HÌNH HỌC 11

FB: />
CHƯƠNG III. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Vectơ:
 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng được đặc trưng bởi: phương, chiều và độ lớn.


Đường thẳng chứa vectơ a được gọi là giá của vectơ a .
 Độ dài của vectơ AB , kí hiệu AB  AB  BA
 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.


 Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí
 
hiệu a  b .
 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, vectơ đối

của vectơ a , kí hiệu là - a . Ta có:  AB  BA .
2. Quy tắc hình bình hành và quy tắc ba điểm:
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB  AD  AC .
Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C bất kì ta có
 AB  BC  AC
 AB  AC  CB
3. Các tính chất của phép cộng vectơ:
  
Cho ba vectơ a, b , c bất kì, ta có:
     
    



 h(k a ) = (hk) a
1. a = a , (-1). a = - a .
5. Một số tính chất thường gặp:

 Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA  IB  0 .

 Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 .
 Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: MA  MB  2MI .
 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:
MA  MB  MC  3MG









 Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( b  0 ) cùng phương là có một số k để


a = kb .
 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để AB  k AC .



 Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích

có quy tắc hình hộp là:
AB  AD  AA'  AC '

B'

C'

A'

D'

B

C

A

D

3. Phép nhân vectơ với một số:


Trong không gian, tích của vectơ a với một số k ≠ 0 là vectơ k a được đònh nghóa
tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét
trong mặt phẳng.
II- ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ:
1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian:
Trường hợp các đường thẳng OA,
Trường hợp các đường thẳng OA, OB,
OB, OC không cùng nằm trong một mặt OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta



HÌNH HỌC 11

FB: />
2. Đònh nghóa:
Trong không gian ba vectơ được
gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng
cùng song song với một mặt phẳng.

b

a
a


b

O c

c

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Đònh lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương và vectơ c .
Khi đó ba vectơ a, b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma  nb .
Ngòai ra cặp số m, n là duy nhất.
Đònh lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b , c . Khi đó với
mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x  ma  nb  pc . Ngòai ra bộ
ba số m, n, p là duy nhất.



OM 

OA  kOB
1 k

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với
một mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , trong đó a và b không
cùng phương. Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb
 Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý.
Khi đó:
! m, n, p  R: x  ma  nb  pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
 Góc giữa hai vectơ trong không gian:
AB  u, AC  v  (u, v )  BAC (00  BAC  1800 )

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho u, v  0 . Khi đó: u.v  u . v .cos(u, v )
+ Với u  0 hoặc v  0 . Qui ước: u.v  0
+ u  v  u.v  0
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.
Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ.

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian:


Đònh nghóa: Trong không gian, cho u và v là
hai vectơ khác vectơ - không. Lấy một điểm A bất
A



kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB  u , AC  v .
Khi đó ta gọi góc BAC (00  C  1800) là góc
v


giữa hai vectơ u và v trong không gian, kí hiệu là
 
( u, v ).

B
C

2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
Đònh nghóa: Trong không gian cho hai vectơ u và v đều khác vectơ - không. Tích
vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u . v , được xác đònh bởi công thức:
  
 
u.v  u v . cos(u, v )

Trường hợp u = 0 hoặc v = 0 ta quy ước u . v = 0.
II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG:


2. Nhận xét:
 Để xác đònh góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một
trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng
còn lại.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

 Nếu u

FB: />


là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của
 
đường thẳng b và (u , v ) =  thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 00    900
và bằng 1800 -  nếu 900 <   1800.
 Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 0.
V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:
1. Đònh nghóa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 900. Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a  b.
2. Nhận xét:


 Nếu u và v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:


Phương pháp: Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900.
2. Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau.
3. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
§3. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

I- ĐỊNH NGHĨA:
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng () nếu d vuông góc với
mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ().
Khi d vuông góc với () ta còn nói () vuông góc với d, hoặc d và () vuông góc
với nhau.
Kí hiệu: d  ().
II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:
Đònh lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng
thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó
cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
III- TÍNH CHẤT:
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một
điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
* Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng:


HÌNH HỌC 11

FB: />
IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
a
b
Tính chất 1:
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào
vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với
đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
một mặt phẳng thì song song với nhau.
a
Tính chất 2:
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào

vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt
phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với
một đường thẳng thì song song với nhau.
b
Tính chất 3:
a
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng () song song
với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với () thì cũng
vuông góc với a.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

A
B
b

A'


B'

b'

a

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Đònh nghóa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ().
 Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng () thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng () bằng 900.
 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc
với mặt phẳng () thì góc giữa d và hình chiếu d’ của
nó trên () gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng ().

 a b

 (P)  b

(P )  a
 (P)  (Q)  a  (Q)
a  ( P )

 a  (P)  b  a
b  ( P )

 a  b

 a b
a  (P ), b  (P )
 (P) Q)
 (P)  (Q)
(P)  a,(Q)  a

 a  (P)

a  b,(P)  b

 a  P)

4. Đònh lí ba đường vuông góc
Cho a  (P), b  (P) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Nếu d  (P) thì  d ,(P) = 900.


 Tìm giao điểm O của a với (P).
 Chon điểm A  a và dựng AH  (P). Khi đó AOH  (a,(P))

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
§4. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC

I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
1. Đònh nghóa:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng
đó bằng 00.
2. Cách xác đònh góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt nhau theo
giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong
() đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong ()
đường thẳng b vuông góc với c.
Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng ()
và () là góc giữa hai đường thẳng a và b.



b



NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng () và () vuông góc
với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng
một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () thì đường
thẳng này nằm trong mặt phẳng ().
d



Đònh lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng
vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng đó.







III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG:
1. Đònh nghóa:

HÌNH HỌC 11

FB: />
IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU:
1. Hình chóp đều: Cho hình chóp đỉnh S có
đáy là đa giác A1 A2 ... An và H là hình chiếu vuông

S

góc của S trên mặt phẳng đáy ( A1 A2 ... An ). Khi đó
đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và
H gọi là chân đường cao.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu
nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao
trùng với tâm của đa giác đáy.

C

B

A

D

H
F

E

Nhận xét:


 a  (P)   (P),(Q)   a, b 
b  (Q)

 Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng a  (P), a  c   (P),(Q)   a, b 
Chú ý: 00   (P),(Q)  900

b  (Q), b  c

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H)
của (H) trên (Q),  =  (P),(Q) . Khi đó: S = S.cos
3. Hai mặt phẳng vuông góc
 (P)  (Q)   (P),(Q)  900
 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P)  a  (P)  (Q)
a  (Q)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
4. Tính chất
(P)  (Q)

  A  (P)
 a  (P )


VẤN ĐỀ 2:

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).
 Chứng minh (P),(Q)  900
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh d(Q) với (Q)(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
 Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu của đa giác
Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S  là diện tích của hình
chiếu (H) của (H) trên (Q),  =  (P),(Q) . Khi đó: S = S.cos

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 11

FB: />
§5. KHOẢNG CÁCH


phẳng (). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng
() là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng
(), kí hiệu là d(a, ()).
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Đònh nghóa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.

a

O

H


O


H

Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng () và
() song song với nhau là d((),()). Khi đó
d((),())= d(M,()) với M  (), và d((),()) = d(M’,())
với M’  ().

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309



SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ

thẳng b tại N, đồng thời  cùng vuông góc với cả a và b.
Do đó  là đường vuông góc chung của a và b.
3. Nhận xét:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và
mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.

a

b

M



N


b

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
d ( M , a)  MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
d ( M ,(P ))  MH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng
song song

 Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).
Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.
 Dựng mặt phẳng (P)  a tại O.
 Dựng hình chiếu b của b trên (P).
 Dựng OH  b tại H.
 Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
 Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác đònh
đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ