Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
NGUYỄN HOÀNG LAN ANH
PHÉP BIÉN ĐỎI HILBERT VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUÂN VĂN THAC Sĩ TOÁN HOC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề
tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 20lị Tác giả
Nguyễn Hoàng Lan Anh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hilbert và áp dụng” được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội , tháng 6 năm 20lị Tác giả
Nguyễn Hoàng Lan Anh
Mục lục
Mở đầu
Một số kiến thức

1
0
1
0
1
2
1
1.2.1
.
1.2.2
1.
1.3.1
.
1.3.2
1
8
1.3.
Chương 2

.
Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa
Một số ví dụ
Biến đổi Hilbert ngược
Một số tính chất cơ bản
Định lý 2.1
Định lý 2.2
Định lý 2.3
Định lý 2.4. (Công thức Parseval)
Tích chập của phép biến đổi Hilbert


3
2.
2.1.
1.
2.
2.
2.3.1
.
2.3.2
.
2.3.3
Chương 3.
3.1
3.
3.2.
1.
3.2.
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài. Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử, được hình
thành từ những năm cuối thế kỷ XIX. về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân
được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết khai triển một hàm
số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau đó được phát triển tới tích phân
Fourier hay biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là
cung cấp những phương pháp toán tử hiệu lực để giải quyết những bài toán về
phương trình vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân. Về lĩnh
vực này phải kể đến hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng
không chỉ trong Toán học mà còn nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt là
trong lĩnh vực Vật lý học, đó là biến đổi Fourier và biến đổi Laplace.

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Tích phân suy rộng
1.1.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Tích phân trên khoảng vô hạn)
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(x

) xác định trên [a,

+oo). Giả sử rằng
f(x

) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [ a, b

] với b > a.

Nếu tồn tại
6
lim / f(x)d x

(*) thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng loại 1
6->+00 J
a
+ 00
của hàm f(x

) trên đoạn [a, +oo) và ký hiệu là J f(x)dx.

Như vậy
a
+ 00 B
Trong định nghĩa cuối cùng , nếu tích phân tồn tại thì không phụ thuộc vào việc

0
tồn tại b
0
> a sao cho với mọi b ,b > b
0
ta có
b"
Định lý 1.2. Giả sử f(x) lầ hầm số xắc định trên [a, +
00
). Giả sử rằng f (x)
khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,
6
] với b > a. Khi đó, tích phẵn
+ 00 +00
Định lý 1.3. Giả sử cấc tích phân J f(x) dx vầ Ị g (x)dx hộ i tụ. K h i
a a
+
0
0
»vì/
I
<
X
f(x)d
+ oo
J f(
x
)
d
'

Khi đó cấc tích phẫn Ị f(x )dx vầ Ị g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng
а а
phẫn kỳ.
1.1.2. Định lý Dirichlet và định lý Abel
Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho f(x) và g(x) lầ cấc hầm xắc định và
liên tục trên [a, +
00
). Giả sử rằng
Hầm số f(x) có nguyên hầm F(x) bị chặn trên [a, +
00
), tức ỉằ
tồn tại số M > 0 sao cho
|f(<OI =
(i) Hàm số g(x) có đạo hằm
liên tục trên [a, +
00
) và
đơn điệu về
1
khi X —> +
00
.
+00
Khi đó, tích phẵn Ị
f(x). g( x)dx hộ i tụ.
а
Định lý 1.7. (Abel). Cho f(x )
và g (x ) lầ cắc hàm xắc định
và liên tục trên [a, +
00

1.1.3. Tích phân hội tụ tuyệt
đối
+0
0
Định nghĩa 1.2. Tích phân J
f(x)d x

được gọi là hội tụ tuyệt
đối nếu
а
+ 00
tích phân J \ f(x)\dx

hội tụ.
Nếu một tích phân hội tụ
nhưng không
а
hội tụ tuyệt đối thì ta nói tích
phân đó bán hội tụ.
+
0
C
+
o
o
Định lý 1.8. Nếu tích phẫn J
\f(x) \ dx hội tụ thì tích phẫn I
f(x)d x
a
a

của
hàm f(x

) trên đoạn [a, 6

] và ký
hiệu là
b
j f(x) dx. Như vậy
a
Nếu giới hạn (**) bằng ±oo
hoặc không tồn tại thì ta nói
tích phân phân kỳ.
Tương tự, nếu f(x

) không bị
chặn tại a

thì ta định nghĩa
6
b — e
J
f(x)d
x =
lim J
f(x)d
x.
Định lý 1.9. (Tiêu chuẩn Cauchy). Giả sử f(x

) xấc

, +oo). ж->о+ д{х)
b b Khi đó, tích phần J f(x)dx và tích phan J g(x)dx
cùng hội tụ hoặc
а а
phân kỳ.
Định nghĩa 1.4. Cho f(x

) xác định trên (a, b],

không bị chặn tại a. b b
Tích phân J f ( x ) d x gọi là hội tụ tuyệt đối nếu J \ f ( x ) \ d x hội tụ.
а а
Định lý 1.12. Cho f(x) xấc định trên (а,Ь], không bị chặn tại a. Nếu
b
dx hội tụ thì tích phẫn J f(x)dx hội tụ.
а
b
J
1/0*01
1
f dx
Ví dụ 1.2. Xét sự hội tụ của tích phân / —, với a

là số thực cho trước.
0
Trường hợp 1: a

= 1, ta có
[ — = lim / ^ = lim(-lne) = +00.
J X e-^0 J X e->0

1
J x
a
1 —
£
1
f dx 1
Nếu a < 1 thì lim / — =

1
Nếu a >

1 thì lim — =

+00.
Trường hợp 2: a Ỷ-

lj thì / —
.

Do
1 — a

1 — a
a
ì lim Ị — =
e->0 J X
£
trong đó ip(y


thuộc tham số
6
I
(
t
)= / f {x,t)dx
a
6
1
1
a
b
iầ hầm liên tục trên đoạn [c, d].
1
1
Định lý 1.14. (Tính khả vi). Giả sử hầm f(x, t ) liên tục
trên hình chữ nhật R = [a , b] X [c,d]. Nếu với mỗi t
€ [c,d] cố định hầm X I-» f(x, t) ỉiên tục trên [a, tíị vầ
đạo hầm riêng (ж, t) liên tục trong hình chữ
С/ b
nhật R, thì tích phẫn phụ thuộc tham số
ỉầ hầm khả vi trên đoạn [c, d] vầ
b
I ' { t ) = J ^ ( x , t ) d x .
а
Định lý 1.15. (Tính khả tích). Nếu ham f(x,t) liên tục
trên hình chữ
b
nhật D = [a,
0

, 0) = 1 nên
b b 1(0) = J f(x, 0)dx = Ị dx = b — а.
а а
Với t

ф

0 thì
b b
1
1
1
*-Ь
e
b t _
e
a t
t
x = a
1
1
I(t)= Ị
J a
là một hàm xác định trên (—00

,00

).
1.2.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1.6. Cho hàm f(x,t

b o(e, t ) > a

sao
cho với mọi b > b

0

ta có
b
Ị f(x ,t)dx - I {t)
a
Tích phân (1.4) được gọi là hội tụ đều nếu với mọi £ >

0 tồn tại 60
60

(e) > a

sao cho với mọi b > b

0

ta có
< £,

với mọi t

€ [c, d]
6
I b

dx = lim [ e~
t x
dx = b—>oo J t
0
Định lý 1.16.
và chỉ nếu lim sup
6->+ 00
íe
[
c
^
d
Ị
Định lý 1.17. (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của tích phân). Cho hầm f (x, t )
xấc định trên tập hợp R = {(ж, t) : а < X < +
00
, с < t < d}. Giả sử, với mỗi t G
[с, d] hầm f(x,t) khả tích trên mọi đoạn [a,b] với b > a. Khi đó, tích phẫn
+00
I(t) = Ị fi
x
i t)dt ,
a
hội tụ đều trên [c, d] nếu và chỉ nếu với mọi £ >
0
tồn tại b
0
> а
sao cho với mọi
ì) > b > b

I
e~
t x
d
—
+00
m = /
0
Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm f(x

, t)

xác định trên tập hợp R

= (a, 0] X [с, d\

và
hàm X I—^ f{x,t

) không bị chặn tại a.

Nếu tồn tại giới hạn
b
I(t) = lim / f(x, t) dx,
a+õ
thì giới hạn đó là một hàm số theo biến t £

[c, đị

và gọi là tích phân phụ


< b v ầ
ữ-ị-ố
J f(x, t ) d x < e; với mọi 0 < ố < ổ
0
và mọi t ẽ [c, d \ .
a
Định lý 1.18. Giả sử hầm f(x, t) liên tục trên tập hợp R = [a, +oo) X [c,
d] vầ tích phân
+ OC
I { t ) = J f { x , t ) d x ,
a
V___ X T/-L\ 7•___ÍS_____J_
hội tụ đều trên [c,d] thì hầm số I(t) liên tục trên [c,d].
Định lý 1.19. Giả sử hà m f(x,t) liên tục trên tập hợp R = [a, +oo) X [c, d]
vầ tích phẫn
+ OC
I(t) = Ị f(x,t )dx ,
a
(1.
1.2.3. Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn
2
hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó, ta có
d

+
0
0

d

+00

+
00

d Ị
dt
J
f(x
,t)
dt
= j
dx
Ị
f(x
,t)
dt.
c a a
c
1.3. Biến đổi Fourier
1.3.1. Định nghĩa
tức
Đ ị n h n g h ĩ a 1.8. (Định nghĩa tích phân
Fourier). Tích phân Fourier của hàm / khả
tích tuyệt đối trên toàn trục thực là
+ oo
I
—