ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Ngọc Chiến

PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRỌNG LỰC
VÀ VIỆC ÁP DỤNG CHÚNG CHO KHU VỰC X
THUỘC THỀM LỤC ĐỊA VIỆT NAM Chuyên ngành: Vật lý Địa Cầu
Mã số: 60 44 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Đức Vinh Hà Nội - 2012


KẾT LUẬN 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47
2

DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ

Trang

Bảng 2.1. Đặc trưng tần số của các phép biến đổi trường trọng lực 31

Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trường lên nửa không gian trên. 10
Hình 1.2. Minh họa cho công thức 1.34 13
Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c) 17
Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang 17
Hình 2.1. Vị trí của mặt quan sát, mặt tính chuyển và vật thể 28
Hình 3.1. Trường trọng lực của quả cầu và các đạo hàm 33
Hình 3.2. Trường trọng lực của cầu thể ở trung tâm 34
Hình 3.3. Trường trọng lực mô hình có ba cầu thể 34
Hình 3.4. Tính trung bình trường (bán kính 3 km) 35
Hình 3.5. Tính trung bình trường (bán kính 7 km) 35
Hình 3.6. Tính đạo hàm thẳng đứng (bậc 1) 36
Hình 3.7. Tính hạ trường xuống 1 km 36
Hình 3.8. Tính nâng trường lên 1 km 37
Hình 3.9. Tính nâng trường lên 3 km 37
Hình 3.10. Tính nâng trường lên 5 km 38
Hình 3.11. Tính đạo hàm ngang cực đại 38
Hình 3.12. Bản đồ trọng lực Bughe khu vực X 39

Bài toán biến đổi trường thế nói chung đã được các thày giáo và nhiều thế hệ
sinh viên ở bộ môn Vật lý địa cầu, trường ĐH Khoa học Tự nhiên quan tâm nghiên
cứu. Nhiều phần mềm loại này có xuất sứ từ bộ môn đã được cả các cơ sở bên ngoài
trường sử dụng. Tuy nhiên, chúng ta đều biết, các bài toán biến đổi thông tin rất khó
tránh khỏi sự mất mát hoặc méo mó một phần nào đó của thông tin ban đầu. Trong
phạm vi bản luận văn này, học viên được giao nhiệm vụ tìm hiểu lý thuyết, xây dựng
chương trình và thử nghiệm xem xét một bài toán ứng dụng nhỏ của phép biến đổi
trường trong nghiên cứu địa chất trên một khu vực thuộc thềm lục địa Việt nam.
Bài toán đặt ra thuộc loại cơ bản, truyền thống, được trình bày trong các tài
liệu giáo khoa nhưng đối với một học viên mới làm quen với lĩnh vực địa vật lý,
nhiệm vụ đặt ra vẫn là mới mẻ. Các kết quả thử nghiệm có được mới chỉ là khởi đầu.
Luận văn với tiêu đề “Phương pháp biến đổi trường trọng lực và việc áp dụng
chúng cho khu vực X thuộc thềm lục địa Việt Nam” được trình bày trong ba chương: 2
Chƣơng 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian
Chƣơng 2: Các phép biến đổi trường trong miền tần số
Chƣơng 3: Một số kết quả thử nghiệm trên mô hình và khu vực X thềm lục
địa Việt nam
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn luận văn còn những khiếm
khuyết, rất mong được các thầy các cô chỉ bảo, bổ khuyết.
Dưới dạng toán học, tất cả các phép biến đổi đều được biểu diễn bằng công
thức sau đây [3]:
V
bđ
(x0,y0,z0)=

ddzyxKV
xp

 )0,0,0()0,,(
(1.1)
Trong trường hợp bài toán ba chiều, và:
V
bđ
(x0,z0)=


 dzxKV
xp
)0,0()0,(
(1.2)
Trong trường hợp bài toán hai chiều, trong đó:
+
( 0, 0, 0)
bd
V x y z
và
( 0, 0)
bd
V x z

)0,0( zxK


thường là các toán tử tuyến tính nên tất
cả các biến đổi tương ứng gọi là các biến đổi tuyến tính.
Phép biến đổi trường trọng lực và từ trong miền không gian chia làm ba
nhóm chính:
+ Trung bình hoá.
+ Tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực (xem như là các hàm điều hoà).
+ Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực.
Chúng ta lần lượt xét đến các nhóm phương pháp trên.
1.1. Phƣơng pháp trung bình hóa
Việc phân chia các dị thường trọng lực ra thành các thành phần khu vực và địa
phương nhờ phương pháp trung bình hoá được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Bản
chất của phương pháp trung bình hoá như sau: Xem trường trọng lực quan sát được
gồm hai thành phần, thành phần khu vực V
r
và thành phần địa phương V
l
.
V = V
r
+ V
l
(1.3)
Lấy trung bình trường quan sát được trong phạm vi của đường tròn bán kính
R. Giá trị trung bình đó được biểu diễn bằng tích phân sau [1,2,3]:
V
(0,0,0)=
2


5
Sau khi tính được trường khu vực V
r
, trường dị thường địa phương tính theo
công thức:
V
l
= V -
V

(1.6)
Để làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý của phương pháp trung bình hoá, người ta đưa
vào khái niệm về mức độ trung bình hoá, đó là tỷ số giữa trường được trung bình
hoá và trường xuất phát.
V
V


(1.7)
Mức độ trung bình hoá đồng thời đặc trưng cho mức độ chính xác của việc
tách trường địa phương.
Trong thực tế bán kính trung bình hoá R được chọn bằng phương pháp thực
nghiệm theo trường đo được bằng cách áp dụng phương pháp tại các điểm khác
nhau của trường với các bán kính trung bình khác nhau người ta vẽ đồ thị biểu diễn
sự phụ thuộc giữa trường trung bình và bán kính trung bình. Theo đồ thị [1] ta sẽ
chọn được bán kính trung bình tối ưu R
tư
, R
tư

M(z) - Dị thường trọng lực sau biến đổi.
M
bt
(z) - Dị thường trọng lực chưa biến đổi.
Các công thức này được Andrêep và Klusin xây dựng công thức tính như sau:
M
bt
(z) =

 
 

dJgd )()(
0
0 0
2
0
1
z
de
z






(1.8)
+
)(

R
RJ






0
1
)(2
=
)(
2
2222
RZZRZ 
(1.9)

7
Thay M(z) và M
bt
(z) vào N(z) ta có:
N(z) =
)(
2
2222
2

Cơ sở của phương pháp tiếp tục giải tích trường các dị thường trọng lực và từ
là: Hàm thế được xem như một hàm điều hoà.
Theo lý thuyết trường thế, nếu biết trước sự phân bố của các hàm thế hay các
đạo hàm của chúng trong một miền nào đó không chứa vật thể gây dị thường, ta có
thể xác định chúng trong toàn bộ không gian kể cả phần bên trong của vật thể chỉ 8
trừ các điểm đặc biệt, tại đó tính điều hoà của hàm số không tồn tại. Việc xác định
hàm điều hoà V(x,y,z) và các đạo hàm của nó trong miền tồn tại hàm theo các giá
trị cho trước tại một miền hẹp nào đó được gọi là tiếp tục giải tích trường. Cần phải
chú ý rằng các đạo hàm của thế trọng lực và từ cũng là những hàm điều hoà.
Phương pháp tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực và từ không những được
sử dụng rộng rãi để tách các dị thường mà đôi khi còn được sử dụng để xác định các
thông số của vật thể gây nên dị thường. Các dị thường do các vật thể có kích thước
khác nhau và nằm ở những độ sâu khác nhau sẽ bị biến đổi khác nhau trong quá
trình tiếp tục giải tích.
Để thấy rõ ý nghĩa của việc tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực ta xét ví
dụ sau:
+ Hai quả cầu, một nằm ở độ sâu h có khối lượng M, một nằm ở độ sâu nh và
có khối lượng n
3
M. Các dị thường trọng lực do các quả cầu gây ra trên mặt đất tại
điểm trên tâm cầu tương ứng là:
V
z1
(0,0,0) =
2
h
kM

và V
z2
(0,0,-H) =
22
3
)1( nh
Mkn

Nên
3
2
2
1
(0,0, ) 4
(0,0, ) ( 1)
z
z
V H n
n
V H n




(1.14)
Khi n

1.
Như vậy, khi tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực lên nửa không gian trên
thì các dị thường do các khối vật chất nằm nông hơn sẽ giảm đi rất nhiều so với các

z
z

2
3
1
2
)12(
),0,0(
),0,0(


(1.15)
khi n>1.
Điều này chứng tỏ rằng, khi tiếp tục giải tích các dị thường trọng lực xuống
nửa không gian bên dưới thì dị thường khu vực V
z2
tăng lên chậm so với dị thường
địa phương V
z1
. Dị thường địa phương được làm rõ hơn qua phép biến đổi.
Sau đây là một số bài toán tiếp tục giải tích cụ thể.
1.2.1. Bài toán tiếp tục giải tích trường lên nửa không gian trên.
Nếu hàm điều hoà cho trước trên hình cầu hay trên mặt phẳng thì để xác định
hàm đó trong không gian ngoài người ta có thể sử dụng công thức Poisson.
Trong hệ toạ độ vuông góc, trục Z hướng xuống dưới, tích phân Poisson có dạng:
V(x,y,-z) =
 
 



rdrd
zr
rVz



2
0 0
2322
)(
)0,,(
2
(1.17)
Nếu biến đổi tích phân Poisson trong hệ toạ độ vuông góc bằng cách lấy tích
phân theo biến

từ

ta sẽ thu được tích phân Poisson trong trường hợp hai
chiều:
V(x,-z) =




d
zx
Vz


dạng đơn giản hơn [6]. Biểu thức (1.18) không phụ thuộc vào gốc tọa độ mà phụ
thuộc vào hiệu -x nên ta có thể đặt gốc tọa độ ở vị trí trái nhất của tuyến quan sát.
Ta chia đoạn tuyến quan sát ra các khoảng  đều nhau, sao cho điểm quan sát nằm
ở trung tâm khoảng chia ấy. Giả sử có m điểm quan sát thì khoảng tích phân sẽ là từ
0 đến m như hình 1.1.

Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trƣờng lên nửa không gian trên.

Biểu thức (1.18) có thể biến đổi như sau [6]:
V(x,-z) =
22
0
1 ( ,0)
()
m
zV
d
xz








22
/2
1
/2

j
V C x




(1.20)
Ở đây,
( ,0)
j
V

là giá trị trường quan sát, còn các hệ số
()
j
Cx
được xác định :
()
j
Cx
= arctg
/2
j
x
z

  
- arctg
/2
j

V(0,0) =




22
),(
h
hVh




d
(1.22)
Do hàm số chưa biết V(
h,

) nằm dưới dấu tích phân nên để giải bài toán này
ta phải giải phương trình tích phân. Có thể giải phương trình này bằng phương pháp
gần đúng liên tiếp. Bản chất của phương pháp đó như sau:
Trường ở độ cao h so với mặt quan sát sẽ có độ lớn nhỏ hơn so với độ lớn
trường tại mặt quan sát, ta có độ chênh lệch đó, tạm gọi là
V
1

( giả sử trục z hướng
xuống dưới):
V
1


2
V (1.27)
hay :
V(0,h)=3V(0,0) – 3V(0,-h) + V(0,-2h) (1.28)
Tiếp tục làm như trên đến hiệu số thứ n thu được công thức gần đúng:
V(0,h) =
),0()1(
1
1
0
khVC
k
n
n
k
k





(1.29)
Thay các hàm số V(0,-kh) trong công thức trên bằng tích phân Poisson và tách
riêng số hạng đầu tiên của tổng, ta có:
V(0,h) = (n+1)V(0,0) +





1
1
k
n
)!()!1(
)!1(
knk
n


(1.31)
Để tính tích phân này người ta thay bằng tổng các tích phân có cận giới nội,
khi đó:
V(0,h) = (n+1) V(0,0) +
i
i
i
KV



(1.32)
Với
)(
1
)1()1(
1
1
1
1

















(1.33)
Dựa vào công thức trên có thể thành lập các Pa-let để tính chuyển trường
xuống nửa không gian dưới.
* Phƣơng pháp thứ 2.
Phương pháp này sử dụng định lý trung bình của Gauss. Trong trường hợp bài
toán hai chiều, ông cho rằng giá trị trung bình của hàm thế trên vòng tròn chính
bằng giá trị của hàm tại tâm vòng tròn đó: 13
V(0,0) =


drV

phép đơn giản nhiều các thông số của vật thể. Việc tính các đạo hàm bậc cao hơn so
với các thành phần đo được cũng cho phép người ta phân chia trường thành các
thành phần khu vực và địa phương riêng biệt. 14
Để tìm các công thức tính đạo hàm bậc cao của thế trọng lực theo các giá trị
quan sát được trên mặt đất, người ta có thể vi phân công thức Poisson (1.16) hay
(1.17) hoặc dùng nghiệm của bài toán Neuman. Bài toán Neuman là bài toán tính
hàm V(x,y,z) trong miền

bị giới hạn bởi mặt S và thoả mãn các điều kiện sau :
+ Hàm V(x,y,z) liên tục trong toàn bộ miền

, kể cả mặt S.
+ V(x,y,z) trong miền

phải thoả mãn phương trình Laplax (điều kiện để
V(x,y,z) là hàm điều hoà).
+ Đạo hàm theo pháp tuyến của hàm V trên mặt S phải nhận giá trị cho trước.
Hàm thế trọng lực là hàm thoả mãn cả 3 điều kiện trên. Trong hệ toạ độ Đề
các, nghiệm của bài toán Neuman ngoài được xác định bằng công thức:
V(x,y,z) =
 
 






zyx
V
zyx
zyxV
pnm
pnm
z
pnm
pnm


















 
2
1








2
0 0
22
2
2
3
)(
cos)0,,(
2
1
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
x
(1.41)
V







2
0 0
22
22222
2
5
)(
)sincos2)(0,,(
2
1
),0,0(
zr
rdrdzrrrV
z
z
xx
(1.43)

V








2
0 0

5
)(
2cos)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
(1.45)
V








2
0 0
22
22
2
5
)(
)2)(0,,(
2
1

z
xz
(1.47)

V







2
0 0
22
2
2
5
)(
sin)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdzrrV
z
z
yz
(1.48)
2V

người ta sử dụng công thức Laplax. Tại một điểm bất
kỳ theo phương nằm ngang V
zzz
được xác định theo công thức:






 )2(
12
1
)2(
12
1
)(
3
4
)(
3
4
)(
2
51
)(
2
haVhaVhaVhaVaV
h
aV




d
zx
LnV
z
2
1
22
)(
1
)0,(
1




(1.52)
Công thức tổng quát để tính đạo hàm hai chiều là:
 




d
zx
Ln
aa
a

Sau đây là một số công thức tính đạo hàm trong trường hợp 2 chiều:
V










d
z
Vz
zx
22
)0,(
1
),0(
(1.54)
V











(1.56)
V











d
z
z
Vz
zzz
222
22
)(
)0,(
1
),0(
(1.57)
V



trường hợp hai chiều các công thức tính V
x
,V
z
khi z=0 là các tích phân đặc biệt,
chúng chỉ hội tụ với những điểm đặc biệt của hàm số V. Để tránh khó khăn này ta
thay V(r,
0,

) bằng V(r,
0,

)– V(0,0,0). Việc thay thế này không ảnh hưởng tới kết
quả tính, nhờ các thay thế này mà các thành phần sẽ nhận các giá trị giới nội [3,5].
Để tính gần đúng tích phân trên trong trường hợp 3 chiều, người ta chia toàn
bộ diện tích lấy tích phân bằng những vòng tròn đồng tâm và các tia xuyên tâm. Với
hướng tính như vậy, rất nhiều palet được xây dựng giúp cho việc tính toán các đạo
hàm được tiện lợi như palet Malovisco, palet Vexelop, palet Chepkin để tính đạo
hàm thẳng đứng và palet để tính đạo hàm ngang [5]. 17

Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c) Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang
Nhìn chung, các sách giáo khoa kinh điển về thăm dò từ và trọng lực
[1,2,3,4,5,6] đều không đưa các công thức giải tích để có thể tính toán các đạo hàm
bậc cao của thế trọng lực. Trong trường hợp bài toán hai chiều, một số tác giả đề


19
CHƢƠNG 2
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƢỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ

Ta sẽ chuyển sang việc nghiên cứu các phép biến đổi trường bằng phương
pháp phổ. Để thực hiện việc này phải sử dụng phép biến đổi Fourier và các ứng
dụng của nó trong miền tần số ta sẽ xem xét qua về phép biến đổi Fourier và các
định lý về phổ [3,4].
2.1. Phép biến đổi Fourier
2.1.1. Định nghĩa
Một hàm F(x) không tuần hoàn bất kỳ và có giới hạn nào đó có thể được biểu
diễn dưới dạng tích phân Fourier:
F(x)=



deS
xj



)(
1
(2.1)
Trong đó:
S(
dxexF
xj


là
Modun của phổ:
)(Im)(Re)(
22

SssS 
(2.3)
Trong đó, Res(

) là phần thực của phổ.
Ims(

) là phần ảo của phổ.
Góc
)(Re
)(Im
)(



s
s
Arctg
(2.4)
gọi là phổ pha.
Biến đổi Fourier 2 chiều của F(x,y) có dạng: 20
F(x,y)=

, y=rsin

, u=

cos

, v=

sin

,
dxdy=rdrd

, dudv=

d

d

.
Khi đó, nếu x, y biến thiên từ

thì r biến đổi từ 0

còn

từ 0

2




ddeS
jr )cos(
2
0 0
),(
2
1



(2.7)
Lấy tích phân vế trái và vế phải của biểu thức trên theo

và đặt:
F(r)=



drF

2
0
),(
2
1
(2.8)
là giá trị trung bình của F(r,


jr )cos(
0
2
0
)(
2
1


 
(2.10)
22
vu 
21
hay
F(r)=




dedS
jr


 2
0
)cos(

Lập luận tương tự như trên, ta có:
S(

)
rdrrJrF )()(
0
0




(2.14)
Trong đó: J
)(
0
r

là hàm Bessel trụ bậc 0, (2.13) và (2.14) gọi là biến đổi
Hanken bậc 0.
2.1.2. Các định lý về phổ
* Định lý về phép cộng:
Giả sử hàm F(x)=

k
k
xF )(
thì
S(

)=

 Định lý về dịch chuyển:
Giả sử, F

(x) = F(x-

), thì khi đó:
S
( ) ( ) ( )
j x j x
F x e dx F x e dx





 
  

(2.16)
Nếu đặt biến t=x-

thì chúng ta nhận được: 22
S
( ) ( )
j j t
e F t e dt
 

F


thì
S
1
'
( ) ( )
jx
F x e dx







(2.19)
lấy tích phân từng phần ta có
S
1
( ) ( ) ( )||
j x j x
F x e j F x e dx







x z F x z
z



thì khi đó:
( ) ( , )
jx
z
S F x z e dx
z









(2.23)
Đối với các hàm điều hòa như thế và đạo hàm của trường trọng lực hoặc từ thì
có thể viết [4]:
( , ) ( , )
j x j x
F x z e dx F x z e dx
zz


