TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC


Trn S Tựng

Khi a din

CHNG 0
ễN TP HèNH HC KHễNG GIAN 11

I. QUAN H SONG SONG
1. Hai ng thng song song
a) nh ngha:

ỡa, b è (P )
aP b ớ
ợa ầ b = ặ

b) Tớnh cht
ỡ( P ) ạ (Q) ạ ( R)
ùù( P ) ầ (Q ) = a
ộ a, b, c ủong qui
ã ớ
ịờ
ởa P b P c
ù( P ) ầ ( R) = b

a) nh ngha:
(P) // (Q) (P) ầ (Q) = ặ
b) Tớnh cht
ỡ( P ) ẫ a, b
ỡ( P ) ạ (Q )
ỡ(Q) P ( R)
ù
ù
ù
ã ớa ầ b = M
ị ( P ) P (Q) ã ớ( P ) P ( R) ị ( P ) P (Q ) ã ớ( P ) ầ (Q ) = a ị a P b
ùợ( P ) ầ ( R) = b
ùợa P (Q ), b P (Q )
ùợ(Q) P ( R)
4. Chng minh quan h song song
a) Chng minh hai ng thng song song
Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau:
ã Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh
song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, )
ã Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba.
ã p dng cỏc nh lớ v giao tuyn song song.
b) Chng minh ng thng song song vi mt phng
chng minh d P ( P ) , ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi mt
ng thng d no ú nm trong (P).
c) Chng minh hai mt phng song song
Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi hai
ng thng trong mt phng kia.

Trang 1


ã Mt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti
trung im ca nú.
Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca
on thng ú.
ã nh lớ ba ng vuụng gúc
Cho a ^ ( P), b è ( P ) , a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ aÂ
3. Hai mt phng vuụng gúc
a) nh ngha:
b) Tớnh cht

(

)

(P) ^ (Q) ã
( P ),(Q ) = 900

ỡ( P ) ẫ a
ã iu kin hai mt phng vuụng gúc vi nhau: ớ
ị ( P ) ^ (Q )
ợa ^ (Q)
ỡ( P ) ^ (Q )
ù
ỡ( P ) ^ (Q),( P) ầ (Q) = c
ã ớ
ị a ^ (Q )
ã ớ A ẻ (P)
ị a è (P)
ợa è (P ), a ^ c
ùợa ' A, a ^ (Q )

· Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q).
· Chứng minh (·
P ),(Q ) = 90 0

(

)

III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc

( ) (

a//a', b//b' Þ a¶
, b = a·
', b '

a) Góc giữa hai đường thẳng:
Chú ý: 00 £ a¶
, b £ 900

( )

)

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì d·
,( P ) = 900.

(

Þ (·
P ),(Q ) = ( a¶
, b)
îb Ì (Q ), b ^ c
Chú ý:
00 £ (·
P ),(Q) £ 90 0

c) Góc giữa hai mặt phẳng

(

(

)

)

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H)
trên (Q), j = (·
P ),(Q) . Khi đó: S¢ = S.cosj

(

)

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).

+
2
2
AH
AB
AC 2

· AB = BC.sin C = BC .cos B = AC.tan C = AC. cot B
b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính
đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
· Định lí hàm số cosin:
a2 =b 2 + c2 – 2bc.cosA; b 2 = c 2 + a 2 - 2ca.cos B; c 2 = a 2 + b 2 - 2ab.cos C
a
b
c
· Định lí hàm số sin:
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
· Công thức độ dài trung tuyến:
b 2 + c 2 a2
c2 + a2 b2
a 2 + b2 c 2
- ; mb2 =
- ; mc2 =
2
4
2
4

b) Hình vuông:
c) Hình chữ nhật:

S = a2
S = a.b

a2 3
4

(a: cạnh hình vuông)
(a, b: hai kích thước)
·
d) Hình bình hành:
S = đáy ´ cao = AB. AD.sinBAD
· = 1 AC.BD
e) Hình thoi:
S = AB. AD.sinBAD
2
1
f) Hình thang:
S = (a + b ).h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
S = AC.BD
2

Trang 4


trờn Oy; C, C' trờn Oz, ta u cú:
VOABC
OA OB OC
=
.
.
VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC '
* B sung
ã Din tớch xung quanh ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch cỏc mt bờn
ã Din tớch ton phn ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch xung quanh vi
din tớch cỏc ỏy.
Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gúc gia
mt bờn v mt ỏy bng a (450 < a < 900). Tớnh th tớch hỡnh chúp.
HD: Tớnh h =

1
1
a tan a ị V = a3 tan a
2
6

Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn
SA = a 5 . Mt mt phng (P) i qua AB v vuụng gúc vi mp(SCD) ln lt ct SC v
SD ti CÂ v DÂ. Tớnh th tớch ca khi a din ADDÂ.BCCÂ.
HD: Ghộp thờm khi S.ABC'D' vo khi ADD'.BCC' thỡ c khi SABCD
5a3 3
ịV=
6
Baứi 3. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1.
Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y.

V
3a3 3
SA SM SN ổ SA 2 ử
16
HD: SAMN =
.
.
= ỗỗ
=
ị
V
=
ữ
VSABC SA SB SC ố SB 2 ữứ
25
50
Baứi 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB
= 7 3 cm. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD.
Baứi 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A vi AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA = 5cm.
Tớnh th tớch khi chúp S.ABC.
Baứi 8. Cho hỡnh t din ABCD cú AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tớnh khong cỏch t A n mp(BCD).
b) Tớnh th tớch t din ABCD.
Baứi 9. Cho lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂCÂ cú mp(ABCÂ) to vi ỏy mt gúc 450 v
din tớch DABCÂ bng 49 6 cm2. Tớnh th tớch lng tr.
Baứi 10. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cỏc na ng thng Bx, Dy vuụng gúc vi
mp(ABCD) v v cựng mt phớa i vi mt phng y. Trờn Bx v Dy ln lt ly cỏc
im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y.

a) Sxq = a2 cot

a
2

c) V =

1 3
a
a cot 2 - 1
6
2

Baứi 2. Cho hỡnh chúp SABC cú 2 mt bờn (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi ỏy. ỏy ABC l
tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi
mp(SAD) gúc b.
a) Xỏc nh cỏc gúc a, b.
b) Chng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2.
c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp.
HD:
a) ã
SBA = a ; ã
BSD = b
c) Stp =
V=

1
a2
a 2 sin b
(sin 2a + sin 2b ) +

45

Baứi 5. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) ct SA,
SB, SC, SD ln lt ti AÂ, BÂ, CÂ, DÂ. Chng minh:
SA SC SB SD
+
=
+
SAÂ SCÂ SBÂ SDÂ
HD: S dng tớnh cht t s th tớch hỡnh chúp
Baứi 6. Cho t din u SABC cú cnh l a. Dng ng cao SH.
a) Chng minh SA ^ BC.
b) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC.
Trang 7


Khối đa diện

Trần Sĩ Tùng

c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
a3 2
; Stp = a2 3 .
12
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy
bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và
hình chóp.

x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người
ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết x 2 + y 2 = a 2 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
x 2
1
1 3
c) V = ay( x + a)
d) Vmax =
a 3
2
6
24
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
HD:

b) d =

a) Chứng minh: SC2 =

a2

cos 2 a - sin 2 b
b) Tính thể tích khối chóp.


rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác định góc a.
a3 3 sin 3a
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
.
8 sin3 a
HD:
a) ·
C ¢BI ¢ với I¢ là trung điểm của A¢B¢
Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD:

V = h3 tan 2 a - 1 ,

Sxq = 4h 2 tan 2 a - 1 .

Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a, ·
CAC¢ = a, CK = b.


b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD:

b) V =

3a3
2

; Sxq = 3a2

3
tan 2 a - 3

.

4 tan a - 3
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
Trang 9


Khối đa diện

Trần Sĩ Tùng

a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
7

a2 2
2
b) Sxq = a2(1 +
).
8
2
Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo
nhị diện cạnh CC¢ là 2j.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢.
b) Gọi a là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900).
Tính j biết a + j = 900.
HD:

a) V =

HD:

a) V =

2d 3 tan 3 j
3 tan 2 j - 1

b) tana =

1
3 tan 2 j - 1

;


Trần Sĩ Tùng
HD:

Khối đa diện
a) Sxq = 2 S12 + S22

b) V =

S1S2
2
.
2 4 S2 - S 2
2

1

Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh: ·
CAC ¢ = a vaø ·
AC ¢B = b .
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a + b ). cos(a - b )
c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi mà
A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất.
d3 2
khi a = b = 300 (dùng Côsi).
32
Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600. Chân
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy.
Cho BB¢ = a.

(

b) SBDD¢B¢ =

)

a2 3
; SACC¢A¢ = a2tana
3 sin a

c) a = arctan

17 - 3
4

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Trang 11


Khối tròn xoay

Trần Sĩ Tùng

CHƯƠNG II
KHỐI TRÒN XOAY
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
· Mặt cầu:

· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu
Diện tích

S = 4p R 2

Thể tích

4
V = p R3
3

Trụ
Sxq = 2p Rh

Nón
Sxq = p Rl

Stp = Sxq + 2Sñaùy

Stp = Sxq + Sñaùy

V = p R2h

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc
với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Baøi 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung
trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh DSMK : DSOA ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng IS = R 3
Baøi 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
Trang 13



sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Baøi 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối
trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Baøi 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết
diện.
Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai

(

)

đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi h > a < h 2 + 4 R 2 .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Trang 14


Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.

khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối
nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc 600 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S
và đáy (C).
Baøi 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a.
Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.
Trang 15


Khối tròn xoay

Trần Sĩ Tùng

Baøi 5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này.
Baøi 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và ·
SAO = 300 , ·
SAB=6 00 . Tính độ dài đường
sinh của hình nón theo a.
Baøi 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

Baøi 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Baøi 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
600 .
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Baøi 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trị của tan a để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Baøi 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Baøi 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR.
Baøi 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta lấy
hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại J
và không song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b.
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường thẳng

Baøi 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính Sxq và Stp của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 . A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 .
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ.
b) Tính Sxq và Stp của hình trụ.
c) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
Baøi 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường
tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc
450 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Baøi 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón tương ứng.
Baøi 16. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS,
đặt OM = x (0 < x < h).
a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác định x sao cho V
đạt giá trị lớn nhất.
Baøi 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy. Một
hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.
a) Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Baøi 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội
tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng ·
ASB = 2a , (00 < a < 450 ) . Tính thể tích khối nón và diện
tích xung quanh của hình nón.

, SK =

a
1 + sin 2 a

,V=

a3
12
a3 sin 2a

24(1 + sin 2 a )

· = 2a . Trên đường thẳng d qua A
Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC
và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
AK
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
= x . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
AI
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
2a.cos a
HD:
a) AH =
b) SMNPQ = 4a 2 x (1 – x )sin a .
cos 2 a + 4
æ

định x, y để thể tích tứ diện này bằng
.
4
æ aö
æa ö
a3
HD:
a) MN = 2a 2 + ( x - y )2
b) V =
( x + y ) , (x, y) = ç a; ÷ hoặc ç ; a ÷ .
6
è 2ø
è2 ø
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
Trang 19


Khi trũn xoay

Trn S Tựng

a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD.
a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a.
b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung
ú theo a v a.
ổ
a3
1 ử
a tan a

a) IH =

2

2a x - a
2

2

b) JM =

ổ
a 5
a
a ử 5a2
x
MinJM =
khi x =
ỗ
ữ +
2ứ
4
2
2
ố

4a + x
Baứi 8. Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD. Mt phng (A'BM)
ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H.
a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng

c) Tớnh th tớch t din ABDC.
a
2a3
HD:
a) d(ADÂ, BÂC) = a b) d(M, (ABÂC)) =
c) V =
2
3
Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt
Trang 20


Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD:

a) V = pa3 6

b) 2a2 – 2 ( m + n ) a + mn = 0

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) và
SA = a 2 .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ·
ACM = a . Hạ SN ^ CM .

Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
· = 60° .
SCB
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi ( a ) và hình chóp S.ABCD.
a 6
a2 6
HD:
a) d(BC, SD) =
b) S =
3
4
Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0 £ x £ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
2x
1
HD:
b) d(M, (SAC)) =
c) V = ya(a + x)
2
6
3
a 3

bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:

V1 1
=
V2 12

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =

a 3
và góc
2

·
BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
3a3
16
Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy
a 3
điểm M sao cho AM =
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
3
khối chóp S.BCNM .
HD:

V=

PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN

I. VECT TRONG KHễNG GIAN
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
uuur uuur uuur
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú: AB + AD = AC
uuur uuur uuur uuuur
+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
uur uur r
uuur uuur
uur
Ta cú:
IA + IB = 0 ;
OA + OB = 2OI
+ H thc trng tõm tamuuugiỏc:
Gr l trng tõm cauuu
tam
giỏc
tu
r uuuCho
r uuu
r uuu
r ABC,
uuur Ouuu

r r r
r
ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect a, b , c , trong ú a vaứ b khụng cựng
r
r r r
r
r
phng. Khi ú: a, b , c ng phng $! m, n ẻ R: c = ma + nb
r r r
r
ã Cho ba vect a, b , c khụng ng phng, x tu ý.
r
r
r
r
Khi ú:
$! m, n, p ẻ R: x = ma + nb + pc
3. Tớch vụ hng ca hai vect
ã Gúc gia hai vect trong khụng gian:
uuur r uuur r
r r
AB = u , AC = v ị (u , v ) = ã
BAC (00 Ê ã
BAC Ê 1800 )
ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
r r r
rr r r
r r
+ Cho u , v ạ 0 . Khi ú:
u.v = u . v .cos(u , v )

r
r r r
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk
r
r
b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Î R
r r
· a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
· ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
ìa1 = b1
ï
ía2 = b2
ïa = b
3
î 3
r
r
r
r
· 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)
r r r
r
r
r
· a cùng phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Î R)

r r
· a=b Û


2

3

1

2

3

3. Tọa độ của điểm:
uuur
a) Định nghĩa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
· M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )
uuur
· AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2
æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M ç A
;
;
÷
1- k
1- k ø
è 1- k
æ x + x B y A + y B zA + zB ö
· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ç A
;