CHƯƠNG 1
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN
Các dị thường trọng lực quan sát được phản ánh toàn bộ hiệu ứng trọng lực do các
yếu tố địa chất gây ra. Trong trường tổng cộng mỗi yếu tố địa chất đó đều có đóng góp
một phần nhất định. Vì vậy, trong khi giải quyết các nhiệm vụ địa chất cụ thể, từ trường
tổng đó phải tách ra được các thành phần trường riêng biệt có liên hệ trực tiếp đến đối
tượng cần nghiên cứu. Muốn vậy, người ta phải tiến hành biến đổi trường quan sát được
nhằm nhấn mạnh thành phần trường cần thiết (được coi là phần hữu ích) và làm yếu đi
các thành phần khác (được coi là nhiễu). Như vậy, các phép biến đổi trường dị thường
trọng lực có điểm chung như phép lọc nhiễu, phân tách tín hiệu trong lý thuyết truyền tin.
Mục đích chính của phép biến đổi trường trọng lực (hoặc từ) là tách trường quan sát
thành các thành phần tương ứng với đối tượng địa chất nằm ở các độ sâu khác nhau.
Dưới dạng toán học, tất cả các phép biến đổi đều được biểu diễn bằng công thức sau
đây [3]:
V
bđ
(x0,y0,z0)=
ηξηξηξ
ddzyxKV
xp
∫∫
−−
)0,0,0()0,,(
(1.1)
Trong trường hợp bài toán ba chiều, và:
V
bđ
(x0,z0)=
ξξξ
∫∫
− dzxKV

ξ
−
là các nhân biến đổi (đôi khi còn gọi là các hàm
trọng số).
Vì
)0,0,0( zyxK
ηξ
−−
và
)0,0( zxK
ξ
−
thường là các toán tử tuyến tính nên tất cả các
biến đổi tương ứng gọi là các biến đổi tuyến tính.
Phép biến đổi trường trọng lực và từ trong miền không gian chia làm ba nhóm
chính:
+ Trung bình hoá.
+ Tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực (xem như là các hàm điều hoà).
+ Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực.
Chúng ta lần lượt xét đến các nhóm phương pháp trên.
1.1. Phương pháp trung bình hóa
Việc phân chia các dị thường trọng lực ra thành các thành phần khu vực và địa
phương nhờ phương pháp trung bình hoá được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Bản chất
của phương pháp trung bình hoá như sau: Xem trường trọng lực quan sát được gồm hai
thành phần, thành phần khu vực V
r
và thành phần địa phương V
l
.
V = V

, trường hợp đặc biệt nếu trường khu vực thay đổi theo quy luật
tuyến tính nó hoàn toàn không bị thay đổi khi lấy trung bình, tức:
V
(0,0,0) = V
r
(0,0,0)
(1.5)
Sau khi tính được trường khu vực V
r
, trường dị thường địa phương tính theo công
thức:
V
l
= V -
V

(1.6)
Để làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý của phương pháp trung bình hoá, người ta đưa vào
khái niệm về mức độ trung bình hoá, đó là tỷ số giữa trường được trung bình hoá và
trường xuất phát.
V
V
=
ε
(1.7)
Mức độ trung bình hoá đồng thời đặc trưng cho mức độ chính xác của việc tách
trường địa phương.
Trong phương pháp trung bình hoá, ngoài cách lấy trung bình theo vòng tròn người
ta còn lấy trung bình theo các hình khác nhau. Một trong các hình hay được dùng là hình
vuông , nhờ có Pa-lét vuông mà khối lượng phép tính được giảm đi rất nhiều. Phương

0
0 0
2
0
1
z
de
z
=
∫
∞
−
αα
α
(1.8)
+
)(
ρ
g
∆
là giá trị trung bình của trường dị thường được quan sát trên đường tròn bán
kính
ρ
nhận được sau khi tính toán với các giá trị đọc được tại các điểm nút của Palét.
+
),(
0
ρα
J
là hàm Bessel loại 1 cấp 0, nó khác với hàm J

2
2222
RZZRZ +++
(1.9)
Thay M(z) và M
bt
(z) vào N(z) ta có:
N(z) =
)(
2
2222
2
RZZRZ
Z
+++
(1.10)
với : Z- Độ sâu đến vật thể gây ra dị thường.
R- Bán kính trung bình hoá.
Theo công thức trên ta thấy N(z) là một hàm phụ thuộc vào độ sâu thế nằm Z. Khảo
sát hàm N(z) thấy Z
0
→
thì N(z)
0
→
Z
∞→
thì N(z)
1
→

(1.11)
V
z2
(0,0,0) =
22
3
hn
Mkn
=
2
h
kMn
(1.12)
Tức là:
n
V
V
z
z
=
1
2
(1.13)
nếu tiếp tục giải tích các dị thường này lên độ cao H = h, thì:
V
z1
(0,0,-H) =
2
4h
kM

Bây giờ ta lại tiếp tục giải tích các dị thường đó xuống nửa không gian bên dưới đến
độ sâu H=0.5h. Tương ứng ta có:
V
z1
(0,0,H)

=
2
4
h
kM
và V
z2
(0,0,H) =
22
3
)12(
4
−nh
kMh
n
n
n
HV
HV
z
z

2
3

ξηηξ
π
2
23
222
)(x)-(
)0,,(
2
zy
ddVz
(1.16)
Trong đó: V(x,y,-z) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm (x,y,-z)
V(
0,,
ηξ
) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm trên mặt phẳng x0y.
Trong hệ toạ độ trụ thẳng đứng (r,
,
α
z) có gốc toạ độ nằm tại hình chiếu của điểm
cần tính hàm trên mặt phẳng x0y thì tích phân Poisson trên sẽ có dạng:
V(x,y,-z) =
α
α
π
π
rdrd
zr
rVz
∫∫

(1.18)
Đối với điểm có toạ độ (0,-h) nằm tại độ cao h thì:
V(0,-h) =
ξ
ξ
ξ
π
d
h
Vh
∫
∞
∞−
+
22
)0,(
(1.19)
1.2.2. Bài toán tiếp tục giải tích trường xuống nửa không gian dưới
Việc tiếp tục giải tích các hàm điều hoà xuống nửa không gian bên dưới phức tạp
hơn nhiều so với việc tiếp tục giải tích xuống nửa không gian bên trên. Bài toán tiếp tục
giải tích xuống nửa không gian bên dưới là bài toán không ổn định với mỗi biến đổi nhỏ
của hàm xuất phát sẽ cho giá trị của hàm được tiếp tục giải tích xuống dưới bị sai lệch đi
rất nhiều.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp để tính chuyển trường xuống nửa không gian
bên dưới nhưng ta chỉ xét đến một vài phương pháp thường được sử dụng.
* Phương pháp thứ 1 :
Để tiếp tục giải tích trường ta sử dụng trực tiếp công thức Poisson tương tự (1.18)
[2]:
V(0,0) =
∫

V
1
∆
= V(0,h) – V(0,0)
ở đây ta giả sử hiệu số này không đổi khi h thay đổi [3,5], lúc đó với mức gần đúng
bậc nhất thì:
V(0,h) = V(0,0) +
V
1
∆
(1.25)
hay:
V(0,h) = 2V(0,0) – V(0,-h) (1.26)
Sau đó tiếp tục tính chuyển trường lên mức –2h thì ta sẽ có hiệu số giới nội trong
khoảng (-h,-2h) và ký hiệu hiệu số giới nội này là
∆
2
V, ta sẽ có công thức gần đúng:
V(0,h) = V(0,0) +
V
1
∆
+
∆
2
V (1.27)
hay :
V(0,h)=3V(0,0) – 3V(0,-h) + V(0,-2h) (1.28)
Tiếp tục làm như trên đến hiệu số thứ n thu được công thức gần đúng:
V(0,h) =

1
1
1
22
1
1
1
1
kh
arctg
kh
arctgC
hk
dkh
CK
ii
k
n
n
k
kk
n
k
n
k
i
i
i
ξξ
π

r
∫
),(
2
1

Thay phép lấy tích phân bằng phép lấy tổng và giới hạn số điểm lấy tổng bằng 4,
như trên hình 1.2:
V(0,0) = [V(-h,0) + V(h,0) + V(0,-h) + V(0,h)]/4
V(0,h) = 4V(0,0) – V(-h,0) - V(h,0) - V(0,-h)
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực:
Khi phân tích các số liệu trọng lực, việc tính toán các đạo hàm bậc cao của thế trọng
lực đóng vai trò quan trọng. Trong nhiều trường hợp các đạo hàm bậc cao cho phép đơn
giản nhiều các thông số của vật thể. Việc tính các đạo hàm bậc cao hơn so với các thành
phần đo được cũng cho phép người ta phân chia trường thành các thành phần khu vực và
địa phương riêng biệt.
Hàm thế trọng lực là hàm thoả mãn cả 3 điều kiện trên. Trong hệ toạ độ Đề các,
nghiệm của bài toán Neuman ngoài được xác định bằng công thức:
V(x,y,z) =
[ ]
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
+−+
2
1
222
)(x)-(

zyx
zyxV
pnm
pnm
z
pnm
pnm






+−+−
∂∂∂
∂
=
∂∂∂
∂
++
∞
∞−
∞
∞−
++
∫ ∫
2
1
)()(
1

2
max
+ b X
max
+ c . Đây là đường cong hồi qui đi qua điểm xem xét và hai
điểm lân cận.
CHƯƠNG 2
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
Ta sẽ chuyển sang việc nghiên cứu các phép biến đổi trường bằng phương pháp phổ.
Để thực hiện việc này phải sử dụng phép biến đổi Fourier và các ứng dụng của nó trong
miền tần số ta sẽ xem xét qua về phép biến đổi Fourier và các định lý về phổ [3,4].
2.1. Phép biến đổi Fourier
Định nghĩa
Một hàm F(x) không tuần hoàn bất kỳ và có giới hạn nào đó có thể được biểu diễn
dưới dạng tích phân Fourier:
F(x)=
ωω
π
ω
deS
xj
∫
∞
∞−
)(
1
(2.1)
Trong đó:
S(
dxexF

ξξξ
dzxKVzxV
xpbd
)0,0()0,()0,0(
−=
∫
(2.44)
trong trường hợp bài toán 2 chiều.
Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng công thức tổng quát của phép biến đổi trường trong miền
tần số cũng có dạng trên, tức là:
ωωω
dFSzxV
xpbd
)()()0,0(
∫
=
(2.45)
ở đây, để đơn giản chúng ta chỉ xét trường hợp 2 chiều.
Theo lý thuyết, mối liên hệ bằng tích chập giữa đặc trưng của hàm lối ra và lối vào
dưới dạng tần số (2.33),(2.41) được mô tả giống như quá trình lọc tần số. Và như vậy,
các phép biến đổi khác nhau được sử dụng khi phân chia trường giống như các quá trình
lọc tần số có các đặc trưng khác nhau. Trong công thức tích chập (2.30) hàm
)(
1
ξ
−
xF
có
thể coi là hàm xuất phát (tín hiệu vào), còn hàm F(x) là hàm đã được biến đổi (tín hiệu
ra), theo (2.30), ta có

Với
( ), ( ), ( )
Vbd Vxf
S S F
ω ω ω
tương ứng là đặc trưng phổ của hàm biến đổi, hàm xuát
phát và nhân biến đổi. Biểu thức (2.47) mô tả mối liên hệ của
bd
V
và
xp
V
trong miền
không gian, (2.48) mô tả quan hệ của chúng trong miền tần số. Để có được công thức
liên hệ giữa miền không gian và miền tần số ta sẽ biến đổi Fourier ngược hai vế (2.48) ta
có:
ωωω
π
ω
π
ωω
deFSdeS
xj
Vbd
xj
Vbd
)()(
2
1
2

3. Nhân đặc trưng phổ của hàm xuất phát với đặc trưng tần số của phép
biến đổi.
4. Biến đổi Fourier ngược tích của hàm xuất phát với đặc trưng tần số ở
trên ta tìm được giá trị tiếp tục giải tích tại mức mới.
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM TRÊN MÔ HÌNH
VÀ KHU VỰC X THỀM LỤC ĐỊA VIỆT NAM
3.1. Mô hình và kết quả thử nghiệm
Chúng tôi chọn mô hình là khu vực quan sát giả định có chiều dài theo x và chiều rộng
theo y, mỗi chiều 64 km. Giữa khu vực, ở độ sâu 12 km có vật thể dạng cầu, có bán kính 6
km, có mật độ dư là 0.2 g/cm
3
. Nằm trên tuyến xuyên tâm theo trục X (cách tâm 15 km) về
mỗi phía, mỗi vị trí đó có một cầu thể, lần lượt có bán kính là 1 và 2 km, độ sâu là 2 và 3
km, mật độ dư của cả hai đều cho là 0.2 g/cm
3
. Mô hình khu vực giả định này nhằm mô
phỏng khu vực quan sát có trường khu vực (do cầu thể lớn ở trung tâm) và dị thường địa
phương (do các cầu thể nhỏ ở nông) tạo nên.
0 . 0 0 1 0 . 0 0 2 0 . 0 0 3 0 . 0 0 4 0 . 0 0 5 0 . 0 0 6 0 . 0 0
0 . 0 0
1 0 . 0 0
2 0 . 0 0
3 0 . 0 0
4 0 . 0 0
5 0 . 0 0
6 0 . 0 0
Hình 3.1. Trường trọng lực của cầu thể ở trung tâm
0 . 0 0 1 0 . 0 0 2 0 . 0 0 3 0 . 0 0 4 0 . 0 0 5 0 . 0 0 6 0 . 0 0
0 . 0 0

4 0 . 0 0
5 0 . 0 0
6 0 . 0 0
Hình 3.5. Tính hạ trường xuống 1 km
0 . 0 0 1 0 . 0 0 2 0 . 0 0 3 0 . 0 0 4 0 . 0 0 5 0 . 0 0 6 0 . 0 0
0 . 0 0
1 0 . 0 0
2 0 . 0 0
3 0 . 0 0
4 0 . 0 0
5 0 . 0 0
6 0 . 0 0
Hình 3.6. Tính nâng trường lên 5 km
Trên cơ sở số liệu của mô hình khu vực giả định như đã trình bày ở trên, chúng tôi đã
thử nghiệm chương trình và đánh giá khả năng tính toán, hiệu quả của một số phép biến
đổi trường đã trình bày trong các chương 1 và 2., hiệu quả của phép tính trung bình hoá và
nâng trường về cơ bản là như nhau. Tất nhiên, phụ thuộc vào bán kính trung bình hoá hoặc
mức nâng mà độ trơn (mức loại nhiễu địa phương) sẽ khác nhau (hình 3.4, 3.5, 3.8, 3.9,
3.10). Hiệu quả của phép hạ trường và tính đạo hàm theo phương thẳng đứng về cơ bản là
giống nhau. Thành phần địa phương (hai cầu thể nhỏ) đã rõ hơn sau phép tính (hình 3.6,
3.7). Hiệu quả của việc tính đạo hàm ngang cực đại lại hơi khác, nó cho ta thấy rõ đường
biên, phần tiếp xúc giữa các khối vật chất chênh lệch nhau về mật độ.
Với các kết quả thử nghiệm mô hình như trên, chúng ta có thể yên tâm hơn khi sử
dụng qui trình như đã nói trên trong việc phân tích xử lý tài liệu thực tế.
3.2. Kết quả thử nghiệm cho vùng X thuộc thềm lục địa Việt nam
1 0 6 . 5 0 1 0 7 . 0 0 1 0 7 . 5 0 1 0 8 . 0 0 1 0 8 . 5 0 1 0 9 . 0 0 1 0 9 . 5 0
6 . 0 0
6 . 5 0
7 . 0 0
7 . 5 0

1 0 6 . 5 0 1 0 7 . 0 0 1 0 7 . 5 0 1 0 8 . 0 0 1 0 8 . 5 0 1 0 9 . 0 0 1 0 9 . 5 0
6 . 0 0
6 . 5 0
7 . 0 0
7 . 5 0
8 . 0 0
8 . 5 0
9 . 0 0
9 . 5 0
Hình 3.18. Bản đồ nâng trường lên 30 km
Trên các hình từ 3.14 đến 3.18 là các bản đồ của trường được nâng lên các độ cao
khác nhau. Ta thấy đến các mức nâng 20 km và 30 km, giá trị trường đã rất ít thay đổi,
vì vậy có thể việc tính nâng cao hơn là không cần thiết. Kết hợp nâng với việc tính đạo
hàm ngang cực đại ta sẽ có các bức tranh dưới đây.
1 0 7 . 0 0 1 0 7 . 5 0 1 0 8 . 0 0 1 0 8 . 5 0 1 0 9 . 0 0
6 . 5 0
7 . 0 0
7 . 5 0
8 . 0 0
8 . 5 0
9 . 0 0
Hình 3.21. Tính đạo hàm ngang cực đại trên nền mức nâng 20 và 30 km
Qua các hình từ 3.19 đến 3.21 ta thấy sự “băm nát” của hình dần bị mất đi. Như vậy,
khi nâng trường lên các độ cao lớn các yếu tố địa phương đã mất dần. Ở mức nâng 20
đến 30 km có thể tồn tại ảnh hưởng của cấu trúc khá sâu và rất sâu, trong địa chất có thể
coi như các đứt gãy cấp 1. Rõ ràng, với công cụ biến đổi trường (kết hợp nâng và đạo
hàm ngang cực đại) có thể phát hiện đặc điểm cấu trúc của các tầng nông sâu khác nhau.
Trên hình vẽ đạo hàm ngang cực đại hướng mũi tên chỉ hướng véc tơ đạo hàm ngang từ
cao xuống thấp. Có thể dựa vào đó để nói về sự nâng lên hay hạ xuống của các đối tượng
địa chất.