V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
Ch ơng I: Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:
Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x
0
đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x x
0
= 2
b) y =
x
1
x
0
= 2
c) y =
1
1
+

x
x
x
0
= 0
Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R)
a) y =
x
- x b) y = x

43
2
+
xx
( )
352
23
+
xxx
2) y =
( ) ( ) ( ) ( )
45342312
++++
xxxx
3) y =
( )
( )
3
2
23
12133
++
xxxx
4) y =
( ) ( )
( )
3
2
44
342312

+
+
xx
x
9) y =
44
1
1
1
12







+
+







+
x
x
x

1
x
x

+
13) y =
6
4
53
62
31


xx
xx
14) y =
xcosxsin
xcosxsin
+

Trang: 1
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng
15) y =
( )
[ ]
xsinsinsin
16) y =
( )
x
excos




+−
3
2
2
3
2
11311
2
3
xlnx
Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
1) y =
xln
x
2) y =
xcos
xsin
3) y =
x
x
2
2
1





xx
. TÝnh f'(0)
Bµi3: Cho f(x) =





=
≠
−
0x nÕu 0
0x nÕu
x
xcos1
1) XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i x = 0.
2) XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x) t¹i x = 0.
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) =
13
32
2
−
+−
x
xx
.
Chøng minh r»ng f(x) liªn tôc t¹i x = -3 nhng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x = -3.
Bµi5: Cho f(x) =
( )


+−
xx
xx
. TÝnh: f
(n)
(x)
Bµi2: Cho f(x) =
6116
843
23
2
−+−
−+−
xxx
xx
. TÝnh: f
(n)
(x)
Bµi3: Cho f(x) =
107
942
24
23
+−
−−+
xx
xxx
. TÝnh: f
(n)
(x)

(x)
Bài9: Cho f(x) =
( )
baxln
+
. Tính: f
(n)
(x)
V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với các phép toán đạo
hàm:
Bài1: Cho y =
x
ln
+
1
1
. CMR: xy' + 1 = e
y

Bài2: Cho y =
xsine
x

. CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x
2
y" = 0
Bài4: Cho f(x) = sin
3
2x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)

3
2
0
11
+++

2)
2
0
2
3
x
xcos
lim
x
x


3)
2
3
0
2121
x
xx
lim
x
++

4)

)
Bài3: Tìm m để hàm số: y =
( ) ( )
mxmxm
mx
+++ 112
3
2
3
đồng biến trên (-

; 0) [2; +

)
Bài4: Tìm m để hàm số: y =
( )
xmmxx
m
23
3
1
23
++

đồng biến trên R
Bài5: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(m - 1)x
2
+ 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng


Bài4: Tìm m để phơng trình:
( ) ( )
xxxx
+++
6363
= m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm
x







2
3
2
;
Bài6: Tìm m để phơng trình:
0121
2
3
2
3
=++
mxlogxlog
có ít nhất một nghiệm
x

+ ax có nghiệm duy nhất
Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x
2
+ 4x + 6) m nghiệm đúng với x
Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4
( ) ( )
xx
+
24
x
2
- 2x + a - 18 nghiệm đúng với
x [-2; 4]
Bài11: Tìm m để:
( )
mm
xx
xsin
xcos
22
2
1
1
33
2
2
1
2
++


m + 1 có nghiệm
3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ
ph ơng trình, hệ bất ph ơng trình:
Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau:
1)
4259
+>+
xx
2)
( )
75155
2
3
2
2
++






++
xxlogxxlog
2
Bài2: Giải hệ bất phơng trình:






Bài4: Giải hệ phơng trình:







++=
++=
++=
2
2
2
23
23
23
xxxz
zzzx
yyyx

4) Chứng minh bất đẳng thức:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
242
1
2
1
422

e
x
+

1
2
1 - x +
( )
x
x
+
12
4
x [0; 1]
5)
( )
2
1
2
x
xxln
>+
x > 0
6)
x
x
xln
1

<

2
+ a
2
x 2) y = x - 1 +
1

x
a

Bài3: Chứng minh rằng hàm số: y =
2
2
2
2
+
++
x
mxx
luôn có một cực đại và một cực tiểu với
mọi m.
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin
4
x + cos
4
x + sinxcosx + 1
3) y = 5cosx - cos5x với x



là nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S =
3
2
3
1
xx +

Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y =
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
++








++

6
x + cos
6
x + asinx.cosx
IV) tiệp cận:
Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
1) y =
12
23
2
2
+
++
xx
xx
2) y =
1
1
2
3
+
++
x
xx
3) y =
x
x

2
4) y =


mxx
x
2) y =
32
2
2
+
+
mxx
x

Bài3: Cho (C): y =
( )
2
312
2

++++
x
axaax
, a -1; a 0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của
(C) luôn đi qua một điểm cố định
Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1
232
2

+
x

x
- x
2
+ 3x - 4
Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = x
4
- 2x
2
2) y = -x
4
+ 2x
2
- 1
3) y = x
4
+
10
3
x
2
+ 1 4) y =
2
4
x

- x
2
+ 1
Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

3) y =
1
2
2
+
+
x
xx
4) y =
12
136
2
+
++
x
xx

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
3
5
3
1
4
1
234
+
xxx
2) y =
54

2
2

++
6) y = x +
12
2
+
x

VI) phép biến đổi đồ thị:
Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =
1
1
2
+
+
x
xx
2) y =
2
92
2

+
x
xx
3) y =
2

21
2
+=
xxxy
Trang: 7
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài1: Cho hàm số: y = x
3
- 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k
để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
xcosxx
+++
42
2
tại giao điểm của đờng
cong với trục tung.
Bài3: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1
a) Tìm m để (C
m

2
5
1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x
M
= a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với
(C) là nghiệm của phơng trình:
( )
( )
0632
22
2
=++
aaxxax
Trang: 8
V Vn Ninh - THPT Lý Thng Kit - Hi Phũng
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của
PQ.
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =
( )
mx
mmxm
+
++
2
13
với trục Ox tiếp tuyến của (C)
song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.
Bài7: Cho (C) : y =
1
12

Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Bài10: Cho đồ thị (C): y =
1
22
2
+
++
x
xx
1) Điểm M (C) với x
M
= m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t
m
) tại M.
2) Tìm m để (t
m
) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán
và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng
tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc
vào vị trí điểm M trên (C).
2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
- 3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng: y =
3
1

xx
vuông góc với đờng thẳng: y = -
3
x
+ 2
Bài5: Cho đồ thị (C): y =
1
12
2

+
x
xx
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh
rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (C
m
): y = x
4
+ mx
2
- m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố
định của (C
m
) có hoành độ dơng.
Bài7: Cho đồ thị (C
a
): y =
1

4
12
19
;
đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
+ 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x -
1
Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 2
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A







2
9

3
- 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Trang: 10