B
TR

GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O
NGă

I H CăTH NGăLONG

.......................................................

NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă

CH NGăMINHăMỌTăSỌăBÂTă
C ăBANăB NGăPH

NGăTH Că

NGăPHAPăHINHăHOC

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

HÀ N I - N M 2016


B
TR

GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O
NGă

I H CăTH NGăLONG



L I C Mă N
Luơn v n nay đ
Nôi v i s h
gia xin đ

c hoan thanh tai tr

ng

ai hoc Th ng Long Ha

ng dơn va chố bao tơn tốnh cua PGS- TS Vu Thê Khôi. Tac

c g i l i cam n sơu s c t i PGS- TS Vu Thê Khôi ng

đa đông viên, h

i th y

ng dơn nhiêt tốnh giup đ tac gia hoan thanh luơn v n

nay.
Tac gia cung xin g i l i cam n cac thơy cô giao trong BGH, Phong
đao tao – Khoa sau đai hoc tr

ng đai hoc Th ng Long Ha Nôi đa tao

điêu kiên cho tac gia hoc tơp, ren luyên va hoan thanh khoa hoc thac sy.



M ă ÂU
Cac bai toan vê bơt đ ng th c noi chung la cac bai toan kho đôi v i
hoc sinh phô thông. ai đa sô hoc sinh phô thông tiêp cơn cac bai toan bơt
đ ng th c theo ph

ng phap đai sô dê dang h n so v i viêc tiêp cơn cac

bai toan bơt đ ng th c theo ph
phap hốnh hoc ch a đ

ng phap hốnh hoc. Ly do: M t la ph

c phô biên rông rai, hai la ph

ng

ng pháp nƠy đòi

h i các em ph i ch c ki n th c, v ng k n ng, bi t v n d ng linh ho t
trong vi c k t h p gi a đ i s vƠ hình h c vƠo bƠi toán sao cho phù h p.
M t khác tơm ly chung cac em h c sinh đ u r t s gi i các bai toan liên
quan đên ch ng minh b t đ ng th c vƠ n u có gi i thì đôi khi c ng ch th a
nh n nh ng công th c c ng nh l i gi i có s n môt cach thu đông mƠ
không hi u b n ch t vơn đê. Chính vì hi u đ
quan tr ng trong ch

c b t đ ng th c lƠ m t ph n



hinh hoc ” gôm co
- M đơu.
- Ba ch

ng nôi dung.

Ch

ng I Ph

Ch

ng nƠy d a theo Ch

ng pháp bi u di n s d

ng b ng đ dƠi đo n th ng

ng I c a tƠi li u tham kh o [1] vƠ các tƠi li u

tham kh o [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12], [13], [14]. Ch

ng nƠy trình

bƠy ch ng minh cac b t đ ng th c b ng cách so sánh đ dƠi c a các đo n
th ng vƠ s d ng m t trong các ph
đ ng th c AM-GM cho hai s d

ng pháp d


ng bi u thi cho sô đo di n tích

ng pháp nguyên lý bao hƠm, dùng

nguyên lý bao hƠm đ thiêt l p b t đ ng th c AM- GM vƠ m t s b t
đ ng th c khác có liên quan.
Ch

ngăIII M t s bƠi t p áp d ng

Ch

ng nƠy l y t tƠi li u tham kh o [1] vƠ ph n l n do tác gi t gi i.

Ch

ng nƠy trình bƠy m t s các bƠi t p ch ng minh b t đ ng th c c

b n theo các ph
-

ng pháp đ

c nêu

ch

ng I vƠ ch



ng pháp sau đơy
1. Nguyên ly bao ham. Ch ng minh m t đo n th ng lƠ m t t p con

c a m t đoan th ng khác. Chúng ta s t ng quát ph
ch

ng ti p theo khi coi các s d

ng pháp nƠy trong

ng lƠ bi u th cho sô đo cua di n tích

vƠ th tích. Các b t đ ng th c s đ

c ch ng minh thông qua các m i

quan h t p h p con.
2. Nguyên ly tr c đia. Th c t lƠ con đ

ng ng n nh t n i hai đi m

lƠ đo n th ng n i hai đi m đó.
3. So sánh Pythagore. M nh đ I.19 trong cuôn sach c s c a
Euclid “Trong b t kì hình tam giác nƠo c nh đ i di n v i góc l n h n lƠ
c nh l n h n”. Do đó trong m t tam giác vuông c nh huy n luôn lƠ c nh
l n nh t. Vì v y đ so sánh hai đo n th ng ta coi m t đo n th ng ng v i
c nh bên vƠ đo n còn l i ng v i c nh huy n c a m t tam giác vuông.
4. B t đ ng th c tam giác (đa giác). M nh đ I.20 trong cuôn sach
c s phat biêu r ng “Trong m t tam giác, t ng c a hai c nh b t kì luôn


Hìnhă1.1
Trong hình 1.1 phía trên ta kh ng đ nh r ng có th k t h p các s d

ng

v i chi u dƠi c a cac đo n th ng.

B tăđ ng th căliênăquanăt iăhìnhătamăgiác

1.1

Theo nguyên ly tr c đia, n u ba s d

ng

vƠ

tam giác ABC thì

lƠ đ dƠi các c nh c a
. Ng

c l i phat biêu

nay c ng đúng v i nguyên lý bao hƠm. Không m t tính t ng quát ta có th
gi s

. Khi đo v i b t đ ng th c



Ví d . Cho

, va chiêu dai canh huyên la

.

Khi đo, nhốn vao hốnh 1.3 ta thơy r ng
Nêu ta cho

ho c

a  b  a b

thố

Hìnhă1.3
Trong ch

ng nƠy chúng ta s b t g p các ph

ng pháp khác nhau

c a vi c tìm trung bình các s . Có l giá tr trung bình n i ti ng nh t lƠ
Trung Bình Công, trung bình công c a hai s

vƠ

bình khác lƠ c n b c hai c a trung bình bình ph
trung bình bình ph

Trong hình 1.4 chúng ta s d ng hai l n b t đ ng th c tam giác đ ch ra
r ng đ i v i hai s d

ng

vƠ , c n b c hai c a trung bình bình ph

gi a trung bình công vƠ

ng

l n trung bình công [5], t c lƠ

a

b

Hìnhă1.4
Các ý t
đ ng th c sau đ

ng t

ng t đ

c áp d ng cho ba s d

ng

vƠ bơt


ng g păkhúc

Nguyên lý tr c đ a đ i v i nh ng đ
1.4 vƠ 1.5, có th đ

ng g p khúc đ

c minh h a

hình

c m r ng cho các b t đ ng th c khác.

Ví d . Cho b n s d

ng b t kì

vƠ

ta có
.

Bơt đ ng th c đ

c minh h a trong hình 1.6 [7].

Hìnhă1.6.
T đo ta co thê m r ng cho


đa giác khác (minh h a hình 1.8). Hi n nhiên ta co b t đ ng th c di n tích
nh ng liêu có x y ra b t đ ng th c chu vi?. Nhìn chung cơu tr l i lƠ
không vì ta luôn có th v đ

c bên trong đa giác nƠy m t đa giác khác có

chu vi l n b t kì.
Nh ng n u ta chố xet cac đa giác l i thì cơu tr l i lƠ có. Vơy môt
hình - giác lƠ l i n u đo n th ng n i hai đi m b t kì (n m trên ho c n m
trong) c a - giác thì n m trong - giác đó.

Hìnhă1.8
Bơy gi xet m t

- giác l i ch a trong m t - giác l i nh minh h a

hình 1.8.
bi u th cho các đ nh c a - giác theo chi u

Gi s
kim đ ng h

(đ

thu n ti n ta gi

bi u th các đ nh c a

g i



) va

. S d ng kí hi u gia tri tuyêt đôi bi u thi đ dƠi các c nh c a đa giác,
ta có

10

Thang Long University Libraty


Ch ng minh chu vi c a - giác thì nh h n ho c b ng chu vi c a
Th t v y. T b t đ ng th c

- giác.

, ta có

................

……………
B

C ng v v i v ta có

B

Suy ra chu vi c a - giác l i nh h n ho c b ng chu vi c a
V yn um t


ng kính c a nó b ng vi c

s d ng các đa giác ngo i ti p vƠ n i ti p m t đ
chu vi c a đ

ng tròn. Khi tính x p x

ng tròn v i chu vi các hình đa giác 96 c nh ông đư phát

hi n ra
3

=3


vƠ

trong n m th hai

). Khi đó lưi trung bình thu v hƠng n m kí hi u
ho c

vì

. N u ta s d ng trung bình công thay

th ta s có th tính nh m r ng t l lưi trung bình hƠng n m lƠ
trung bình công c a

lƠ

vƠ

lƠ

vì

. T ví d nƠy ta suy ra trung

bình công l n h n ho c b ng trung bình nhơn.
T đo b t đ ng th c n i ti ng
đ

ap dung cho cac sô d


. Chia c hai v c a b t đ ng th c nƠy cho 2 ta đ

cb t

đ ng th c AM- GM.
hiêu rõ h n v t m quan tr ng c a b t đ ng th c AM-GM ta
cùng tham kh o cơu chuy n v i tiêu đ “ Th a giáo s Ostrowski, theo
ngài b t đ ng th c nào là quan tr ng nh t?”.
NhƠ toán h c Alexander M. Ostrowski (1893-1986) đư có nhi u đóng góp
quan tr ng cho lý thuy t c a b t đ ng th c. Ostrowski th
d các cu c th o lu n v b t đ ng th c đ

ng xuyên tham

c t ch c t i Oberwolfach c a

c. Trong cu c th o lu n nƠy m t đ ng nghi p đư k l i vi c ông nghe
th y m t nhƠ toán h c tr tu i đư h i giáo s : “Th a giáo s , theo ông b t
đ ng th c nƠo lƠ quan tr ng nh t”. NhƠ toán h c tr tu i nƠy c ng đư bi t
r t nhi u v nh ng đóng góp c a ông Ostrowski trong l nh v c nƠy vƠ anh
y đư r t ng c nhiên b i cơu tr l i c a ông Ostrowski: “T t nhiên lƠ b t
đ ng th c gi a trung bình c ng vƠ trung bình nhơn”.

13


BƠiătoán 1.4.1. Trong t t c các hình ch nh t n i ti p đ
đ

c trong m t

BƠiătoán 1.4.2. Bai toan c a Dido
Dido lƠ m t công chúa đ n t Phoenician c a thƠnh ph Tyre (hi n
nay lƠ thƠnh ph Lebanon). Dido r i thƠnh ph khi anh trai c a bƠ gi t
ch ng c a mình vƠ bƠ đ n Chơu Phi vƠo kho ng 900 n m tr

c công

nguyên g n v nh Tunis. Dido quy t đ nh mua m nh đ t t ông ch c a
m t đ a ph

ng tên lƠ King Jarbas c a v

Phi. Vì v y bƠ vƠ nh ng ng

ng qu c thu c tơy nam Chơu

i tùy tùng c a bƠ có th đ nh c

đó. BƠ đư

tr Jarbas m t s ti n nhi u b ng m nh đ t bƠ có th rƠo quanh b ng m t
t m da c a m t con bò.

có đ

c cƠng nhi u đ t cƠng t t Dido đư c t

mi ng da bò thƠnh nh ng d i m ng vƠ bu c chúng v i nhau . M nh đ t
nƠy sau đó tr thƠnh thƠnh ph Carthage.



lƠ chi u

sao cho di n tích

đat

gia tri l n nhơt?.
L i gi i.
Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có
A

xy

ng th c x y ra khi

x

xy

y

L

. Vì v y hình ch nh t co diên tốch l n nhơt

khi chi u dƠi g p hai l n chi u r ng.
BƠiătoán 1.4.3. Bai toan c c đai c a Regiomontanus
VƠo n m 1471 Johannes Muller (1436- 1476) đư l y tên
Regiomontanus đ t cho n i sinh c a ông, Konigsberg vƠ ông đư vi t m t

t m t ng

i quan sat (song song v i m t đơt) l n l

kho ng cách t v trí ng
c a ng

i quan sát đ n thanh treo,

t lƠ

vƠ

ng ke
lƠ

lƠ gi i h n góc nhìn

i quan sát t đ nh đ n đáy c a thanh treo. Tìm

đ góc

đ t giá

tr c c đ i.
L i gi i.
Cho

vƠ



cot

c đ n đ nh vƠ

đ t giá tr c c ti u. Áp d ng b t đ ng th c

c k t qu sau

16

Thang Long University Libraty


cot

a

b

a

b x

a

ng th c x y ra khi
c n ph i đ ng

x

Nhi u giá tr trung bình có th

max

l ng vƠo gi a

vƠ

nh trung bình đi u hòa. Trung bình đi u hòa c a

vƠ

xác đ nh nh ngh ch đ o c a trung bình công đ i v i hai sô d

ng

t c lƠ:

đ

c

, ,

.
Trung bình đi u hòa x y ra m t cách t nhiên

vố du nh n u chúng ta lái xe ô tô v i quưng đ
80km/h vƠ quưng đ



max

BƠiătoán 1.5. B t đ ng th c Mengoli và s phân kì c a chu i đi u hòa
Pietro Mengoli (1625- 1686) đư thi t l p b t đ ng th c: Cho b t kì

,

ta luôn co
ki m ch ng b t đ ng th c Mengoli ta c n ch ng minh

, áp d ng b t đ ng th c gi a trung bình đi u hòa vƠ trung bình

V i

công cho hai s d

ng

vƠ

V y b t đ ng th c Mengoli đư đ

, ta có

c ch ng minh.

Mengoli s d ng b t đ ng th c c a mình đ đ a ra b ng ch ng ban đ u
v s phơn kì trong chu i đi u hòa
Gi s chu i h i t lƠ m t s th c , khi đó

ví d nh trung binh phan điêu hoa

trung binh

i bi n Ravi

Xet môt tam giac co đô dai cac canh lơn l
tron đ

,

vƠ trung binh logarit

Heron

1.6

c đ a vƠo gi a

t la

va ngoai tiêp đ

c minh h a trong hình 1.14 . N i tơm c a đ

đ nh cua tam giac vƠ cac đi m ti p xúc c a đ
tam giác ta đ

ng


B t đ ng th c [13], do Alessandro Padoa (1868- 1937) phát bi u
lƠ các c nh c a m t tam giác thì

r ng: N u

.
Ch ng minh.
S d ng đ i bi n Ravi, b t đ ng th c c a Padoa t

ng đ

ng v i

b t đ ng th c sau
B t đ ng th c trên d dƠng ch ng minh khi s d ng b t đ ng th c AMt

GM:

ng t cho

vƠ

, do đó
.

ng th c x y ra khi vƠ ch khi

suy ra

V y


ng cho

vƠ

(xem

m c 1.1

ho c 1.5), ta có

20

Thang Long University Libraty


.T

ng t cho

vƠ

.

Do đo
.
ng th c x y ra khi vƠ ch khi

suy ra



thố m t ph n đ th c a

ng
T

v im i

t đo suy ra
v i

ta suy ra

c rút ra t đ ng th c AM- GM khi áp d ng cho hai

va .
ng t ta cung co hƠm
thu c

hay

trên m t t p S n u

.

Hìnhă1.15

21




va n m phốa d

iđ

ng

, t đo ta co bơt đ ng th c
sin

Hìnhă1.16
Th c ra ta c n ph i th n tr ng khi s d ng đ th hƠm đ thiêt l p
b t đ ng th c vố t ví d trong hình 1.17 cho th y r ng cos

v i

. Nh ng đ th không nói cho chúng ta t i sao b t đ ng th c có

th áp d ng vƠ nó không gi ng v trí nh hình 1.15 vƠ 1.16,
lõm ho c l i c a hƠm đ

đơy tính

c thay th cho l p lu n c a b t đ ng th c mƠ

chúng ta nhìn th y trong đ th .

22

Thang Long University Libraty

ng