B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

N G U Y ỄN VĂN TU Y ÊN

cực

Đ IỀ U K IỆ N
T R Ị VÀ Ổ n Đ ỊN H
T R O N G TỐ I Ư U V É C T Ơ VỚ I T H Ứ T ự S U Y R Ộ N G

L U Ậ N Á N T IẾ N SĨ T O Á N HỌC

HÀ NỘI - 2016


B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N VĂN TU Y Ê N

cực

Đ IỀ U K IỆ• N
T R Ị• VÀ Ổ n Đ ỊN
H
•
•
T R O N G TỐ I Ư U V É C T Ơ V Ớ I T H Ứ T ự S U Y R Ộ N G

ổn định của tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối.
Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tích
chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. 2) Thiết lập các
điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng. 3) Thiết
lập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệm
của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trị
cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ
lồi. 4) Một số tính chất tôpô như tính đóng, tính trù m ật của tập điểm
hữu hiệu Pareto tương đối. 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự hội tụ
trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painleve của tập điểm hữu
hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của
ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối.


A bstract
This thesis presents some new results on the optimality conditions
and the stability analysis in vector optimization with generalized order.
The thesis consists of three chapters. Chapter 1 investigates some
characterizations of the optim al solution with generalized order optimal­
ity such as: compares this notion with the traditional notions, the exis­
tence solution and some topological properties of solution set. C hapter 2
establishes some optim ality conditions for vector optimization problems
with generalized order. The goal of Chapter 3 is to deal with the stabil­
ity analysis of a vector optimization problem using the notion of relative
Pareto efficiency.
The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the
notion of generalized order optimality. 2) Existence theorems in vector
optimization with generalized order. 3) Some criteria for the closedness
and connectedness of the set of generalized order solutions and some
sufficient optim ality conditions in convex vector optimization problems.

1.2.1.

1.3.

2

13

Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng

.........................

24

1.2.2. Áp dụng cho bài toán tối ưuvéctơ

.........................

28

Tính chất tôpô của tập n g h i ệ m ..........................................

31

1.3.1. Tính đ ó n g .....................................................................

31

1.3.2. Tính liên t h ô n g ...........................................................


1


3

2.3.2.

Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn c ụ c ..............

59

2.3.3.

Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương . . .

61

T ín h ổ n đ ịn h n g h iệ m c ủ a b à i to á n tố i ư u v é c tơ

65

3.1. Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đ ố i ......................

66

3.2.

Sự hội tụ trên của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối .

76


tập các số tự nhiên

К

tập các số thực

К := К u { io o }

tập các số thực mở rộng
không gian Euclide n-chiều

MỊ

tập các véctơ không âm của

K71

М”

tập các véctơ không dương của K71

X*

không gian đối ngẫu tôpô của không gian X

(x*,x)

cặp đối ngẫu giữa X* và


hình cầu đơn vị đóng trong X

В

hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn cho

X

X

trước
Вр(ж), B(a;,p)
B( x, p)

hình cầu đóng tâm x : bán kính
hình cầu mở tâm

X,

p

bán kính p

N{x)

tập tấ t cả các lân

N

tập tấ t cả các lân cận cân của điểm


đạo hàm Frechet của / tại

df(x)

dưới vi phân Mordukhovich của / tại X

d°°f (x)

dưới vi phân suy biến của / tại

ôf(x)

dưới vi phân Frechet của / tại X

D*F(x,ỹ)(-)

đối đạo hàm Frechet của F tại (x , ỹ )

D*NF(x, ỹ)(-)

Í2

Í2

tại

X

tại X

A là tập con của B

A n B

giao của hai tập hợp A và

A uB

hợp của hai tập A và B

A XB

tích Descartes của hai tập A và B

A\B

hiệu của hai tập A và B

A +B

tổng véctơ của hai tập A và B

int A

phần trong của tập hợp A

ri A

phần trong tương đối của tập hợp A


A

A

B


Mở đầu
Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay còn gọi là Tối ưu đa mục
tiêu (M ulticriteria optimization) được hình thành từ những ý tưởng về
cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của F. Edgeworth (1881) và V. Pareto
(1906). Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ
tự được G. Cantor đưa ra năm 1897, F. Hausdorff năm 1906 và những
ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ
tự thỏa mãn những tính chất nào đó. Từ những năm 1950 trở lại đây,
sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H. w. Kuhn
và A. w. Tucker năm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G.
Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ mới thực sự được công nhận là
một ngành toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tới
ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác
mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương. Sau đó người
ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón
lồi bất kì. Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian
có thứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa
vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu
Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực s ự ... Nhiều nhà toán học
có tên tuổi như J. M. Borwein, M. I. Henig, J. Jahn, D. T. L u c ... đã
có những đóng góp quan trọng về sự tồn tại của các điểm hữu hiệu loại
này, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các lớp bài toán tối ưu khác

rỗng nếu c là nón lồi đóng và Ả là tập compact. Tuy nhiên, giả thiết
về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạn
chiều. Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đạt được về sự tồn tại điểm
hữu hiệu đã loại bỏ được hạn chế về tính compact. Chẳng hạn, Định
lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C-đầy đủ (C-complete) để thay cho tính
compact.

6


Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việc
nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị. Để đưa ra các điều kiện tối
ưu cho các bài toán tối ưu véctơ không trơn, người ta sử dụng các khái
niệm đạo hàm suy rộng. Chẳng hạn, M. Pappalardo và

w.

Stỏcklin [54]

đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini - Hadam ard để đưa ra một số
điều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiều
với thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng. Với các khái
niệm cơ bản như nón pháp tuyến không lồi của các tập hợp trong không
gian Banach, dưới vi phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàm
Frechet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm phát
triển, lý thuyết vi phân suy rộng do Giáo sư B.

s.

Mordukhovich khởi

property) Bednarczuk [11-15] đã nghiên cứu các tính chất nửa liên tục
trên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục dưới
theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hiệu.
Gần đây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11,13] và đề
xuất các khái niệm mới tính chất bao hàm địa phương (local containment
property), tính chất K - trội địa phương (Zf-local domination property)
và tính chất đóng địa phương đều (uniformly local closedness) của một
ánh xạ đa trị, Chuong, Yao và Yen [23] đã nhận được các kết quả về
tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gian
véctơ tôpô Hausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk.
Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối
ưu véctơ qua các tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiều
khái niệm nghiệm tối ưu (nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm
tối ưu xấp xỉ, ...) dưới một quan điểm thống nhất nhờ tập hoàn thiện
(xem [22,30]). Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiện đòi hỏi không
gian ảnh phải được sắp thứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường.
Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưu
tương ứng với một tập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn
là một vấn đề mở (xem [22, Section 5]).
Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển
của các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A. Y.
Kruger và B.

s.

Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài


liệu được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo
thứ tự suy rộng (hay nghiệm (/; Q)-tối ưu địa phương), ở đó / : X —»• z

địa

phương của bài toán minỉmax
minimize 0 v ớ i
mọi z* € A. D ể cho đơn giản, ta giả sử rằng ip{x) = 0. Khi đó,

X

là một

nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng của hàm f ứng với tập
sinh thứ tự
Q := {ze Z\{z\z)
Để nhận được kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu
hiệu Pareto tương đối của bài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tự
được sinh bởi một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, chúng tôi
đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao hàm tương đối
(relative containment property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối
(relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đối
theo nghĩa Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của một
ánh xạ đa trị. Các kết quả nhận được mở rộng và làm m ạnh hơn các kết
quả tương ứng trong [11,12]. Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày một
số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.2 trình bày
các kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập
điểm hữu hiệu Pareto tương đối. Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội
tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto
tương đối. Trong mục cuối chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho
tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
- Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2).
- Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện
Toán học).
- Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu

11


cao cấp về toán).
- The 8th Vietnam-Korea Workshop “M athem atical optimization
theory and applications” (University of Dalat, 8-10/12/2011, Dalat, Viet­
nam).
- Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Khoa Toán (Trường ĐHSP Hà Nội
2, 25 -26/10/2014).

và Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài liệu được trích
dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm (/; 0 )-tố i ưu địa phương
(hay còn gọi là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng), ở đó / là một ánh
xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh thứ tự 0 là một tập
bất kì chứa gốc. Mục đích của chương này là trình bày một số đặc trưng
của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng.
Mục 1.1 trình bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tự
suy rộng và mối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệm
nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ. Mục 1.2 trình bày một số kết quả về
sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng. Mục 1.3 khảo sát một
số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài
toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng.
Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35,68].


1.1.

K hái niệm nghiệm
Cho z là một không gian Banach. Với mỗi tập 0 c

kí hiệu

/(0) là tập hợp 0 n (—0).
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z
là một tập chứa 0 z ■ Một điểm z G A được gọi là một điểm hữu hiệu
suy rộng (generalized efficient point) của A tương ứng với 0 , nếu tồn tại
một dãy {zỵ\ c z với \\zk \\ —»• 0 khi k —> oo thỏa mãn
A n { z - 9 - z k) = ® V k e N.

(1.1)

mọi k £ N. Lấy u là một lân cận tùy ý của
14

Z.

Vì Z £ A và 0z € 0 nên


ta suy ra z G {A + 0 ). Do đó, и п {A + 0 ) ф 0. Từ lim (z — zk) = z
ta có z — z k G u với к đủ lớn. Vì vậy, Z — z k € и п (А + 0 ) c với к đ ủ
lớn. Suy ra и п (A + 0 ) c Ỷ 0- Vì vậy Z € bd (A + 0 ). Điều này kéo theo
GMin (А I 0 ) С А П bd (A + 0 ). Để chứng minh bao hàm thức ngược lại
lấy z € A П bd (A + 0 ) tùy ý. Từ z G bd {A + 0 ) ta

В ịz,

CÓ

n {A + 0 ) c Ф 0 \ / k e N.

Với mỗi к £ N, chọn Xk € в (z, |-) П (A + 0 ) c. Ta

lim x k = z và
k—ïoo
{a;fe} С {A + ©)c. Đặt zk = z —x k, với к = 1,2 ,... Suy га
lim Zỵ
k-ịoo

=


€ int A. Vì vậy, tồn tại

một lân cận u của Z sao cho и с A. Từ A c A + 0 t a c ó ỉ 7 C Ẩ + 0 .
Do đó, z G int (A + 0 ), mâu thuẫn với (1.3).
(ii) Nếu A mở hoặc A + 0 mở thì GMin (A I ©) = 0. T hật vậy, nếu A
mở, thì từ А С A + 0 ta suy ra А с int (A+0). Do đó, Anbd (A+0) = 0,
hay là GMin (A I0) = 0. Nếu A + 0 mở, thì bd (A + 0) = 0. Theo Định

lý 1.1 ta cũng suy ra GMin {A I 0) = 0.

15


V í d ụ 1.1. Lấy z = M2,A = { x = (XI , X 2) G M2

Ix 2 = —^1,0 < Xị


X\) u { x G M2 I

^2

=

|a;i|}. Dễ thấy rằng © là một nón không lồi và
A + 0 = {x € M2 I x 2 > 1^11} u {x € M2 I Xi
u { x € M2 I x 2 =

16


Chứng minh. Giả sử phản chứng, Z ị GMin {A I 0 ). Theo Định lý 1.1,
Z

ị bd (A + 0). Vì

Do đó,

Z

Z

€ A c A + 0 và

Z

ệ. bd (A + O) nên

Z

€ int (A + 0).

không là điểm tựa của A + 0 . Vì vậy, tồn tại z € A và 9 € 0

thỏa mãn
(z*,z) < (z*,z + 9).
Vì




với mọi 9 € ©. Do đó, (z*, в) < о với mọi ớ G 0 . Điều này có nghĩa là
z* £ ©*. Từ А С А + 0 с cl {А + 0 ) ta suy ra z* là một hàm tựa của
A tại Z, hay là z €

Do đó, ta có

GMin (A I 0 ) С Ị J { ^ ° C O \z* e Q* , z* ^ 0}.
Chứng minh kết thúc.

□

Nếu z là một không gian Banach hữu hạn chiều, thì điều kiện
UA + 0 có phần trong khác rỗng>: trong Mệnh đề 1.2 có thể bỏ được.
H ệ q u ả 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng trong м ш và 0 с м ш là
một tập bất kì chứa gốc. Nếu A + 0 lồi, thì
GMin (A I 0 ) = 1J{A 0( ^ ) \z*

Ф 0}.

Chú ý rằng các kết quả trên không đòi hỏi rằng 0 phải là một nón
với © \ /(©) Ф 0. Hệ quả 1.1 là một mở rộng của [71, Lemma 4.5] từ
điểm hữu hiệu (xem Định nghĩa 1.3 ở bên dưới) sang điểm hữu hiệu suy
rộng.
V í d ụ 1.2. Trong K2, cho
Ai = {z = (zu z2) I 0 < Zỵ < 1 ,22 = 0},
A 2 = { z = (zu z2) I 0 < Zị < 1, z2 = 1},
A 3 = { z = (zu z2) \Z! = 0,0 < z2 < 1},
A ị = {z = (Zị, z2) \zị = 1,0 < z2 < 1},

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của điểm hữu
hiệu suy rộng.
M ệ n h đ ề 1.3. Cho A là

một

tập con khác rỗng trong z và 0 с z là

một tập chứa 0Z . Nếu 0 D 0 , thì
GMin (А I 0 ) С GMin (А I 0 ).

(1.5)

M ệ n h đ ề 1.4. Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 с z là
một tập chứa 0z thỏa mãn 0 + 0 = 0 . Khỉ đó
GMin (А I 0 ) = A n GMin ((A + 0 ) I 0 ).

(1.6)

Chứng minh. Theo Định lý 1.1, ta có
GMin (А I 0 ) = A n bd (A + 0 ),

(1.7)

GMin ((A + 0 ) I 0 ) = (A + 0 ) n bd [(A + 0 ) + 0].

(1.8)

và


kí hiệu bởi RMin (A I 0 ).
Nếu 0 là một nón lồi trong z , thì 0 sinh ra một quan hệ thứ tự
trên z như sau:
X

ZI,Z2 G

> y và không có y >

z, z2 >

X,

nếu z2 —

Z\

hoặc là,

X

Zi €

0 . Ta viết

X > y

nếu

€ y + 0 \ /(0 ). Một nón 0 được gọi