TÍNH CHẤT QUANG HỌC CỦA VẬT RẮN
Trong chương này, ta nghiên cứu tương tác của bức xạ điện từ với vật liệu. Có thể
thực hiện việc này bằng hai phương pháp: vi mô và vĩ mô. Trong phương pháp vĩ mô, ta
dùng lí thuyết Maxwell để mô tả sự lan truyền sóng điện từ, còn vật liệu thì được mô tả
bởi các hằng số đặc trưng. Trong phương pháp vi mô, ta xét tương tác của điện từ trường
lên các electron trong vật liệu.
1. HÀM ĐIỆN MÔI
1.1. Hệ phương trình Maxwell
Ta xét sự truyền sóng điện từ trong vật liệu. Các vật liệu có thể biểu hiện các tính chất
khác nhau đối với sóng điện từ: trong suốt, phản xạ hay hấp thụ. Các hiện tượng đó xảy ra
như thế nào là tuỳ thuộc vào vật liệu và vào tần số của sóng điện từ.
Ta đã xét tác dụng của điện trường lên các điện tích tự do (điện tử dẫn) trong kim loại.
Nó gây nên dòng điện trong kim loại. Đặc trưng cho vật liệu về tính dẫn điện là điện dẫn
suất σ của nó. Khi trường điện từ tác dụng lên vật liệu, nó còn gây nên sự dịch chuyển
của các điện tích định xứ trong nguyên tử, tạo nên các mômen lưỡng cực địa phương.
Thuyết Maxwell xét đến cả hai hiện tượng đó.
Cơ sở của thuyết Maxwell là các phương trình Maxwell.
(1)
rotE = -B&

rotH = j + D
∇E = 0
∇H = 0
j = σE
D = εε 0 E
B = µµ 0 H

(2)
(3)
(4)
(5)

(10)

D(t ) = ∫ D( ω)e −iωt dω

(11)

−∞
∞
−∞

1


Vì E(t) và D(t) là các đại lượng thực, nên E(ω) = E*(-ω) và D(ω) = D*(-ω). E(ω)
gọi là ảnh Fourier của E(t). Từ (8.10), ta có E&(t ) =

∞

∫ (−iω )E (ω )e

− iωt

d ω và ảnh Fourier

−∞

của E (t ) là -iωE(ω).
1.2. Hàm điện môi
E(ω) và D(-ω) liên hệ với nhau qua hằng số điện môi phụ thuộc tần số: D(ω) =
ε0ε(ω) E(ω).

tự do và electron liên kết bị xoá đi, vì khi đó ta có sự dịch chuyển tuần hoàn của các điện
tích. Còn khi ω = 0, thì tính chất của electron tự do và liên kết là hoàn toàn khác nhau,
làm cho ε và σ không có liên hệ gì với nhau.
Khi xét cả sự phụ thuộc không gian và thời gian của điện từ trường, ta có nghiệm là
sóng phẳng
(15)
E = E 0 e i( kr −ωt )
với k là véc tơ sóng. Thay nghiệm này vào phương trình sóng (8), ta thu được:

ω2
σω
k = 2 ε +i
c
ε 0c 2
2

(16)

hay

k=

1
2

ω
σ
ε + i
÷
c

và ω = k với n
v c / n%
n%

= ε%
( ω)

(18)

Ta có các hệ thức sau:

n~ = n + iκ
(18a)
2
(19)
n%
= ( n + iκ )2 = ε%= ε1 + i ε 2 = n 2 − κ 2 + 2i nκ
với n là chiết suất của môi trường, κ là hệ số dập tắt, ε1 là phần thực, ε2 là phần ảo của
hàm điện môi phức. Cũng từ đó, ta có :

n
κ
k = ω +i ω
c
c

(20)

Xét sóng truyền theo chiều dương của trục z, thay (20) vào (15), ta có biểu thức sóng:


~
~
~ (ω) .
bằng hàm điện môi phức ε (ω) , chiết suất phức n ( ω) hoặc độ cảm điện phức χ
1.3. Các hệ thức tán sắc Kramers-Kronig
Xuất phát từ tính nhân quả của các hiện tượng vật lí, người ta có thể chứng minh được
rằng thành phần thực và ảo của hàm điện môi liên hệ với nhau qua các hệ thức sau đây,
gọi là các hệ thức tán sắc Kramers- Kronig:
∞

2
ω 'ε 2 (ω ')dω '
ε1(ω ) = 1 + P ∫
π 0 ω '2 − ω 2

(23a)

∞

2ω
ε (ω ')dω '
ε 2 (ω ) = −
P∫ 1 2
π 0 ω ' − ω2

(23b)
∞

x −α


P
∫
π 0 ω '2 − ω 2
π 0 ω '2 − ω 2
với hệ số hấp thụ

α (ω ) =

(24)

2ω
κ (ω )
c

(25)

Như vậy, nếu bằng thực nghiệm, ta đo được hệ số hấp thụ trong toàn dải tần số
(0 ≤ ω < ∞) thì từ (24), ta có thể xác định được chiết suất ở mỗi tần số của sóng điện từ.
1.4. Sự truyền ánh sáng qua bản mặt song song
Ta chiếu một chùm tia sáng hẹp vuông góc với bề mặt của một bản mặt song song có
chiều dày d (Hình 1). Cường độ I0 của chùm tia sáng tỉ lệ với bình phương cường độ điện
trường trong sóng ánh sáng I0 ∝ E02.
(1-R)I0 e- αd (1-R)2I0 e- αd

(1-R)I0
I0
RI0
R(1-R)I0 e- 2αd
R2(1-R)I0 e- 3αd


3. Sau khi đi qua chiều dày d của bản, cường độ sáng bị suy giảm do hấp thụ và còn
(1-R)I0 e- αd.
4. Đến mặt phân cách vật liệu - không khí, một phần phản xạ trở lại vào vật liệu
R(1-R)I0 e- αd .

4


5. Phần ánh sáng qua mặt phân cách và đi vào không khí ở phía sau của bản là là (1-R)
(1-R)I0 e- αd.
Chùm sáng phản xạ trở lại ở 4. bị hấp thụ, đến mặt phân cách phía trước, rồi một phần
truyền qua mặt phân cách ra ngoài, còn một phần phản xạ trở lại, bị hấp thụ và phần ra
ngoài bản về phía sau. Phần này có cường độ R2(1-R)2 I0 e-3 αd.
Phần phản xạ vào trong vật liệu tiếp tục bị phản xạ ở mặt trước...
Kết quả của sự phản xạ nhiều lần ở các mặt phân cách là ở mặt sau bản, ta có cường
độ sáng là:

I = I 0 ( 1 − R ) e−α d + I 0 R 2 ( 1 − R ) e −3α d + I 0 R 4 ( 1 − R ) e−5α d ...
2

2

2

2 − 2 n −1) α d
2 n −1
... + I 0 R ( ) ( 1 − R ) e (
+ ...

Ta tính được cường độ sáng I theo cách tính tổng các số hạng của một chuỗi nhân lùi

2. TÁN SẮC VÀ HẤP THỤ
2.1. Hàm điện môi của dao động tử điều hoà
Khi được đặt trong điện trường, vật liệu bị phân cực, trong vật liệu xuất hiện mômen
điện. Có 3 loại phân cực chủ yếu là phân cực electron, phân cực định hướng và phân cực
ion.
Ta xét trường hợp phân cực electron. Giả sử điện trường biến thiên tuần hoàn
E = E0 cos ωt tác dụng lên các nguyên tử. Điện trường này gây nên sự dịch chuyển
tương đối của các tâm điện tích dương và âm, làm hình thành lưỡng cực có mômen p = qs
với q là điện tích, s là véc tơ độ dài của lưỡng cực. Phương trình chuyển động của nguyên
tử-lưỡng cực là:

5


&
s&+ γ s&= −ω02 s +

q
E
µ

(27)

Đây chính là phương trình chuyển động của một dao động tử điều hoà có tần số riêng ω0
dưới tác dụng của điện trường ngoài E. Số hạng γs đặc trưng cho lực hãm. µ là khối
lượng rút gọn của dao động tử.
Ta có thể xác định véc tơ phân cực P của hệ, là mômen lưỡng cực điện của một đơn vị
thể tích vật liệu:
P = nqs + ε 0 χ e E
(28)

Véc tơ phân cực ở tần số ω là:

P (ω ) = nqs(ω ) + ε 0 χ eE (ω )

(31)

Sử dụng biểu thức liên hệ P với E và ε với χ , ta có:

q2

ε (ω ) = 1 + χ e +

n
µε 0

(32)

ω02 − ω 2 − iγω

Ta đặt εst = εω=0 và gọi đó là hằng số điện môi tĩnh, và ε∞ = εω=∞ là hằng số điện môi ở

q 2n
tần số cao, thì ε ∞ = 1 + χ e và ε st = ε ∞ +
. Từ đó:
ε 0 µω02

ε (ω ) = ε ∞ +

ω02 (ε st − ε ∞ )
ω02 − ω 2 − iγω

sau đó đổi dấu, rồi tăng dần đến giá trị ε∞. ε1 liên quan đến chiết suất n, vì thế kết quả này
dẫn đến hiện tượng tán sắc ánh sáng. ε2 = 2nκ có cực đại ở ω = ω0, mà κ =

2ωα
, nên hệ
c

số hấp thụ α cũng có cực đại tại ω = ω0.
Nếu γ
. Ta còn giả thiết:
h
+xét ở ngoài cộng hưởng ω ≠ ω1−ω0 ≡ ω10

+sóng điện từ có cường độ thấp (trường điện từ yếu)
+yếu tố ma trận của thế nhiễu loạn V(t) ở trạng thái 0 và 1 triệt tiêu:
Vii = ϕi (r) V (t ) ϕi (r) = 0 . Đó là vì V(t) là hàm lẻ đối với z, còn ϕi*ϕi=|ϕi|2 là hàm
chẵn, nên tích phân lấy trong toàn không gian triệt tiêu.
Dùng phép tính nhiễu loạn phụ thuộc thời gian, ta có:

da0
= ∫ ϕ0* (r )V (t )ϕ1(r )dr . e −iω10t . a1
dt
da
ih 1 = ∫ ϕ1* (r )V (t )ϕ0 (r )dr . e +iω10t . a0
dt
ih

(36a)
(36b)

Ta lại có:

V (t ) = −qE0 z sin ωt = −
Ta đặt:

qE0 iωt qE0 -iωt
ze +
ze
2i


Nếu điện trường là yếu và ω ≠ ω10 thì trạng thái electron bị điện trường làm nhiễu loạn
ít, và a1 có biên độ tỉ lệ với E0. Như vậy thì vế phải của (39a) tỉ lệ với E0a1∼E02 . Nếu ta
giới hạn ở các đại lượng tỉ lệ với bậc nhất của cường độ điện trường, thì vế phải của (39a)
triệt tiêu, hay

da0
= 0 . Như vậy a0 không phụ thuộc thời gian và a0 = 1. Ta thay a0 = 1
dt

vào (39b), lấy tích phân theo thời gian:

8


t

E M
a1 (t ) = 0 10 ∫ [ei(ω +ω10 )t ' − e-i(ω −ω10 )t ' ]dt '
2h 0
và thu được kết quả:
- t ≤ 0 , a1(t)=0.
- t ≥ 0 , thì :

iE0 M10 ei(ω10 +ω )t ei(ω10 −ω )t
2ω
a1 (t ) = −
[
−
+ 2


Ta tính véc tơ phân cực P tương tự như ở (28) và giả thiết không xét khí electron tự
do, tức là P = ε0χE = n Ψ qz Ψ . Trong khi tính tổng các mômen lưỡng cực trong thể
tích, thì các số hạng có chứa

ω
sin ω10t triệt tiêu lẫn nhau vì các số hạng đó mô tả dao
ω10

động riêng của mỗi nguyên tử, mà các dao động này có pha hỗn loạn. Từ đó, theo (22), có
thể xác định được χ và ε. Biểu thức cho hàm điện môi là:

ε (ω) = 1 +

2nω10 M10

2

2
hε 0 (ω10
-ω 2 )

(42)

Biểu thức này có cùng dạng với (34a), nếu ta lấy χe=0 và γ=0, nghĩa là nếu ta không xét
khí electron tự do và bỏ qua sự tổn hao (cho hằng số hãm γ=0). Như vậy, khi áp dụng lí
thuyết lượng tử cho sự chuyển trạng thái của các electron trong nguyên tử dưới tác dụng
của điện trường ngoài, ta cũng tìm được sự phụ thuộc của hàm điện môi vào tần số giống
như khi xét với các dao động tử trong lí thuyết cổ điển (Hình 3a).


j

(43)

Ở t = 0 , thì a1 = 1 và a j = 0 với j ≠ 1 .
Phương trình cho aj(t) là:

ih

da j
dt

= ∫ φ *j ( r )V (t )φ0 ( r )dr . e

iω j 0t

Sau khi tích phân, ta có:

i ω +ω t
i ( ω j 0 −ω ) t

iE 0 M j 0  e ( j 0 )
e
2
ω


aj ( t) = −
−
+


qz ( t ) = ∑ M j 0 a j e
j

− iω j 0 t

+ a*j e

iω j 0 t

)

(45)

Thay aj(t) từ (44) vào, ta có:

qz ( t ) = −iE0 ∑ M j 0
j

2

1 1
1  iωt -iωt
+

 e −e
h  ω j 0 − ω ω j 0 + ω 

(



Từ đó, có thể xác định được hàm điện môi của vật liệu:

ε ( ω) =1+

ω j0
fj
2
2n
nq 2
M
=
1
+
∑
∑
j0
ε 0h j
ε 0m j ω 2j 0 − ω 2
ω 2j 0 − ω 2

(48)

Trong trường hợp electron tự do theo nghĩa là tất cả các tần số riêng ωj0 đều bằng
không, thì:

ε ( ω) =1−
với tần số plasma:

ωp2

ε2
ε1

0

ω

Hình 4 Đường cong tán sắc cho hệ nguyên tử có nhiều mức năng lượng

Phần thực và phần ảo của hàm điện môi liên hệ với nhau theo các hệ thức tán sắc (23).
Có thể chứng minh được hàm điện môi phức có dạng:


nq 2
1
iπ 
ε ( ω) =1+
f
+
δ ω − ω j0 − δ ω + ω j0
∑
j 2
ε 0m j  ω j 0 − ω 2 2ω 

(

)

(


2
2
2 2
+ γ jω
ω j0 − ω
+ γ jω 
 ω j 0 − ω

trong đó γj là thông số mở rộng vạch ứng với chuyển dời từ mức cơ bản lên mức thứ j (ở
(52) ta không kể đến cực điểm ω = −ω j 0 ).

(

)

(

)

12