MỤC LỤC
Trang
Chương 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian 2
CHƯƠNG 1 3
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN 3
1.1. Phương pháp trung bình hóa 4
1.2. Phương pháp tiếp tục giải tích trường 8
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực: 14
1.4. Tính đạo hàm ngang cực đại 19
CHƯƠNG 2 20
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 20
2.1. Phép biến đổi Fourier 20
CHƯƠNG 3 33
KẾT LUẬN 47
DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ
Trang
Bảng 2.1. Đặc trưng tần số của các phép biến đổi trường trọng lực . Error: Reference
source not found
Chương 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian 2
CHƯƠNG 1 3
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN 3
Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trường lên nửa không gian trên 11
Hình 1.2. Minh họa cho công thức 1.34 14
Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c) 18
Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang 18
CHƯƠNG 2 20
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRƯỜNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 20
Hình 2.1. Vị trí của mặt quan sát, mặt tính chuyển và vật thể 29
Bảng 2.1. Đặc trưng tần số của các phép biến đổi trường trọng lực 32
CHƯƠNG 3 33
Hình 3.1. Trường trọng lực của quả cầu và các đạo hàm 34

địa chất vùng thềm lục địa.
Biến đổi trường trọng lực quan sát được là một trong các bài toán cơ bản và
quan trọng trong lĩnh vực phân tích và xử lý số liệu. Từ các số liệu quan sát được,
sau khi tiến hành các hiệu chỉnh cần thiết người ta có thể tính chuyển lên xuống các
mức khác nhau so với mức quan sát được, có thể tính các đạo hàm, làm trơn với các
mức độ khác nhau Nhìn chung, mục đích của bài toán biến đổi trường là để nhấn
mạnh thành phần nào đó của trường và giảm bớt ảnh hưởng của thành phần trường
mà ta chưa hoặc không quan tâm.
Bài toán biến đổi trường thế nói chung đã được các thày giáo và nhiều thế hệ
sinh viên ở bộ môn Vật lý địa cầu, trường ĐH Khoa học Tự nhiên quan tâm nghiên
cứu. Nhiều phần mềm loại này có xuất sứ từ bộ môn đã được cả các cơ sở bên ngoài
trường sử dụng. Tuy nhiên, chúng ta đều biết, các bài toán biến đổi thông tin rất khó
tránh khỏi sự mất mát hoặc méo mó một phần nào đó của thông tin ban đầu. Trong
phạm vi bản luận văn này, học viên được giao nhiệm vụ tìm hiểu lý thuyết, xây dựng
chương trình và thử nghiệm xem xét một bài toán ứng dụng nhỏ của phép biến đổi
trường trong nghiên cứu địa chất trên một khu vực thuộc thềm lục địa Việt nam.
1
Bài toán đặt ra thuộc loại cơ bản, truyền thống, được trình bày trong các tài
liệu giáo khoa nhưng đối với một học viên mới làm quen với lĩnh vực địa vật lý,
nhiệm vụ đặt ra vẫn là mới mẻ. Các kết quả thử nghiệm có được mới chỉ là khởi đầu.
Luận văn với tiêu đề “Phương pháp biến đổi trường trọng lực và việc áp dụng
chúng cho khu vực X thuộc thềm lục địa Việt Nam” được trình bày trong ba chương:
Chương 1: Các phương pháp biến đổi trường trong miền không gian
Chương 2: Các phép biến đổi trường trong miền tần số
Chương 3: Một số kết quả thử nghiệm trên mô hình và khu vực X thềm lục
địa Việt nam
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn luận văn còn những khiếm
khuyết, rất mong được các thầy các cô chỉ bảo, bổ khuyết.
2
CHƯƠNG 1

V
bđ
(x0,z0)=
ξξξ
∫∫
− dzxKV
xp
)0,0()0,(
(1.2)
Trong trường hợp bài toán hai chiều, trong đó:
+
( 0, 0, 0)
bd
V x y z
và
( 0, 0)
bd
V x z
là các hàm số đã được biến đổi.
+
)0,,(
ηξ
xp
V
và
)0,(
ξ
xp
V
là các hàm số xuất phát (trường tổng).

gồm hai thành phần, thành phần khu vực V
r
và thành phần địa phương V
l
.
4
V = V
r
+ V
l
(1.3)
Lấy trung bình trường quan sát được trong phạm vi của đường tròn bán kính
R. Giá trị trung bình đó được biểu diễn bằng tích phân sau [1,2,3]:
V
(0,0,0)=
2
1
R
π

2
0 0
( , ,0)V r rdrd
π
α α
∞
∫∫

(1.4)
Bán kính R được chọn sao cho lớn hơn nhiều so với kích thước của các dị

=
ε
(1.7)
Mức độ trung bình hoá đồng thời đặc trưng cho mức độ chính xác của việc
tách trường địa phương.
Trong thực tế bán kính trung bình hoá R được chọn bằng phương pháp thực
nghiệm theo trường đo được bằng cách áp dụng phương pháp tại các điểm khác
nhau của trường với các bán kính trung bình khác nhau người ta vẽ đồ thị biểu diễn
sự phụ thuộc giữa trường trung bình và bán kính trung bình. Theo đồ thị [1] ta sẽ
5
chọn được bán kính trung bình tối ưu R
tư
, R
tư
được chọn là đại lượng R mà từ đó
Vz(R) không thay đổi theo R nữa, hoặc R
tư
là giá trị Vz(R) của R tương ứng với
điểm uốn.
Trong phương pháp trung bình hoá, ngoài cách lấy trung bình theo vòng tròn
người ta còn lấy trung bình theo các hình khác nhau. Một trong các hình hay được
dùng là hình vuông , nhờ có Pa-lét vuông mà khối lượng phép tính được giảm đi rất
nhiều. Phương pháp trung bình hoá cũng như phép biến đổi trường trong miền
không gian thường được thực hiện bằng Pa-lét. Người ta đưa ra các tiêu chuẩn để
đánh giá khả năng lọc của Pa-lét qua việc đánh giá độ sâu. Đó là quá trình theo dõi
sự biến đổi dị thường theo chiều sâu do một đơn vị nguồn điểm nằm tại độ sâu Z
chứa toàn bộ nguồn của dị thường cần tách ra.
Trong phương pháp trung bình hoá, để đánh giá độ sâu người ta thường đưa
vào một đại lượng gọi là đại lượng đặc trưng tương đối ký hiệu là N(z). Đại lượng
này được định nghĩa như sau:

z
=
∫
∞
−
αα
α
(1.8)
+
)(
ρ
g∆
là giá trị trung bình của trường dị thường được quan sát trên đường
tròn bán kính
ρ
nhận được sau khi tính toán với các giá trị đọc được tại các điểm
nút của Palét.
+
),(
0
ρα
J
là hàm Bessel loại 1 cấp 0, nó khác với hàm J
0
(x) và J
1
(x) giống như
sự khác biệt của
)( xCOS
α

N(z) =
)(
2
2222
2
RZZRZ
Z
+++
(1.10)
với : Z- Độ sâu đến vật thể gây ra dị thường.
R- Bán kính trung bình hoá.
Theo công thức trên ta thấy N(z) là một hàm phụ thuộc vào độ sâu thế nằm Z.
Khảo sát hàm N(z) thấy Z
0→
thì N(z)
0→
Z
∞→
thì N(z)
1→
7
Nhìn đồ thị ta thấy dị thường gây ra bởi các vật thể nằm ở độ sâu bằng khoảng
lấy trung bình Z = 2R và độ sâu hơn nữa là hầu như không thể thay đổi. N(
rz
) bắt
đầu tiệm cận với N(
rz
) = 1 từ
rz
= 2. Có thể chọn Z=2R làm độ sâu nghiên cứu.

kM
(1.11)
V
z2
(0,0,0) =
22
3
hn
Mkn
=
2
h
kMn
(1.12)
Tức là:
n
V
V
z
z
=
1
2
(1.13)
nếu tiếp tục giải tích các dị thường này lên độ cao H = h, thì:
V
z1
(0,0,-H) =
2
4h

dị thường có nguồn gốc sâu hơn.
Bây giờ ta lại tiếp tục giải tích các dị thường đó xuống nửa không gian bên
dưới đến độ sâu H=0.5h. Tương ứng ta có:
V
z1
(0,0,H)

=
2
4
h
kM
và V
z2
(0,0,H) =
22
3
)12(
4
−nh
kMh
n
n
n
HV
HV
z
z

2

π
ηξ
ξηηξ
π
2
23
222
)(x)-(
)0,,(
2
zy
ddVz
(1.16)
Trong đó: V(x,y,-z) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm (x,y,-z)
V(
0,,
ηξ
) là giá trị của hàm điều hoà tại điểm trên mặt phẳng x0y.
Trong hệ toạ độ trụ thẳng đứng (r,
,
α
z) có gốc toạ độ nằm tại hình chiếu của
điểm cần tính hàm trên mặt phẳng x0y thì tích phân Poisson trên sẽ có dạng:
V(x,y,-z) =
α
α
π
π
rdrd
zr

22
)(
)0,(
(1.18)
Đối với điểm có toạ độ (0,-h) nằm tại độ cao h thì:
V(0,-h) =
ξ
ξ
ξ
π
d
h
Vh
∫
∞
∞−
+
22
)0,(
(1.19)
Trên cơ sở các biểu thức dạng (1.18),(1.19) người ta đã xây dựng các palet
dùng cho việc tính chuyển trường lên các mức cao hơn mặt quan sát [1,2,3].
Để có thể tính toán trực tiếp mà không sử dụng palet, có thể đưa (1.18) về
dạng đơn giản hơn [6]. Biểu thức (1.18) không phụ thuộc vào gốc tọa độ mà phụ
10
thuộc vào hiệu ξ-x nên ta có thể đặt gốc tọa độ ở vị trí trái nhất của tuyến quan sát.
Ta chia đoạn tuyến quan sát ra các khoảng ∆ξ đều nhau, sao cho điểm quan sát nằm
ở trung tâm khoảng chia ấy. Giả sử có m điểm quan sát thì khoảng tích phân sẽ là từ
0 đến m∆ξ như hình 1.1.
Hình 1.1. Sơ đồ tính chuyển trường lên nửa không gian trên.

z
V d
x z
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
π ξ
+ ∆
=
− ∆
− +
∑
∫
=
=
1
( )
1
( ,0)
m
j
j
j
V C x
ξ
π
=
∑
(1.20)
Ở đây,

1
=ξ
1
, x
2
=ξ
2

1.2.2. Bài toán tiếp tục giải tích trường xuống nửa không gian dưới
Việc tiếp tục giải tích các hàm điều hoà xuống nửa không gian bên dưới phức
tạp hơn nhiều so với việc tiếp tục giải tích xuống nửa không gian bên trên. Bài toán
tiếp tục giải tích xuống nửa không gian bên dưới là bài toán không ổn định với mỗi
11
biến đổi nhỏ của hàm xuất phát sẽ cho giá trị của hàm được tiếp tục giải tích xuống
dưới bị sai lệch đi rất nhiều.
Hiện nay có rất nhiều phương pháp để tính chuyển trường xuống nửa không
gian bên dưới nhưng ta chỉ xét đến một vài phương pháp thường được sử dụng.
* Phương pháp thứ 1 :
Để tiếp tục giải tích trường ta sử dụng trực tiếp công thức Poisson tương tự
(1.18) [2]:
V(0,0) =
∫
∞
∞−
+
22
),(
h
hVh
ξ

V
1
∆
(1.25)
hay:
V(0,h) = 2V(0,0) – V(0,-h) (1.26)
Sau đó tiếp tục tính chuyển trường lên mức –2h thì ta sẽ có hiệu số giới nội
trong khoảng (-h,-2h) và ký hiệu hiệu số giới nội này là
∆
2
V, ta sẽ có công thức
gần đúng:
V(0,h) = V(0,0) +
V
1
∆
+
∆
2
V (1.27)
hay :
V(0,h)=3V(0,0) – 3V(0,-h) + V(0,-2h) (1.28)
12
Tiếp tục làm như trên đến hiệu số thứ n thu được công thức gần đúng:
V(0,h) =
),0()1(
1
1
0
khVC

C
k
n
k
n
k
222
1
1
1
)0,(
)1(
(1.30)
Với:
C
=
+
+
1
1
k
n
)!()!1(
)!1(
knk
n
−+
+
(1.31)
Để tính tích phân này người ta thay bằng tổng các tích phân có cận giới nội,

ii
k
n
n
k
kk
n
k
n
k
i
i
i
ξξ
π
ξ
ξ
π
ξ
ξ
−−=
+
−=
+
+
+
=
+
+
=

4 điểm nằm trên mặt phẳng xích đạo và 2 điểm ở 2 cực [5]:
V(0,0,h) = 6V(0,0,0) – V(0,0,-h) - 4
)(rV
(1.36)
)(rV
=
4
1
[V(-h,0,0) + V(h,0,0) + V(0,-h,0) + V(0,h,0)] (1.37)
nhờ các công thức trên ta có thể tiếp tục giải tích xuống nửa không gian dưới theo
phương pháp mạng lưới.
1.3. Tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng lực:
Khi phân tích các số liệu trọng lực, việc tính toán các đạo hàm bậc cao của thế
trọng lực đóng vai trò quan trọng. Trong nhiều trường hợp các đạo hàm bậc cao cho
phép đơn giản nhiều các thông số của vật thể. Việc tính các đạo hàm bậc cao hơn so
với các thành phần đo được cũng cho phép người ta phân chia trường thành các
thành phần khu vực và địa phương riêng biệt.
Để tìm các công thức tính đạo hàm bậc cao của thế trọng lực theo các giá trị
quan sát được trên mặt đất, người ta có thể vi phân công thức Poisson (1.16) hay
(1.17) hoặc dùng nghiệm của bài toán Neuman. Bài toán Neuman là bài toán tính
hàm V(x,y,z) trong miền
Ω
bị giới hạn bởi mặt S và thoả mãn các điều kiện sau :
+ Hàm V(x,y,z) liên tục trong toàn bộ miền
Ω
, kể cả mặt S.
14
+ V(x,y,z) trong miền
Ω
phải thoả mãn phương trình Laplax (điều kiện để

trên mặt phẳng quan sát) người ta có thể dựa vào công thức trên để tính hàm thế V. Sau
khi đã xác định được hàm V, bằng cách lấy đạo hàm theo các toạ độ tương ứng người
ta có thể xác định được các đạo hàm với các bậc khác nhau của thế trọng lực.
Trên cơ sở này công thức tổng quát để tính các đạo hàm bậc cao của thế trọng
lực có dạng:
[ ]
ηξ
ηξ
ηξ
π
dd
zyx
zyx
V
zyx
zyxV
pnm
pnm
z
pnm
pnm






+−+−
∂∂∂
∂

22
2
1
)(
)0,,(
2
1
zr
rdrdrV
z
(1.40)
V
∫∫
∞
+
=−
π
ααα
π
2
0 0
22
2
2
3
)(
cos)0,,(
2
1
),0,0(

(1.42)
V
∫∫
∞
+
−−
=−
π
αααα
π
2
0 0
22
22222
2
5
)(
)sincos2)(0,,(
2
1
),0,0(
zr
rdrdzrrrV
z
z
xx
(1.43)
V
∫∫
∞

=−
π
ααα
π
2
0 0
22
3
2
5
)(
2cos)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdrrV
z
z
(1.45)
V
∫∫
∞
+
−
=−
π
αα
π
2

)(
cos)0,,(
2
3
),0,0(
zr
drdzrrV
z
z
xz
(1.47)
V
∫∫
∞
+
=−
π
ααα
π
2
0 0
22
2
2
5
)(
sin)0,,(
2
3
),0,0(

(1.49)
Ngoài những công thức để tính đạo hàm bậc một và hàm bậc hai như trên,
trong thực tế người ta còn sử dụng công thức tính đạo hàm bậc ba V
zzz
vì nó cho độ
phân giải cao. Để tính V
zzz
người ta sử dụng công thức Laplax. Tại một điểm bất
kỳ theo phương nằm ngang V
zzz
được xác định theo công thức:






−+++−−+−−= )2(
12
1
)2(
12
1
)(
3
4
)(
3
4
)(

,
) trong bài toán Neuman và trong hệ Đềcac:
V(x,-z) =
[ ]
ξ
ξ
ξ
π
d
zx
LnV
z
2
1
22
)(
1
)0,(
1
+−
∫
∞
∞−
(1.52)
Công thức tổng quát để tính đạo hàm hai chiều là:
16
[ ]
ξ
ξ
ξ

+
∞
∞−
+
∫
(1.53)
Sau đây là một số công thức tính đạo hàm trong trường hợp 2 chiều:
V
∫
∞
∞−
+
=−
ξ
ξ
ξ
ξ
π
d
z
Vz
zx
22
)0,(
1
),0(
(1.54)
V
∫
∞

),0(),0(),0(
−
=−=−−=−
∫
∞
∞−
∆
(1.56)
V
∫
∞
∞−
+
−
=−
ξ
ξ
ξ
ξ
π
d
z
z
Vz
zzz
222
22
)(
)0,(
1

,V
yy
,V
zz
và trong
trường hợp hai chiều các công thức tính V
x
,V
z
khi z=0 là các tích phân đặc biệt,
chúng chỉ hội tụ với những điểm đặc biệt của hàm số V. Để tránh khó khăn này ta
thay V(r,
0,
α
) bằng V(r,
0,
α
)– V(0,0,0). Việc thay thế này không ảnh hưởng tới kết
quả tính, nhờ các thay thế này mà các thành phần sẽ nhận các giá trị giới nội [3,5].
Để tính gần đúng tích phân trên trong trường hợp 3 chiều, người ta chia toàn
bộ diện tích lấy tích phân bằng những vòng tròn đồng tâm và các tia xuyên tâm. Với
hướng tính như vậy, rất nhiều palet được xây dựng giúp cho việc tính toán các đạo
hàm được tiện lợi như palet Malovisco, palet Vexelop, palet Chepkin để tính đạo
hàm thẳng đứng và palet để tính đạo hàm ngang [5].
17
Hình 1.3. Palet Malovisko (a), Vexelop (b), Chepkin (c)
Hình 1.4. Palet tính đạo hàm ngang
Nhìn chung, các sách giáo khoa kinh điển về thăm dò từ và trọng lực
[1,2,3,4,5,6] đều không đưa các công thức giải tích để có thể tính toán các đạo hàm
bậc cao của thế trọng lực. Trong trường hợp bài toán hai chiều, một số tác giả đề

dụng của nó trong miền tần số ta sẽ xem xét qua về phép biến đổi Fourier và các
định lý về phổ [3,4].
2.1. Phép biến đổi Fourier
2.1.1. Định nghĩa
Một hàm F(x) không tuần hoàn bất kỳ và có giới hạn nào đó có thể được biểu
diễn dưới dạng tích phân Fourier:
F(x)=
ωω
π
ω
deS
xj
∫
∞
∞−
)(
1
(2.1)
Trong đó:
S(
dxexF
xj
∫
∞
∞−
−
=
ω
ω
)()

Trong đó, Res(
ω
) là phần thực của phổ.
Ims(
ω
) là phần ảo của phổ.
Góc
)(Re
)(Im
)(
ω
ω
ωϕ
s
s
Arctg=
(2.4)
gọi là phổ pha.
Biến đổi Fourier 2 chiều của F(x,y) có dạng:
20
F(x,y)=
( )
1
( , )
2
j uv vv
S u v e dudv
π
∞ ∞
−∞ −∞

θ
, dxdy=rdrd
ϕ
, dudv=
ρ
d
ρ
d
θ
.
Khi đó, nếu x, y biến thiên từ
+∞→∞−
thì r biến đổi từ 0
∞→
còn
ϕ
từ 0
→
2
π
và
ρ
,
θ
cũng bị biến đổi như vậy nếu u và v biến thiên từ
+∞→∞−
. Chuyển
sang hệ toạ độ cực, ta có:
F(
ϕ

∞
∫∫
(2.7)
Lấy tích phân vế trái và vế phải của biểu thức trên theo
ϕ
và đặt:
F(r)=
ϕϕ
π
π
drF
∫
2
0
),(
2
1
(2.8)
là giá trị trung bình của F(r,
ϕ
) trên đường tròn bán kính
22
yxr +=
và
∫
=
π
θθρ
π
ρ

22
vu
+=
ρ
21
hay
F(r)=
ϕρρρ
π
π
θϕρ
dedS
jr
∫∫
−
∞ 2
0
)cos(
0
)(
2
1
(2.11)
về mặt toán học [4] ta có:
2
0
0
cos( )
2 ( )
jr

)(
0
r
ρ
là hàm Bessel trụ bậc 0, (2.13) và (2.14) gọi là biến đổi
Hanken bậc 0.
2.1.2. Các định lý về phổ
* Định lý về phép cộng:
Giả sử hàm F(x)=
∑
k
k
xF )(
thì
S(
ω
)=
dxexF
xj
k
k
ω
−
∞
∞−
∫
∑
)(
=
)()(

∞ ∞
− −
−∞ −∞
= = −
∫ ∫
(2.16)
Nếu đặt biến t=x-
ξ
thì chúng ta nhận được:
S
( ) ( )
j j t
e F t e dt
ωξ ω
ξ
ω
∞
− −
−∞
=
∫
(2.17)
22