Trn S Tựng

Bi tp Tớch phõn

TP1: TCH PHN HM S HU T
Dng 1: Tỏch phõn thc
2

Cõu 1.

x2

I =ũ

2
1 x - 7 x + 12

dx

2

2
ổ
16
9 ử
ã I = ũ ỗ1 +
ữdx = ( x + 16 ln x - 4 - 9 ln x - 3 ) 1 = 1 + 25ln 2 - 16 ln 3 .
x -4 x -3ứ
ố

3
1
3
ị I = ờ - ln x + ln( x 2 + 1)ỳ = - ln 2 + ln 5 +
2
2
2
2
8
2x
ở
ỷ1
5

Cõu 3.

3x 2 + 1

I =ũ

3

2

x - 2 x - 5x + 6

4

dx


1

ổ 7x - 1 ử
ã I = ũỗ
ữ
ố 2x + 1 ứ
0

99

1 ổ x -1 ử
ã Ta cú: f ( x ) = . ỗ
ữ
3 ố 2x + 1 ứ

0 (x
4

Cõu 7.

5x

I =ũ

I=

3

ũ



Cõu 6.

3
ổ x - 1 ửÂ
1 ổ x -1 ử
.ỗ
ữ ịI = ỗ
ữ +C
9 ố 2x + 1 ứ
ố 2x + 1 ứ

dx

1 1 ổ 7x - 1 ử
= ì
ỗ
ữ
9 100 ố 2 x + 1 ứ
1

2

dx

1

dx
x ( x 4 + 1)



ố

ứ

dx
x 6 (1 + x 2 )



Trang 1






Bi tp Tớch phõn

ã t : x =

1
ị I =t

3
3

ũ

1

Cõu 9.

I =ũ

1

x7

Cõu 10. I = ũ

0 (1 +
2

Cõu 11. I = ũ

1

x 2 )5

1 - x7
x (1 + x 7 )

2

1 (1 +

2

x 4 .dx



ã I =ũ

2

dx

x 2 )1002

2

1 128 1 - t
dx . t t = x 7 ị I = ũ
dt
7
7
7
t
(1
+
t
)
x
.(1
+
x
)
1
1


1002
2
3
x
x
ổ
ử
1 3 1
x ỗ 2 + 1ữ
ốx
ứ

.dx = ũ

11
x 2000 .2 xdx
. t t = 1 + x 2 ị dt = 2 xdx
ũ
2
2000
2
2
2 0 (1 + x )
(1 + x )
1000

1 2 (t - 1)1000
1 2ổ 1ử
ị I= ũ
dt = ũ ỗ 1 - ữ

ỗ - ữ=
ũ
30
3 ố 7 8 ứ 168

xdx

1

0

( x + 1)3
x
x + 1-1
1
1
ã Ta cú:
=
= ( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ị I = ũ ộở( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ựỷdx =
3
3
0
8
( x + 1)
( x + 1)
2

Cõu 15. I = ũ

1 + x2



1

x 2 . t t = x - 1 ị dt = ổ 1 + 1 ử dx
ỗ
ữ
1
x
x2 ứ
ố
x2 + 2
x
1

2

3
2ổ

1

ũỗ
2 t1ố

2

-

ổ 2 -1ử


x4

1- x

Bài tập Tích phân

dx
1

2

5
2

-1

æ
1
1 ö
dt
= x
. Đặt t = x + Þ dt = ç 1 - ÷ dx Þ I = - ò
.
2
2
1
x
2
1+ x

1

u1

x4 + 1

Câu 17. I = ò

dx

6
0 x +1

x4 + 1

· Ta có:

x6 + 1

1

1

Þ I =ò

x2 + 1

0

2


3
3

ò

0

+1

x4 -1
x

=

x2 +

x2 + 1

+

x2
x6 + 1

1 1 dt
11
=
2 0ò t 2 + t + 1 2 0ò

dt

cos2 u

Þ I = ò du =
0

p
4

dx

2

( x 2 - 1)( x 2 + 1)



1

1

. Đặt t = tan u Þ dt =

x2

x6 + 1

=

dx
1+

5
1
+x
x

2

x +1

1

x4 - x2 + 1

2

dx

2

· Ta có:

=

1 1 d (x3 )
p 1p p
dx = +
=
ò
3 0 ( x 3 )2 + 1
4 34 3

ç arctan - arctan 2 ÷
2
2 è
2
ø

ò du =

dx =

1
2

3
3 æ

ò

0

1
1 ö
1
p
+
dx = ln(2 - 3) +
ç 2
÷
4
12

2

3

+ I1 = ò 3x dx = x + C1

3

1
1
+ I 2 = ò x 9 x - 1dx = ò 9 x 2 - 1 d (9 x 2 - 1) = (9 x 2 - 1) 2 + C2
18
27
2

3

Þ I=

x2 + x

I =ò

Câu 2.

·

1
(9 x 2 - 1) 2 + x 3 + C
27

9

(

4

dx =

1+ x x
2x + 1

Câu 3.

I =ò

Câu 4.

I =ò

Câu 5.

I = ò x 3 1 - x 2 dx

01+

2x + 1

6

)

t(t - 1)dt
3

4
1 + x x + C1
3

+C

1

1

dx .

2 d (1 + x x )
4
=
1 + x x + C2
ò
3
3
1+ x x

dx

2 2x

1+ x x


15

dx
1 3

1
æ
t +t
2 ö
11
· Đặt t = x Þ dx = 2t.dt . I = 2ò
dt = 2 ò ç t 2 - t + 2 - 4 ln 2 .
÷dt =
t +1
1+ t ø
3
è
0
0
3

Câu 7.

I =ò

x -3

dx
3
x

0

I=

òx

3

+ 3t + 2

Bài tập Tích phân

2

2

1
3
dt = -3 + 6 ln
t +1
2
1

dt = ò (2t - 6)dt + 6 ò
1

x + 1dx

-1


2

æ t2 - 1 ö
ç
÷ +1
4ç 3 ÷
2tdt
2tdt
ø
· Đặt t = 3x + 1 Þ dx =
Þ I =òè
.
3
3
t2 - 1
2
.t
3
4
4
2æ1 3 ö
t -1
100
9
= ç t - t ÷ + ln
=
+ ln .
9è3
t + 1 2 27
5


· Đặt
2

2(t 2 - 1)2 + (t 2 - 1) - 1
Þ I =ò
2tdt
t
1
1

2

2

æ 4t 5
ö
54
= 2ò (2t 4 - 3t 2 )dt = ç
- 2t 3 ÷ =
è 5
ø1 5
1

x 2dx

Câu 11. I = 2 ò

0 ( x + 1)



(1 +

2

2
æ t3
æ 1ö
1ö
16 - 11 2
t
dt
=
2
ç - 2t - ÷ =
ç
÷
t ø1
3
è tø
è3

dx

t 2 - 2t
· Đặt t = 1 + 1 + 2 x Þ dt =
Þ dx = (t - 1)dt và x =
2
1 + 2x
dx

3

1 æ t2
2ö
1
ç - 3t + 4 ln t + ÷ = 2 ln 2 2 çè 2
t ÷ø
4
x -1
2

x +1



dx

Trang 5






Bi tp Tớch phõn

Trn S Tựng

(



1

3

ã I = ũ ( x - 1)
0

2

Cõu 15. I = ũ

2 x - x dx = ũ ( x 2 - 2 x + 1) 2 x - x 2 ( x - 1)dx . t t = 2 x - x 2 ị I = 0

2 x3 - 3x 2 + x
x2 - x + 1

0

1

2

2
.
15

dx

2

(t - 4t )dt = - ỗ + 4 3 2 ữ
ũ
23
2ố5
ứ
4

Cõu 17. I =

1

dx

ũ

x + 1 + x2

-1 1 +

1

1
1 + x - 1 + x2
1 1ổ1 ử
1 + x2
ã Ta cú: I = ũ
dx = ũ
dx = ũ ỗ + 1ữ dx - ũ
dx
2

2x

Vy: I = 1 .

2

ũ

t 2dt

2
2 2(t - 1)

=0

Cỏch 2: t t = x + x 2 + 1 .
Cõu 18. I =

1

ũ

1
3
2

Cõu 19. I = ũ

1


-1 ị I = 6 .
2
3
2
x
x
x
ố
ứ
1
3

2

0

1

t(-tdt )
4 - t2



x

2
0

xdx . t t =
t2

= - ỗ 3 + ln
ỗ
ữ
2
+
3
3
ố
ứ






Trn S Tựng
Cõu 20. I =

Cõu 21. I =

2 5

x

2

( x 2 + 1) x 2 + 5

ũ



1+ 3

1+
2dt
= ln(2t + 1)
1
2t + 1

ũ

1
3

x2
1 + x )2 (2 + 1 + x )2

0 (1 +

2

=

3
ổ
ộ 2
2 ử 5p
2t
1 ự
dt = 5 ũ ờ1 - +

1

Bi tp Tớch phõn

3

= ln

3+ 2 3
3

dx

4
ổ
42 36 ử
4
ã t 2 + 1 + x = t ị I = ũ ỗ 2t - 16 +
- ữ dt = -12 + 42 ln
t
3
t2 ứ
3ố
3

x2

Cõu 24. I = ũ

0 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1


1

M=

3

2 2

ũ

1

N=

2 2

2

x
x3

2011

ũ

x3

1



2011
x3

1

-1

2 2

2

dx

-1

dx . t t =

dx

1
x2

dx = M + N

-1 ị M = -

3
2


14077 21 7
.
16
128
1

dx

Cõu 26. I = ũ

0 (1 +

3

x 3 ). 1 + x 3
3

3

3

ã t t = 1 + x ị I =



2

ũ

t2



Bi tp Tớch phõn

3

=

2

dt

ũ

1

3

ũ

=

2
ửự 3

1

ộ ổ
1
t 2 . ờt 3 ỗ 1 - 3 ữ ỳ


ị I=ũ

2
u 3

0

ũ

1

ổ
1
t 4 ỗ1 - 3 ữ
ố t ứ
1
2

2

3

ổ
1ử
ỗ1 - 3 ữ
ố t ứ
t4

du =

1 2
= u3

=

0

1
3

2

x4
dx
ổ
1ử 2
ỗ x - x ữ x +1
ố
ứ

ã t t = x 2 + 1
3

ị I =ũ

2

(t 2 - 1)2
t2 - 2


+
ln ỗ
ữ
3
4 ỗố 4 - 2 ữứ

Dng 2: i bin s dng 2
1ổ

ử
2
x
ln
1
+
x
( ) ữữ dx
ỗ 1+ x
ứ
0ố

Cõu 28. I = ũ ỗ

1- x

1

1- x

ã Tớnh H = ũ


-2

ãI=

2

ũ (x

5

2

+ x ) 4 - x dx =

-2

ũx

5

2

4 - x dx +

2

ũx

2


-2

Vy: I = 2p .



Trang 8






Trn S Tựng

(3 -

2

Cõu 30. I = ũ

)

4 - x 2 dx
2x4

1
2


sin t

dx . t x = 2sin t ị dx = 2 cos tdt .

=

p
12

cot
8ũ

1(
7 - 2 3) .
16
x 2dx

0

4 - x6

Cõu 31. I = ũ

dx .

3 2 -4
7
x dx = .
ũ
21


p
6

2

p
12

ổ 1 ử
3
tỗ
dt = - ũ cot 2 t.d (cot t ) =
2 ữ
8p
8
ố sin t ứ
6

ã t t = x 3 ị dt = 3 x 2 dx ị I =

1 1 dt
.
3 ũ0 4 - t 2
p
6

ộ pự
1
p

ị I =-

ũ

2p
3
1
2

Cõu 34.

ũ

t
ã t x = 2 cos t ị dx = -2sin tdt ị I = 4 ũ sin2 dt = p - 2 .
2
0

3 + 2x - x2
1

p
2

p
2

2

. t x - 1 = 2 cos t .

0

Trang 9

p
3 1
+
12 8 8






Bi tp Tớch phõn

Trn S Tựng

Dng 3: Tớch phõn tng phn
Cõu 35. I =

3

ũ

x 2 - 1dx

2

ỡ


x.

2

x 2 - 1dx -

x
x2 - 1
3

ũ

2

dx = 5 2 -

dx
x2 - 1

ũ

ự
ỳ dx
2
x - 1 ỳỷ
1

= 5 2 - I - ln x + x 2 - 1




Trn S Tựng

Bi tp Tớch phõn

TP3: TCH PHN HM S LNG GIC
Dng 1: Bin i lng giỏc
Cõu 1.

I =ũ

8cos2 x - sin 2 x - 3
dx
sin x - cos x

(sin x - cos x )2 + 4 cos 2 x
dx = ũ ộở( sin x - cos x - 4(sin x + cos x ) ựỷdx
sin x - cos x
= 3cos x - 5sin x + C .
cot x - tan x - 2 tan 2 x
Cõu 2. I = ũ
dx
sin 4 x
2 cot 2 x - 2 tan 2 x
2 cot 4 x
cos 4 x
1
ã Ta cú: I = ũ
dx = ũ

ữ
ỗ
ữ
1 ỗ
dx
ữ
ố
4
ứ
=
dx + ũ
ỗũ
ữ
2
2 2 ỗ 1 + sin ổ 2 x + p ử
ộ ổ
ổ
pử
p ửự ữ
ỗ
ữ
ờsin ỗ x + ữ + cos ỗ x + ữ ỳ ữ
ố
4ứ
ỗ
8ứ
8 ứỷ ứ
ố
ở ố
ố

ổ
ổ
1 ổ
pử
3p ử ử
=
ỗ ln 1 + sin ỗ 2 x + ữ - cot ỗ x +
ữữ + C
ố
4ứ
8 ứ ữứ
ố
4 2 ỗố
Cõu 4.

I=

ã I=

Cõu 5.

p

dx

ũ 2+

3 sin x - cos x

p

6

1

ũ 2sin x 0

1
ã Ta cú: I =
2

p
6

ũ

0



3

dx
1

p
sin x - sin
3

dx =


=ò
dx = ò
p
æ
ö
æ
ö
0 sin x - sin
0 2 cos x + p .sin x - p
ç
÷
ç
÷
3
è2 6ø
è2 6ø
p
6

=

1
2

cos

p
6

p

6
0

æx pö
- ln cos ç + ÷
è2 6ø

p
6
0

= .....

p
2

Câu 6.

I = ò (sin 4 x + cos4 x )(sin 6 x + cos6 x )dx .
0

· Ta có: (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x ) =

33 7
3
33
+ cos 4 x + cos8 x Þ I =
p.
64 16
64


I = ò (cos3 x - 1) cos2 x.dx
0

·A =

B=

p
2

p
2

0

0

5
ò cos xdx =

p
2

ò cos

2

x.dx =


8
p
– .
15 4
p
2

Câu 9.

I = ò cos 2 x cos 2 xdx
0

p
2

p
12

0

0

· I = ò cos2 x cos2 xdx =

1

p
2

(1 + cos 2 x ) cos2 xdx = ò (1 + 2 cos2 x + cos 4 x )dx


Trn S Tựng

ã

Bi tp Tớch phõn

4sin3 x 4sin3 x (1 - cos x )
=
= 4sin x - 4sin x cos x = 4sin x - 2sin 2 x
1 + cos x
sin2 x
p
2 (4sin x - 2sin 2 x )dx
0
2p

ịI =ũ
Cõu 11. I =

ũ

=2

1 + sin xdx

0

ã I=


ổx pử
ổx pử ỳ
= 2 ờ ũ sin ỗ + ữdx - ũ sin ỗ + ữ dx ỳ = 4 2
ố2 4ứ
ố2 4ứ ỳ
ờ0
3p
ờở
ỳỷ
2
Cõu 12. I =

p
4

ũ

0

dx
6

cos x

p
4

ã Ta cú: I = ũ (1 + 2 tan2 x + tan 4 x )d (tan x ) =
0


1
3
1
t t = tan x . I = ũ ỗ t 3 + 3t + + t -3 ữ dt = tan 4 x + tan 2 x + 3 ln tan x +C
t
4
2
ố
ứ
2 tan 2 x
2t
Chỳ ý: sin 2 x =
.
1 + t2
dx
Cõu 15. I = ũ
sin x.cos3 x
dx
dx
dx
2t
ã I =ũ
. t t = tan x ị dt =
= 2ũ
; sin 2 x =
2
2
2
sin x.cos x.cos x
sin 2 x.cos x

Câu 16. I = ò

2011

sin2011 x - sin2009 x
sin5 x

cot xdx

1

2011 1 -

sin2 x cot xdx =
ò
sin 4 x

· Ta có: I = ò

Đặt t = cot x Þ I = ò

2
2011
t
(1 + t 2 )tdt

4024

Trần Sĩ Tùng


Câu 17. I =

p
2

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0

ò

p
2

2
sin x.cos2 x
(t - 1)2
dx . Đặt t = 1 + cos x Þ I = 2 ò
dt = 2 ln 2 - 1
1 + cos x
t
0
1

· Ta có: I = 2 ò

Câu 18. I =

p

2

1 - u2
3
du = ln 2 u
8
1

Þ I = -ò
Câu 19. I =

p

ò sin

2

x(2 - 1 + cos2 x )dx

p
2

p

p

p
2

p

+ K = ò sin2 x 2 cos2 x = - 2 ò sin 2 x cos xdx = - 2 ò sin2 xd (sin x ) =
p
2

ÞI =

2
3

p
2
2
3



Trang 14






Trần Sĩ Tùng

Câu 20. I =

p
3


1

Câu 21. I =

Bài tập Tích phân

p
2

3

ò

=

1

. Đặt t = tan x Þ dt =

dx
cos2 x

.
3

æ 1
æ1
t3 ö
8 3-4
2ö


Câu 22. I =

p
6

sin x cos x

ò (2 + sin x )2 dx = 2 ò (2 + sin x )2 dx . Đặt t = 2 + sin x .

t-2
t2

0

3

3

æ1 2 ö
æ
2ö
3 2
dt = 2 ò ç - ÷ dt = 2 ç ln t + ÷ = 2 ln t t2 ø
t ø2
2 3
è
2è

sin x

1

Câu 23. I =

p
2

1
2

2t - 1

p
3
Þt=
6
2

dt =

1
2 2

2

sin x
3
ò e .sin x.cos x. dx

ln


p
4

ò

0

sin 4 x
sin 6 x + cos6 x



· Đặt t = cos x . I =

11 t
1
e (1 - t )dt = e - 1 .
ò
20
2

3
(p + 2)
16

dx

Trang 15



1
4æ

4
2 1 ö
ò ç - 3 t ÷dt = 3 t
ø
1è

3
dx . Đặt t = 1 - sin 2 2 x Þ I =
4

sin x

ò

3 cos x

)

3

Trần Sĩ Tùng
1
1
4

=

sin ç x - ÷ dx
6ø
3
3
1 2
dx
è
ÞI=
=
+
ò
ò
16 0
æ
æ
6
p ö 16 0
pö
cos3 ç x - ÷
cos2 ç x - ÷
6ø
6ø
è
è
p
2

Câu 27. I =

p

3

p
4

· I=

sin x 1 - cos2 x

p
3

cos2 x

Câu 28. I =

ò sin x +
0

p
4

1 - cos2 x .dx =

ò

-

p
4


p
3

sin x
cos2 x

sin x dx +

p
4

ò

sin x

2
-0 cos x

sin x dx

7p
- 3 -1.
12

dx

æ
pö
sin ç x + ÷

1
2

æ
æ
pö
pö
1
1
1
Đặt t = cos ç x + ÷ Þ dt = - sin ç x + ÷ dx Þ I = ò
dt = ln 3
2
3ø
3ø
2 0 1- t
4
è
è
Câu 29. I =

p
2

ò

1 - 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx

0


ò sin x -

Bài tập Tích phân

3 cos x dx +

0

p
2

ò sin x -

3 cos x dx = 3 - 3

p
3

sin xdx

ò (sin x + cos x )3
0

· Đặt x =

Þ 2I =

p
- t Þ dx = -dt Þ I =
2

ò (sin x + cos x )2 = 2 ò

p
2

p
2

ò (sin t + cos t )3 = ò (sin x + cos x )3

p
12

0

Câu 31. I =

p
2

7sin x - 5cos x

ò (sin x + cos x )3 dx
0

· Xét: I1 =
Đặt x =

p
2


ò

0

Þ I1 = I 2 =
Câu 32. I =

3

;

p
2

p
2

dx

( sin x + cos x )

2

=

p
2

ò

2

Þ 2I = I + I =

p
2

3sin x - 2 cos x

Câu 33. I =

p
2

3cos t - 2sin t

3cos x - 2sin x

ò (cos t + sin t )3 dt = ò (cos x + sin x )3 dx
0

0

p
2

3cos x - 2sin x

p
2

0



(p - t )sin t
2

1 + cos t

p

dt = p ò

Trang 17

sin t

2
0 1 + cos t

dt - I






Bi tp Tớch phõn
p



4

p
sin t cos t
ã t x = - t ị dx = -dt ị I = - ũ
dt =
3
3
2
p cos t + sin t

p
2

sin 4 x cos x

ũ cos3 x + sin3 x dx

0

2

ị 2I =

p
2

ũ


3

3

sin x + cos x

dx =

p
12

1

sin 2 xdx =
2ũ
2
0

1
.
4
p
2

ộ
ự
1
2
tan
(cos

ỷỳ
ở cos (cos x )
ỷỳ
0ở
0ờ

p
2

p

2
ộ
ự
1
1
Do ú: 2I = ũ ờ
+
- tan 2 (cos x ) - tan2 (sin x )ỳ dx = 2 ũ dt = p
ờ cos2 (sin x ) cos2 (cos x )
ỷỳ
0ở
0
p
ị I= .
2

Cõu 36. I =

p


ã t t = 3 + sin2 x =

I=

p
3

ũ

0

sin x
cos x 3 + sin 2 x



du
4 - u2

. t u = 2sin t ị I =

p
4

p
4

2 cos tdt



dx =

Trang 18

15
2

ũ

3

dt
4 - t2

=

1
4

sin x cos x
2

3 + sin x

dx .

15
2 ổ


sin3 x + sin2 x
x

ã I =ũ

2p

dx
= 3
1 + sin x ũp

p

3

+4-2 3.

3

sin 2 x
cos2 x + 4sin2 x

ũ

Cõu 40. I =

0

2


ổp
ử
xử
2ổp
1 + cos ỗ - x ữ
3 2 cos ỗ - ữ
ố2
ứ
ố 4 2ứ

2
udu
22
2
dx . t u = 3sin 2 x + 1 ị I = ũ 3
= ũ du =
u
31
3
3sin 2 x + 1
1

p
2

p
6

dx
.


2p
3
p
3

2p
3
p
3

I=ũ

(

dx + ũ

+ Tớnh I1 = ũ

Cõu 39.

2p
3
p
3

3+2 ử
1 (
ữ =
ln 15 + 4 ) - ln ( 3 + 2 ) .

p
ổ
pử
tan ỗ x - ữ
2
6
ố
4 ứdx = - tan x + 1 dx . t t = tan x ị dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx
ũ (tan x + 1)2
cos 2 x
cos2 x
0
1

ị I =-

Cõu 41. I =

3

ũ

0
p
3

1

dt
2

p
6

ị I= 2

cot x
2

sin x (1 + cot x )
3 +1

ũ

3 +1

dx . t 1 + cot x = t ị

t -1
dt = 2 ( t - ln t )
t

3 +1
3 +1
3

1
sin2 x

dx = - dt


4

p
3

· Ta có: I = 4. ò

p
4

dx
2

2

sin 2 x.cos x

. Đặt t = tan x Þ dx =

dt
1 + t2

3 (1 + t 2 )2 dt
3 1
1
t3
= ò ( + 2 + t 2 )dt = (- + 2t + )
Þ I= ò
2
t

· Ta có: I =

0
1

1 1æ 2
1 ö
1
2
Þ I =ò
dt = ò ç
÷ dt = ln 3 - ln 2
2
3 0 è t + 2 2t + 1 ø
2
3
0 2t + 5t + 2
t

p

sin 2 xdx

4

Câu 44. I =

ò
-


- 2t + 5

dt
1 + t2

. Đặt

Þ I=
t -1
2

t 2 dt

1

ò

-1 t

2

- 2t + 5

= tan u Þ I1 =

1
2

= 2 + ln
0


sin2 x
dx .
sin 3 x

p
2

p
2

2

sin x

sin x

ò 3sin x - 4sin3 x dx = ò 4 cos2 x - 1 dx

p
6

p
6

Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I = -

0

ò


0

dt
t2 -

1
4

=

1
ln(2 - 3)
4

dx

Trang 20






Trn S Tựng

Bi tp Tớch phõn

ộp p ự
ã Ta cú: 1 + sin 2 x = sin x + cos x = sin x + cos x (vỡ x ẻ ờ ; ỳ )


Cõu 47. I = 2 ũ 1 - cos3 x .sin x.cos5 xdx
1

2t 5dt

6

ã t t = 1 - cos3 x t 6 = 1 - cos3 x ị 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ị dx =

cos2 x sin x

1

1

ổ t 7 t13 ử
12
ị I = 2 ũ t 6 (1 - t 6 )dt = 2 ỗ ữ =
ố 7 13 ứ 0 91
0
Cõu 48. I =

p
4

ũ

0



ũ dt =

3- 2

2

cos2 x

ũ (cos x - sin x + 3)3

4

t -3
1
dt = - .
3
32
2 t

ã t t = cos x - sin x + 3 ị I = ũ

dx

0

Cõu 50. I =

p
4

ũ

tan x
dx
cos 2 x

dx . t t = sin 4 x + cos4 x ị I = -2

2
2

ũ

dt = 2 - 2 .

1

sin 4 x

ũ 1 + cos2 x dx
0

ã Ta cú: I =

p
4

ũ

2sin 2 x (2 cos x - 1)

p
tan( x - )
4 dx
cos 2 x



Trang 21






Bài tập Tích phân
p
6

Trần Sĩ Tùng
1
3

tan x + 1
dt
1- 3
dx . Đặt t = tan x Þ I = - ò
=
.
2
2

2
2
2
0 cos x - sin x
0 cos x(1 - tan x)
3
3 t3
1 1 2
Đặt t = tan x Þ I = ò
dt = - - ln .
2
6 2 3
0 1- t

Câu 53. I =

Câu 54. I =

p
2

cos x

ò

7 + cos 2 x

0

Câu 55.

6 2

dx
sin3 x.cos5 x
p
3

1

ò

· Ta có:

p
4
4

3

sin x
3

cos x

Đặt t = tan x Þ I =

dx =

ò



ò x(
0

cos x + cos x + sin x
)dx
1 + cos 2 x
3

p æ
p
p
cos x(1 + cos2 x ) + sin x ö
x.sin x
· Ta có: I = ò x ç
dx = ò x.cos x.dx + ò
dx = J + K
÷
2
2
ç
÷
1
+
cos
x
1
+
cos
x

0

p

Þ 2K = ò

0

1 + cos2 (p - t )
( x + p - x ).sin x
1 + cos2 x



Đặt x = p - t Þ dx = - dt
p

dt = ò

0

(p - t ).sin t
1 + cos2 t
p

p

dt = ò

0

p
ÞK=
2
Vậy I =
Câu 57. I =

p
4

2

(1 + tan u)du

ò

1 + tan2 u

p
4
2

p

p 4
p2
ò du = 2 . u - p = 4
p

-



ò

3

dx

sin x cos x

· Ta có: I = ò

Þ I=

p
=
2

p
4

dt
4-t

2

=

2

dx . Đặt t = 3 + cos2 x

Câu 59. I =

p
2

3sin x + 4 cos x
dx
2
x + 4 cos 2 x

ò 3sin
0

p
2

p
2

p
2

p
2

p
2

3sin x + 4cos x
3sin x

3sin x
3dt
+ Tính I1 = ò
dx . Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I1 = ò
2
3 + cos x
3 + t2
0
0
p
6

3 3(1 + tan 2 u )du p 3
=
3(1 + tan 2 u )
6
0

Đặt t = 3 tan u Þ dt = 3(1 + tan 2 u )du Þ I1 = ò
p
2

+ Tính I 2 = ò
0

1

4 cos x
4dt1
dx . Đặt t1 = sin x Þ dt1 = cos xdx I 2 = ò

4

ò

p
6

tan x
cos x 1 + cos2 x

· Ta có: I =

p
4

ò

p
6

dx

tan x
2

cos x

Đặt u = tan x Þ du =

dx =

2

u +2

dx

dx . Đặt t = u2 + 2 Þ dt =

u
2

u +2

du .

3

ÞI =

3

ò

3

dt = t

7
3


è
dx
2sin x cos x - 3

· Ta có: I = -

1

p
2

ò
2

p
4

sin x + cos x

( sin x - cos x )

Đặt t = 2 tan u Þ I = -



1
2

2


2
2 tan u + 2
2

Trang 24






Trn S Tựng

Bi tp Tớch phõn

Dng 4: Tớch phõn tng phn
p
3

x sin x

ũ

Cõu 62. I =

-p
3

cos2 x


p
3

ũ

-

p
3

dx
4p
=
- J , vi J =
cos x
3
p
3

tớnh J ta t t = sin x. Khi ú J =

ũ

-

Vy I =

Cõu 63. I =

p

3
2
-

3
2

= - ln

2- 3
2+ 3

4p
2- 3
- ln
.
3
2+ 3
p
2ổ
1 + sin x

ử

0ố

ứ

ũ ỗ 1 + cos x ữ.e


+ ũ e tan dx = e 2
x 0
2
0 2 cos2
2
Cõu 64. I =

p
4

ũ

0

e dx

p
2

x cos 2 x

(1 + sin 2 x )

2

x

dx

ỡu = x

16 2
ố 2 1 + sin 2 x ứ 0 2 0 1 + sin 2 x

p
4

ũ

0

1

.

1

2 cos2 ổ x - p ử
ỗ
4 ữứ
ố

dx

p
ổ
p 1 1
pử
p 1 2
2 p
=- + .