn ngoại
tiếp hình thang
ABCD
. Vây
ABCD
phải là
hình thang cân. Diện tích thang
ABCD
là
2
2
ABCD
S ABCD ABCD
V SH S a .
Chú ý: Bài toán này ta phải biết được cách xác định đường cao của hình chóp nhờ vào dấu hiệu
hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hình chóp có cạnh bên cùng tạo với đáy góc như nhau)
thì hình chiếu của đỉnh hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Vì đáy là hình thang
nên đáy phải là hình thang cân (chỉ có hình thang cân mới có đường tròn ngoại tiếp).
1.5. Một số bài toán về hình chóp khác
Ví dụ 15. (ĐH KD 2010)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA a
; hình chiếu
vuông góc của đỉnh
S
trên mặt phẳng
ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
AC
a a
AH SH SA HA
Mặt khác
3 3 2
4 4
a
HC AC ;
2 2
2
SC SH HC a
.
Suy ra
SC AC
. Vậy tam giác
SAC
cân tại
C
. Suy
ra
M
là trung điểm của
SA
.
Ta có
1
2
SCM SAC
S S
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
D
; 2 ;
AB AD a CD a
, góc
giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh
AD
, biết mặt
phẳng
của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt
phẳng
ABCD
.
Kẻ
;
IK BC K BC SIK BC
.
Tam giác
SIK
vuông tại
I
nên góc
0
90
SKI
.
Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
Do đó
2
3
2
IBC ABCD IAB ICD
a
S S S S .
Ta lại có
2
2 2 2
5 5
CD AD AB CD a CD a
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 18/141
Mà
1
.
2
ICD
S IK CD
nên
2
3 5
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
AB
và
AD
,
H
là giao điểm của
CN
và
DM
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
3
SH a
3
1 5 . 3
.
3 24
CDNM
a
V SH S .
ADM DCN
nên
ADM DCN
.
Do
0
90
ADM MDC
nên
0
90
DCN MDC
;
d DM SC HK
.
Tam giác
NDC
vuông tại
D
có đường cao
DH
nên
2
2 5
5
CD a
HC
CN
.
Tam giác
SHC
vuông tại
H
có đường cao
HK
nên
2 2
. 2 57
19
P
vuông góc với đường thẳng
b
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 19/141
Bước 2: Tìm giao điểm
B
của đường thẳng
b
với mặt phẳng
P
. Từ
B
kẻ
BA
vuông góc với
đường thẳng
a
(điểm
A
thuộc đường thẳng
a
). Khi đó
Bước 2: Tìm trên đường thẳng
b
một điểm
M
sao cho dễ dàng xác định và tính được khoảng cách
từ điểm
M
đến mặt phẳng
P
.
Bước 3: Khi đó ta có
; ; ;
d a b d b P d M P
.
Ví dụ 18. (Thi thử ĐH lần 2 năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B)
Cho hình chóp
.
SAB
bằng
0
30
. Tính theo
a
thể tích khối
chóp
.
S ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SD
.
Lời giải
Ta có
SH
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
Từ giả thiết ta có
BC SAB SB BC
và
BSC
.
Tam giác
SBC
vuông tại
B
nên
0
cot cot 30 3
SB BC BSC a a
.
Tam giác
SHB
vuông tại
H
nên
2 2
2
SH SB HB a
.
Diện tích hình thang
ABCD
là
2
3
ABCD
//
AB SDE
.
Gọi
M
là trung điểm của
DE
thì
;
HM DE DE SHM
.
Trong mặt phẳng
SHM
kẻ ;
HK SM K SM
thì
HK SDE
.
Suy ra
HK
HK HS HM a a a
.
Vậy
2 3
;
3
a
d AB SD .
Ví dụ 19. (Thi thử ĐH năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
S
trên
mặt phẳng
ABCD
trùng trọng tâm
G
của tam giác
ABD
. Đường thẳng
AC
và
DN
. Tam
giác
SGD
vuông tại
G
nên góc
SDG
nhọn. Do
SG
vuông góc với
ABCD
nên góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
ABCD
bằng góc giữa hai đường thẳng
SD
và
DG
và bằng góc
ABCD
S a
. Vậy thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
3
1 15
.
3 9
ABCD
a
V SG S .
Ta có
//
CD AB
nên
//
AB SCD
.
Ta có
SGM
cắt nhau theo giao tuyến
SM
.
Từ
G
kẻ ;
GH SM H SM
thì
GH SCD
. Do đó
;
d G SCD GH
.
Ta có
2
3
a
GM và tam giác
2. Các ví dụ về hình lăng trụ
2.1. Hình lăng trụ đứng
Ví dụ 20. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, biết
; 3
AB a AC a
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
, góc tạo bởi đường thẳng
'
A M
và mặt
phẳng
ABC
bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
mặt phẳng
ABC
bằng góc giữa hai đường thẳng
'
A M
và
AM
và bằng góc
'
A MA
.
Suy ra
'
A MA
.
Diện tích tam giác
ABC
là
2
1 . 3
.
2 2
ABC
a
. ' ' '
ABC A B C
là
3
. 3 tan
'.
2
ABC
a
V AA S
.
Ví dụ 21. Cho hình lăng trụ đều
. ' ' '
ABC A B C
. Mặt phẳng
'
A BC
tạo với mặt phẳng
ABC
một góc
0
30
và tam giác
'
A AM
vuông
tại
A
nên
'
A MA
là góc nhọn.
Góc giữa hai mặt phẳng
'
A BC
và
ABC
bằng
góc giữa hai đường thẳng
'
A M
và
AM
và bằng
góc
'
A MA
. Theo giả thiết, ta có
Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 22/141
Mặt khác ta lại có
2
1 3
.
2 4
ABC
S AM BC BC
nên
3
4 2 3
2
BC
BC a AM a
.
Tam giác
'
A AM
vuông tại
A
nên
0
2 3
' tan ' 2 tan 30
3
a
AA AM A MA a .
'
A BC
và
ABC
bằng
0
60
. Tính theo
a
thể tích khối
lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
AC
và
'
B C
.
Lời giải
Kẻ đường cao
AH
của tam giác
ABC
'
A BC
và
ABC
cắt nhau theo giao
tuyến
BC
. Góc giữa hai mặt phẳng
'
A BC
và
ABC
bằng góc giữa 2 đường thẳng
'
A H
và
AH
và
bằng góc
' .
A HA
Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên
tan 3
AB AC ACB a
.
Diện tích tam giác
ABC
là
2
3
2
ABC
a
S .
Suy ra thể tích khối lăng trụ đã cho là
3
3
' .
4
ABC
a
V A A S .
Dựng hình hộp
. ' ' ' '
ACDB A C D B
BCD
và đường cao
BI
của tam giác
'
B BK
.
Do ; '
BK CD BB CD
nên
'
CD B BK CD BI
. Mà
'
BI B K
nên
'
BI CDB
.
Suy ra
Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 23/141
Tam giác
'
B BK
vuông tại
B
có đường cao
BI
nên
2 2 2 2
1 1 1 25
' 9
BI B B BK a
.
3 3
'; '
5 5
a a
BI d AC B C .
2.2. Hình lăng trụ xiên
Ví dụ 23. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a
ABC
. Tính thể tích khối lăng
trụ
. ' ' '
ABC A B C
theo
a
.
Lời giải
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
. Khi đó theo
giả thiết thì
'
B G ABC
. Tam giác
'
B BG
vuông tại
G
nên
'
B BG
là góc nhọn.
' 60
B BG
.
Tam giác
'
B BG
vuông tại
G
nên
0
3
' 'sin ' sin 60
2
a
B G BB B BG a .
0
'cos ' cos 60
2
a
BG BB B BG a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
thì
9 13
3
16 2 4
a x x
BM CB CM x
Suy ra
3 13
26
a
x . Diện tích tam giác
ABC
là
2
1 9 . 3
.
2 104
ABC
a
S CACB .
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là
tạo với mặt phẳng
ABC
góc
0
30
. Tính thể
tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
theo
a
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 24/141
Lời giải
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
'
A
.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
nên
HM
vuông
góc với
AB
. Suy ra
AB
vuông góc với
'
A M
.
Mặt phẳng
'
A AB
cắt mặt phẳng
ABC
theo
giao tuyến
AB
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
3
' .tan 30
3
a
HA HM .
Vậy
3
. ' ' '
1 3
. ' . . '
2 2
ABC A B C ABC
a
V S HA AB AC HA .
Nhận xét: Bài này điều quan trọng nhất là ta phải xác định được độ dài đường cao của hình lăng
trụ. Dựa vào giả thiết ta thấy hình chóp
'.
A ABC
có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu vuông
góc của
'
A
trên mặt phẳng
ABC
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Từ đó bài
và
ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ
điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
A BD
theo
a
.
Lời giải
Gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo
AC
và
BD
. Suy ra
1
ABCD
. Theo giả
thiết ta có
0
1
60
A EO
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 25/141 Suy ra
1 1 1
3
.tan .tan
2 2
AB a
AO OE AEO AEO .
Diện tích tứ giác
ABCD
là
.
Suy ra
1 1 1
; ;
d B A BD d C A BD
.
Kẻ
1 1
; ;
CH BD H BD CH A BD d C A BD CH
.
Do đó
A BD
rồi tính độ dài đoạn vuông góc đó.
Tuy nhiên, cách làm đó khá dài. Bạn đọc có thể kiểm chứng điều này. Do vậy khi tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần linh hoạt lựa chọn cách tính (tính trực tiếp dựa vào cách xác
định hình chiếu vuông góc hoặc tính gián tiếp dựa vào một điểm khác hoặc dựa vào công thức tính
thể tích khối chóp).
C. Bài tập đề nghị.
Bài tập về hình chóp
1. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt phẳng
SAB
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
SA SB
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng
0
45
. Tính theo
a
thể
tích khối chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA a
, hình chiếu vuông góc
của đỉnh
S
trên mặt phẳng
ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
AC
và
1
4
AH AC
. Gọi
CM
là
đường cao của tam giác
SAC
. Chứng minh
M
là trung điểm của
S ABCD
theo
a
.
Copyright: Tài liệu đại học ©