To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5

CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ
Dạng 1: VIẾT SỐ TỰ NHIÊN TỪ NHỮNG CHỮ SỐ CHO TRƯỚC.
A. MỤC TIÊU:
+ HS nắm dược tính chất cơ bản của số tự nhiên.
+ Lập được các số tự nhiên từ những chữ số cho trước theo điều kiện của số.
+ Biết so sánh và xếp thứ tự các số tự nhiên.
+ Biết tính tổng của các số tự nhiên đã lập từ những chữ số cho trước bằng cách
nhanh nhất.
B. NỘI DUNG:

I. Kiến thức cần nhớ:
1. Có 10 chữ số để lập số là: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Khi viết 1 STN ta sử dụng 10 chữ
số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một STN phải khác 0.
2. STN có tận cùng bằng 0,2,4,6,8 là số chẵn. STN có tận cùng là 1,3,5,7,9 là số lẻ.
3. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị.
4. Hai số chẵn (lẻ) liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị.
5. Quy tắc so sánh hai STN
a) Trong hai STN, số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn.
b) Nếu hai só có cùng số chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải
lớn hơn sẽ lớn hơn.

II. Một số dạng toán điển hình:
Ví dụ 1. Cho 3 chữ số 1 , 8 , 3 .Hỏi
a. Viết được tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ 3 chữ số đó .
b. Hãy viết các số đó rồi xếp theo thứ tự từ bé đến lớn
c. Tính tổng các số vừa viết được bằng cách nhanh nhất.
Bài giải
a) Chọn chữ số 1 làm hàng trăm ta có sơ đồ:
1

138

318

813

183

381

831

b. Các số đó được xếp theo thứ tự từ bé đến lớn như sau:
138 , 183, 318 , 381 , 813 , 831.
c. Nhận xét: Khi cộng tổng của các số trên ta cộng lần lượt các hàng theo thứ tự từ
phải sang trái bắt đầu từ hàng đơn vị.
- Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 8 + 3 + 8 + 1 + 3 + 8 + 1 = (8 + 3 + 1) x 2
= 12 x 2 = 24
- Tổng các chữ số hàng chục là: 3 + 8 + 1 + 8 + 1 + 3 = (8 + 3 + 1) x 2
= 12 x 2 = 24 (chục)
- Tổng các chữ số hàng trăm là: 1 + 1 + 3 + 3 +8 + 8 = (8 + 3 + 1) x 2
= 12 x 2 = 24 (trăm)
Vậy tổng của 6 số lập được là: 24 trăm + 24 chục + 24 đơn vị
= 2400 + 240 + 24 = 2664
Cách giải tổng quát:
Ta thấy mỗi chữ số 1 , 3, 8, xuất hiện 2 lần ở mỗi hàng trăm , chục và đơn vị.
Vậy tổng các số đó là:
(1 + 3 + 8) x 100 x 2 + (1 + 3 + 8) x 10 x 2 + (1 + 3 + 8) x 2
=12 x 100 x 2 +12 x 10 x 2 + 12 x 2
=2400 + 240 + 24

Gọi abc là số cần lập ( a khác 0). Vì a; b; c khác nhau và abc  2
Nên với 4 chữ số đã cho ta có : c = 2 hoặc c = 4.
- Với c = 2 Ta còn :
+ 3 chữ số để chọn làm hàng trăm (a), đó là 1 , 3 và 4.
+ 2 chữ số chọn làm hàng chục (b), đó là các chữ số khác chữ số hàng đơn vị
và hàng trăm.
Vậy với c = 2 ta lập được: 3 x 2 x 1 = 6 (số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2)
Đó là: 132, 142, 312, 342, 412, 432.
- Tương tự: Với c = 4 ta cũng lập được 6 số: 134, 124, 214, 234, 314, 324.
Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân

3


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5

III. Bài tập về nhà
Bài 1: Từ 3 chữ số 4, 6, 3. Hỏi:
a.Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số( các chữ số có thể lặp lại)
b. Hãy viết các số đó theo thứ tự từ lớn đến bé.
c. Tính tổng các số đó
Bài giải
a.

Vì các chữ số của số có thể lặp lại, nên với 3 chữ số đã cho ta có:
- 3cách chọn chữ số hàng trăm.
- 3 cách chọn chữ số hàng chục.
- 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị


Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5
- 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Vậy ta lập được: 2 x 3 x 3 = 18 (số có 3 chữ số)
Các số đó là: 300 303

307 330 333

337 370 373

377

700 703 707 730 733 737 770 773 777
b. Các số đó được xếp theo thứ tự bé dần là:
777; 773; 770; 737; 733; 730; 707; 703; 700; 377; 373; 370; 337; 333; 330; 307; 303; 300.

c. Ta nhận thấy mỗi chữ số 3 và 7 xuất hiện 9 lần ở hàng trăm, 6 lần ở hàng chục và 6
lần ở hàng đơn vị.
Vậy tổng các số đó là:

(7 + 3) x 100 x 9 + (7 + 3) x 10 x 6 + (7 + 3) x 6
= 9000 + 600 + 60

= 9660.


+ HS nắm được cấu tạo thập phân của số.
+ Biết phân tích cấu tạo số tự nhiên.
+ Vận dụng kiến thức để giải các bài toán bằng phân tích cấu tạo số tự nhiên.
B. NỘI DUNG:

I. Kiến thức cần nhớ:
1. Có 10 chữ số để lập số đó là: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Cứ 10 đơn vị hàng thấp lập thành 1 đơn vị hàng cao liền nó. (10 đơn vị = 1 chục;
10 chục = 1 trăm....)
3. Phân tích cấu tạo STN:
ab = a x 10 + b.
abc = a x 100 + b x 10 + c = a x 100 + bc = ab x 10 + c

4. Phương pháp giải:
- Diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu kèm theo các điều kiện ràng buộc của các kí
hiệu đó.
- Thiết lập các mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán.
- Biến đổi các đẳng thức đã lập được về các đẳng thức đơn giản hơn.
- Dùng phương pháp lựa chọn để tìm kết quả.
- Thử lại để xác định số cần tìm.

II. Một số dạng toán điển hình:
1. Viết thêm một số chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên
Ví dụ 1. Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 9 vào bên trái số đó
ta được số mới gấp 13 lần số cần tìm.
Ví dụ 1. 10 CĐBDHSG toán 4-5 tập 1

Bài giải
Gọi số phải tìm là ab . (a>0; a,b
a x 10 = b x 8 ( bớt cả hai vế đi ax90 và b)
-> a x 5 = b x 4 (chia cả hai vế cho 2)
Vì a x 5 chia hết cho 5 nên b x 4 cũng phải chia hết cho 5. Suy ra b = 0 hoặc 5.
+ Nếu b = 0 thì a x 5 = 0 x 4 = 0
-> a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì a x 5 = 5 x 4
->

a=4

Thử 45 x 9 = 405 (đúng).

Ta có số 45.
Vậy số phải tìm là 45

2. Xóa bớt một số chữ số của số tự nhiên
Ví dụ 3: Cho một số có 3 chữ số, nếu ta xóa đI chữ số hàng trăm thì số đó giảm đI 7
lần.
Ví dụ 5 trang 11. 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Bài giải
Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân

7


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5
Gọi số phải tìm là abc (a khác 0; a; b; c

=bx7

Suy ra b = 0 hoặc b = 5. Nhưng b không thể bằng 0. Vậy b = 5 và ab = 5 x 7 = 35
Số phải tìm là 350
- Nếu c = 5 thay vào ta có: ab5 = 7 x b5
Vì 7 x 5 = 35 nên 7 x b + 3 = ab
Nếu b chẵn thì vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn . Nếu b lẻ thì vế phải là số lẻ vế trái
là số chẵn. Vậy trường hợp này bị loại.
3. Số tự nhiên và tổng , hiệu , tích, thương các chữ số của nó.
Ví dụ 4. Tìm một số có hai chữ số sao cho số đó bằng tổng của hai chữ số của nó nhân
với 4.
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a khác 0; a,b
Giải
Ta thấy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b
= 1999 + ab0 + a0 + c + b
= 1999 + abc + ab
Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân

9


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5
Ta thấy tổng A và tổng B đều gồm 3 số hạng, trong đó có 2 số hạng giống nhau
đó là abc và ab . Số hạng còn lại: 1999 > 1997 . Vậy A< B

III. Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số , biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải số đó ta
được số mới mà tổng của số mới với số phải tìm là 132.
Bài giải
Cách 1: Gọi số phải tìm là ab (a>0, a ; b < 10). Khi viết thêm chữ số 0 vào bên phải số
đó ta được số ab0.
Theo đề bài ta có: ab0 +ab =132
abx10 +ab =132
ab x(10+1)=132
ab x11=132
ab=132:11 ->

ab=12

Vậy số phải tìm là 12.

ab x 100 + ab – ab = 3000
ab x 100 = 3000
ab = 3000 : 100
ab = 30

abab = 3030

Ta có phép trừ: 3030 -30 =3000
Vậy phép trừ đó là 3030 -30 =3000
Bài 3: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì
nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Ví dụ 2 trang 9. 10CĐBDHSG lớp 4-5. Tập 1

Bài giải
Gọi số phải tìm là abc (a khác 0; a,b,c < 10). Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải
ta được số abc5 .
Theo đề bài ta có:

abc5 = abc + 1112

abc x 10 + 5 = abc + 1112
abc x 10

= abc + 1112 – 5

abc x 10

= abc + 1107

abc x 10 - abc = 1107

Theo đề bài ta có: abc = 7 x bc
a x 100 + bc = 7 x bc
a x 100

= 7 x bc - bc

a x 100

= (7 – 1 ) x bc

a x 100

= 6 x bc

a x 50

= 3 x bc (cùng chia cả hai vế cho 2)

Vì 3 x bc chia hết cho 3 nên a x 50 cũng phải chia hết cho 3. Và bc là số có 2 chữ số
nên a = 3; bc = 50. Số phải tìm là 350.
Bài 5: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Ví dụ 6 trang 12. 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Bài giải
Cách 1. Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có: ab = 5 x ( a + b)
a x 10 + b = 5 x a + 5 x b
a x 5 = b x 4 ( bớt cả hai vế đi ax5 và b)
Vì a x 5 chia hết cho 5, nên b x 4 cũng phải chia hết cho 5. Vậy b = 0 hoặc b = 5.
+ Nếu b = 0 thì a x 5 = 0 -> a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì a x 5 = 4 x 5 -> a = 4
Ta có số 45 thoả mãn điều kiện bài toán.

- Nếu a khác b , bằng phương pháp thử chọn ta tìm được các số 15 hoặc 24 thỏa mãn
điều kiện bài toán.
Bài 7 : So sánh tổng A và B, biết:
A = abc +de + 1992
B = 19bc + d1 + a9e
Giải
Ta thấy : B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90
= abc + de + 1991
Từ đó ta suy ra A > B.
Bài 8 : Điền dấu >, < , = vào chỗ chấm thích hợp.
a) 1a26 + 4b4 +57c …... abc + 1997
b) abc + m000 ….. m0bc + a00
c) x5 + 5x … xx + 56
Giải
a) VT = 1026 + a00 + 404 + b0 + 500 + bc = (1026 + 404 + 570) + ( a00 + b0 + c)
= 2002 + abc > 1997 + abc
Vậy VT > VP
b) VP = m000 + bc + a00 = abc + m000
Vậy VT = VP
c) x5 + 5 x = x0 + 5 + 50 + x = ( x0 + x) + (50 + 5) = xx + 55 < x0 + 56
Vậy VT < VP
Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân

13


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5
Dạng 3: NHỮNG BÀI TOÁN VỀ XÉT CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG

quả trên là sai.
b) Ta thấy tích của ab x ab (Tích của một số tự nhiên nhân với chính nó )chỉ có thể
có tận cùng là 1 ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ( 1 x 1 = 1 ; 2 x 2 =4 3 x 3 = 9 ; 4 x 4 = 16 ; 5 x 5 = 25 ;
14 Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5
6 x 6 = 36 ; 7 x 7 = 49 ; 8 x 8 = 64 ; 9 x 9 =81) . Số trừ có tận cùng là 7. Vởy hiệu trên
không thể có tận cùng là 0.
Ví dụ 2.

Không cần tính tổng , hãy cho biết : Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt

đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ?
Giải
Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; …;
1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; …; 1996.
Số lượng số lẻ là: (1997 – 1) : 2 + 1 = 999 ( số). Số lượng số chẵn là: (1996 – 2) : 2 + 1
= 998 ( số)
Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số
chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là
một số lẻ.
Ví dụ 3. Tích sau có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
a) 13 x 14 x 15 x. . . . x 22.

b) 1 x 2 x 3 x 4 x. . . x 50.
Ví dụ 11 trang 16.10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Giải

III. Bài tập về nhà
Bài 1. Tích 1x2x3x4x5....98x99x100 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài 28 trang20. 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Giải
Ta thấy trong tích 1 x2 x 3 x 4 x ....... x 99x 100 có :
- 8 thừa số tròn chục là 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Mỗi thừa số này cho 1
chữ số 0 tận cùng ở tích. Vậy nhóm này tạo ra 8 chữ số 0 tận cùng ở tích.
- Nhóm 8 thừa số có tận cùng là 5: 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85 và 95. Mỗi thừa số này
khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 tận cùng ở tích. Vậy nhóm này tạo ra 8 chữ số 0
tận cùng ở tích.
- Nhóm 3 thừa số 25 , 50, 75 khi nhân với 1 số chia hết cho 4 thì cho 2 chữ số 0 tận
cùng ở tích. Vậy nhóm này tạo ra 6 chữ số 0 tận cùng ở tích.
- Số 100 cho 2 chữ số 0 tận cùng ở tích .
Vậy tổng chữ số 0 tận cùng ở tích đã cho là: 8 + 8 + 6 + 2=24 ( chữ số 0)
Bài 2.

Không làm tính hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau có tận cùng là chữ

số nào?
a)

(1999+2378+4545+7956)-(315+598+736+89)

b)

1x3x5x7x......x99

c)

6x16x116x1216x11996

quả có tận cùng là 5.
Bài 3. Không làm tính , hãy xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích vì sao?
a)

16358 – 6 x 16 x 46 x 56 = 120

b)

abc x abc – 853467 = 0

c)

11 x 21 x 31 x 41 – 19 x 25 x 37 = 110
Bài 30 trang20. 10 CĐBDHSG toán 4,5 tập 1
Giải

a)

Sai, vì hiệu hai chữ số tận cùng của số bị trừ và số trừ bằng 2.

b)

Sai, vì c x c không thể có tận cùng là 7.

c)

Sai, vì tích thứ nhất có tận cùng là 1 và tích thứ hai có tận cùng là 5.

Bài 4. Tìm chữ số cuối cùng của kết quả phép tính:
7 x7 x 7 x …. x 7 – 1991 (có 1991 thừa số 7)

s l.
b) Kt qu sai. Vỡ cú tng cỏc s chn l s chn m 9 161 l s l.

CC BI TON KHC

Ví dụ 3. Cho một số có 3 chữ số , biết chữ số hàng đơn vị là 3 và

khi xoá bỏ chữ số 3 đó thì ta đựơc số mới mà hiệu của số đã cho
với số mới là 489. Tìm số đã cho.
Cách 1: Gọi số phải tìm là ab3 ( a>0 ; a;b ab3=543
Vậy số phải tìm là 543
18 Nguyn Th Thu Hng

Trng Tiu hc Ngha Dõn


Toán bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
Cách 2 : Khi xoá bỏ chữ số 3 ở hàng đơn vị của một số thì số đó

bớt đi 3 đơn vị và giảm đi 10 lần. Theo đề bài ta có sơ đồ
SPT:
SM:

ab x 100 + cd - ab = 4455
ab x 100 - ab + cd = 4455
ab x (100 1) + cd = 4455
Nguyn Th Thu Hng

Trng Tiu hc Ngha Dõn

19


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5

ab x 99 + cd

= 4455

cd

= 4455 - ab x 99

cd

= 99 x 45 - ab x 99

cd

= 99 x (45 - ab )

Để tích của 99 với một số tự nhiên là một số tự nhiên nhỏ hơn 100 thì 45 - ab phải
bằng 1 hoặc 0.

Ví dụ 1. Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 0 vào giữa 2 chữ số đó ta
đợc số mới gấp 9 lần số ban đầu.
Gii
Gọi số phải tìm là ab. (a>0; a,b a x 5 = b x 4 (chia cả hai vế cho 2)
Vì a x 5 chia hết cho 5 nên b x 4 cũng phải chia hết cho 5. Suy ra b = 0 hoặc 5.
+ Nếu b = 0 thì a x 5 = 0 x 4 = 0
-> a = 0 (loại)
+ Nếu b = 5 thì a x 5 = 5 x 4
-> a = 4
Ta có số 45.
Thử 45 x 9 = 405 (đúng)
Vậy số phải tìm là 45
Ví dụ 2. Tìm số có 2 chữ số biết rằng khi viết thêm 1 chữ số 9 vào bên trái số đó ta đợc
số mới gấp 13 lần số cần tìm.
Gọi số phải tìm là ab. (a>0; a,b
Ta có :
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Số cần tìm 21
42
63
84 105 126 147 168 189
Thử lại: Ta thấy các số vừa tìm đợc đều thỏa mãn đề bài.
II- Dạng 2: Dùng phơng pháp lựa chọn.
Ví dụ:
+ Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng 9 và tích các chữ
số của số đó bằng 18.

Vì tích các số có tận cùng là 1, nên tích 39 x 49 x 59 x x 1979 x 1989 có chữ số tận
cùng là 1.
22 Nguyn Th Thu Hng

Trng Tiu hc Ngha Dõn


To¸n båi dìng häc sinh giái líp 5

Nguyễn Thị Thu Hương

Trường Tiểu học Nghĩa Dân

23