-Ill’
fRANG

THU VI $N OH NHATRANC


G S . T S . VÕ NHƯ C Ẩ U

TÍNH KẾT CẤU ĐẶC BIỆT
THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Tài liệu tham khảo dùng cho : - Sinh viên đại học

- Sinh viên cao học
- Nghiên cứu sinh
- Kỹ sư
Các ngành : - Xây dựng

- Chế tạo cơ khí

i H Ư V ự iU
''

1

V

0

0

,*

đọc cải tiến d ể dược hoàn hảo hơn.
Sách gồm tất cả 7 chương:
Chương 1: Phán tử hữu hạn cùng tham số. Phương pháp tích phân bằng số. Cách
giảm cấp của ma trận.
Chương 2: Các phần tử hữu hạn hình tam giác dùng cho bài toán 2 chiều.
Chương 3: Cúc phấn tử hữu hạn hình tứ giác

dùng chu bài toán 2 chiểu.

Chương 4: Tính vật rắn tròn xoay chịu tái trọng dối xứng.
Chương 5: Cúc phần tử hữu hạn dùng cho bài toán 3 chiều.
Chương ố: Tính tấm chịu uốn
Chương 7: Tính vỏ
Cuốn sách có một số chương trình tính theo ngôn ngữ Pascal 7.0.
Do những nguyên nhân chủ c/itan và khách quan, không thể tránh dược sai sót, mong
bạn dọc phê bình và góp ỷ.
Tác giả chem thành cảm ơn Ban Biên tập Sách Khoa học kĩ thuật Nhà xuất bàn
Xcĩv dựng dã tham gia biên tập vù cho xuất ban sách.
Cuối cùng, tác giả tó lỏng cam ơn Trưởng Ban Biên tập Trần Cường đã hết lòng giúp
dỡ và cổ vũ đ ể hoàn thành tốt việc biên soạn sách.
Tác giả

3


C hương 1

PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH) CÙNG THAM s ố .
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN BẰNG SỐ.
CÁCH GIẢM CẤP CỦA MA TRẬN


(1' 2)

Trong đó: Uj - chuyển vị trên phương X tại nút i;
Vị

- chuyển vị trên phương y tại nút i;

X|, yị - tọa độ X, y tại nút i;

Nị - hàm hình dạng tại nút i.
Hàm hình dạng N| được biểu thị qua các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên. Nó giúp ta
xác định kích thước hình học của phần tử trong hệ tọa độ Đề các.
Một số ví dụ về PTHH cùng tham số biểu thị trên hình 1.1.
Đối với PTHH cùng tham số, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm của một
đại lượng nào dó đối với các biến trong hệ tọa độ Đề các và đạo hàm của đại lượng đó
đối với các biến trong hệ tọa độ tự nhiên.
5


Hình 1.1: Mộ: sô' PTHH cùng tham số
Sau đây là một ví dụ về PTHH tứ giác 4 nút trong hệ tọa độ 2 chiều.
Xét hình tức giác 2 chiều trêri hình 1.2, PTHH gốc hình chữ nhật (hình 1.2a) được
đưa về hình vuông trong hệ tọa độ tự nhiên (hình 1,2b), sau đó lại đưa về hình tứ giác
bất kì với các cạnh thẳng (hình 1.2c).

f(x3.y2)

2b



Y|
x2

|y |

0
N,

0

N,
0

n

3 0 n4
0 n3 0

n

2

0 -

---- 1

"N,
0


ôx ổs

ôy õs

dy

Dưới dạng ma trận ta có:
'ổ'

ổx

ỡr , = dĩ
õ
õx
. ỡ s. _ ổs

ổ
ổy" ' õ '
ổx
ổr < õx
■= [J].
õ
ổ
õy
õs _ ,ỡy.
,ổy.

(

1- 6 )


-

[J] =

' X1

y .”

x2

y2

( 1- 8 )

x3

y3

ổs . _x4

y4.

-

Cãn cứ vào (1-3), ta có:
(l-s )
4
m=



J 11.

J ,
12

0

0

0

0

J .
21

^22

J .
11

J

J .
L 21

J 22.

Ou

dr
dNj
ổs

dN3
dN3

0

0

ỡr
ỔN2
ỡs

0

0

ỡs

dN2

0

0

ỡr

0

v2
ỠN4

u3

ÕT

v3
u4

ỔN4

(1-15)

ổs _

Căn cứ vào (1-3), ma trận [f] có thể viết:
1- s
4
1- r

0
0

0
0
1- s
4
1 -r
4


0

1+ s
4

0

0

1+ r
4

0

0
0
1+ s

(1-16)

4
1 -r
4

9


Thay (1-15) và (1-13) vào (1-16), ta được ma trận biến dạng - chuyển vị [B]:


(1-17)

Theo tài liệu [1], ma trận độ cứng cục bộ có dạng:
[k] = hJJ[B ]T [C][B]dxdy

(1-18)

Trong đó: h - chiểu dày của phần tử.
Có thể chứng minh được rằng giữa diện tích phân tố của phần tử trong hệ tọa độ Đề
các và diện tích phân tố trong hệ tọa độ tự nhiên, có hệ thức như sau:
xy = |j|drds

(1-19)

Trong đó: |j| - định thức của ma trận Jacobian.
Thay (1-19) vào (1-18), ta được:
[k] = h |J[B f[C ][B ]|j|d rd s

(

1- 20)

Ta thấy rằng tích phân 2 lớp (1-20) khá phức tạp vì ma trận [B] và định thức |J | là
những hàm của các biến r, s trong hệ tọa độ tự nhiên. Việc tính tích phân trên bằng
phương pháp giải tích sẽ gặp rất nhiều khó khăn, do đó phải cần đến phương pháp tính
bằng số, sẽ được trình bày trong phần sau.
1.2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN BẰNG s ố THEO PHÉP TOÀN PHƯƠNG GAUSS
Như trên đã trình bày, việc dùng các PTHH cùng tham số đưa đến sự biến thiên của
các biến trong hệ tọa độ tự nhiên trong phạm vi từ -1 đến 1. Vì vậy, khi tính các vectơ
lực và ma trận độ cứng cục bộ, xuất hiện các tích phân có cận biến thiên từ -1 đến 1. Có


Jf(r)dr ;

J Jf(r,s)drds

-1

-1-1

;j J jf(r, s, t)drdsdt
-1-1-1

Đối với tích phân 1 lớp, ta có:
l

n

Jf(r)dr = ^ W jf(rj)
-1

(1-23)

¡=1

Trong đó: f(rị) - giá trị của hàm f(r) tại điểm Gauss q;
W j -

trọng lượng tương ứng.

Từ (1-23), ta thấy rằng cần xác định các bộ đôi ẩn, đó là các điểm Gauss ĩj và trọng

r2 = 0,00000000
r3 = -r, = 0,77459667

w, = 2,00000000
w 2 = Wj = 1,00000000
w 2 = 0,88888889
w 3 = Wj = 0,55555556

Từ bảng 1.1, ta thấy rằng trọng lượng Wj có giá trị dương và trọng lượng có giá trị
như nhau ở 2 điểm đối xứng. Cần nhấn mạnh rằng số điểm Gauss n phụ thuộc vào bậc
của hàm f(r), chúng phải được chọn sao cho kết quả tích phân được chính xác. Ta có thể
tiến hành tương tự đối với tích phân 2 lớp và tích phân 3 lớp. Trong trường hợp này, ta
tính tích phân ứng với hướng tọa độ này trước, rồi lần lượt tính với các hướng tọa độ kia
sau. Đối với tích phân 2 lóp, ta tính như sau:
1-1+1
+1
jf(r,s )d rd s = | X Wif (ri’s)ds
-1-1
-1 i

Ị

(]-24a)

= I w j Z w ;« V S j>
j
Li
+1+1
|f(r,s)d rd s = ^ ] 2 ] w iw jf(ri,sj )


s = -co

Hình 1.4: 4 điểm lính
tích phân 2 lớp theo
phương pháp Gauss


Điểm 2:

r = co

Điểm 3:

r = co

s = co

Điểm 4:

r = -co

s = co

s = -CO

Tích phán 3 lớp cũng được xác định tương tự như trên:
+ 1 +1

+1


Điểm 3:

r = -co

s = co

t = -co

Điểm 4:

r = -co

s = -co

t = -co

Điểm 5:

r = co

s = co

t = co

Điểm 6:

r = -co

s = co


bằng tay mà phải nhờ vào sự hỗ trợ của chương trình tính. Việc tính lập bằng số nhiều
lần vì việc nhân nhiều lần các ma trận đòi hỏi phải có những chương trình con để khi
cần thì gọi chúng. Vì ma trận độ cứng cục bộ có nhiều phần tử nhưng lại có tính chất đối
xứng ta nên tính với nửa phần trên của ma trận để tiết kiệm bộ nhớ.
13


y

X
(-

1. 1)

1 1

(- , - )

(

b)

Hình 1.5:
a) PTHH hình chữ nhật;
b) Phần tử trong hệ tọa độ
tự nhiên và các điểm Gauss.

1. - 1)

Ví dụ: Cho một PTHH hình chữ nhật với kích thước và tọa độ tại các nút như trên

w = 1,0

Đầu tiên, căn cứ vào (1-9), ta tính ma trận Jacobian tại điểm 1:
1-0,57735
[J] =

1-0,57735

1 + 0,57735

4
1-0,57735

4
1 + 0,57735

4
1 + 0,57735

4
1-0,57735

4

4

4

4
0


20

0

0

15

"0

1 + 0,57735'
V

0'

40

0

40

30

_0

30_

(a)


in
cn
ịS
ìn

in

ó'
+

cT
I

in
cn

cr

o
s

Dí)

in

ró

o

o'


ìn

o

o '

rin
o
ộ'

I

in

o

o

rìn
o o
ọ
I

rõ

s
S

ìn


0
0,0263
0

0,0263
0,0053

I
*0

-0,0263

0
-0,0197
0

E

cd

r~~ rìn ìn
in

in
cd

-0,0053 -0,0263

ìn

0

0
[ej=

ỉ

ƠN

o

0

m
rõ
K
s
ìn ot- ìn
o"
o'
+

o

C
‘'«ù
b
-C
o



0,0053

1/15

0

+

Tt

o

0

ìn

ín
ró
s
s
ìn
o
+
1—H
O'

in
rõ
s

ro
to
o
o


o
ro
o
©

o

ƠN
o

1--o
t>
o
o
cT
1

0,0132

r-

c
3
13
O
o05

0,0027

o

0,0263

/3

0

0
-0,0197


NÓ
CN
o
Ó

/3

1

-0,0263

ro
to
o
o
Ó
1

o
o

>

0

o

o
r-*
o

ƠN
o
o
cf
1

0

o

ro
ìn
o
o
Ó

o

o
ỉ>
o
o
cT

0,0197

ro
NÓ
(N
o

o
o"

4— *

0

o

ro
NÓ
(N
o
Õ

1

0,0053

rƠN
o o
cT
1

rƠN
o
cT
1

0

1

en
Os


O
o*
1

(N
s
M
oo
o'

(N
rro
ó

Os
en
00
O
ó

en
O
un

rC
N
(N
o
ó


en
un
O
o

o
l>
oo o
o"
1

o
r-

o
o

d

r05
O o

en
un
o o
o
ó

o"



a


C
N un

50
O
ó
1
_

X
X

*—
H

___1

X

p

N
o"

o

Fun
en
(N
Ó
*
1

en
C
N
oo
o
o"
1

0,0197

On en
un
d

-0,0053

1
en
ri
00
O
o

J

X

cd
/O
*5b

O

II

18

-0,0263

Ö

0

Ỏ

o
r-

0

o

Q

en

-0,0027
0,0132

os
un


en (Ñ

un


en
O'
o

o

en
un
en
o rs o
o
Ộ
o"

I

(N
oo
oo
Õ

+0,0070

cT
1

en
CD

o


On

en

On
O

-0,0053

(N
SO

oo
O
o '
1
(N

en

H
oo
O
o '
1

0,0053

en


X


cn
CN
00

in
o
ON


JD

o'

o
ro
o
ó
1

rON
o
o'
1

o

o
ro
o
o'
1


Ỏ
1

rON
o
o'
+

o

cn
Vo .
CN
o
o
Ó'
1

rOn
•—H
o

cn
VO
(N
o
o'

o



£
o
Ọ
I

(N

X

II

oo

3

X

II

II

o|sL)
~

r- ON
(N
oo in
,
•
— ; ON
r o
o
1 o'

ÇN
/-—'

o

Ò4
o
o'

+0,0098

On
in
cñ

en

r(N


Ọ

Ö

+0,0263

rm
(N

1

0

r-

o'

-0,0263

(N
in
oo

1

in

0

o'


oCN

(N
«n
00

0

CN
VO
cn

(N

o

C'­
en

+0,0197

o

On
(N

r(N
CN



_____ I
X

(N

II

CÖ*

-C
c
o
p-

a,

«Ü
H

19


1
r
o1

e n

CN
ÒO

o
ó

t>
NO
r-

o1

e n

e n

00
o—-


o
ó1

o"

rnf
oo
CN
Ó1

(N
un
00
O

o

Ỏ1

o

o
o1

(N
CN

CN
NO


o"

ó

NO
O

ó"

CN

M

7

00

Os
o
o
un
o"
1

00
e n
ntOs
Õ*
1


o“

On
O
O
un
ó*

00
o
Os
00

o

1

un
O s
O s

nf

Ó

-C

c

___ 1

¿
3

o
«D

o

,w

II

o

'Ç
od
0Û
Ç

O s
e n

1

(N
»—
H
en

M
M

t

e n

o
o"

On
(N
Ó1

Ó

ren
o
(N
Ó"


un
Os
Os
ni"
O*
Ỉ

Os
un
00
en
Ó*

NO
un
un

o"
1

Os
O
O
un
Ó*

un
Os
Os

Ỉ
un
O s
O s

nf

o"
1

un
en
f—"i

7

-----1
nf
un
r-*
(N
o ' CN
1

un
Os
O
ni"
Ỏ
1


o

O s

00
* -*

i

r“-*
C\)
Csf

nt*
un
t

Gauss một cách hợp lí.
Lấy ví dụ PTHH hình chữ nhật, có thể chứng minh được rằng I J I = a.b, trong đó 2a
và 2b là 2 cạnh của nó. Từ (1-9) và (1-16), ta thấy rằng hàm f để xác định ma trận độ
cứng có dạng f(r2, fs, s2) nghĩa là hàm có bậc 2. Vậy chọn bậc tích phân 2 X 2 (4 điểm)
là hợp lí. Trong trường hợp định thức ma trận Jacobian không phải là hằng số, chẳng hạn
như trong ví dụ trên, hàm f có bậc 3, chọn bậc tích phàn 2 x 2 cũng là hợp lí. Khi ma
trận Jacobian có bậc cao hơn, có thể phải tăng bậc tích phân. Khi tính bản và vỏ, vấn đề
này cũng sẽ được đề cập đến.
Trong công trình nghiên cứu của mình, Bathe và Wilson (4) có kiến nghị dùng bậc
tích phàn tối thiểu khi tính ma trận độ cứng trong bài toán 2 chiều: Các số liệu ghi trong
bảng 1.2.
Báng 1.2. Bậc tích phân theo phương pháp G auss dùng cho PTH H 2 chiều

Bậc tích phân

Phần tử
f---------------
fx, fv - các lực thể tích trên đơn vị thể tích trên các phương X, y;
pv pv - các áp lực biên trẽn dơn \'Ị diện lích trên các phương X và y;
dA - phàn tố diện tích theo lí thuyết đàn hổi ớ hệ thức biến dạng chuyến vị.
r
rv ( ũu õv
\ ìT
(2-5)
¡£i
I
dy
ôx
L « Oy
Theo 11]. la có hệ thức giữa ứng suất và biến dạng:
M = [C ]M

( 2- 6 )

[c] - ma trận cấu trúc vật liệu.
Đê giái bài toán hai chiều, trước hết ta dùng mô hình phần tử hữu hạn tam giác.
Nguyên lí công áo sẽ được áp dụng dế suy ra các biếu thức cứa ma trận độ cứng và vectơ
lai trọng.
Mỉén 2 chiểu được chia thành các hình tam giác như trên hình 2.2. Các đinh tam
giác gọi là nút. mỗi tam giác do 3 nút và 3 cạnh tạo thành gọi là một PTHH. Các
PTHH tam giác lấp đầy miền hai chiều. Nếu có miền rỗng ở biên thì thay nó bằng
các PTHH bé hơn hoặc các PTHH có biên cong, do dó bài toán sẽ được giải một cách
gan đúng. Sô thứ tự các PTHH - khoanh tròn: Số thứ tự các nút - không khoanh tròn.
Áp lực bien

Hình 2.2: Mỏ hình phan tử hữu hạn trong hủi toán 2 chiểu
25

y

u2(3)
X

Hỉnh 2.3: Sô tliứ tự cục bộ của các nút và sô thứ tự cục bộ của các ETD
Sự tương ứng giữa số thứ tự cục bộ (1, 2, 3) của các nút và sô' thứ tự tổng thể của
chúng biểu thị trên hình 2.2 và bảng 2.1.
Chẳng hạn đối với PTHH có số thứ tự 4 (hình 2.2), có sự tương quan như sau: nút 1
(cục bộ) —> nút 5; nút 2 (cục bộ) —» nút 4; nút 3 (cục bộ) —> nút 6. Các nút của PTHH
tam giác đếm theo chiểu ngược kim đồng hồ để tránh diện tích âm (vấn đề này sẽ được
đề cập trong phần sau).
Các thành phần chuyển vị tại các nút của PTHH men theo các BTD cục bộ (1, 2, 3)
biểu thị như trên hình 2.3.
26