BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN CƠ HỌC
TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
S

K

C

0

0

3

9
2

5
7

9
4


---------------o0o--------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN
CƠ HỌC TẤM VẬT LIỆU COMPOSITE
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN

MÃ SỐ ĐỀ TÀI: T2011-71

CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: Th.S VƯƠNG THỊ NGỌC HÂN

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2011


DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

1,2,3

Hệ trục chính của lớp vật liệu

x,y,z

Hệ trục chung của tấm vật liệu composite lớp

u,v,w



 xy ,  xz ,  y z Các thành phần độ cong trong các mặt phẳng xy,xz,yz
σx, σ y, σz

Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ x,y,z

σxy, σ xz, σyz Các thành phần ứng suất tiếp trong hệ tọa độ x,y,z
σ1, σ 2, σ3

Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ 1,2,3

σ12, σ 13, σ23 Các thành phần ứng suất tiếp trong hệ tọa độ 1,2,3
θ

Góc phương sợi của lớp vật liệu

hk

Tọa độ bề mặt của lớp vật liệu

t

Chiều dày của tấm vật liệu

[C]

Ma trận các hằng số độ cứng của lớp vật liệu trong hệ tọa độ 1,2,3

[C’]


Ma trận các toán tử

[A],[B]

Ma trận cứng mở rộng

[D]

Ma trận cứng cho uốn.

[Ke]

Ma trận độ cứng tổng thể

{p}

Véc tơ tải phần tử

[J]

Ma trận Jacobien

J 

Định thức ma trận Jacobien

ξi,ηi

Tọa độ các hàm trọng số


TẤM ..................................................................................................................... 23
3.1 . Lịch sử hình thành vật liệu composite .................................................... 23
3.2. Quan hệ ứng suất và biến dạng trong tấm vật liệu composite ................ 28
CHƢƠNG 4: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN .................................... 40
4.1. Ma trận độ cứng ........................................................................................ 41
4.2 Quy đổi tải trọng về nút ............................................................................. 48
4.3 Tính trƣờng ứng suất, trƣờng biến dạng trong mỗi phần tử ...................... 49

iv


Mục lục

CHƢƠNG 5: TÍNH TOÁN ỨNG XỬ CƠ HỌC CỦA TẤM VẬT LIỆU
COMPOSITE BẰNG FEM.................................................................................. 51
5.1. Mô hình bài toán ....................................................................................... 51
5.2. Sơ đồ khối tính toán .................................................................................. 54
5.3. Kết quả các bài toán .................................................................................. 55
5.3. Kết luận chƣơng 5 ..................................................................................... 73
CHƢƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................... 75
6.1. Kết luận ..................................................................................................... 75
6.2. Đề xuất và hƣớng phát triển...................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO

v


Chương 1: Tổng quan

CHƯƠNG 1


Chương 1: Tổng quan

trọng tác dụng, môi trường làm việc và đặc biệt vào cấp độ chính xác của mô hình
tính toán và thiết kế.
Tất cả những điều trên cho thấy cần phải có những mô hình cơ học xác thực,
những phương pháp tính toán hiệu quả, chính xác nhằm phân tích sâu sắc ứng xử cơ
học cũng như độ bền của các kết cấu tấm composite lớp khi chịu tác dụng của tải
trọng và môi trường. Trong những thập niên gần đây, các nhà khoa học không
ngừng nghiên cứu để đưa ra những phương pháp để giải quyết một cách chính xác
các vấn đề về ứng xử cơ học trên vật liệu composite lớp: M.W.Hyer, “Phân tích
ứng suất trong vật liệu Composite cốt sợi” [9], TanS.C, “Sự tập trung ứng suất
trong composite lớp”[45].Lekhnitskii S.G, “Lý thuyết đàn hồi cho vật liệu không
đẳng hướng”[22]. Kollar L.P, Spring G.S, “Cơ học trong kết cấu vật liệu
composite”[15].
Bên cạnh đó, lĩnh vực tính toán số các kết cấu tấm composite lớp hiện nay
rất được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm, trong đó, lý thuyết tấm bậc nhất của
Mindlin được sử dụng rất phổ biến: Timoshenko S đã phát triển lý thuyết tấm kinh
điển cho bài toán tấm nhiều lớp trong Lý Thuyết Tấm Vỏ xuất bản năm 1959.
Reddy, “Cơ học tấm composite lớp, Lý Thuyết và Phân Tích”1997. Panda và
Natarajan đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán cơ học cho tấm
composite dựa trên lý thuyết tấm bậc nhất “Phân tích Phần tử hữu hạn cho tấm
composite lớp”1979. Reissner đã nghiên cứu cơ học tấm composite lớp chịu uốn
khi kể đến biến dạng cắt ngang theo lý thuyết tấm bậc nhất “Ảnh hưởng của biến
dạng cắt ngang khi kéo của tấm đàn hồi” 1845[36,37,38,39,40,41,]. Tuy nhiên,
việc tính toán các ứng xử trên vật liệu composite lớp cũng gặp nhiều khó khăn vì
ứng suất và biến dạng trong tấm composite lớp không những phụ thuộc vào lực tác
dụng mà còn phụ thuộc vào cấu trúc vật liệu đặc trưng hình học và môi trường làm
việc của kết cấu. Thêm vào đó, phân bố ứng suất trong vật liệu composite lớp phức
tạp hơn nhiều so với vật liệu đẳng hướng.

quan tâm và khai thác hai phương pháp này và đây cũng chính là cơ sở hình thành
nên đề tài “Xây dựng chương trình tính toán cơ học tấm vật liệu composite bằng
phương pháp PTHH” với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng và phát triển
lĩnh vực nghiên cứu các vấn đề cơ học ứng dụng trên tấm vật liệu composite lớp ở
Việt Nam.
1.2. LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Việc phân tích ứng suất – biến dạng đòi hỏi người phân tích phải nắm vững lý
thuyết về ứng suất, biến dạng và các định luật liên hệ ứng suất với biến dạng. Nói
3


Chương 1: Tổng quan

một cách tổng quát, phương pháp sử dụng thường đưa đến việc đo biến dạng để từ
đó suy ra ứng suất. Những mối tương quan giữa ứng suất và biến dạng đã tạo thành
chủ đề của các lý thuyết về đàn hồi và chảy dẻo.
Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc của
cơ học vật liệu bắt đầu từ thế kỷ thứ XVII, vào thời kỳ mà Galileo thực hiện các
cuộc thí nghiệm để tìm hiểu về tác động của việc xếp tải lên thanh và dầm làm bằng
các chất liệu khác nhau. Tuy nhiên, để hiểu được rõ ràng tác động của việc xếp tải,
người ta cần phải mô tả thật chính xác các đặc tính cơ học của vật liệu. Những cách
thức xử lý công việc này đã được cải tiến đáng kể vào đầu thế kỷ thứ XVIII. Vào
lúc đó, những nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về vấn đề này đã được thực hiện
chủ yếu tại Pháp bởi những người nổi tiếng như Saint – Venant, Poisson, Lame và
Navier. Theo thời gian, sau khi nhiều vấn đề cơ bản của cơ học vật liệu đã được giải
quyết, việc dùng máy điện toán và các giải pháp toán học hiện đại để giải quyết
những vấn đề phức tạp trở nên phổ biến. Kết quả là từ lĩnh vực này này, các nhà
khoa học đã phát triển nó ra thành nhiều lĩnh vực khác về cơ học nâng cao như Lý
thuyết Đàn hồi (Theory of Elasticity) và Lý thuyết Dẻo (Theory of plasticity).
Việc nghiên cứu về các lĩnh vực này vẫn còn đang tiếp tục không chỉ để giải quyết

1951, R.D. Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và
biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hướng hoàn toàn tương
thích với lý thuyết của Reissner. Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu
các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình
biến dạng. Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về
tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm. Để khắc phục
sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt. Lý thuyết tấm có kể đến ảnh
hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin. Lý
thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và
tấm trung bình [1, 18].
1.4. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element methods) là một phương pháp
số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng,
bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các không gian nghiên cứu. Thuật
ngữ Phần tử hữu hạn (Finite element) được biết đến với công trình nghiên cứu của
R. W. Clough, 1960. Ông đã đề nghị sử dụng phương pháp này như là một sự lựa
chọn cho phương pháp sai phân hữu hạn đối với lời giải số của bài toán tập trung
ứng suất trong cơ học môi trường liên tục. Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn
tiếp tục pháp triển và hoàn thiện với các công hiến của nhiều nhà khoa học, có thể

5


Chương 1: Tổng quan

kể đến như: O. C Zienkiewicz, R. L. Taylor (1967, 1971, 1977, 1989), G. Strang, G.
Fix (1973), J. N. Reddy (1984, 1993), S. S. Rao (1982, 1989), T. J. T. Hughes
(1979), R. H Gallagher (1975), E. L. Wilson (1971),… Trong cùng thời kỳ, sự phát
triển rất nhanh của ngành công nghệ máy tính, nhiều công trình nghiên cứu lớn đã
được triển khai bằng phân tích phần tử hữu hạn. Từ đó, phương pháp này ngày càng

CHƢƠNG 2:

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM
LÝ THUYẾT LỚP COMPOSITE
2.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc
của cơ học vật liệu khởi sự vào thế kỷ 17, lý thuyết đàn hồi được trình bày chi tiết
trong sách “Theory of Elasticity” của S. Timoshenko and J.N. Goodier[40,41].
Trong giới hạn phạm vi của đề tài, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến dạng
đàn hồi trong trường hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng và lý thuyết tấm làm
cơ sở để giải quyết các vấn đề được đưa ra ở chương 1.
2.1.1 Lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng
Một cách tổng quát, ứng suất và biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành
phần, Hình 2.1[11,40].
Đối với ứng suất:  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz tương ứng với ứng suất pháp theo
phương x, y, z và ứng suất tiếp theo phương z, x, y.
Đối với biến dạng:  x ,  x ,  x ,  xy ,  yz ,  xz tương ứng với biến dạng pháp căng
theo phương x, y, z và trượt căng theo phương z, x, y.

Hình 2.1: Các thành phần ứng suất và biến dạng

Dưới những điều kiện cho trước, trạng thái ứng suất và biến dạng có thể
được đơn giản hóa. Vì vậy, phân tích vật thể 3D có thể được đưa về thành phân tích
2D[11].
7


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Với các vật thể mỏng, kích thước theo phương z rất nhỏ so với hai phương



(2.2)

Viết dưới dạng ma trận,

   []1   0 

(2.3)

Trong đó,  0  là vector biến dạng ban đầu; [] là ma trận hệ số đàn hồi (hay
ma trận ứng xử); E là module đàn hồi;  là hệ số possion; G là module trượt. Với
G

E
2(1   )

(2.4)

Chúng ta cũng có thể biểu diễn các thành phần ứng suất theo các số hạng
biến dạng bằng cách giải phương trình (2.2), ta được:

8


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite
 x 
 
E
 y  

 y 0   T 
  0 

 xy0  

(2.5)

Trong đó,  là hệ số giãn nhiệt, T độ thay đổi nhiệt độ.
b. Quan hệ biến dạng – chuyển vị
Với giả thuyết biến dạng bé, chúng ta có:
 
x

u
v
v u
;  y  ;  xy 

x
y
x y

(2.6)

Viết dưới dạng ma trận:

Hay,

 x   / x
0 

(2.9)

9


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Trong đó, q x , q y là các lực khối (như lực trọng trường) trên một đơn vị khối
lượng.
d. Điều kiện biên

Hình 2.3: Biên S của vật thể

Biên S của vật thể có thể được chia thành hai thành phần, Hình 2.3. Thành
phần biên chính Su và thành phần biên tự nhiên St [11]. Khi đó, trên Su ta có
u  u0 , v  v0 và trên St ta có t x  t x 0 , t y  t y 0 , với t x , t y là các lực trên biên theo phương

x, y tương ứng. Trong đó, u0 , v0 , t x 0 , t y 0 là các thành phần biết trước.
2.2. LÝ THUYẾT TẤM
Xét một tấm mỏng chịu uốn dưới tác dụng của các lực vuông góc với mặt
phẳng tấm, hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxy trùng mới mặt giữa
của tấm, trục z vuông góc với mặt phẳng tấm. Momen uốn, lực cắt và sự phân ứng
suất được mô tả trên, Hình 2.4 [1,9,39]

a)

b)

Hình 2.4: a) Các thành phần lực và Momen trên tấm; b) Sự phân bố ứng suất



M xy
x

M xy
y

dy

Qy 

dx

Qx 

My 

M y

dy

y
Q y
y

dy

Q x
dx
x


h/2

Q y    yzdz

(2.11)

h / 2

2.2.2. Lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff
Các giả thiết của Kirchhoff[1,9,13]: Các đoạn thẳng vuông góc với mặt
phẳng trung bình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình khi
chịu uốn và độ dài chúng không đổi. Nghĩa là, chúng không bị biến dạng trượt
ngang,
 xz   yx  0

(2.12)

11


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Các thành phần chuyển vị (u,v) theo phương (x,y) tương ứng tại một điểm bất
kỳ trên tấm được biểu diễn theo độ võng w và các góc xoay  x ,  y của mặt trung gian
của tấm như sau, Hình 2.10:
u  z y   z

w
w


 2 z
y x
xy

 

(2.14)

Với giả thuyết của Kirchhoff, trong trường hợp tấm đàn hồi đẳng hướng, bài
toán chuyển về bài toán ứng suất phẳng:
 x 
 
E
 y  
2
  1  
 xy 

0
1 
  x 
 1
  
0

 y 
 0 0 (1   ) / 2  xy 

(2.15)


k   k , k , k 

T

x

y

xy

T

2w 2w 2w 
  2 , 2 ,2

xy 
 x y

(2.17)

Hay,
 y
 y  x 
 x
,
,


y

  xy 
 xy 

(2.19)

M   E f k 

(2.20)

Hay,

Phương trình (2.19) hoàn toàn tương tự với phương trình (2.15) nếu bỏ qua
biến dạng ban đầu do nhiệt độ. Đối với tấm chịu uốn đàn hồi đẳng hướng, ma trận
hệ số đàn hồi do uốn của tấm là:
0
1 v

Eh3 

E f   12(1  v 2 ) v 1
0

0 0 (1  v ) / 2

(2.21)

Như vậy, trong trường hợp tấm đẳng hướng, ta có mối quan hệ sau:
 2w
2w 
M x  D 2  v 2 


(2.23)
13


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Trong đó, D 

Eh 3
là độ cứng chống uốn của tấm.
12 (1  v 2 )

Chúng ta thấy rằng, nghiệm của bài toán tấm đàn hồi đẳng hướng phụ thuộc
vào hàm độ võng w. Hàm độ võng này được xác định từ phương trình vi phân bậc 4
chủ đạo[39]

Trong đó,

D4 w  q( x, y ) ,

(2.24)

 4
4
4 
4   4  2 2 2  4 
x y y 
 x



Trong đó, n là vector pháp tuyến của biên, Hình 2.11

Hình 2.7: Đường biên và pháp vector n

2.2.3. Lý thuyết tấm của Reissner – Mindlin:
Nếu chiều dày tấm không mỏng, khi đó lý thuyết tấm của Reissner Mindlin[1,9,13,39] được áp dụng. Lý thuyết này tính toán sự thay đổi góc của tiết
diện ngang, hay
 xz  0,

 yz  0

(2.29)
14


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Điều này có nghĩa là các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian vẫn thẳng
trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt phẳng trung gian
nữa. Khi đó, góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm 2 phần: phần thứ nhất, do độ
võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt phẳng trung gian; phần
thứ hai, do biến dạng trượt trung bình gây ra, Hình 2.7

Hình 2.8: Góc xoay của các pháp tuyến và biến dạng trượt của mặt cắt ngang

Khi đó, các biến dạng trượt trung bình  xz ,  yz đối với mặt cắt x, y tương ứng
được xác định
 
xz


Biến dạng trượt trung bình  xz ,  yz được xem là không đổi trên suốt bề dày
của tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên mặt cong của tiết diện là các lực
cắt Qx , Q y quan hệ với biến dạng trượt như sau:
Qx 
Eh 1 0  xz 
 

 
Qy  2(1  v ) 0 1  yz 

(2.32)

Hay,
15


Chương 2: Lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tấm, lý thuyết lớp composite

Q  Es  

(2.33)

Trong đó,

E  
s

Eh
2(1  v )

Trong đó,
Mx 
M 
 y 
 t   M xy  ;
Q 
 x 
 Q y 

0 
 E f 

E t        ;
T
Es  
 0

 kx 
k 
 y 
 t  k xy 
 
 xz 
 yz 

(2.37)

2.2.4 Lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển
Lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển được xây dựng trên cơ sở chuyển vị trong
mặt phẳng tấm (x,y) biến thiên tuyến tính theo chiều dày của tấm và chuyển vị theo

PC LAMINATE (USA) cho phép xác định các ma trận độ cứng A, B, D
của vật liệu, các hằng số đàn hồi và dự đoán độ bền của phân tố vật liệu
theo tiêu chuẩn bền Tsai – Wu trong trạng thái ứng suất phẳng.

-

COMPCAL được phát triển bởi trung tâm vật liệu composite của trường
Đại học Delaware USA vào năm 1984. Phần mềm này có thể phân tích
trạng thái ứng suất, biến dạng trong các lớp vật liệu composite trên cơ sớ
lý thuyết tấm kinh điển.

-

GENLAM là chương trình rất mạnh để phân tích ứng suất nhiệt trong vật
liệu composite có cấu hình tùy ý, góc đặt cốt bật kỳ.

-

LAMRANK chuyên về tối ưu phương của cốt và độ dày của vật liệu
composite khi cho trước tải trọng tác dụng.

-

HYBRID (CANADA) có khả năng tính toán ứng suất và biến dạng trong
vật liệu composite lớp chịu kéo (nén), uốn dưới ảnh hưởng nhiệt độ, độ
ẩm. Kết quả được hiển thị bằng đồ thị theo chiều dày tấm vật liệu.

17



w(x,y,z) = w0(x,y)
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất coi các biến dạng cắt ngang (γxz, γyz) là
hằng số trên suốt chiều dày tấm, vì thế nó cần đến các hệ số hiệu chỉnh mođun cắt
ngang (hay còn gọi là hệ số hiệu chỉnh cắt), là các đại lương không thứ nguyên
được đưa vào nhằm hiệu chỉnh sự sai lệch giữa trạng thái hằng số của biến dạng cắt
ngang so với sự phân bố bậc hai hoặc cao hơn của các biến dạng này trong lý thuyết
đàn hồi. Với vật liệu composite lớp, các hệ số hiệu chỉnh cắt ngang phụ thuộc vào
tính chất của lớp vật liệu, cấu hình vật liệu và biên dạng hình học của kết cấu.

18