1

Chương 1:
1.1

Hàm số - Giới hạn - Liên tục

Giới hạn hàm số

1.1. Tính các giới hạn sau:
ln(cos 4x)
1.1.1. lim
x→0 x tan 3x
2
e2x − cos 4x
1.1.2. lim
x→0
x2
(1 − ex ) sin 2x
1.1.3. lim
x→0
x2 + 3x
1 − cos 3x cos 4x
1.1.4. lim
x→0
√ x sin 2x√
1 + x2 − cos 2x
1.1.5. lim
x
x→0
tan2

1.1.14.
1.1.15.
1.1.16.
1.1.17.
1.1.18.
1.1.19.
1.1.20.

√
x(1 − cos 4x)
lim
x→0 sin x − tan x
√
√
1 + x sin x − 3 cos 4x
√
lim
x→0
1 − 1 − x2
sin x
lim
x→0 1 − cos x
x2 − sin x
lim
x→0
x2
ln(1 + 2x2 )
lim
x→0
sin2 x

lim
x→1 1 −
x3
sin πx
√
lim
x→1 1 − 3 x2
1
lim x sin
x→∞
x
√
√
lim sin x + 1 − sin x
x→+∞
√
x
lim x( 2 − 1)
x→∞
√
√
x2 + 1 + x
lim √
x→+∞ 4 x3 + x − x

1.2.1. lim
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.

1.2.13. lim
x→4 1 −
5−x
1.2.12. lim

1.3. Tính các giới hạn sau:

Bài tập Giải tích 1

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


2
2x + 5
2x + 1

x

1.3.1. lim

3x

1.3.2. lim

1 − 3x
4 − 3x

x→∞

x→∞


1

1.3.13. lim (1 + tan 3x) 2x
x→0

x→0

2
x

1.3.14. lim

x→0

x→0

1.2

−1

x
x2 −1

1.3.11. lim

x

1
x

x

3 sin x
x−sin x

Hàm số liên tục

1.4. Xét sự liên tục của hàm f tại x = 0, với

 1 nếu x = 0
1.4.1. f (x) = x
 0 nếu x = 0

 sin x
nếu x = 0
1.4.2. f (x) =
x
1
nếu x = 0
1.4.3. f (x) =

(sin x) arctan x1
0

1.4.4. f (x) =

x sin x1
1

nếu x = 0,

x2

1
nếu x = 0.
1.4.5. f (x) =

1.5. Xét sự liên tục của hàm f tại x ± 1, với

 x+1
f (x) = 1 − |x|

1
Bài tập Giải tích 1

nếu x = ±1,
nếu x = ±1.
Giảng viên: Phan Đức Tuấn


3
1.6. Xét sự liên tục của hàm f tại x ± 2, với

 |x| − 2
f (x) = 4 − x2
 1/4

nếu x = ±2,
nếu x = ±2.

1.7. Tìm m để hàm f liên tục trên R, với

 ln(x)
√
nếu
1.7.5. f (x) = 1 − 3 x
 mx
e − 4 nếu
√
m
 3−x−1
1.7.6. f (x) =
x−2

x+m



nếu x > 0,
nếu x ≤ 0.
x > 1,
x ≤ 1.
nếu x < 2,
nếu x ≥ 2.

1.8. Tìm a, b đề các hàm số sau liên tục trên R

π

−2 sin x
nếu x ≤ −


x3
1.9.2. y =
tan3 x
x
1.9.3. y = x
(2 − 1) sin x

1.9.1. y =

Chương 2:
2.3

2x − 1
x2 − x
2x − 2
1.9.8. y = 2
x −x
√
2 − 3 2x + 4
1.9.9. y = 2
x − 3x + 2

x2
1.9.4. y = x
(3 − 1) sin x
x
1.9.5. y = x
(e − 1) cos x
x2
1.9.6. y =


4
√

2.11.1. y = x x
2.11.2. y = xln x
tan x
2.11.3. y = √
3
x2
1
2.11.4. y = arcsin
|x|

2.11.5. y =

ln(1 + x)
x

2.11.6. y =

x2 sin x1
0

nếu x ≥ 0
nếu x < 0
nếu x = 0
nếu x = 0

2.12. Chứng minh hàm: y = a cos(ln x) + b sin(ln x) thoả phương trình:

2.15.4. xy + y 2 ln x − 4 = 0

2.16. Tính y (x) của các hàm ẩn cho bởi các phương trình
2.16.1. ex−y − xy = 0

2.16.2. y = 1 + xey

2.17. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
√
2.17.4. y = x2 ex
2.17.1. y = x x
√
2x + 3
2.17.2. y = 2
2.17.5. y = 1 − x
x −9
x+1
3x + 5
2.17.6. y = √
2.17.3. y =
1−x
x+1

2.4

2.17.7. y = ln(x2 − 5x + 6)
2.17.8. y = (2x + 5) sin 2x
2.17.9. y = x ln x

Vi phân



5
√
2.20.1. y = 4 17
2.20.2. tan 460

2.20.5. sin 60o 3

2.20.3. arctan 0, 97
√
2.20.4. 3 1042

2.21. Tính d2 y của các hàm số sau
2.21.1. y = e−x

2.5

2

2.21.2. y = arctan

x−1
x+1

Các định lý của hàm khả vi

2.22. Cho f (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3). Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có 3
nghiệm thực.
2.23. Giả sử hàm f thỏa mãn

1
x→0 x

2.28.1. lim

1
1
−
x tan x

etan x − ex
2.28.2. lim
x→0 tan x − x
ln(x − a)
2.28.3. lim+
x→a ln(ex − ea )
x
2

xe
x→+∞ x + ex
2.28.5. lim+ ln x ln(x − 1)

2.28.4. lim
x→1

Bài tập Giải tích 1

ex + e−x − 2
x→0


6
1

2.28.11.
2.28.12.
2.28.13.
2.28.14.
2.28.15.

2.6

sin 2x x2
lim 3 −
x→0
x
√
3
x(1 − cos 2x)
lim
x→0
x − tan x
sin x
lim
x→π x − π
tan x
lim
x→π x − π
sin x − cos x
lim

Ứng dụng của đạo hàm

2.29. Tìm tiệm cận của các hàm số sau
ln(x + 1)
2.29.1. y =
+ 2x
x2
2.30. Tìm tiệm cận của các hàm số

3

y =
2
t(t − 4)
a.

x = t − 8
t4 − 4

Chương 3:

x

2.29.2. y = (x − 1)e x−1

b.

y = tet
x = te−t


2
√
4 − x2
tan 3x − cot 3x
dx
sin 3x
xdx
4
x + 6x2 + 13

Bài tập Giải tích 1

3.31.13.

(x3 + 1)dx
x3 − 5x2 + 6x
sin 2xdx
1 + 4 cos2 x
dx
3 cos x + 2
√
1 − 2x − x2 dx

3.31.14.

e−

3.31.15.

cos xdx

Giảng viên: Phan Đức Tuấn


7
3.31.20.
3.31.21.
3.31.22.
3.31.23.
3.31.24.

ln 2x dx
.
ln 4x x
x2 dx
√
1 − x2
√
x2 + 1
dx
x
√
x 2 − a2
dx (a > 0)
x
arctan xdx

3.31.43.
3.31.44.
3.31.45.
3.31.46.

3.31.52.

3.31.30.

(x2 − 2x + 5)e−x dx

3.31.53.

3.31.31.

(x2 + 5x + 6) cos 2xdx

3.31.54.

3.31.32.

ex sin xdx

3.31.25.
3.31.26.

√

3.31.33.
3.31.34.
3.31.35.
3.31.36.
3.31.37.
3.31.38.
3.31.39.


1 − 4 ln x − ln2 x
dx
x(x + 1)2
5x − 1
dx
3
x − 3x − 2
dx
2
(3x + 2)(3x2 − 9)
x

3.31.40.

3.31.49.

Bài tập Giải tích 1

3.31.56.
3.31.57.

dx
+1
xdx
x4 − 1
x2 + 1
dx
x4 + 1
dx

√ dx
1+ x
x3

cos5 x
dx
sin3 x
√
sin5 x. 3 cos xdx

3.31.58.

dx
√
4
3
sin x. cos5 x

3.31.59.

cos6 3xdx

3.31.60.

dx
sin4 x

3.31.61.

cot4 xdx

3.31.67.

3.32. Tính các tích phân xác định sau:
1

y 2 dy

3.32.1.

y6 + 4

0

1

√

3.32.12.
√

1 − x2
dx
x2

2
2

π
4


1+ 3x+1

3.32.14.
−1
1

0
e2

3.32.15.

dx
x ln x

3.32.4.

0
ln 5

e
1

xdx
2
x + 3x + 2

3.32.5.

3.32.16.
0

sinh2 xdx

3.32.8.

√
a2 − x 2
dx (a > 1)
x

π
2

3.32.18.
1

√
ex ex − 1
dx
ex + 3

1

cot4 xdx

3.32.6.

√
ex dx
√
ex + e−x

√

3.32.10.

ex

− 1dx

0

3.32.23.

3

dx
x x2 + 5x + 1
√

3.32.11.

3.32.22.

0

3.32.24.

dx
+ 4)2
−2
ln 8

3.33.8.
1

−∞
+∞

1

−1

2
+∞

1

dx
√
dx
x 1 + x2

3.33.3.

3.33.10.
−1

a2
+∞

xdx
√

√
3
x5

3.33.9.

ln x
dx
x

3.33.2.

dx
4x − x2 − 3

2

3.33.12.

1
+∞

3.33.6.
−∞
+∞

3.33.7.
0

dx

3
1 + x4
0
+∞ √
xe−x dx

√

1

1

x
√
dx
1 − x4

3.34.4.

3.34.6.

0

0
1

3.34.5.

100


, y = 2x
2

3.36. Tính thể tích vật thể tròn xoay của miền giới hạn bởi:
3.36.1. y = x sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π quay quanh trục Ox.
3.36.2. y = 2x − x2 , y = 0 quay quanh trục Oy.
3.36.3. y = x2 , y = 4 quay quanh đường thẳng x = 2.
3.37. Tính độ dài cung:
√
√
3.37.1. y = ln x, 3 ≤ x ≤ 8.

Chương 4:Hàm

√
1
3.37.2. y = (3 − x) x, 0 ≤ x ≤ 3.
3

nhiều biến

4.38. Tính zx , zy của hàm z = arctan

u
với x = u + v, y = u − v.
v

4.39. Tính zx , zy của hàm z = u2 v với x = u cos v, y = u sin v.
Bài tập Giải tích 1


50 20
+
với x > 0, y > 0
x
y
4.43.7. z = 4(x − y) − x2 − y 2
4.43.8. z = x2 + y 2 + xy + x − y + 1
4.43.9. z = x + y − xey
2
2
4.43.10. z = (x2 + y 2 ) e−(x +y )

4.43.6. z = xy +

4.44. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
4.44.1.
4.44.2.
4.44.3.
4.44.4.
4.44.5.

z
z
z
z
z

= x2 y + 2 với x + y = 6
= xy 2 với x2 + y 2 = 3
= x2 +12xy+2y 2 với 4x2 +y 2 = 25


d. ln

b. (1, 02)3 (0, 97)2 ;

e. sin 32o . cos 59o .

c.

(4, 05)2 + (2, 93)2 ;

Bài tập Giải tích 1

f. arctan

1,03
0,98

.

Giảng viên: Phan Đức Tuấn